福建省2024春九年级数学下册第26章二次函数学情评估试卷（华东师大版）

这是一份福建省2024春九年级数学下册第26章二次函数学情评估试卷（华东师大版），共9页。

第26章学情评估一、选择题(本题共10小题，每小题5分，共50分)1.下列函数关系式中，是二次函数的是(　　)A.y＝x3－2x2－1 B.y＝x2C.y＝2x2－3 D.y＝x＋12.二次函数y＝(x－1)2＋2的最小值是(　　)A.－2 B.2 C.－1 D.13.将抛物线y＝x2通过一次平移可得到抛物线y＝(x＋5)2，对这一平移过程描述正确的是(　　)A.向上平移5个单位 B.向下平移5个单位C.向左平移5个单位 D.向右平移5个单位4.抛物线y＝x2－4x＋1与y轴交点的坐标是(　　)A.(0，1) B.(1，0)C.(0，－3) D.(0，2)5.已知二次函数y＝x2＋2x＋4，若y随x的增大而减小，则x的取值范围是(　　)A.x＞－1 B.x＜－1 C.x＞1 D.x＜16.在平面直角坐标系中，点A，B，C的位置如图所示，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过A，B，C三点，则下列关于抛物线性质的说法正确的是(　　)(第6题)A.开口向上 B.与y轴交于负半轴C.顶点在第二象限 D.对称轴在y轴右侧7.在同一平面直角坐标系内，二次函数y＝ax2＋bx＋b(a≠0)与一次函数y＝ax＋b的图象可能是(　　)8.如图，已知抛物线y1＝－x2＋4x和直线y2＝2x，当y1＜y2时，x的取值范围是(　　)(第8题)A.0＜x＜2 B.x＜0或x＞2C.x＜0或x＞4 D.0＜x＜49.已知抛物线y＝12x2－x＋2与直线y＝x－2如图所示，点P是抛物线上的一个动点，则点P到直线y＝x－2的最短距离为(　　)(第9题)A.524 B.324 C.2 D.210.已知抛物线y＝－(x－b)2＋2b＋c(b，c为常数)经过不同的两点(－2－b，m)，(－1＋c，m)，那么该抛物线的顶点坐标不可能是下列中的(　　)A.(－2，－7) B.(－1，－3)C.(1，8) D.(2，13)二、填空题(本题共6小题，每小题5分，共30分)11.若抛物线的顶点坐标为(0，3)，开口向下，则符合条件的抛物线对应的函数表达式为　　　　　.(写1个即可)12.当x＝－2时，函数y＝x2－2x－6的值为　　　　.13.如图是抛物线y＝－(x－1)2＋2，若－1＜x＜2，则y的取值范围是　　　　　　　.(第13题)14.如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12 cm，BC＝24 cm，动点P从点A开始沿AB向点B以2 cm/s的速度移动(不与点B重合)，动点Q从点B开始沿BC向点C以4 cm/s的速度移动(不与点C重合).如果点P、Q分别从点A、B同时出发，那么经过　　　　s，四边形APQC的面积最小.(第14题)15.如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州的历史文化.如图②，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部宽度为80 m，高度为200 m，则离地面150 m处的水平宽度(即CD的长)为　　　　.(第15题)16.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)，a＋b＋c＝0.下列四个结论：①若抛物线经过点(－3，0)，则b＝2a；②若b＝c，则方程cx2＋bx＋a＝0一定有根x＝－2；③抛物线与x轴一定有两个不同的公共点；④点A(x1，y1)，B(x2，y2)在抛物线上，若0＜a＜c，则当x1＜x2＜1时，y1＞y2.其中正确的是　　　　　(填写序号).三、解答题(本题共6小题，共70分)17.(10分)如图，二次函数y＝(x－1)(x－a)(a为常数)的图象的对称轴为直线x＝2.(1)求a的值；(2)向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的表达式.(第17题)18.(10分)在平面直角坐标系xOy中，点(1，m)和点(3，n)在抛物线y＝ax2＋bx(a＞0)上.(1)若m＝3，n＝15，求该抛物线的对称轴；(2)已知点(－1，y1)，(2，y2)，(4，y3)在该抛物线上.若m＜0，n＞0，比较y1，y2，y3的大小，并说明理由.19.(12分)肉燕又称太平燕，是福建福州的一道著名的特色风味小吃，也是福州风俗中的喜庆名菜.福州人逢年过节，婚丧喜庆，亲友聚别，必吃“太平燕”，即取其“太平”“平安”之吉利，故“无燕不成宴，无燕不成年”.肉燕皮是用精肉配上淀粉等辅料制作而成，形似纸状，洁白光滑细润，散发出肉香，非常爽口.肉燕亦由此成为馈赠佳品，为福州人包括海外乡亲所钟情.已知每袋肉燕的成本为8元.按每袋10元出售时，平均每天售出300袋，单价每上涨0.5元，则平均每天的销售量会减少10袋，若该网店销售肉燕每天的利润为y元，每袋的售价为x元，请求出y与x的函数表达式，当x是多少时，y最大？最大是多少？20.(12分)根据以下素材，探索完成任务.21.(12分)如图，已知抛物线y＝x2＋mx＋n经过(0，－3)，(2，－3)两点，与x轴交于A、B两点.(1)求抛物线的表达式；(2)点C为抛物线上一动点，且在第四象限，连结AC，BC.若∠ACB＝90°，求点C的坐标.(第21题)22.(14分)抛物线y＝ax2＋b经过点A(4，0)，B(0，－4)，直线EC经过点E(4，－1)，C(0，－3)，P是抛物线上点A，B间的动点(不含点A，B)，过点P作PD⊥x轴于点D，连结PC，PE.(1)求抛物线与直线CE的表达式；(2)求证：PC＋PD为定值；(3)若△PEC的面积为1，请直接写出满足条件的点P的坐标.参考答案一、1.B　2.B　3.C　4.A　5.B　6.D　7.C　8.B　9.D　10.B二、11.y＝－x2＋3(答案不唯一)　12.213.－2＜y≤2　14.3　15.40 m　16.①②④三、17.解：(1)根据题意，得1+a2＝2，所以a＝3.(2)y＝(x－1)(x－3)＝x2－4x＋3，设平移后图象所对应的二次函数的表达式为y＝x2－4x＋3－b，把(0，0)代入，得b＝3.所以平移后图象所对应的二次函数的表达式为y＝x2－4x.18.解：(1)因为m＝3，n＝15，所以点(1，3)，(3，15)在抛物线上.将点(1，3)，(3，15)代入y＝ax2＋bx，得3=a＋b，15=9a+3b，解得a=1，b=2，所以y＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，所以对称轴为直线x＝－1.(2)y2＜y1＜y3.理由如下：因为点(－1，y1)，(2，y2)，(4，y3)在抛物线上，所以y1＝a－b，y2＝4a＋2b，y3＝16a＋4b.因为m＜0，n＞0，所以a＋b＜0，9a＋3b＞0.所以y1－y2＝a－b－(4a＋2b)＝－3a－3b＝－3(a＋b)＞0，y1－y3＝a－b－(16a＋4b)＝－15a－5b＝－53(9a＋3b)＜0，所以y1＞y2，y1＜y3，所以y2＜y1＜y3.19.解：由题意得y＝(x－8)300－x－100.5×10＝(x－8)(500－20x)＝－20x2＋660x－4 000＝－20x－3322＋1 445.因为－20＜0，所以当x是332时，y最大，最大是1 445.20.解：任务1：以拱顶为原点，建立如图①所示的直角坐标系，(第20题)则抛物线的顶点为(0，0)，且经过点(10，－5).设该抛物线的表达式为y＝ax2(a≠0)，则－5＝100a，所以a＝－120，所以抛物线的表达式是y＝－120x2.任务2：因为水位再涨1.8 m达到最高，灯笼底部距离水面不小于1 m，灯笼长40 cm＝0.4 m，所以y≥－5＋1.8＋1＋0.4＝－1.8，所以悬挂点的纵坐标的最小值是－1.8.当y＝－1.8时，－1.8＝－120x2，解得x1＝6，x2＝－6，所以悬挂点的横坐标的取值范围是－6≤x≤6.任务3：(答案不唯一)如图②(坐标系的横轴)，从原点O处开始悬挂灯笼.(第20题)因为－6≤x≤6，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6 m，所以若原点一侧挂4盏灯笼，则1.6×4＞6，若原点一侧挂3盏灯笼，则1.6×3＜6，所以原点一侧最多可挂3盏灯笼.3×2＋1＝7(盏)，所以方案为：原点O处挂1盏灯笼，两侧每间距1.6 m各挂3盏灯笼，共挂7盏灯笼.最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标是－3×1.6＝－4.8.21.解：(1)因为抛物线y＝x2＋mx＋n经过(0，－3)，(2，－3)两点，所以－3=n，－3=22+2m＋n，解得m＝－2，n＝－3.所以抛物线的表达式为y＝x2－2x－3.(2)由(1)知y＝x2－2x－3，令y＝0，则x2－2x－3＝0，解得x1＝－1，x2＝3.所以A(－1，0)，B(3，0).作CH⊥x轴于点H，因为∠ACB＝90°，所以∠HCB＋∠HCA＝90°.因为CH⊥x轴，所以∠HAC＋∠HCA＝90°，所以∠HAC＝∠HCB.又因为∠AHC＝∠CHB＝90°，所以△HAC∽△HCB，所以AHCH＝CHBH，所以CH2＝AH·BH.因为点C为抛物线上一动点，且在第四象限，所以设C(t，t2－2t－3)，所以AH＝t－(－1)＝t＋1，BH＝3－t，CH＝－(t2－2t－3)，所以[－(t2－2t－3)]2＝(t＋1)(3－t)，化简得t2－2t－2＝0，解得t＝1±3.因为点C在第四象限，所以t＞0，所以t＝1＋3，此时t2－2t－3＝(1＋3)2－2×(1＋3)－3＝－1，所以点C的坐标为(1＋3，－1).22.(1)解：将A(4，0)，B(0，－4)的坐标代入y＝ax2＋b，得16a＋b=0，b＝－4，解得a＝14，b＝－4，所以抛物线的表达式为y＝14x2－4.设直线CE的表达式为y＝mx＋n，将E(4，－1)，C(0，－3)的坐标代入y＝mx＋n，得4m＋n＝－1，n＝－3，解得m＝12，n＝－3，所以直线CE的表达式为y＝12x－3.(2)证明：设点Pt，14t2－4，0＜t＜4，如图，过点P作PF⊥y轴于点F，则PF＝t，FC＝14t2－4+3＝14t2－1，PD＝4－14t2，则PC＝t2＋14t2－12＝14t2+12＝14t2＋1，所以PC＋PD＝14t2+1＋4－14t2＝5，为定值.(第22题)(3)解：满足条件的点P的坐标为(1＋3，32－3)，(1＋7，72－2).如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？素材1　　图①是某抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽20 m，拱顶离水面5 m.据调查，该河段水位在此基础上再涨1.8 m达到最高.素材2　　为迎佳节，拟在桥拱上悬挂40 cm长的灯笼，如图②.为了安全，灯笼底部距离水面不小于1 m；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6 m；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布.问题解决任务1确定抛物线形桥拱的表达式　　在图①中建立合适的直角坐标系，求抛物线的表达式.任务2探究悬挂范围　　在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围.任务3拟定设计方案　　设计一种符合所有悬挂条件的灯笼数量的方案，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标.