2023-2024学年辽宁省沈阳市于洪区九年级上学期数学期末试题及答案

这是一份2023-2024学年辽宁省沈阳市于洪区九年级上学期数学期末试题及答案，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 如图所示几何体的左视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查三视图．画出从左面看的到图形即可，注意存在看不到的用虚线表示．
【详解】解：左视图为：
故选D．
2. 如图，在中，，那么cs的值为（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先利用勾股定理求解，再利用余弦的定义直接求解即可．
【详解】

故选：C．
【点睛】本题考查的是勾股定理，锐角的余弦的定义，解决此类题时，要注意前提条件是在直角三角形中，此外还有熟记三角函数的定义.
3. 下列四幅图形中，表示两棵树在同一时刻阳光下的影子的图形可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查平行投影．根据同一时刻物高与影长成正比，进行判断即可．
【详解】解：∵太阳光为平行光，
∴表示两棵树在同一时刻阳光下的影子的图形可能是：

故选B．
4. 对于反比例函数，下列说法中错误的是（ ）
A. 图象分布在一、三象限
B. y随x的增大而减小
C. 图象与坐标轴无交点
D. 若点在它的图象上，则点也在它的图象上
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查反比例函数的图象和性质．根据反比例函数的图象和性质逐一进行判断即可．
【详解】解：∵，，
∴图象分布在一、三象限，在每一个象限内，随着增大而减小，
∵，
∴图象与坐标轴没有交点，
若点在它的图象上，则：，
∴点也在它的图象上；
综上，错误的选项B．
故选B．
5. 如图1，小明用四根相同长度的木条制作了一个正方形学具，测得对角线，将正方形学具变形为菱形（如图2），且，则图2中对角线BD的长为（ ）
A. 20cmB. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由正方形性质可求出．当四边形ABCD为菱形，且时，过点C作，由菱形的性质可知，，从而由含30°角的直角三角形的性质结合勾股定理可求出，进而可求出．
【详解】∵四边形ABCD为正方形时对角线，
∴．
当四边形ABCD为菱形，且时，过点C作，
由菱形的性质可知，，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选C．
【点睛】本题考查正方形的性质，菱形的性质，含30°角的直角三角形的性质和勾股定理．熟练掌握特殊平行四边形的性质是解题关键．
6. 如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定定理，熟悉掌握判定定理是解决本题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
A. 添加，可得到相似，不符合题意；
B. 添加，可得到相似，不符合题意；
C.添加 ，不能得到相似，符合题意；
D. 添加，可得到相似，不符合题意；
故选C．
7. 近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动、某款燃油汽车今年2月份售价为23万元，4月份售价为万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x，则所列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查列一元二次方程，由题意可得3月份的售价为万元，4月份售价为万元，由此列方程即可．
【详解】解：设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x，
由题意得：，
故选A．
8. 在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点成位似关系，则位似中心的坐标为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意确定直线的解析式为：，由位似图形的性质得出所在直线与BE所在直线x轴的交点坐标即为位似中心，即可求解．
【详解】解：由图得：，
设直线的解析式为：，将点代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为：，
所在直线与BE所在直线x轴的交点坐标即为位似中心，
∴当时，，
∴位似中心的坐标为，
故选：A．
【点睛】题目主要考查位似图形的性质，求一次函数的解析式，理解题意，掌握位似图形的特点是解题关键．
9. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度与运动时间之间的函数关系如图所示，下列结论正确的是（ ）
A. 小球在空中经过的路程是45mB. 小球抛出3秒时，达到最大高度
C. 小球抛出3秒时速度最快D. 小球的高度时，
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查二次函数的实际应用．根据函数的图象中的信息判断即可．
【详解】解：A、小球能达到的最高高度是45m，故选项错误；
B、小球抛出3秒时，达到最大高度，故选项正确；
C、小球抛出3秒时速度为0，故选项错误；
D、由图象，设函数表达式为：，图象经过原点，
∴，
解得：，
∴，
当时，或；故选项错误；
故选B．
10. 如图，矩形中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧交于点P，作射线，过点C作的垂线分别交于点M，N，则的长为（ ）

A. B. C. D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】由作图可知平分，设与交于点O，与交于点R，作于点Q，根据角平分线的性质可知，进而证明，推出，设，则，解求出．利用三角形面积法求出，再证，根据相似三角形对应边成比例即可求出．
【详解】解：如图，设与交于点O，与交于点R，作于点Q，

矩形中，，
，
．
由作图过程可知，平分，
四边形是矩形，
，
又，
，
在和中，
，
，
，
，
设，则，
在中，由勾股定理得，
即，
解得，
．
．
，
．
，，
，
，即，
解得．
故选A．
【点睛】本题考查角平分线的作图方法，矩形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等，涉及知识点较多，有一定难度，解题的关键是根据作图过程判断出平分，通过勾股定理解直角三角形求出．
第二部分 非选择题（共90分）
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数m的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式建立关于m的等式，即可求解．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根是解题的关键．
12. 《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度如图，点，，在同一水平线上，和均为直角，与相交于点．测得，则树高______m．

【答案】
【解析】
【分析】根据题意可得，然后相似三角形的性质，即可求解．
【详解】解：∵和均为直角
∴，
∴，
∴
∵，
∴,
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
13. 如图，点A在反比例函数的图象上，点B在x轴负半轴上，直线交y轴于点C，若，的面积为6，则k的值为___________．
【答案】8
【解析】
【分析】本题考查反比例函数系数的几何意义，平行线分线段成比例，解题的关键是掌握反比例函数系数的几何意义，求出的面积．根据三角形的面积公式可得，进而求出答案．
【详解】解：如图，过点作轴，垂足为，

∵，，
∴，
∴，
而，
∴，
故答案为：．
14. 某服装店购进一批单价为50元的衬衫，如果按90元销售，那么每天可销售20件．经调查发现，这种衬衫的销售价每降低1元，其销售量相应增加2件．当降价___________元时，该服装店的销售利润最大．
【答案】15
【解析】
【分析】本题考查二次函数的实际应用，设降价元，总利润为元，利用总利润等于单件利润乘以销量，列出二次函数，利用二次函数的性质求最值即可．
【详解】解：设降价元，总利润为元，由题意，得：
，
整理，得：，
∴当时，的值最大；
故答案为：15．
15. 如图，在中，，，为锐角且．P是边上的一动点，绕点P按逆时针方向旋转90°交延长线于点D，则的长_________．
【答案】
【解析】
【分析】过点作，过点作，根据三角函数值求出，勾股定理求出证明，得到，证明，求出的数量关系，利用，求出的长，进而求出的长即可．
【详解】解：过点作，过点作，则：
∵，，
∴，
∴，，
∵旋转，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴设，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查解直角三角形，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质．解题的关键是添加辅助线，构造全等和相似三角形．
三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
16. （1）计算：；
（2）解方程：．
【答案】（1）；（2），
【解析】
【分析】（1）先计算零指数幂，负整数指数幂，化简二次根式和计算特殊角三角函数值，再根据实数的混合计算法则求解即可；
（2）利用公式法解方程即可．
【详解】解：（1）原式
；
（2）∵，
∴，，，
∴，
∴
解得，．
【点睛】本题主要考查了求特殊角三角函数值，实数的混合计算，化简二次根式，解一元二次方程，零指数幂和负整数指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键．
17. 某超市为回馈广大消费者，在开业周年之际举行摸球抽奖活动．摸球规则如下：在一只不透明的口袋中装有1个白球和2个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后先从中任意摸出1个球（不放回），再从余下的2个球中任意摸出1个球．
（1）用树状图列出所有等可能出现的结果；
（2）活动设置了一等奖和二等奖两个奖次，一等奖的获奖率低于二等奖．现规定摸出颜色不同的两球和摸出颜色相同的两球分别对应不同奖次，请写出它们分别对应的奖次，并说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）首先根据题意画出树状图，由树状图即可求得所有等可能的结果；
（2）根据树状图找出颜色不同的两球和摸出颜色相同的两球的情况，即可得解．
【小问1详解】
解：画树状图如下：
由树状图知共有6种情况；
【小问2详解】
解：由（1）知抽到颜色相同的两球共有2种情况，
抽到颜色不同的两球共有4种情况，
所以抽到颜色相同的两球对应一等奖，抽到颜色不同的两球对应二等奖．
【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
18. 如图，在中，过A点作，交的平分线于点D，点E在上，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）当，时，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，菱形的判定的性质．
（1）根据，，得到四边形是平行四边形，根据平行加角平分线，得到，即可得证；
（2）证明，列出比例式，进行求解即可．
解题的关键是掌握菱形的判定方法，证明三角形相似．
小问1详解】
证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
【小问2详解】
解：∵四边形是菱形，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
19. 实验数据显示，一般成年人喝50毫升某品牌白酒后，血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）变化的图象如图所示（图象由线段与部分双曲线组成）．国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．

（1）求部分双曲线的函数表达式；
（2）假设某驾驶员晚上在家喝完50毫升该品牌白酒，第二天早上能否驾车去上班？请说明理由．
【答案】（1）
（2）第二天早上不能驾车去上班
【解析】
【分析】本题考查反比例函数的实际应用．
（1）待定系数法求函数解析式即可；
（2）求出时对应的时间，结合规定可进行判断．
读懂题意，正确的识图，是解题的关键．
【小问1详解】
解：根据题意得，直线OA过，即小时时酒精含量为20毫克/百毫升，
则1小时时酒精含量为80毫克/百毫升，
则直线OA的表达式为，
当时，，即，
设函数表达式为，将点代入得：，
∴；
【小问2详解】
由得，当时，，
从晚上到第二天早上时间间距为小时，
∵，
∴第二天早上不能驾车去上班．
20. 图1是某越野车的侧面示意图，折线段表示车后盖，已知，，，该车的高度．如图2，打开后备箱，车后盖落在处，与水平面的夹角．（结果精确到，参考数据：，，，）

（1）求打开后备箱后，车后盖最高点到地面l的距离；
（2）若小琳爸爸的身高为，他从打开的车后盖处经过，有没有碰头的危险？请说明理由．
【答案】（1）车后盖最高点到地面的距离为
（2）没有危险
【解析】
【分析】（1）作，垂足为点，先求出的长，再求出的长即可；
（2）过作，垂足为点，先求得，再得到，再求得，从而得出到地面的距离为，最后比较即可．
【小问1详解】
如图，作，垂足为点，

在中，
，，
，
，
平行线间的距离处处相等，
，
答：车后盖最高点到地面的距离为．
【小问2详解】
没有危险，理由如下：
如图，过作，垂足为点，

，，
，
，
，
在中，，
．
平行线间的距离处处相等，
到地面的距离为．
，
没有危险．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是解题的关键．
21. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点P是直线上方的抛物线上一点（点P不与点B，C重合），过点P作轴交直线于点D，求线段长的最大值．
【答案】（1）
（2）当时，有最大值为4
【解析】
【分析】本题考查二次函数的综合应用．
（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）将的长转化为二次函数求最值即可．
正确的求出函数解析式，掌握二次函数的性质，是解题的关键．
【小问1详解】
解：∵抛物线过，，
∴，解得：，
∴；
【小问2详解】
∵，当时，，
解得：，
∴，
设直线的解析式为：，把，代入得：，
∴直线BC的表达式为；
设点P的坐标为，则点D的坐标为，
则．
∵，
∴当时，有最大值为4．
22. 【问题背景】
综合与实践课上，数学王老师分发给每位同学若干张相同的长方形纸片．王老师取出三张纸片演示操作，依次将纸片沿事先画出的竖直和水平方向的实线裁剪成若干个完全相同的小长方形．
【分析问题】
（1）请补全上面表格，并在图1所示的平面直角坐标系中描出表中各对数值所对应的点，再用平滑曲线连接．根据绘制的图象猜想，裁剪得到的小长方形个数m与纸片序号n序号可能存在__________函数关系（填类型）．
【猜想验证】
为了验证这一猜想，爱研究的同学从“形”的角度出发，发现裁剪得到的小长方形个数可以用“行数×列数”的方法得到．
（2）请直接写出裁剪得到的小长方形个数m与纸片序号n之间的函数关系式为__________．
【解决问题】
某农科研究所有一块矩形的耕地（如图2），，，现需要将其分成若干小长方形耕地，进行不同种子的育种实验．按照【问题背景】中的分割方式，爱思考的同学提出以下2个问题．
（3）若将此耕地分成56个完全相同的小长方形耕地，求竖直方向分割用的实线数量；
（4）为了方便科研人员观察并收集实验数据，将竖直和水平方向的实线换成1米宽的小路，若小路的面积之和占此耕地面积的36%，求小长方形耕地的总数量．
【答案】（1）见解析，二次（2）（3）7条（4）72
【解析】
【分析】（1）补全表格，描点，连线，画出图象，根据图象形状，确定函数类型即可；
（2）利用行数×列数，得到，求解即可；
（3）设竖直方向分割用的实线数量x条，利用（2）中结论，列出方程，求解即可；
（4）设竖直方向小路有y条，根据小路的面积之和占此耕地面积的36%，列出方程求出的值，再利用（2）的结论求出小长方形耕地的总数量即可．
【详解】解：（1）∵当时：，
当时：，
当时：，
∴当时：，
当时：，
补全表格如下：
描点，连线如图：
由图象可知，可能是二次函数；
故答案为：二次；
（2）∵当时：，
当时：，
当时：，
∴小长方形个数m与纸片序号n之间的函数关系式为：；
故答案为：；
（3）设竖直方向分割用的实线数量x条，由题意，得：，
解得：（舍掉）；
故竖直方向分割用的实线数量为7条；
（4）设竖直方向小路有y条，由题意，得：，
解得：（不合题意，舍去）；
∴竖直方向小路有68条，
∴小长方形耕地的总数量为．
【点睛】本题考查描点法画函数图象，列函数表达式，一元二次方程的实际应用．解题的关键是得到函数关系式：．
23. 【问题提出】
如图1，在正方形中，点E，F分别在边上，且，连接．探究线段之间的数量关系．
【方法感悟】
（1）小明组同学利用构造全等三角形的方法探究三条线段的关系：如图2，延长到点G，使，连接，先证明，再证明，从而得到正确结论．小明组同学的结论是___________；
小亮组同学对小明组构造全等三角形的环节提出了不同的看法，借助旋转三角形的方式探究问题：将绕点A顺时针旋转90°得到，再证明，从而得到与小明组相同的结论．
【方法迁移】
（2）如图3，在中，，沿边翻折得到，点B的对应点为点D，点E，F分别在边上，且．试猜想线段之间的数量关系，并证明你的猜想．
【问题拓展】
（3）如图4，在四边形ABCD中，，点E，F分别在边上，且，试猜想当与满足什么关系时，可使得．请直接写出你猜想．
（4）如图5，在四边形中，，，与为对角线，．若，，求的长．
【答案】（1）；（2），证明见解析；（3）；（4）
【解析】
【分析】（1）证明，得到，证明，得到，即可；
（2）延长到点G，使，同法（1），即可得出结论；
（3）当当，可得到，证明方法同法（2）；
（4）将绕点C逆时针旋转的度数，得到，连接，证明，得到，过点作于点，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理，求出的长，进一步求出的长即可．
【详解】（1）延长到点G，使，
∵正方形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：；
（2），
延长到点G，使，
∵翻折，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）当，可得到；
延长到点G，使，
∵
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（4）将绕点C逆时针旋转的度数，得到，连接．
则：，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∵在四边形中，，
∴，
∴，
∴，
过点作于点，则：，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查半角模型，全等三角形的判定和性质，图形变换，相似三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理．综合性强，难度大，属于压轴题，解题的关键是添加辅助线，构造全等和相似三角形．纸片序号
1
2
3
4
5
裁剪得到的小长方形个数
2
6
12
纸片序号
1
2
3
4
5
裁剪得到小长方形个数
2
6
12
20
30