2022-2023学年四川省成都市高新区八年级下学期期中数学试题及答案

这是一份2022-2023学年四川省成都市高新区八年级下学期期中数学试题及答案，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．若x＞y，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．x﹣3＜y﹣5B．﹣2x＞﹣2yC．x﹣y＜0D．
3．分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠1B．x＝1C．x≠﹣1D．x≠0
4．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．x2+2x﹣1＝（x﹣1）2B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
C．x2+4x+4＝（x+2）2D．x2﹣4x+3＝x（x﹣4）+3
5．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，则BE等于（ ）
A．2cmB．3cmC．4cmD．5cm
6．一个等腰三角形的一个角是80°，则这个等腰三角形的底角是（ ）
A．50°B．20°C．50°或80°D．20°或80°
7．如图，在直角坐标系中，▱OABC的顶点A（1，4）（5，0），则B的坐标为（ ）
A．（5，4）B．（6，4）C．（6，5）D．（5，6）
8．某业主贷款9万元购进一台机器生产甲，乙两种产品．已知甲产品的销售净利润是每个5元，乙产品的销售净利润是每个6元，设销售x套能赚回这台机器的贷款，则x满足的关系是（ ）
A．2×5x+6x≥90000B．2×5x+6x≤90000
C．2（5x+6x）≥90000D．2（5x+6x）≤90000
二、填空题
9．将3m2﹣12因式分解为 ．
10．在平面直角坐标系中，将点（1，﹣2）先向右平移2个单位长度，则所得的点的坐标是 ．
11．如图，△ABC的周长为15cm，根据图中尺规作图的痕迹，若AE＝2cm，则△ABD的周长为 cm．
12．如果关于x的不等式x＜a+5的解集与x＜2的解集相同，则a的值为 ．
13．如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC交AD于E点，BC＝7，则DE长为 ．
三、解答题
14．计算：
（1）解不等式组：；
（2）解方程：．
15．先化简，再求值，其中．
16．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，△ABC的三个顶点坐标分别为A（2，﹣4），B（4，﹣4），C（1，﹣1）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）画出△ABC绕点C逆时针旋转90°后的△A2B2C；
（3）在（2）的条件下，求线段BC扫过的面积（结果保留π）．
17．如图，在平行四边形ABCD中，AE，交边CD于点E，F，线段AE
（1）求证：AE⊥BF；
（2）若4EF＝AD＝8，求AB的长．
18．如图，在△ABC和△DCE中，CA＝CB，∠CAB＝∠CED．
（1）求证：BE＝AD；
（2）如图1，延长AD、EB交于点O，试探究∠AOB与∠CAB的数量关系
（3）如图2，当∠CAB＝∠CED＝45°时，连接BD、AE，延长MC与BD交于点N，试探究BN与BD的数量关系
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一、填空题
19．若x﹣y＝3，xy＝10，则2x2y﹣2y2x＝ ．
20．关于y的方程的解为非负数，则a的取值范围是 ．
21．若一个正整数能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“智慧数”（如3＝22﹣12，16＝52﹣32）则3和16是智慧数．已知按从小到大顺序构成如下数列：3，5，7，8，9，11，12，15，16，19，20，23，24，…．则第2023个“智慧数”是 ．
22．如图，∠MON＝30°，点B1在边OM上，且OB1＝2，过点B1作B1A1⊥OM交ON于点A1，以A1B1为边在A1B1右侧作等边三角形A1B1C1；过点C1作OM的垂线分别交OM、ON于点B2，A2，以A2B2为边在A2B2的右侧作等边三角形A2B2C2；过点C2作OM的垂线分别交OM、ON于点B3，A3，以A3B3为边在A3B3的右侧作等边三角形A3B3C3，…；按此规律进行下去，则△A2023A2024C2023的面积为 ．（用含正整数n的代数式表示）
​
23．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的坐标分别为A（﹣1，0）（0，2）、C（4，2）、D（3，0），若点A关于BP的对称点为A'，则A'C的最小值为 ，A'C的最大值为 ．
二、解答题
24．某单位为美化环境，计划对面积为1200平方米的区域进行绿化，现安排甲、乙两个工程队来完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的1.5倍，甲队比乙队少用3天．
（1）甲、乙两工程队每天能绿化的面积分别是多少平方米？
（2）若该单位每天需付给甲队的绿化费用为700元，付给乙队的费用为500元，要使这次的绿化总费用不超过14500元
25．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E．
（1）如图1，连接EC，求证：△EBC是等边三角形；
（2）点M是线段CD上的一点（不与点C，D重合），以BM为一边，在BM的下方作∠BMG＝60°，DG与AD之间的数量关系，并说明理由．
（3）若点N是射线DA上的一点，以BN为一边，在BN的下方作∠BMG＝60°，DG与AD之间的数量关系．
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26．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A的横坐标为a，且实数a，b满足．
（1）如图1，求点A的坐标；
（2）如图2，过点A作x轴的垂线，垂足为点B．已知点C（6，﹣2），CB，请在y轴上找一点P，并求出点P的坐标．
（3）在（2）的条件下，在x轴上是否存在一点Q，若存在，请求出点Q的坐标，请说明理由．
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2022-2023学年四川省成都市高新区八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题
1．下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，故此选项正确；
B、是轴对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，故此选项错误．
故选：A．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．若x＞y，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．x﹣3＜y﹣5B．﹣2x＞﹣2yC．x﹣y＜0D．
【答案】D
【分析】根据不等式性质逐项判断即可．
【解答】解：∵x＞y，
∴x﹣3＞y﹣5，故A错误；
﹣5x＜﹣2y，故B错误；
x﹣y＞0，故C错误；
＞，故D正确；
故选：D．
【点评】本题考查不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的性质．
3．分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠1B．x＝1C．x≠﹣1D．x≠0
【答案】A
【分析】根据分母不为零分式有意义，可得答案．
【解答】解：由题意，得
x﹣1≠0，
解得x≠4，
故选：A．
【点评】本题考查了分式有意义的条件．（1）分式有意义的条件是分母不等于零．（2）分式无意义的条件是分母等于零．
4．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．x2+2x﹣1＝（x﹣1）2B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
C．x2+4x+4＝（x+2）2D．x2﹣4x+3＝x（x﹣4）+3
【答案】C
【分析】根据因式分解的定义判断即可．
【解答】解：根据因式分解的定义：将一个多项式分解为几个整式的积的形式，叫做把多项式因式分解．
据此可以直接判定B、D选项都不是因式分解，C选项的变形是利用了完全平方公式进行了因式分解．
故选：C．
【点评】本题考查因式分解的概念，理解因式分解的概念是解题的关键．
5．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，则BE等于（ ）
A．2cmB．3cmC．4cmD．5cm
【答案】C
【分析】先根据角平分线的性质得 CD＝DE，再根据“HL”证明Rt△ACD≌Rt△AED，可得AE的长，最后根据BE＝AB﹣AE得出答案．
【解答】解：∵AD是∠CAB的平分线，DE⊥AB，
∴CD＝DE．
在Rt△ACD和Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC＝AE＝6cm，
∴BE＝AB﹣AE＝10﹣6＝6（cm）．
故选：C．
【点评】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质和判定等，弄清各线段之间的数量关系是解题的关键．
6．一个等腰三角形的一个角是80°，则这个等腰三角形的底角是（ ）
A．50°B．20°C．50°或80°D．20°或80°
【答案】C
【分析】先分情况讨论：80°是等腰三角形的底角或80°是等腰三角形的顶角，再根据三角形的内角和定理进行计算．
【解答】解：当80°是等腰三角形的顶角时，则顶角就是80°（180°﹣80°）＝50°
当80°是等腰三角形的底角时，则顶角是180°﹣80°×4＝20°．
∴等腰三角形的底角为50°或80°
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．
7．如图，在直角坐标系中，▱OABC的顶点A（1，4）（5，0），则B的坐标为（ ）
A．（5，4）B．（6，4）C．（6，5）D．（5，6）
【答案】B
【分析】由平行四边形的性质可得AB∥OC，AB＝OC＝5，即可求B的坐标为．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥OC，AB＝OC
∵A（1，4），8），
∴点B（6，4）
故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，熟练运用平行四边形的性质是本题的关键．
8．某业主贷款9万元购进一台机器生产甲，乙两种产品．已知甲产品的销售净利润是每个5元，乙产品的销售净利润是每个6元，设销售x套能赚回这台机器的贷款，则x满足的关系是（ ）
A．2×5x+6x≥90000B．2×5x+6x≤90000
C．2（5x+6x）≥90000D．2（5x+6x）≤90000
【答案】A
【分析】设销售x套能赚回这台机器的贷款，根据题意得出不等式解答即可．
【解答】解：设销售x套能赚回这台机器的贷款，根据题意可得：2×5x+6x≥90000，
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，找准等量关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
二、填空题
9．将3m2﹣12因式分解为 3（m﹣2）（m+2） ．
【答案】3（m﹣2）（m+2）．
【分析】先提取公因式，再用公式法因式分解即可．
【解答】解：3m2﹣12
＝3（m2﹣4）
＝4（m﹣2）（m+2），
故答案为：5（m﹣2）（m+2）．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
10．在平面直角坐标系中，将点（1，﹣2）先向右平移2个单位长度，则所得的点的坐标是 （3，1） ．
【答案】（3，1）．
【分析】直接利用平移的性质得出平移后点的坐标即可．
【解答】解：∵将点（1，﹣2）先向右平移5个单位长度，
∴得到（3，﹣2），
∵向上平移2个单位长度，
∴所得点的坐标是：（3，1）．
故答案为：（2，1）．
【点评】此题主要考查了平移变换，正确掌握平移规律是解题关键．
11．如图，△ABC的周长为15cm，根据图中尺规作图的痕迹，若AE＝2cm，则△ABD的周长为 11 cm．
【答案】11．
【分析】根据线段的垂直平分线的判定和性质解决问题即可．
【解答】解：由作图可知，DE垂直平分线段AC，
∴DA＝DC，AE＝EC，
∵AB+BC+AC＝15，AC＝2AE＝4，
∴AB+BC＝11，
∴△ABD的周长＝AB+BD+DA＝AB+BD+DC＝AB+BC＝11．
故答案为：11．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
12．如果关于x的不等式x＜a+5的解集与x＜2的解集相同，则a的值为 ﹣3 ．
【答案】﹣3．
【分析】根据两个不等式的解相同，列出方程求解即可．
【解答】解：∵关于x的不等式x＜a+5的解集与x＜2的解集相同，
∴a+5＝2，
解得a＝﹣3．
故答案为：﹣6．
【点评】本题考查了解简单不等式的能力．解不等式要依据不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．
13．如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC交AD于E点，BC＝7，则DE长为 2 ．
【答案】2．
【分析】根据四边形ABCD为平行四边形可得AE∥BC，根据平行线的性质和角平分线的定义可得出∠ABE＝∠AEB，继而可得AB＝AE，然后根据已知可求得DE的长度．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AE∥BC，AD＝BC＝7．
∴∠AEB＝∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE＝5，
∴DE＝AD﹣AE＝8﹣5＝2．
故答案为：8．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，解答本题的关键是根据平行线的性质和角平分线的定义得出∠ABE＝∠AEB．
三、解答题
14．计算：
（1）解不等式组：；
（2）解方程：．
【答案】（1）﹣1≤x＜2；（2）分式方程无解．
【分析】（1）根据一元一次不等式的性质进行计算；
（2）根据分式方程的解法进行计算．
【解答】解：（1），
解不等式①，可得x＜8，
解不等式②，可得x≥﹣1，
综上所述：﹣1≤x＜4；
（2），
＝，
＝，
＝，
即2x＝x+1，
解得x＝2，
把x＝1代入原式，原式不成立，
故分式方程无解．
【点评】本题考查了一元一次不等式和分式方程的解法，掌握解一元一次不等式和分式方程的方法是关键．
15．先化简，再求值，其中．
【答案】，．
【分析】根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后将a的值代入原式即可求出答案．
【解答】解：原式＝÷
＝•
＝，
当a＝﹣2时，
原式＝
＝
＝．
【点评】本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型．
16．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，△ABC的三个顶点坐标分别为A（2，﹣4），B（4，﹣4），C（1，﹣1）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）画出△ABC绕点C逆时针旋转90°后的△A2B2C；
（3）在（2）的条件下，求线段BC扫过的面积（结果保留π）．
【答案】（1）图形见解答；
（2）图形见解答；
（3）π．
【分析】（1）分别作出A，B，C关于y轴对称的对应点A1，B1，C1即可．
（2）根据旋转的性质作出△ABC绕点C逆时针旋转90°后的△A2B2C即可；
（3）利用扇形的面积公式求出AB扫过的面积．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C2即为所求；
（2）如图，△A2B2C即为所求；
（3）线段BC扫过的面积＝＝π．
【点评】本题考查了利用旋转变换作图，轴对称和扇形面积公式等知识，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
17．如图，在平行四边形ABCD中，AE，交边CD于点E，F，线段AE
（1）求证：AE⊥BF；
（2）若4EF＝AD＝8，求AB的长．
【答案】（1）见解析；
（2）14．
【分析】（1）根据平行四边形的性质结合角平分线的定义得出∠MAB+∠MBA＝＝90°，即可得出结论；
（2）根据平行四边形的性质结合角平分线的定义得出∠DAE＝∠DEA，同法可得CF＝BC，即可推出结果．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC＝180°，
∵AE，BF分别平分∠DAB和∠ABC，
∴∠MAB+∠MBA＝＝90°，
∴∠BMA＝90°，
∴AE⊥BF；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∴∠DEA＝∠EAB，
又∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE＝∠EAB＝∠DEA，
∴DE＝DA＝7，
同法可得，BC＝CF＝AD＝8，
∵4EF＝7，
∴EF＝2，
∴DF＝CE＝8﹣EF＝3，
∴AB＝CD＝8+6＝14．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行四边形的性质，角平分线的定义是解题的关键．
18．如图，在△ABC和△DCE中，CA＝CB，∠CAB＝∠CED．
（1）求证：BE＝AD；
（2）如图1，延长AD、EB交于点O，试探究∠AOB与∠CAB的数量关系
（3）如图2，当∠CAB＝∠CED＝45°时，连接BD、AE，延长MC与BD交于点N，试探究BN与BD的数量关系
​
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）∠AOB＝2∠CAB，理由见解答；
（3）BN＝BD．理由见解答．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到∠ACB＝∠DCE，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到∠CAD＝∠CBE＝∠BAC+∠BAO，根据三角形的内角和即可得到结论；
（3）如图2，作BP⊥MN交MN的延长线于P，作DQ⊥MN于Q，根据全等三角形的性质得到MC＝BP，同理，CM＝DQ，等量代换得到DQ＝BP，根据全等三角形的性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵CA＝CB，CD＝CE，
∴∠ACB＝180°﹣2α，∠DCE＝180°﹣2α，
∴∠ACB＝∠DCE，
∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴BE＝AD；
（2）解：∠AOB＝5∠CAB，理由如下：
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD＝∠CBE＝∠CAB+∠BAO，
∵∠ABE＝∠AOB+∠BAO，
∴∠CBE+∠CAB＝∠BOA+∠BAO，
∴∠BAO+∠CAB+∠CAB＝∠BOA+∠BAO，
∴∠AOB＝2∠CAB；
（3）解：BN＝BD
如图2，作BP⊥MN交MN的延长线于P，
∵∠BCP+∠BCA＝∠CAM+∠AMC，
∵∠BCA＝∠AMC，
∴∠BCP＝∠CAM，
在△CBP与△ACM中，
，
∴△CBP≌△ACM（AAS），
∴MC＝BP，
同理，CM＝DQ，
∴DQ＝BP，
在△BPN与△DQN中，
，
∴△BPN≌△DQN（AAS），
∴BN＝ND，
∴N是BD的中点，
∴BN＝BD．
【点评】本题是三角形的综合题，考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
一、填空题
19．若x﹣y＝3，xy＝10，则2x2y﹣2y2x＝ 60 ．
【答案】60．
【分析】首先把2x2y﹣2xy2进行因式分解，然后把x﹣y＝3，xy＝10代入化简后的算式，即可求解．
【解答】解：2x2y﹣5xy2＝2xy（x﹣y），
当x﹣y＝5，xy＝10时，
原式＝2×10×3＝60．
故答案为：60．
【点评】此题主要考查了因式分解的应用，要熟练掌握，用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分．
20．关于y的方程的解为非负数，则a的取值范围是 a≤2且a≠1 ．
【答案】a≤2且a≠1．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程的解为非负数，确定出a的值．注意方程无解的时候．
【解答】解：解分式方程得，y＝2﹣a，
∵a使关于y的方程的解为非负数，
∴2﹣a≥0，且3﹣a≠1
∴a≤2且a≠8．
故答案为：a≤2且a≠1．
【点评】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握解分式方程的步骤是解本题的关键．
21．若一个正整数能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“智慧数”（如3＝22﹣12，16＝52﹣32）则3和16是智慧数．已知按从小到大顺序构成如下数列：3，5，7，8，9，11，12，15，16，19，20，23，24，…．则第2023个“智慧数”是 2696 ．
【答案】2696．
【分析】先根据题意观察规律，发现每三个一组，从第二组开始的每组第一个数都是4的倍数，再算出第2023个“智慧数”处在哪一组的第几个，就可以算出答案了．
【解答】解：观察探索规律，发现全部智慧数从小到大可按每三个数分一组，
从第二组开始每组的第一个数都是4的倍数，从而第n组的第一个数为4n（n≥7）；
∵2023＝3×674+1
∴第2023个“智慧数”是第674组中的第7个数，即：4×674＝2696，
故答案为：2696．
【点评】本题考查了平方差类型的新定义，解题的关键是找到循环规律并正确得出要求的数字所处的位置．
22．如图，∠MON＝30°，点B1在边OM上，且OB1＝2，过点B1作B1A1⊥OM交ON于点A1，以A1B1为边在A1B1右侧作等边三角形A1B1C1；过点C1作OM的垂线分别交OM、ON于点B2，A2，以A2B2为边在A2B2的右侧作等边三角形A2B2C2；过点C2作OM的垂线分别交OM、ON于点B3，A3，以A3B3为边在A3B3的右侧作等边三角形A3B3C3，…；按此规律进行下去，则△A2023A2024C2023的面积为 ．（用含正整数n的代数式表示）
​
【答案】．
【分析】根据特殊直角三角形的性质，求出△A3B3C3的边长，即可求出△A3B3C3的面积，同理求出△AnBn∁n的边长，即可求出△AnBn∁n的面积．
【解答】解：∵∠MON＝30°，OB1＝2，∠A7B1O＝90°，
∴△A1B7C1的边长A1B5＝＝，
在Rt△B2C1B2中，∠C5B1B2＝30°，B5C1＝，
∴C1B7＝，B5B2＝C7B2＝1，
∴OB4＝2+1＝8，
在Rt△OA2B2中，△A4B2C2的边长A5B2＝＝＝×，
在Rt△B2C2B7中，∠C2B2B7＝30°，B2C2＝，
∴C2B3＝，B2B5＝C2B8＝，
∴OB2＝3+＝，
在Rt△OB5A3中，△A3B2C3的边长A3B6＝＝＝××＝（）2×，
•••，
∴△AnBn∁n的边长AnBn＝（）n﹣1×，
∴△A3B7C3的面积为×（）2＝，△AnBn∁n的面积为×[（]2＝（）2n﹣2×．
∴△A2023A2024C2023的面积为：．
故答案为：．
【点评】本题考查等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．
23．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的坐标分别为A（﹣1，0）（0，2）、C（4，2）、D（3，0），若点A关于BP的对称点为A'，则A'C的最小值为 4﹣ ，A'C的最大值为 4+ ．
【答案】4﹣．4+
【分析】由轴对称的性质可知BA＝BA′，在△BA′C中由三角形三边关系可知BC+BA′≥A′C≥BC﹣BA′，则可求得答案．
【解答】解：连接BA′，如图：
∵平行四边形ABCD的坐标分别为A（﹣1，0），8），2），0），
∴AB＝＝＝，BC＝4，
∵若点A关于BP的对称点为A'，
∴BA′＝BA＝，
在△BA′C中，由三角形三边关系可知：BC+BA′≥A′C≥BC﹣BA′，
∴3+≥A′C≥4﹣，最大值为4+
故答案为：4﹣．4+．
【点评】本题主要考查平行四边形及轴对称的性质，利用三角形的三边关系得到A′C≥BC﹣BA′是解题的关键．
二、解答题
24．某单位为美化环境，计划对面积为1200平方米的区域进行绿化，现安排甲、乙两个工程队来完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的1.5倍，甲队比乙队少用3天．
（1）甲、乙两工程队每天能绿化的面积分别是多少平方米？
（2）若该单位每天需付给甲队的绿化费用为700元，付给乙队的费用为500元，要使这次的绿化总费用不超过14500元
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是x平方米，则甲工程队每天能完成绿化的面积是1.5x平方米，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合在独立完成面积为360平方米区域的绿化时甲队比乙队少用3天，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设安排甲队工作m天，则需安排乙队工作天，根据总费用＝700×甲队工作时间+500×乙队工作时间结合这次的绿化总费用不超过14500元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论．
【解答】解：（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是x平方米，则甲工程队每天能完成绿化的面积是1.5x平方米，
依题意，得：﹣，
解得：x＝40，
经检验，x＝40是原方程的解，
∴1.5x＝60．
答：甲工程队每天能完成绿化的面积是60平方米，乙工程队每天能完成绿化的面积是40平方米．
（2）设安排甲队工作m天，则需安排乙队工作天，
依题意，得：700m+500×，
解得：m≥10．
所以m最小值是10．
答：至少应安排甲队工作10天．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
25．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E．
（1）如图1，连接EC，求证：△EBC是等边三角形；
（2）点M是线段CD上的一点（不与点C，D重合），以BM为一边，在BM的下方作∠BMG＝60°，DG与AD之间的数量关系，并说明理由．
（3）若点N是射线DA上的一点，以BN为一边，在BN的下方作∠BMG＝60°，DG与AD之间的数量关系．
​
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）AD＝DG+DM，理由见解答过程；
（3）AD＝DG﹣DN，理由见解答过程．
【分析】（1）利用“有一个角是60°”的等腰三角形是等边三角形证得△EBC是等边三角形；
（2）延长ED使得DW＝DM，连接MW，即可得出△WDM是等边三角形，利用△WGM≌△DBM即可得出BD＝WG＝DG+DM，再利用AD＝BD，即可得出答案； （3）利用等边三角形的性质得出∠H＝∠2，进而得出∠DNG＝∠HNB，再求出△DNG≌△HNB即可得出答案．
【解答】（1）证明：如图1所示：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝60°，，
∵BD平分∠ABC，
∴∠1＝∠DBA＝∠A＝30°，
∴DA＝DB，
∵DE⊥AB于点E，
∴，
∴BC＝BE，
∴△EBC是等边三角形；
（2）解：AD＝DG+DM，理由如下：
如图2所示：延长ED使得DW＝DM，连接MW，
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，DE⊥AB 于点E，
∴∠ADE＝∠BDE＝60°，AD＝BD，
又∵DM＝DW，
∴△WDM是等边三角形，
∴MW＝DM，
在△WGM 和△DBM 中，
∴△WGM≌△DBM（ASA），
∴BD＝WG＝DG+DM，
∴AD＝DG+DM；
 （3）解：AD＝DG﹣DN，
延长BD至H，使得DH＝DN，
由（1）得DA＝DB，∠A＝30°，
∵DE⊥AB于点E，
∴∠ADG＝∠BDG＝60°，
∴∠BDC＝∠NDH＝60°，
∴△NDH是等边三角形，
∴NH＝ND，∠H＝∠HND＝60°，
∴∠H＝∠ADG，
∵∠BNG＝60°，
∴∠BNG+∠BND＝∠DNH+∠BND，
即∠DNG＝∠HNB，
在△DNG 和△HNB 中，
∴△DNG≌△HNB（ASA），
∴DG＝HB，
∵HB＝HD+DB＝ND+AD，
∴DG＝ND+AD，
∴AD＝DG﹣ND．
【点评】此题主要考查了等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，根据已知做出正确辅助线是解题关键．
26．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A的横坐标为a，且实数a，b满足．
（1）如图1，求点A的坐标；
（2）如图2，过点A作x轴的垂线，垂足为点B．已知点C（6，﹣2），CB，请在y轴上找一点P，并求出点P的坐标．
（3）在（2）的条件下，在x轴上是否存在一点Q，若存在，请求出点Q的坐标，请说明理由．
​
【答案】（1）（﹣4，6）；
（2）（0，）或（0，﹣）；
（3）（﹣8﹣4，0）或（8﹣4，0）或（4+4，0）或﹣4+4，0）或（﹣，0）．
【分析】（1）由偶次方和算术平方根的非负性质求得a、b的值，即可确定点A的坐标；
（2）先求出△ABC的面积，再由待定系数法求得直线AC的解析式，确定点D的坐标，设点P（0，m），则PD＝|﹣m|，然后由三角形面积关系求出m的值即可；（3）分三种情况，①当AQ＝AC时，②当CQ＝CA时，③当QA＝QC时，利用勾股定理分别求出点Q的坐标即可．
【解答】解：（1）∵实数a，b满足2≥4，≥0，
∴a+2＝0，b﹣6＝7，
∴a＝﹣4，b＝6，
∴点A的坐标为（﹣3，6）；
（2）∵AB⊥x轴，点B为垂足，6），
∴AB＝7，OB＝4，
∵C（6，﹣2），
∴S△ABC＝×4×（6+4）＝30，
如图8，设直线AC交y轴于点D，
将点A（﹣4，6），﹣7）代入y＝kx+b得：，
解得：，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+，
令x＝0，则y＝
∴点D（0，），
设点P（8，m）﹣m|，
∵△PAC的面积与△ABC的面积相等，
∴S△PAC＝PD×|6﹣（﹣4）|＝﹣m|×10＝30，
解得：m＝或m＝﹣，
∴点P的坐标为（0，）或（0，﹣）；
（3）在x轴上存在一点Q，使△QAC为等腰三角形
∵A（﹣7，6），﹣2），
∴AC＝＝6，
分三种情况：
①如图3，当AQ＝AC＝2时，
BQ＝＝＝7，
∴OQ＝BQ+OB＝8+4﹣8，
∴点Q的坐标为（﹣8﹣5﹣4；
②如图4，当CQ＝CA＝2时，
则OD＝6，CD＝5，
∴DQ＝＝＝4，
∴OQ＝DQ+OD＝4+6或OQ＝DQ﹣OD＝4，
∴点Q的坐标为（4+5+4；
③如图5，当QA＝QC时，
设点Q的坐标为（n，5），
在Rt△ABQ和Rt△CDQ中，QA2＝AB2+BQ4＝62+（m+6）2，QC2＝CD4+DQ2＝23+（6﹣m）2，
∴22+（m+4）2＝22+（4﹣m）2，
解得：m＝﹣，
∴点Q的坐标为（﹣，2）；
综上所述，在x轴上存在一点Q，点Q的坐标为（﹣8，3）或（8，3）或（4，0）或﹣2，0）或（﹣．
【点评】本题是三角形综合题目，考查了等腰三角形的判定与性质、坐标与图形性质、待定系数法求直线的解析式、勾股定理、三角形面积以及偶次方和算术平方根的非负性质等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的判定与性质以及勾股定理是解题的关键，属于中考常考题型