2023-2024学年辽宁省沈阳市沈河区九年级上学期数学期末试题及答案

这是一份2023-2024学年辽宁省沈阳市沈河区九年级上学期数学期末试题及答案，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 如图所示的几何体，其左视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图，掌握主视图、左视图、俯视图分别是从物体的正面、左面、上面看得到的图形成为解题的关键．
根据左视图即从左边观察得到的图形即可解答．
【详解】解：从左边看，可得如图所示几何体的左视图是：
．
故选：D．
2. 已知（，），下列变形正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查比例的变形，根据比例外项之积等于内项之积计算各选项，判断与已知条件是否相符即可．
【详解】解：A，由可得，与已知不符，故变形不正确，不合题意；
B，由可得，与已知不符，故变形不正确，不合题意；
C，由可得，与已知不符，故变形不正确，不合题意；
D，由可得，与已知相符，故变形正确，符合题意；
故选D．
3. 在一个不透明的口袋中装有3个红球，5个白球和若干个黑球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.25附近，则口袋中黑球的个数可能是（ ）
A. 4B. 12C. 15D. 17
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，根据大量反复试验下频率稳定值即概率得出是解题关键．由摸到白球的频率稳定在25%附近得出口袋中得到白色球的概率，进而求出黑球个数即可．
【详解】解：设黑球个数为x个，
∵摸到白色球的频率稳定在0.25附近，
∴口袋中得到白色球的概率为0.25，
∴，
解得：，
经检验：是方程的解，
故黑球的个数为12个．
故选：B．
4. 下列说法正确的是（ ）
A. 等边三角形都是相似三角形B. 矩形都是相似图形
C. 各边对应成比例的多边形是相似多边形D. 边长相等的菱形都相似
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了相似图形的判定，掌握相似多边形的各边对应成比例、各角对应相等是解题的关键．
根据各边对应成比例、各角对应相等的多边形是相似多边形逐项判断即可解答．
【详解】解：A、等边三角形的三边对应成比例，等边三角形都是相似三角形，故符合题意；
B、矩形的长和宽不一定对应成比例，矩形不一定都相似，故不符合题意；
C、多边形各边对应成比例，但多边形的各角不一定对应相等，各边对应成比例的多边形不一定是相似多边形，故不符合题意；
D、菱形的各角不一定对应相等，边长相等的菱形不一定都相似，故不符合题意．
故选：．
5. 如图是大树的影子随太阳转动的情况（上午8时至下午5时之间），按时间先后顺序排列是（ ）

A. ②④①③⑤B. ①②③④⑤C. ⑤④①③②D. ⑤③①④②
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查平行投影的特点和规律．北半球而言，从早晨到傍晚影子的指向是：西、西北、北、东北、东，影长由长变短，再变长．由此排序即可．
【详解】解：太阳是从东方升起，故影子指向的方向为西方，然后依次为西、西北、北、东北、东；期间，影长由长变短，再变长．
观察所给图形可得：按时间先后顺序分别是：②④①③⑤．
故选A．
6. 若一元二次方程有实数解，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. 且D. 且
【答案】D
【解析】
【分析】由于关于的一元二次方程有实数根，根据一元二次方程根与系数的关系可知，且，据此列不等式求解即可．
【详解】解：由题意得，，且，
解得，，且.
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．
7. 如图，冬奥会吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚，健康，可爱，活泼，它泛着可爱笑容的嘴巴位于黄金分割点处，若玩偶身高，则玩偶嘴巴到脚的距离是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
根据黄金分割的定义进行列式计算即可解答．
【详解】解：由题意得玩偶嘴巴到脚的距离为：
故选：A．
8. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流与电阻是反比例函数关系，它的图像如图所示，下列说法正确的是（ ）
A. 函数表达式为B. 蓄电池的电压是
C. 当时，D. 当时，
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了反比例函数的实际应用，根据图象求出解析式，然后根据性质即可求解，熟练掌握反比例函数的图象及性质是解题的关键．
【详解】、设函数表达式为，
∵图象经过点，
∴，
则，
∴函数表达式为，此选项说法错误，不符合题意；
、∵，
∴蓄电池的电压是，此选项说法错误，不符合题意；
、由得，当时，，
根据图象可知，当时，，此选项说法正确，符合题意；
、由得，当时，，此选项说法错误，不符合题意；
故选：．
9. 如图是学生用具三角尺，，，其中，长为， 长为，则这个三角尺中与的面积比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了含的直角三角形，相似三角形的性质．熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
由含的直角三角形可得，根据，计算求解即可．
【详解】解：∵，，长为，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
10. 抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表，下列结论正确的是（ ）
A. 抛物线的开口向上B. 抛物线与x轴的一个交点坐标为
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质等知识点，求出该函数的解析式是解答本题的关键．
先利用待定系数法求出抛物线解析式为，再根据二次函数的性质，由可对A选项进行判断；解方程得抛物线与x轴的交点坐标，则可对B选项进行判断；分别令和，进而可以判断C；由解析式，即可判断a与b的关系，即可判定D．
【详解】解：把分别代入得
，解得：，
∴抛物线解析式为．
∵，
∴抛物线开口向下，所以A选项错误，不符合题意．
当时，，解得，
∴抛物线与x轴的交点坐标为，所以B错误，不符合题意．
又∵，
∴抛物线的对称轴为，
∴与关于对称，即与函数值相同，
∵当时，，
∴当时，，
∴，故C正确，符合题意．
∵，
∴．
∴D选项错误，不符合题意．
故选：C．
二、填空题：（本题共5小题，每题3分，共15分）
11. 如图，将视力表中的两个“E”放在平面直角坐标系的第二象限内，两个“E”字是位似图形，位似中心点O，①号“E”与②号“E”的相似比为，点P与Q为一组对应点，若点Q坐标为，则点P的坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或成为解题的关键
根据位似变换的性质解答即可．
【详解】解：∵两个“E”字是位似图形，位似中心点O，①号“E”与②号“E”的相似比为2：1，点Q坐标为，
∴点P的坐标为，即．
故答案为：．
12. 关于x的一元二次方程的两个根是，若，则m的值是______．
【答案】4
【解析】
【分析】本题主要考查根与系数的关系，掌握一元二次方程的根与系数的关系为：是解题的关键．
直接运用一元二次方程根与系数的关系即可解答．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程的两个根是，若，
∴，即．
故答案为4．
13. 如图，在由小正方形组成的网格中，小正方形的边长均为1，点A，B都在小正方形的顶点处，点C在线段上且落在小正方形的竖直边上，则线段的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理、平行线的判定、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握勾股定理和相似三角形的判定与性质是解题的关键．
由题意可得，则，再由勾股定理求出的长，然后证，得即可解答．
【详解】解：由题意得：，
∴，，
在中，由勾股定理得：，
∵，
∴，
∴，即，即．
故答案为：．
14. 如图，在平面直角坐标系中，点光源位于处，木杆两端的坐标分别为，．则木杆在x轴上的影长为______．
【答案】12
【解析】
【分析】利用中心投影，过P作轴于E，交于M，证明，然后利用相似比可求出结果．
【详解】解：过P作轴于E，交于M，如图，
∵，A，B．
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：12；
【点睛】本题考查了中心投影及相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．
15. 如图，在矩形中，，，点E是矩形边上的一个动点，连接，将沿着所在直线折叠，点A落在点F处（点F在直线的下方），连接，当是以为腰的等腰三角形时，的值为______．
【答案】4或
【解析】
【分析】当，且点E在边上，作于点H，交的延长线于点G，连接交于点L，由矩形的性质得，则，可证明四边形是矩形，则，由折叠得垂直平分，，则
，所以，而，所以；当，且点E在边上，作于点H，于点G，连接交于点I，则，所以，则，因为，所以，而，则，所；由，可知不存在的情况，从而完成解答．
【详解】解：如图1：当，且点E在边上，作于点H，交的延长线于点G，连接交于点L，
∵四边形是矩形，，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
由折叠得垂直平分，，
∴，
∴，
∵，
∴；
如图2，DF=CF，点E在边上，作于点H，于点G，连接交于点I，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴不存在的情况，
综上所述，的值为4或．
故答案为：4或．
【点睛】本题主要考查矩形的判定与性质、轴对称的性质、勾股定理、锐角三角函数、解直角三角形等知识点，掌握数形结合与分类讨论数学思想是解题的关键．
三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
16 计算
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程、特殊角的三角函数值的混合运算等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键．
（1）先移项、再运用配方法解答即可；
（2）先用特殊角的三角函数值化简，然后再运用二次 根式的混合运算法则计算即可．
【小问1详解】
解：，
所以．
【小问2详解】
解：
．
17. 近期沈阳鸡架被推上热搜，成为了沈阳城的“特色食品”，为了迎接“新年购物节”，方便外地游客品尝沈阳鸡架，政府临时创建了鸡架美食广场，里面有最有名的老迟家（A）、玖福记（B）、老四季（C）三家鸡架，小明和小颖每人想随机选一个品尝（选择每种鸡架的机会是相同的），请用树状图或列表法求至少有一人选到老四季（C）鸡架的概率．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了画树状图法求概率，熟练掌握树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
画树状图得出所有等可能的结果数以及至少有一人选到老四季（C）鸡架的结果数，再利用概率公式求解即可．
详解】解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中至少有一人选到老四季（C）鸡架的结果有：，共有5种，
∴至少有一人选到老四季（C）鸡架的概率为．
18. 如图，在中，，于点D，于点E，，连接， ，过点E作，交延长线于点G．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）当，时，求四边形的周长．
【答案】（1）见解析 （2）26
【解析】
【分析】（1）先根据等腰三角形的性质证明是的中点，根据中位线的性质证明，根据平行四边形的判定证明四边形是平行四边形，根据直角三角形性质得出，，证明，即可证明结论；
（2）在中根据，得出，求出,根据勾股定理求出，根据直角三角形性质得出，即可求出结果．
【小问1详解】
证明：∵，，
∴，
∴是的中点，
∵，
∴F是的中点，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，，
∴、为直角三角形，
∵F是的中点，
∴，，
∴，
∴四边形是菱形；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∵在中，
∴，
∴,
根据勾股定理得：，
∴，
∴菱形的周长为．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，菱形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法．
19. 无人机在实际生活中的应用越来越广泛．如图所示，某人利用无人机测量教学楼的高度，无人机在空中点P处，测得点P距地面上A点30米，点A处的俯角为，距楼顶C点10米，点C处的俯角为，其中点A，B，C，P在同一平面内，若每层教学楼的高度为3.5米，楼顶加盖2米，求该教学楼的层数．（结果保留整数，参考数据：，，）

【答案】5
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
如图：过点P作于点D，过点C作于点E，在和中，分别利用锐角三角函数求出的长，即可得的长，则可得的长，再根据题意列方程即可解答．
【详解】解：如图：过点P作于点D，过点C作于点E，

则，米，米，，
在中，，可得米，
在中，，可得米，
∴（米），
∴米，
设该教学楼的层数为m层，
由题意得，，解得：，
∴该教学楼的层数为5层．
20. 近年来越来越多商家向互联网转型发展，“直播带货”已经成为商家销售产品的重要途径．某商家在直播间销售一种进价为10元/件的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足，设销售这种商品每天的利润为W（元）．
（1）该商家每天想获得750元的利润，应将销售单价定为多少元？
（2）求每天的利润W的最大值．
【答案】20. 该商家每天想获得750元的利润，应将销售单价定为15元或25元
21. 每天的利润W的最大值为1000元
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用：
（1）根据利润（售价进价）销售量列出方程求解即可；
（2）根据利润（售价进价）销售量列出W关于x的二次函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可．
问题随之得解．
【小问1详解】
解：根据题意，有：，
整理得：，
解得：或，
答：该商家每天想获得750元的利润，应将销售单价定为15元或25元；
【小问2详解】
解：由题意得：
，
当时，函数值最大，最大为．
答：每天的利润W的最大值为1000元．
21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和．
（1）求反比例函数的关系式；
（2）点P在y轴上，Q在双曲线上，若以A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求此时点Q的坐标．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）先把点代入中求出a值得到，然后把A点坐标代入中求出k，即可得到反比例函数的表达式；
（2）分两种情况：当为平行四边形的边时，，，过点A作轴，过点B作轴，过Q作轴于点D，证明，求出Q的横坐标，即得；当为平行四边形的对角线时， 与互相平分，连接交于点E，点E是、的中点，根据中点坐标公式求出Q的横坐标，即得．
本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，平行四边形．熟练掌握待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象和性质，一次函数图象和性质，平行四边形性质，分类讨论，是解决问题的关键．
【小问1详解】
∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，
∴
∴，
把代入得，
，，
∴；
【小问2详解】
∵一次函数的图象过与反比例函数的图象交于点，
∴，
∴，
设，
当为平行四边形的边时，如图1，，，
过点A作轴，过点B作轴，过Q作轴于点D，
则，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴时，，
∴；
当为平行四边形的对角线时，连接交于点E，如图2，与互相平分，
点E是、的中点，
∴，
∴，
∴，
∴．
故或．
22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，点P是第一象限内抛物线上一动点，点Q是抛物线对称轴上的一动点，点D是的中点，设点P的横坐标为m，点Q的纵坐标为n．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接，过点B作，交y轴于点E，连接，当的面积为10时，求点P的坐标；
（3）当是锐角三角形时，直接写出n的取值范围．
【答案】（1）
（2）或（；
（3）当是锐角三角形时，或．
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数综合、三角形相似、锐角三角形的定义等知识点，掌握分类求解是本题解题的关键．
（1）直接运用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）由的面积为，据此列方程求解即可；
（3）当为直角时，先证，求出，故当是锐角三角形时，；同理可解：当或为直角时的两种情况．
【小问1详解】
解：设抛物线的表达式为：，
则，即，则，
∴抛物线的表达式为：．
【小问2详解】
解：由题意得，点，点，
由点P、D的坐标得，直线的表达式为：，
∵，
∴直线的表达式为：，即点，
由点D、E的坐标得，
则的面积为：，解得：或，
∴点P的坐标为：或．
【小问3详解】
解：由抛物线的表达式知，其对称轴为直线，则点，
下图：当为直角时，
过点Q作轴交过点B和y轴的平行线于点N，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，解得：，
故当是锐角三角形时，；
如图：当为直角时，
同理可得，，
故当是锐角三角形时，；
如图：当为直角时，
同理可得，，
故当是锐角三角形时，；
综上，当是锐角三角形时，或．
23. 【问题初探】
数学课上张老师在讲完正方形的性质之后提出了一个问题：
四边形是边长为3的正方形，点E是边上的一动点，连接，以为一边作正方形（点C，E，F，G按顺时针方向排列），连接，．
（1）如图1，求点G到的距离，请写出解答过程；
【类比分析】
爱动脑的数学兴趣小组在研讨的过程中，也提出了一个问题：
（2）如图2，当经过点D时，求的长，请写出解答过程；
【学以致用】
看到同学们兴致勃勃的样子，张老师说：“角相等可以是三角形全等的条件，也能推导出相似”，于是给同学们留了一道思考题：
（3）求代数式的最小值．经过小组研讨，组长小明进行了整理，给出了部分解题思路；
解题思路：如图3，作等腰直角，使，连接，，，则点C，D，三点共线，
由，，可得，
由，，可得，
……
请完成“……”部分的解答过程．
【答案】（1）3 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）如图1，作于H，可证得，从而；
（2）作，交的延长线于点X，作于H，可证得，从而，可得出，从而，进而，进而得出，进一步即可解答；
（3）由题意可得从而，点F在过且与夹角为 的直线上运动，从而得出，延长至V，使，连接，则的最小值为的长，作，交的延长线于点Z，得等腰直角三角形，可求得，进而完成解答．
【小问1详解】
解：如图1：作于H，
∴，
∵四边形和四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【小问2详解】
解：如图2：作，交延长线于点X，作于H，
同理（1）可知：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【小问3详解】
解：如图3，
∴，
∴，点F在过且与夹角为 的直线上运动，
∴，
延长至V，使，连接，则的最小值为的长，作，交的延长线于点Z，可得等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为：．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、轴对称的性质等知识，利用相似三角形的性质转化线段是解决问题的关键．x
0
1
y
0
4
6
6