2023-2024学年辽宁省沈阳市大东区九年级上学期数学期末试题及答案

这是一份2023-2024学年辽宁省沈阳市大东区九年级上学期数学期末试题及答案，共24页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 如图是由5个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的主视图是（ ）

B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中；
【详解】解：此几何体的主视图从左往右分列，小正方形的个数分别是，，．
故选：A
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，主视图是从物体的正面看得到的视图
2. 用配方法解方程x2﹣6x﹣3＝0，此方程可变形为（ ）
A. （x﹣3）2＝3B. （x﹣3）2＝6
C. （x+3）2＝12D. （x﹣3）2＝12
【答案】D
【解析】
【分析】先移项，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方，最后配方即可得新答案．
【详解】由原方程移项得：x2﹣6x＝3，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方得：x2﹣6x+9＝12，
配方得；（x﹣3）2＝12．
故选：D．
【点睛】此题主要考查配方法的运用，配方法的一般步骤为：移项、二次项系数化为1、两边同时加上一次项系数一半的平方、配方完成；熟练掌握配方法的步骤并熟记完全平方公式是解题关键．
3. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A（―3，6）、B（―9，一3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（ ）
A. （―1，2）
B. （―9，18）
C. （―9，18）或（9，―18）
D. （―1，2）或（1，―2）
【答案】D
【解析】
详解】解：方法一：∵△ABO和△A′B′O关于原点位似
∴△ ABO∽△A′B′O且＝
.∴＝＝
∴A′E＝AD＝2
OE＝OD＝1
∴A′（-1,2）
同理可得A′′（1,-2）
方法二：∵点A（-3，6）且相似比为
∴点A的对应点A′的坐标是（-3×，6×），
∴A′（-1,2）
∵点A′′和点A′（-1,2）关于原点O对称
∴A′′（1,-2）
故选：D．
4. 若关于的方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了根的判别式．若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式，建立关于的方程，求出的值即可．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
解得．
故选：B．
5. 一个不透明的袋中装有4个白球，若干个红球，这些球除颜色外完全相同．通过多次摸球实验后发现，摸到白球的频率稳定在附近，则袋中红球的个数是（ ）．
A. 2B. 5C. 6D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】由摸到白球的频率稳定在附近，可以得出口袋中得到白色球的概率，设红球个数为x个，列出分式方程，解方程进而求出红球个数即可得到答案．
【详解】解：设红球个数为x个，
∵摸到白球的频率稳定在左右，
∴口袋中得到白色球的概率为，
∴，
解得：，
经检验，是原方程的解
故红球的个数为6个．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了随机概率，利用频率估计概率，根据大量反复试验下频率稳定值即概率得出是解题关键，应掌握概率与频率的关系，从而更好的解题．
6. 关于反比例函数y的图象与性质，下列说法正确的是（ ）
A. 图象分布在第二、四象限B. y的值随x值的增大而减小
C. 当x＞﹣2时，y＜﹣3D. 点（1，6）和点（6，1）都在该图象上
【答案】D
【解析】
【分析】根据反比例函数解析式结合反比例函数的性质逐一判断即可．
【详解】解：∵反比例函数解析式为y，
∴反比例函数经过一、三象限，且在每个象限内y的值随x值的增大而减小，故A、B不符合题意；
∴当x＞0时，y＞0，故C不符合题意；
当x=1时，y=6，当x=6时，y=1，
∴点（1，6）和点（6，1）都在该图象上，故D符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查了反比例函数图象的性质，熟知反比例函数图象的性质是解题的关键．
7. 如图，在菱形中，，对角线，则该菱形的周长为（ ）
12B. 15
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先说明△ABC为等边三角形，然后再求得AB，最后求周长即可．
【详解】解：∵菱形中，
∴AB=BC
∵
∴△ABC为等边三角形
∴AB=BC=AC=3
∴该菱形的周长为3×4=12．
故选A．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质等知识点，灵活应用相关性质定理是解答本题的关键．
8. 在中，＝，若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由三角函数的定义可知，可设BC=5k，AB=13k由勾股定理可求得，再利用余弦的定义代入计算即可．
【详解】解：如图:
在中，，可设BC=5k，AB=13k．
由勾股定理可求得．
所以，．
故选：D．
【点睛】本题主要考查三角函数的定义，掌握正弦、余弦函数的定义是解题的关键．
9. 如图，在△ABC纸片中，∠A＝76°，∠B＝34°．将△ABC纸片沿某处剪开，下列四种方式中剪下的阴影三角形与原三角形相似的是（ ）
A. ①②B. ②④C. ①③D. ③④
【答案】C
【解析】
【分析】根据相似三角形的判定定理逐个判断即可．
【详解】图①中，∠B＝∠B，∠A＝∠BDE＝76°，所以△BDE和△ABC相似；
图②中，∠B＝∠B，不符合相似三角形的判定，不能推出△BCD和△ABC相似；
图③中，∠C＝∠C，∠CED＝∠B，所以△CDE和△CAB相似；
图④中，∠C＝∠C，不符合相似三角形的判定，不能推出△CDE和△ABC相似；
综上分析可知，阴影三角形与原三角形相似的有①③，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，能熟记有两个角对应相等的两三角形相似是解此题的关键．
10. 将抛物线向左平移个单位，向上平移个单位后得到的抛物线表达式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】写出原二次函数的顶点坐标，再求出平移后的顶点坐标，写出解析式即可．
【详解】解：的顶点坐标为（0，1），将抛物线向左平移个单位，向上平移个单位后得到的抛物线的顶点坐标为（-2，4），抛物线表达式为，
故选：B．
【点睛】本题考查了抛物线的平移，解题关键是熟记抛物线平移变化规律，准确进行判断．
二、填空题
11. 在比例尺为的山西地图上，小贤量得长治到太原的距离约为，则两地的实际距离约为________．
【答案】220
【解析】
【分析】用图上距离除以比例尺即可得出两地的实际距离．
【详解】解：根据比例尺的性质，
两地的实际距离约，
故答案为：220．
【点睛】本题考查了比例尺，掌握比例尺公式是解题的关键．
12. 近年来，我国大力推行药品集中带量采购制度，很多常用药的价格显著下降，受此影响，某种药品两次降价后，价格由每盒160元大幅调整为40元，则该药品平均每次降价的百分率为__．
【答案】
【解析】
【分析】设该药品平均每次降价的百分率为，利用经过两次降价后的价格原价平均每次降价的百分率），即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【详解】解：设该药品平均每次降价的百分率为，
依题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
该药品平均每次降价的百分率为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
13. 如图，点在反比例函数的图象上，连接，过点作轴的垂线，垂足为，若的面积，则 ______ ．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数中的几何意义，过反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变，据此可得答案．
【详解】解：点在反比例函数的图象上，连接，过点作轴的垂线，垂足为，的面积，
，
图象在第二象限，
，
故答案为：．
14. 如图，有一矩形养鸡场，养鸡场的一边靠墙（墙足够长），另三边用米的长篱笆围成，则矩形面积的最大值是______平方米．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意可以列出相应的函数关系式，然后化为顶点式即可解答本题．
【详解】解：设与墙垂直的矩形的边长为xm，
则这个花园的面积是：S=x（16-2x）=-2x2+16x=-2（x-4）2+32，
∴当x=4时，S取得最大值，此时S=32，
即，与墙垂直的矩形的边长为4m时，矩形ABCD面积的最大值是32平方米．
故答案为：32．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式，利用二次函数的性质解答．
15. 如图，在矩形纸片中，，，将矩形纸片折叠，使点与点重合，则折痕的长为______ ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理、锐角三角函数的定义、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握翻折变换的性质和锐角三角函数的定义以及全等三角形的判定与性质是解题的关键．设折痕为，连接交于点，由勾股定理求出，再根据翻折变换的性质可得，，然后利用的正切列式求出的长，最后证≌，得出，即可得出答案．
【详解】解：如图，设折痕为，连接交于点，
四边形是矩形，
，，
，
在中，由勾股定理得：，
折叠后点与点重合，
，
，
解得：，
在和中，
，
≌，
，
故答案为：．
三、解答题
16. （1）解方程：；
（2）计算：．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，特殊角的三角函数值，化简绝对值．熟练掌握因式分解法解一元二次方程，特殊角的三角函数值是解题的关键．
（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）先求特殊角的三角函数值，绝对值，然后进行加减运算即可．
【详解】（1）解：，
，
∴或，
解得：，；
（2）解：
．
17. 一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的个黑球和个白球，搅匀后随机从中摸出第个球，放回搅匀，再随机摸出第个球请用画树状图或列表的方法进行说明，求两次摸球摸到全是白球的概率．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了列举法求概率，正确的画树状图是解题的关键．
根据题意画树状图，然后求概率即可．
【详解】解：由题意画树状图如下：

∴共有种等可能的结果，其中两次摸球摸到全是白球的结果有种，
两次摸球摸到全是白球的概率为．
18. 近年来，辽宁加快建设文化旅游强省，取得了显著成效某景区的门票价格为每人元，每天最多能接待名游客，在旅游旺季平均每天能售出张门票为了吸引更多的游客，提高景区知名度，景区决定适当降低门票价格经过调查发现，当票价每降低元时，在旅游旺季每天可以多卖出张票．
（1）当每张门票降低元时，每天能卖出______ 张门票；
（2）若景区想每天获得万元的门票收入，则每张门票应降低多少元？
【答案】（1）
（2）每张门票应降低元
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，列代数式：
（1）根据题意“当票价每降低元时，在旅游旺季每天可以多卖出张票”，列出代数式；
（2）根据题意列出一元二次方程，解方程，然后根据每天最多能接待名游客，取舍的值，即可求解．
【小问1详解】
解：每张门票降低元，则每天可售出门票：张；
故答案为：．
【小问2详解】
解：设每张门票应降低元，
由题意得：，
整理得：，
解得：或，
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意，舍去．
答：每张门票应降低元．
19. 如图，点A在反比例函数的图象上，轴于点，，．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）分别以点，A为圆心，大于一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点和点，作直线，交轴于点，求线段的长．
【答案】（1）
（2）的长为
【解析】
【分析】（1）由题意可得，则点A的坐标为，代入，求出的值即可．
（2）连接，过点A作于点，由作图痕迹可知，直线为线段垂直平分线，则可得，设线段的长为，则，，由勾股定理得，即，求出的值即可．
【小问1详解】
解：轴，
，
∵，，
∴，
，
点A的坐标为，
将代入，
得，
反比例函数的表达式为．
【小问2详解】
解：连接，过点A作于点，如图所示：
由作图痕迹可知，直线为线段的垂直平分线，
，
设线段的长为，则，
点A的坐标为，
，，
∴，
在中，由勾股定理得，，
即，
解得：，
线段的长为．
【点睛】本题考查作图——基本作图、反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求反比例函数解析式、线段垂直平分线的性质、解直角三角形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
20. 图1是某越野车的侧面示意图，折线段表示车后盖，已知，，，该车的高度．如图2，打开后备箱，车后盖落在处，与水平面的夹角．

（1）求打开后备箱后，车后盖最高点到地面的距离；
（2）若小琳爸爸的身高为，他从打开的车后盖处经过，有没有碰头的危险?请说明理由．
（结果精确到，参考数据：，，，）
【答案】（1）车后盖最高点到地面的距离为
（2）没有危险,详见解析
【解析】
【分析】（1）作，垂足为点，先求出的长，再求出的长即可；
（2）过作，垂足为点，先求得，再得到，再求得，从而得出到地面的距离为，最后比较即可．
【小问1详解】
如图，作，垂足为点

在中
∵，
∴
∴
∵平行线间的距离处处相等
∴
答：车后盖最高点到地面的距离为．
【小问2详解】
没有危险，理由如下：
过作，垂足为点

∵，
∴
∵
∴
在中，
∴．
∵平行线间的距离处处相等
∴到地面的距离为．
∵
∴没有危险．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是解题的关键．
21. 如图，一位足球运动员在一次训练中，从球门正前方8m的A处射门，已知球门高为2.44m，球射向球门的路线可以看作是抛物线的一部分．当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球的竖直高度为3m．现以O为原点，如图建立平面直角坐标系．
（1）求抛物线表示的二次函数解析式；
（2）通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）；
（3）若运动员射门路线的形状、最大高度均保持不变，则他应该带球向正后方移动 米射门，才能让足球经过点O正上方处．
【答案】（1）
（2）不能，理由见解析
（3）1
【解析】
【分析】（1）求出抛物线的顶点坐标，设出抛物线的顶点式，用待定系数法即可求出抛物线表示的二次函数解析式；
（2）当时，求出的值再与2.44比较，即可知球能不能射进球门；
（3）设小明带球向正后方移动米，则可用含的式子表示移动后的抛物线解析式，把点代入求出得的值，即知当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点正上方处．
【小问1详解】
，
抛物线的顶点坐标为，
设抛物线为，
把点代入得：，
解得，
抛物线的函数解析式为：；
【小问2详解】
当时，，
球不能射进球门．
【小问3详解】
设小明带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为：，
把点代入得：，
解得（舍去）或，
当时他应该带球向正后方移动1米射门，才能让足球经过点正上方处．
故答案为：1．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，把实际问题转化为数学问题解决．
22. 【问题初探】
（1） “综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图，在中，，是腰上的高，是边上不与和重合的一个动点，过点分别作和的垂线，垂足为，求证：；
如图，小丽同学从结论的角度出发，给出如下解题思路：过作于点，将线段，，之间的关系转化为线段，，之间的数量关系．
如图，小亮同学从，，均为三角形腰上的高出发，连接，用等面积方法得到结论．
请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程．
【类比分析】
（2）如图，在矩形中，，，是边上不与和重合的一个动点，过点分别作和的垂线，垂足为，求的值；
【学以致用】
（3）如图，在四边形中，，，，，是边上不与和重合的一个动点，过点分别作和的垂线，垂足为，求的值．
【答案】（1）；；（2）；（3）
【解析】
【分析】（1）过点作，证明，得出，则可得出结论；
设与的交点为，连接，根据可得出结论；
（2）由矩形的性质得出，，，，，再由勾股定理得，则，，然后由三角形面积即可得出结论；
（3）证出，由直角三角形的性质得出，，则可得出结论．
【详解】（1）证明：过点作，
，，，
，
四边形矩形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
；
，，，
，
，
，
．
（2）解：设与交点为，连接，

四边形是矩形，
，，，，，
，，
，，
，
解得：；
（3）解：，，，
，
，
，，
，
，，
．
【点睛】本题考查三角形的综合应用，考查了矩形的性质和判定，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，三角形面积等知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
23.
综合与实践
【思考尝试】
（1）数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形ABCD中，E是边上一点，于点F，，，．试猜想四边形的形状，并说明理由；
【实践探究】
（2）小睿受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，在正方形中，E是边上一点，于点F，于点H，交于点G，可以用等式表示线段，，的数量关系，请你思考并解答这个问题；
【拓展迁移】
（3）小博深入研究小睿提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形中，E是边上一点，于点H，点M在上，且，连接，，可以用等式表示线段，的数量关系，请你思考并解答这个问题．

【答案】（1）四边形是正方形，证明见解析；（2）；（3），证明见解析；
【解析】
【分析】（1）证明，可得，从而可得结论；
（2）证明四边形是矩形，可得，同理可得：，证明，，，证明四边形是正方形，可得，从而可得结论；
（3）如图，连接，证明，，，，可得，再证明，可得，证明，可得，从而可得答案．
【详解】解：（1）∵，，，
∴，，
∵矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴矩形是正方形．
（2）∵，，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
同理可得：，
∵正方形，
∴，
∴，
∴，，
∴四边形是正方形，
∴，
∴．
（3）如图，连接，
∵，正方形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，

∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是矩形的判定与性质，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，作出合适的辅助线，构建相似三角形是解本题的关键．