2022-2023学年四川省成都市新都区八年级下学期期末数学试题及答案

这是一份2022-2023学年四川省成都市新都区八年级下学期期末数学试题及答案，共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

若? > ?，则下列不等式成立的是()
A.? +5 < ? +5B.4? ― 2 < 4? ― 2C.― 3? >― 3?D.?>?
22
吉祥图案是指以象征，谐音等的手法，组成具有一定吉祥寓意的装饰纹样，常常以花纹，谐音，文字加以说明.以下吉祥图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是()
A.B.
C.D.
下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是()
3?(?―2?)=3?2―6??
?2―9+?2=(?―3)(?+3)+?2
??2+??+?=?(??+?) +?
?2―2??+?2=(?―?)2
如图，表示了某个不等式的解集，该解集中所含的整数解有
()
A.4个B.5个C.6个D.7个
如图，在??△???中，∠?=90°，∠?=30°，??垂直平分??，?为垂足，若?? = 6，则??的长度为()
A.1
B.2
C.3
D.4
已知关于?的方程?= 1的解是? = 1，则?的值为()
2?―?3
A.2B.1C.― 1D.― 2
如图，在四边形????中，对角线??与??相交于点?，下列条件中不能判定四边形????是平行四边形的是()
??=??，??= ??B.??//??，??//??
C.??//??，??= ??D.?? = ??，??//??
如图，一次函数? = ?? + ?(? ≠ 0)的图象经过点?( ― 2, ― 3)和点?( ― 4,0)，正比例函数? = ??(? ≠ 0)的图象过点?，则不等式(?
― ?)? + ? ≥ 0的解集为()
? <― 2
? ≤ ― 2
? ≥ ― 2
― 4 ≤ ? <― 2
二、填空题（本题共 10 小题，共 40 分）
分解因式：?2 ― 16? =．
当分式2?―6有意义时，则?的取值范围是．
3?―2
如图，在△???中，?，?，?分别是??，??，??的中点.若?? = 4，?? = 6，则四边形????的周长是．
一个多边形所有的内角与它所有的外角之和是900°，过这个多边形的一个顶点可画出
条对角线．
如图，在 △ ???中，∠? = 36°，∠??? = 74°，分别以点?，?
为圆心，以大于1??长为半径作弧，两弧相交于?，?两点，作直线
2
??交??于点?，并与∠???的平分线交于点?，连接??，??与??
相交于点?，则∠??? =度.
若?+ ?= 5，则?2― ?2+10?=．
如图，在 △ ???中，?? = ??，??平分∠???，交??于点?，若
??=??，则∠?=度．
{
2?― ?<1
若关于?的不等式组 2?<3? ― 2的整数解只有2，3，4，且?，?均为整数，则? + ?的
最大值为．
定义?(?,?) = ?? ― ??，如：?(3,2) = 3? ― 2?.若?(2,3) = 1，?(3,1) = 5，且关于?的方
?―13―12
程?(?,?)+ ?(?+ 1,2?)= 2无解，则实数?的值为．
在▱????中，?? = 6，?? = 8，∠??? = 120°，?为▱????外的一点，且?? = 8.若点?
到▱????边的最短距离记为?，当▱????绕点?旋转时，?的取值范围是．
三、解答题（本题共 8 小题，共 78 分）
计算：
解不等式组：{
6?+4>?―2①
3；
5?― 3≥ 4(?― 1)②
先化简，再求值：(?2― 1― ? ― 1) ÷ (? + 1)2，其中? =
2
― 1．
?―3?―3
如图，在平面直角坐标系中， △ ???的顶点均在格点(网格线的交点)上，点?的坐标为(4,
― 1)．
画出 △ ???向上平移6个单位长度后得到的 △ ?1?1?1；
画出将 △ ?1?1?1绕点原点?逆时针旋转90°得到△ ?2?2?2，并写出点?2的坐标．
2023年3月17日，是新都区抗日民族英雄王铭章将军壮烈牺牲85周年纪念日.为了弘扬铭章精神，缅怀抗战英烈，某学校组织八年级学生代表乘大巴车赴距离学校11千米的王铭章墓园开展祭扫活动.大巴车实际行驶速度比原计划提高了10%，结果提前了2分钟到达，求大巴车原计划车速为多少千米/小时．
如图，已知?? = ??，∠???的平分线和∠???的平分线相交于点?，连接??并延长交??
于点?，且?恰好为??的中点．
(1)求证： △ ???≌ △ ???；
(2)求证：?? = ??．
已知， △ ???与 △ ???均为等腰直角三角形，且∠??? = ∠??? = 90°，??>??，其中，
△ ???绕着?点逆时针进行旋转，连接??，??．
若 △ ???旋转至图1位置时，求证：∠??? = ∠???；
若△???旋转至图2位置时，发现?，?，?三点恰好共线，证明：??=??+2??；
若 △ ???旋转至图3位置时，线段??恰好垂直于??，此时??的延长线与??交于点?，点?
恰好为??中点，若?? = 22，求线段??的长．
新繁棕编是成都市新都区新繁镇的传统手工艺品之一，起源于清代嘉庆末年，早在200多年前就已走出国门，远销东南亚.2011年新繁棕编被列入第三批国家级非物质文化遗产名录.某代表团到成都进行业务考察，期间发现新繁棕编这一手工艺品新奇有趣，大为赞叹.于是甲乙两人均购买了部分产品打算回家赠送亲友，已知甲买了3个?类产品和4个?类产品，共花了 215元，乙买了5个?类产品，2个?类产品，共花了195元．
求?类产品和?类产品的单价分别是多少元？
该代表团考虑到端午节临近，决定投入不超过1550元给单位的每一位员工都买一个棕编作
为端午节的慰问礼物之一，但要求购买的?类产品数量不超过?类产品的4.已知该单位有50名
5
员工，请问该代表团共有几种购买方案？哪种方案费用最低？
已知直线?1? = ?? +2经过点?，将直线?1向右平移4个单位后，得到的直线?2与?轴相交于点?，且经过点?(2,3)，点?为?轴正半轴上的一个动点．
请求出直线?1与?2的函数表达式；
当四边形????的周长最小时，求四边形????的面积；
在直线?2上是否存在一点?，使得以?，?，?，?为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点?的坐标；若不存在，请说明理由．
在?? △ ???中，∠??? = 90°，∠? = 60°，?? = 4，点?为??边上的一个动点，以??为边作等边△ ???，??与??相交于点?，连接??，将等边△ ???绕点?旋转．
如图1，当点?在??上，四边形????是平行四边形时，求线段??的长；
如图2，当点?恰好落在??上时，此时点?与点?重合，连接??，若?，?，?共线，求线段??的长；
如图3，在等边 △ ???在旋转的过程中，??所在的直线与??相交于点?，当∠??? = 150°
时，若??=2，??= 23，求线段??的长．
答案和解析
【答案】?
【解析】解：?、 ∵ ? > ?， ∴ ? +5 > ? +5，原变形错误，不符合题意； B、 ∵ ?>?， ∴ 4?>4?， ∴ 4? ― 2>4? ― 2，原变形错误，不符合题意； C、 ∵ ? > ?， ∴ ― 3?< ― 3?，原变形错误，不符合题意；
D、∵ ? > ?，??，正确，符合题意．
∴2>2
故选：?．
根据不等式的基本性质对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的是不等式的性质，熟知不等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变是解题的关键．
【答案】?
【解析】解：?选项中的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形形，符合题意；
?选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
?选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
?选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．故选：?．
根据轴对称图形和中心对称图形的概念得出结论即可．
本题主要考查中心对称和轴对称的知识，熟练掌握中心对称图形和轴对称图形的概念是解题的关键．
【答案】?
【解析】解： ∵ 把一个多项式改写成几个整式乘积的形式叫因式分解，
∴ 选项 A，?，?不符合题意，选项 D 符合题意，
故选：?．
运用因式分解的定义进行辨别、求解．
此题考查了因式分解定义的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
【答案】?
【解析】解：由题意得：
不等式的解集为： ― 2 < ? ≤ 4，
∴ 该不等式的整数解为― 1，0，1，2，3，4，
∴ 该解集中所含的整数解有6个，故选：?．
根据题意可得：不等式的解集为： ― 2本题考查了在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握在数轴上表示不等式的解集是解题的关键．
【答案】?
【解析】解： ∵ ??垂直平分??，
∴ ??= ??，
∴∠??? =∠? = 30°，
∵∠? = 90°，
∴∠???= 90°―∠? = 60°，
∴∠???= ∠???―∠???= 30°，
∴??=1??， 2
∴??=1??， 2
∴ ??=
1??=1
33
× 6 = 2．
故选：?．
由线段垂直平分线的性质得到?? = ??，因此∠??? = ∠? = 30°，求出∠??? = 60°，即可得到∠???
= ∠??? ―∠???=30°，因此?? =1??，得到?? =1??，于是11．
22?? =3?? =3×6=2
本题考查线段垂直平分线的性质，含30°角的直角三角形，等腰三角形的性质，关键是由垂直平分线的性质，等腰三角形的性质推出∠??? = 30°，由直角三角形的性质即可求解．
【答案】?
关于 的方程
【解析】解：∵??= 1的解是? = 1，
∴?=1，
2?―?3
2?―13
解得? = ― 1，
经检验? = ― 1是方程的解．故选：?．
将? = 1代入方程，即可求?的值．
本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解与分式方程的关系是解题的关键．
【答案】?
【解析】解：?、 ∵ ?? = ??，?? = ??，
∴ 四边形????是平行四边形，故选项 A 不符合题意；
B、 ∵ ??//??，??//??，
∴ 四边形????是平行四边形，故选项 B 不符合题意；
C、由??//??，?? = ??，不能判定四边形????是平行四边形，故选项 C符合题意； D、 ∵ ??//??，
∴∠???= ∠???，
在△ ???和 △ ???中，
{
∠???= ∠ ???
??= ??，
∠???= ∠ ???
∴△???≌△???(???)，
∴ ?? = ??，又∵ ?? = ??，
∴ 四边形????是平行四边形，故选项 D不符合题意；故选：?．
由平行四边形的判定分别对各个选项进行判断即可．
本题考查了平行四边形的判定以及全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
【答案】?
【解析】解：不等式(? ― ?)? + ? ≥ 0可变形为?? + ? ≥ ??，
∵ 两函数的图象都经过点?，
∴ ?? + ? ≥ ??的解集为? ≤ ― 2，故选：?．
将不等式(? ― ?)? + ? ≥ 0可变形为?? + ? ≥ ??，然后结合图象写出答案即可．本题考查了一次函数与一元一次不等式，将不等式边形是解决问题的关键．
【答案】?(? ― 16)
【解析】解：原式= ?(? ― 16)．故答案为：?(? ― 16)．
直接提取公因式?，进而分解因式即可．
此题主要考查了提取公因式法，正确找出公因式是解题关键．
【答案】? ≠ ― 2
3
【解析】解：由题意可知：3? +2 ≠ 0，
∴ ? ≠ ― 2，
3
故答案为：? ≠ ― 2．
3
根据分母不为零即可求出答案．
本题考查分式有意义的条件，解题的关键是正确理解分式有意义的条件，本题属于基础题型．
【答案】10
【解析】解： ∵ ?，?，?分别是??，??，??的中点，
∴ ??、??分别是 △ ???的中位线，
∴ ??//??，??//??且?? = 1?? = 1× 6 = 3，?? = 1?? = 1× 4 = 2，
2222
∴ 四边形????是平行四边形，
∴?? = ??=3，??= ?? = 2，
∴ 四边形????的周长为：?? + ?? + ?? + ?? = 2 + 3 + 2 + 3 = 10，
故答案为：10．
首先根据?，?，?分别是??，??，??的中点，确定??、??分别是 △ ???的中位线，可判定四边形????是平行四边形以及各边的长度，即可求得四边形????的周长．
本题考查三角形中位线定理：三角形中位线平行且等于底边的一半，利用平行四边形的判定及性质进行解题；解题的关键是利用三角形中位线定理判定四边形????是平行四边形．
【答案】2
【解析】解：根据题意，得
(?― 2) ⋅ 180+ 360 = 900，
解得：? = 5．
那么过这个多边形的一个顶点可作5 ― 3 = 2条对角线．故答案为：2．
根据?边形的内角和是(? ― 2) ⋅ 180°，?边形的内角和是360°，可以先求出多边形的边数．再根据过多边形的一个顶点的对角线的条数与边数的关系，即可得到过这个多边形的一个顶点的对角线的条数．
本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，过多边形的一个顶点的对角线的条数=
边数― 3．
【答案】73
【解析】解： ∵ ∠? = 36°，∠??? = 74°，
∴∠???=180°― 36°― 74° =70°，
∵ ??平分∠???，
∴∠??? =1∠??? =1×70°=35°，
22
∵ ??垂直平分??，
∴ ??= ??，
∴∠??? =∠? = 36°，
∴∠???= ∠?+ ∠???= 72°，
∴ ∠??? = 180° ― 35° ― 72° = 73°，故答案为：73．
根据三角形的内角和定理得到∠??? = 180° ― 36° ― 74° = 70°，根据角平分线的定义得到∠???
= 1∠??? = 1× 70° = 35°，根据线段垂直平分线的性质得到?? = ??，根据等腰三角形的性质得
22
到∠??? = ∠? = 36°，根据三角形内角和定理即可得到结论．
此题考查了作图― 复基本作图，角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟知角线段垂直平分线的作法是解题的关键．
【答案】解：(1){
6?+4>?―2①
3，
5?― 3≥ 4(?― 1)②
解不等式①得：?> ― 10；
3
解不等式②得：? ≥ ― 1，
故不等式组的解集为：? ≥ ― 1；
(2)原式 = ?2 ― 1 ― (? + 1)(? ― 3)⋅ ? ― 3
?―3
=2(?+ 1)⋅?― 3
(?+1)2
?―3
= 2，
?+1
2
当? =
2
2―1+1
原式=
(?+1)2
― 1时，
=2．
【解析】(1)分别解不等式，进而得出不等式组的解集；
(2)将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则计算得出答案．
此题主要考查了分式的化简求值以及一元一次不等式组的解法，正确掌握相关运算法则是解题关键．
【答案】解：(1)如图， △ ?1?1?1即为所求；
(2)如图， △ ?2?2?2即为所求，点?2的坐标( ― 5,4)．
【解析】(1)利用平移变换的性质分别作出?，?，?的对应点?1，?1，?1；
(2)利用旋转变换的性质分别作出?1，?1，?1的对应点?2，?2，?2即可．
本题考查作图― 平移变换，旋转变换等知识，解题的关键是掌握平移变换，旋转变换的性质，属于中考常考题型．
16.【答案】解：设大巴车原来的速度为?千米/小时，2分钟 = 1小时
30
由题意得，11―11= 1，
?(1+10%)?30
解得? = 30，
经检验? = 30是原方程的解，
答：大巴车原来的速度是30千米/小时．
【解析】设大巴车原来的速度为?千米/小时，根据题意，列出分式方程，进行求解即可．本题考查分式方程的应用．找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键．
【答案】证明：(1) ∵ ??平分∠???，
∴∠???= ∠???，
∵?? = ??，
∴∠???= ∠?，
∴∠? = ∠???，
∴ ??//??，
∵ ??平分∠???，?? = ??，
∴ ??= ??，
在△ ???和△ ???中，
{
∠ ?= ∠ ???
∠ ???= ∠ ???
??= ??，
∴△???≌△???(???)；
(2)由(1)知， △ ???≌ △ ???，
∴ ??= ??，
∵ ?是??的中点，
∴?? = ??，
∴ ?? = ??，又∵ ??//??，
∴ 四边形????是平行四边形，
∴?? = ??．
【解析】(1)根据等腰三角形与角平分线的定义推出??//??，根据等腰三角形三线合一的性质得出?? = ??，再根据???可证明结论；
(2)根据(1)的距离得出?? = ??，再根据平行四边形的判定证明四边形????是平行四边形即可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键．
【答案】(1)证明： ∵△ ???与 △ ???均为等腰直角三角形，且∠??? = ∠??? = 90°，
∴??=??，?? =??，∠???―∠???=∠???―∠???，
∴∠???= ∠???，
∴△???≌△???(???)，
∴∠???= ∠???；
(2)证明：由(1)得： △ ???≌ △ ???，
∴?? = ??，
∴??= ?? + ??= ??= ??，
∵△ ???是等腰直角三角形，
∴ ??=2??，
∴ ?? = ?? +2??； (3)解：如图，
连接??，设??的延长线交??于?，??和??交于点?，由(1)知：∠??? = ∠???，
∵∠???= ∠???，
∴∠???= ∠???= 90°，
∵ 点?是??的中点，
∴?? = ??，
设??= ?，则??= ??=2?，
∵??= ??，??⊥ ??，
∴ ??= ??，
∵∠???= 90°，
∴?? =?? =1?? =2，
2
2
∴??= ??― ?? =― ?，
在?? △ ???中，由勾股定理得，
2
6
(2?)2―(―?)2=(2)2，
6
∴?1=
∴?? =
―2，?2=―
6
―2．
―2(舍去)，
【解析】(1)证明 △ ???≌ △ ???，从而得出结果；
(2)由△???≌△???推出??=??，由△???是等腰直角三角形得出??=2??，进而推出??=
??+2??；
(3)连接??，设??的延长线交??于?，??和??交于点?，设??=?，则??=??=2?，由直角
2
三角形性质可得?? =?? =1?? =2，从而得出??= ??― ?? =
2
― ?，在?? △ ???中，由勾
2
股定理列出(2?)2―(―?)2=(2)2，进一步得出结果．
本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是设未知
数，根据勾股定理列方程．
【答案】25
【解析】解： ∵ ? + ? = 5，
∴ 原式= (? + ?)(? ― ?) + 10?
= 5(? ― ?) + 10?
= 5? ― 5? +10?
= 5? +5?
= 5(? + ?)
= 25．
故答案为：25．
原式前两项利用平方差公式分解后，把? + ?的值代入计算即可求出值．此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
【答案】36
【解析】解：设∠??? = ?°，
∵ ??平分∠???，
∴∠???= ?°，
∵?? = ??，
∴ ∠? = ∠??? = 2?°，又∵ ?? = ??，
∴∠???= ∠? = 2?°，
又∵ ∠??? = ∠? + ∠???，即2?° = ∠? + ?°，
∴∠? = ?°，
在△ ???中，∠? + ∠??? + ∠? = 180°，
∴ ?+2?+2? = 180，解得? = 36，
∴ ∠? = 36°，故答案为36．
设∠??? = ?°，由条件结合等腰三角形的性质可证明∠? = ?°，在△ ???中由三角形内角和定理列出方程可求得?，可求得∠?．
本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等边对等角是解题的关键，注意三角形内角和定理和方程思想的应用．
【答案】10
【解析】解：{
2?― ?<1①
2?< 3?― 2②，
解不等式①得：?2
解不等式②得：?>2? + 2，
3
∴ 不等式组的解集为：2? + 232
∵ 整数解只有2，3，4，
∴423
解得：7 < ? ≤ 9，1≤ ? <2，
2
∵ ?，?均为整数，
∴ 当? = 9，? = 1时，? + ?最大，最大值为：9 + 1 = 10．
故答案为：10．
先把两个不等式解出来，然后表示不等式组的解集，根据整数解只有2，3，4可判断?，?的值，即可求解．
本题考查了一元一次不等式组的整数解，根据整数解只有2，3，4找到不等关系是解题关键．
【答案】2或4
【解析】解：根据题意得，
{
2? ― 3?=1
，
2―1
3? ― ?=5
3―12
解得{，
?= 2
?= 1
∴?(?,?)=2?―?，
?―1
∵?(?,?) + ?(? +1,2?) = 2，
∴2? ― ?+2(? + 1) ― 2?=2，
?―1?+1―1
整理得2? ― ?+ 2
?―1?
= 2，
去分母得，(2? ― ?)?+2(? ― 1) = 2?(? ― 1)，整理得，(4 ― ?)? = 2，
∵ 关于?的方程?(?,?) + ?(? +1,2?) = 2无解，
∴ ? = 0或? = 1或4 ― ? = 0，
当? = 0时， ― 2 = 0，不成立，舍去；当? = 1时，2 ― ? = 0，
解得? = 2，
当4 ― ? = 0时，? = 4；综上实数?的值为2或4．故答案为：2或4．
先根据新定义和已知条件求出?，?的值，再把关于?的方程?(?,?) + ?(?+1,2?) = 2化为分式方程，去分母转化为整式方程，根据方程无解得出? = 0或? = 1，分别代入整式方程求出?的值即可．
本题考查了解分式方程，理解新定义，求出?，?的值是解题的关键，同时理解分式方程无解的意义．
37
【答案】8 ―
≤ ? ≤ 8 ―
33
2
【解析】解：根据题意可看作▱????不动，点?绕点?旋转，当点?，?在??上时，此时?取最小值，当??垂直??时，此时?取最大值；
如图，过点?作?? ⊥ ??交??的延长线于点?，
∵∠???= 120°，
∴∠???=60°，∠???= 30°，
∵?? = 6，
∴ ??= 3，??= 33，
∴ ??= 11，
在?? △ ???中，?? =
??2+??2
= 237，
∴?? = ??=37，
∴ ?的最小值为8 ―37；
当?? ⊥ ??时，?取最大值，设??与??交于点?，延长??交??于点?，
∴ 四边形????是矩形，
∴??=1?? =33，
22
∴ ?的最大值为8 ― 33；
2
37
∴ ?的取值范围为：8 ―
≤ ?≤8―33．
2
故答案为：8 ―
≤ ?≤8―33．
37
2
根据题意可看作▱????不动，点?绕点?旋转，当点?，?在??上时，此时?取最小值，当??垂直??时，此时?取最大值，分别求解即可得出结论．
本题考查平行四边形的性质，勾股定理，旋转的性质，找到何时?取最大值最小值的状态是解题关键．
【答案】解：(1)设?类产品的单价是?元，?类产品的单价是?元，
根据题意得：{，
3?+ 4?= 215
5?+ 2?= 195
解得：{．
?= 25
?= 35
答：?类产品的单价是25元，?类产品的单价是35元；
{
(2)设购买?个?类产品，则购买(50 ― ?)个?类产品，25? + 35(50 ― ?) ≤ 1550
根据题意得：?≤4(50―?)，
5
解得：20 ≤ ? ≤ 200，
9
又∵ ?为正整数，
∴ ?可以为20，21，22，
∴ 该代表团共有3种购买方案，
方案1：购买20个?类产品，30个?类产品，所需费用为25 × 20 + 35 × 30 = 1550(元)；
方案2：购买21个?类产品，29个?类产品，所需费用为25 × 21 + 35 × 29 = 1540(元)；
方案3：购买22个?类产品，28个?类产品，所需费用为25 × 22 + 35 × 28 = 1530(元)．
∵1550 >1540 >1530，
∴ 方案3费用最低．
答：该代表团共有3种购买方案，购买22个?类产品，28个?类产品时费用最低．
【解析】(1)设?类产品的单价是?元，?类产品的单价是?元，根据“甲买了3个?类产品和4个?类产品，共花了215元；乙买了5个?类产品，2个?类产品，共花了195元”，可列出关于?，?的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设购买?个?类产品，则购买(50 ― ?)个?类产品，根据“总费用不超过1550元，且购买的?类
产品数量不超过?类产品的4”，可列出关于?的一元一次不等式组，解之可得出?的取值范围，
5
结合?为正整数，可得出该代表团共有3种购买方案，再求出各方案所需费用，比较后即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
【答案】解：(1)设直线?1交?轴于?，直线?2交?轴于?，如图：
在? = ?? +2中，令? = 0得? = ― 2，
?
∴ ?( ―
2,0)，
?
由直线?1//直线?2，设直线?2函数表达式为? = ?? + ?，把?(2,3)代入得：
3 = 2? + ?，
∴ ? = 3 ― 2?，
∴ 直线?2函数表达式为? = ??+3 ― 2?，
在? = ?? +3 ― 2?中，令? = 0得0 = ?? +3 ― 2?，
解得? = 2? ― 3，
?
∴?(2?―3,0)，
?
∵ 将直线?1向右平移4个单位后，得到的直线?2，
∴??=4，即2?―32，
?―(―?)=4
解得? = ― 1，
2
经检验，? = ― 1是原方程的解，符合题意，
2
∴ 直线?1函数表达式为? = ― 1?+2；直线?2函数表达式为? = ― 1?+4；
22
(2)作?关于?轴的对称点?′，连接?′?交?轴于?，如图：
由? = ― 1?+2得?(0,2)，由? = ― 1?+4得?(0,4)，
2
∵ ?(2,3)，
∴?? = 2，??=
2
(0 ―2)2+(4―3)2
=5，
5
∴四边形????的周长为2++?? + ??，
∴ 当?? + ??最小时，四边形????的周长最小，
∵ ?，?′关于?轴对称，
∴?? = ??′，
∴ 当?′，?，?共线时，四边形????的周长最小，由?(0,2)可得?′(0, ― 2)，
∴?′? = 6，??′ = 4，
由?′(0, ― 2)，?(2,3)得直线?′?函数表达式为? = 5? ― 2，
2
令? = 0得? = 4，
5
∴ ?(4
5
∴ ?
,0)，
=1?′?⋅?
= 1×6×2=6，?1
148，
△?′??2
?2
△??′?=2??′⋅??=2×4×5=5
∴ ?四边形????= ?△ ?
??― ?△??
822
，
?=6―=
′′55
∴ 四边形????的面积是22；
5
(3)在直线?2上存在一点?，使得以?，?，?，?为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
设?(?,0)，?(?, ― 1?+4)，
2
又?(0,2)，?(2,3)，
①当??，??为对角线时，??，??的中点重合，
{
?+ ?= 0 + 2
∴0 ―1?+ 4= 2+ 3，
2
解得{
?= 4
?= ―2，
∴ ?( ― 2,5)；
②当??，??为对角线时，??，??中点重合，
{
?+ 0 = ?+ 2
∴0 +2 =―1?+ 4+ 3，
2
解得 ? = 12
{?= 10 ，
∴?(10, ― 1)；
③当??，??为对角线时，??，??中点重合，
{
?+ 2 = 0 + ?
∴0 +3 =―1?+ 4+ 2，
2
解得{，
?= 4
?= 6
∴ ?(6,1)，
综上所述，?的坐标为( ― 2,5)或(10, ― 1)或(6,1)．
?
【解析】(1)设直线?1交?轴于?，直线?2交?轴于?，在? = ??+2中，令? = 0得?( ― 2,0)，设直线?2
函数表达式为? = ?? + ?，把?(2,3)代入可得? = ??+3 ― 2?，令? = 0可求得?(2? ― 3,0)，即知2? ― 3
??
2111
― ( ― ?) = 4，? = ― 2，故直线?1函数表达式为? = ― 2?+2；直线?2函数表达式为? = ― 2?+4；
′2
(2)作?关于?轴的对称点?′，连接?′?交?轴于?，求出?(0,2)，?(0,4)，知?? = 2，?? =5，即知当?? + ??最小时，四边形????的周长最小，而?? = ??′，故当?′，?，?共线时，四边形????
的周长最小，由?′(0, ― 2)，?(2,3)得直线?′?函数表达式为? = 5? ― 2，可得?(4,0)
25
，又?△ ???= 1
?′? ⋅ ?
= 1×6×2=6，?1
148，从而可得四边形????的面积是22；
?2
△??′?=2??′⋅??=2×4×5=55
(3)设?(?,0)，?(?, ― 1?+4)，分三种情况：①当??，??为对角线时，??，??的中点重合，②
2
当??，??为对角线时，??，??中点重合，③当??，??为对角线时，??，??中点重合，分别列方程组可解得答案．
本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形，四边形面积，平行四边形的性质及应用，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．
【答案】解：(1) ∵ ∠??? = 90°，∠? = 60°，
∴ ??= ??
????
= 4= 8，
???60∘
∵ 四边形????是平行四边形，
∴??= ?? = 4，??//??，
∴∠???= ∠???= 90°，
∵△ ???是等边三角形，
∴?? = ??= 4，∠???= 60°，
∴ ?? = ?? ⋅ cs∠??? = 4???60° = 2； (2)如图1，
作?? ⊥ ??于?，
∴∠??? =∠???= 90°，
∵△ ???是等边三角形，
∴∠???=∠??? = 60°，??= ??，
∵∠???= 60°，∠???= 90°，
∴∠???= 30°，
∴∠???= ∠???―∠??? =60°―30° =30°，∠???=∠??? +∠??? =90°，
∴∠???= ∠???，
∴?? = ??，
在?? △ ???中，?? = 8，∠??? = 30°，
∴ ??= ??⋅ tan∠??? = 8 ⋅ ???30° = 83，
3
∴??=2?? =163，
3
∵∠???= ∠???―∠??? =60°―30° =30°，
∴ ??= 1?? = 2，??= ?? ⋅ cs∠???= 4 ⋅ ???30° = 23，
2
3
∴??=?? ―??=163―2
22 +(103)2
3
3
=103，
3
??2+??2
∴ ??=
(3)如图2，
=
=421； 3
将△ ???绕点?顺时针旋转60°至 △ ???，连接??，
∴??= ??，∠???=60°，∠???= ∠???=150°，??= ?? =23，
∴△ ???是等边三角形，
∴??= ?? =2，∠???=60°，
(2)2+(2
3)2
∴∠???= ∠???―∠??? =150°―60° =90°，
??2+??2
∴?? =
=
=14，
∵??=?? ⋅tan∠???=4???60° =43，
3
∴?? = ??― ?? = 4―14．
【解析】(1)可得出?? = ?? = ?? = 4，∠??? = 60°，∠??? = 90°，解直角三角形???求得结果；
(2)可得出∠??? = 90°，∠??? = 30°，∠??? = 30°，解直角三角形???求得??，解斜三角形???
求得??；
(3)将 △ ???绕点?顺时针旋转60°至 △ ???，连接??，可得出?? = ??，∠??? = 60°，∠??? = ∠
???=150°，??=??=23，从而得出△???是等边三角形，于是可求得??=??=2，∠???
= 60°，从而得出∠??? = ∠??? ―∠??? = 90°，从而求得??，进一步得出结果．本题考查了旋转的性质，解直角三角形等知识，解题关键是利用旋转作辅助线．