备战2024年高考数学二轮复习专题07解析几何中的存在性与探究性问题(原卷版+解析)

这是一份备战2024年高考数学二轮复习专题07解析几何中的存在性与探究性问题(原卷版+解析)，共37页。试卷主要包含了存在性问题，探究性问题等内容，欢迎下载使用。

常见考点
考点一 存在性问题
典例1．已知椭圆：的右焦点在直线上，且离心率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)设，，过点A的直线与椭圆交于另一点（异于点），与直线交于一点，的角平分线与直线交于点，是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
变式1-1．在平面直角坐标系xOy中，已知点，，点M满足直线AM与直线BM的斜率之积为，点M的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程；
(2)已知点，直线与x轴交于点D，直线AM与交于点N，是否存在常数λ，使得？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由.
变式1-2．已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，椭圆的离心率等于，抛物线的准线经过椭圆的一个焦点.椭圆与轴交于，两点，的横坐标小于的横坐标，是椭圆上异于，的动点，直线与直线交于点，设直线的斜率为，的中点为，点关于直线的对称点为.
(1)求椭圆的方程；
(2)是否存在，使的纵坐标为0？若存在，求出使的纵坐标为0的所有的值；若不存在，请说明理由.
变式1-3．在平面直角坐标系中，已知，，.动点与，的距离的和等于18，动点满足.动点的轨迹与轴交于，两点，的横坐标小于的横坐标，是动点的轨迹上异于，的动点，直线与直线交于点，设直线的斜率为，的中点为，点关于直线的对称点为.
(1)求动点的轨迹方程；
(2)是否存在，使的纵坐标为0？若存在，求出使的纵坐标为0的所有的值；若不存在，请说明理由.
考点二 探究性问题
典例2．已知直线，圆.
(1)证明：直线l与圆C相交；
(2)设l与C的两个交点分别为A、B，弦AB的中点为M，求点M的轨迹方程；
(3)在（2）的条件下，设圆C在点A处的切线为，在点B处的切线为，与的交点为Q.试探究：当m变化时，点Q是否恒在一条定直线上？若是，请求出这条直线的方程；若不是，说明理由.
变式2-1．设抛物线C的方程为x2＝4y，M为直线l：y＝﹣m（m＞0）上任意一点，过点M作抛物线C的两条切线MA，MB，切点分别为A，B．
(1)当M的坐标为（0，﹣1）时，求过M，A，B三点的圆的方程，并判断直线l与此圆的位置关系；
(2)求证：直线AB恒过定点；
(3)当m变化时，试探究直线l上是否存在点M，使△MAB为直角三角形，若存在，有几个这样的点，若不存在，说明理由．
变式2-2.已知椭圆的长轴长为，点在上．
(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆的左、右顶点分别为、，过定点的直线与椭圆交于、两点（异于点、），试探究直线、的交点的横坐标是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．
变式2-3．已知点是圆：上任意一点，是圆内一点，线段的垂直平分线与半径相交于点．
(1)当点在圆上运动时，求点的轨迹的方程；
(2)设不经过坐标原点，且斜率为的直线与曲线相交于，两点，记，的斜率分别是，．当，都存在且不为时，试探究是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．
巩固练习
练习一 存在性问题
1．如图，椭圆C的离心率是，过点的动直线l与椭圆相交于A，B两点，当直线l平行于y轴时，直线l被椭圆C截得的线段长为．
(1)求椭圆C的方程:
(2)已知D为椭圆的左端点，问: 是否存在直线l使得的面积为?若不存在，说明理由，若存在，求出直线l的方程．
2．已知圆与x轴交于A，B两点，动点P满足直线与直线的斜率之乘积为.
(1)求动点P的轨迹E的方程；
(2)过点的直线l与曲线E交于M，N两点，则在x轴上是否存在定点Q，使得的值为定值？若存在，求出点Q的坐标和该定值；若不存在，请说明理由.
3．已知椭圆C：的右焦点为F，O为坐标原点，过F且和x轴垂直的直线交椭圆于P，Q两点，，椭圆C的离心率为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点F的直线交椭圆C于M，N两点，问x轴正半轴上是否存在一定点T，使得，若存在，求出T点坐标；若不存在，说明理由.
4．如图，抛物线E：y2＝2px的焦点为F，四边形DFMN为正方形，点M在抛物线E上，过焦点F的直线l交抛物线E于A，B两点，交直线ND于点C.
(1)若B为线段AC的中点，求直线l的斜率；
(2)若正方形DFMN的边长为1，直线MA，MB，MC的斜率分别为k1，k2，k3，则是否存在实数λ，使得k1＋k2＝λk3？若存在，求出λ；若不存在，请说明理由．
练习二 探究性问题
5．设a，b是实数，若椭圆过点，且离心率为.
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)过椭圆E的上顶点P分别作斜率为，的两条直线与椭圆交于C，D两点，且，试探究过C，D两点的直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；否则，说明理由.
6．如图，已知抛物线与圆相交于A，B，C，D四点．
(1)若，求抛物线C的方程；
(2)试探究直线AC是否经过定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．
7．已知双曲线的离心率，虚轴在轴上且长为．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若斜率为的直线交于、两点，且直线与圆相切，求证：；
(3)已知椭圆，若、分别是、上的动点，且，探究点到直线的距离是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请说明理由．
8．设为坐标原点，椭圆与，轴的正半轴分别交于，两点，且的面积为，点，（，均不与重合）是椭圆上两个动点，且当时，.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线和的斜率之积为，试探究：直线是否过定点；若是，求出该定点坐标，若不是，请说明理由.
第五篇 解析几何
专题07 解析几何中的存在性与探究性问题
常见考点
考点一 存在性问题
典例1．已知椭圆：的右焦点在直线上，且离心率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)设，，过点A的直线与椭圆交于另一点（异于点），与直线交于一点，的角平分线与直线交于点，是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)存在，，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）先把代入直线方程，求出，根据离心率和求出椭圆方程；（2）设出直线的方程，联立椭圆方程，求出点P的坐标，表达出直线的斜率，再使用二倍角公式及直线NF的斜率表达出直线的斜率，从而得到等式，求出，得到的关系，得到的值.
(1)
因为右焦点在直线上，所以
所以椭圆的方程为
(2)
存在，，理由如下：
因为，设. 显然.
可设直线的方程为，
因为点在这条直线上，则
联立，得的两根为，


设 则
，
因为，所以.
故存在常数，使得
【点睛】
对于圆锥曲线定值问题，一般要设出直线方程，与圆锥曲线联立，得到两根之和，两根之积，进行求解，本题中由于一点是已知得，所以可以通过韦达定理求出另外一个交点的坐标，通过两种方法表达同一条直线的斜率得到等量关系，从而得到答案.
变式1-1．在平面直角坐标系xOy中，已知点，，点M满足直线AM与直线BM的斜率之积为，点M的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程；
(2)已知点，直线与x轴交于点D，直线AM与交于点N，是否存在常数λ，使得？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由.
【答案】(1)且；
(2)存在，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）利用斜率两点式，结合直线斜率之积为定值列方程，即可求M的轨迹为曲线C，注意.
（2）设、直线AM为，联立曲线C，应用韦达定理求坐标，进而应用表示、，结合二倍角正切公式判断与的数量关系，即可得解.
(1)
设，则且，
所以M的轨迹为曲线C方程为且.
(2)
设，则直线AM为，
联立曲线C得：，整理得：，
由题设知：，则，故，
又，，
所以，即，
所以存在，使.
变式1-2．已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，椭圆的离心率等于，抛物线的准线经过椭圆的一个焦点.椭圆与轴交于，两点，的横坐标小于的横坐标，是椭圆上异于，的动点，直线与直线交于点，设直线的斜率为，的中点为，点关于直线的对称点为.
(1)求椭圆的方程；
(2)是否存在，使的纵坐标为0？若存在，求出使的纵坐标为0的所有的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，
【解析】
【分析】
（1）根据题意可求得c,再根据椭圆的离心率列出方程，即可求得答案;
（2）设直线的方程为，联立椭圆方程求得M点坐标，进而得E,T点坐标，由此可写出向量，，的坐标，利用向量的夹角公式可证明，从而证明结论.
(1)
设椭圆的方程为，由抛物线的准线经过椭圆的一个焦点,得.
根据已知得，解方程组得,
∴椭圆的方程为.
(2)
存在，使的纵坐标为0，且的取值范围为.
由已知得，，，直线的方程为.
由,得,
∴.
由已知得，解得,
∴,∴.
解,得.∴,
由的中点为，得,
∴，，,
∵，
，
∴,
又∵，，∴,
∴，即平分.
∴直线与直线关于直线对称.
∴点在直线上，即点在轴上，其纵坐标为0，
∴，的纵坐标为0.
【点睛】
本题考查了椭圆方程的求解，以及直线和椭圆的位置关系，涉及到点的对称点问题，综合性较强，对计算能力有较高要求，解答的关键是第二问中通过向量的夹角公式证明角相等，从而证明点的对称点问题，有一定难度.
变式1-3．在平面直角坐标系中，已知，，.动点与，的距离的和等于18，动点满足.动点的轨迹与轴交于，两点，的横坐标小于的横坐标，是动点的轨迹上异于，的动点，直线与直线交于点，设直线的斜率为，的中点为，点关于直线的对称点为.
(1)求动点的轨迹方程；
(2)是否存在，使的纵坐标为0？若存在，求出使的纵坐标为0的所有的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，
【解析】
【分析】
(1)根据已知条件，计算出动点D的几何关系即可；
(2)作图，根据图中的几何关系，一一列出所求点的坐标,再做分析即可.
(1)
∵，，∴，
又∵动点与、两点的距离之和为18，
∴动点的轨迹是以、为焦点，长轴长为18的椭圆，
设，则.
设，由得，
代入上述椭圆方程可得，
∴动点的轨迹方程为；
(2)
依题意以及（1）的结论作下图：
由已知得，，
直线的方程为 ，
由得……①，
∴.
设M点的坐标为： ，直线AM与椭圆的一个交点为 ，
有①和韦达定理得：，解得，
∴，，
联立 得 ，，
BE的中点坐标为T(3，3k)，
，，，
∵，
，
∴，
∴，即平分，
∴直线与直线关于直线对称，
∴点在直线上，即点在轴上，
∴，的纵坐标为0，
若k=0，则M点与B点T点重合，求对称点没有意义；
故答案为：，存在， .
【点睛】
本题用角平分线的方式求解是一种思路，用M点和对称点P的连线的中点在直线FT上，并垂直于FT也是一种方法，就是要按照题目所给的条件作图，数形结合分析，写出每一步分析的结果.
考点二 探究性问题
典例2．已知直线，圆.
(1)证明：直线l与圆C相交；
(2)设l与C的两个交点分别为A、B，弦AB的中点为M，求点M的轨迹方程；
(3)在（2）的条件下，设圆C在点A处的切线为，在点B处的切线为，与的交点为Q.试探究：当m变化时，点Q是否恒在一条定直线上？若是，请求出这条直线的方程；若不是，说明理由.
【答案】(1)证明见解析；
(2)；
(3)点Q恒在直线上，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）求出直线过定点，得到在圆内部，故证明直线l与圆C相交；（2）设出点，利用垂直得到等量关系，整理后即为轨迹方程；（3）利用Q、A、B、C四点共圆，得到此圆的方程，联立，求出相交弦的方程，即直线的方程，根据直线过的定点，得到，从而得到点Q恒在直线上.
(1)
证明：直线过定点，代入得：，故在圆内，故直线l与圆C相交；
(2)
圆的圆心为，设点，由垂径定理得：，即，化简得：，点M的轨迹方程为：
(3)
设点，由题意得：Q、A、B、C四点共圆，且圆的方程为：，即，与圆C的方程联立，消去二次项得：，即为直线的方程，因为直线过定点，所以，解得：，所以当m变化时，点Q恒在直线上.
【点睛】
本题的第三问是稍有难度的，处理方法是根据四点共圆，直径的端点坐标，求出此圆的方程，与曲线联立后得到相交弦的方程，是处理此类问题的关键.
典例2-1．设抛物线C的方程为x2＝4y，M为直线l：y＝﹣m（m＞0）上任意一点，过点M作抛物线C的两条切线MA，MB，切点分别为A，B．
(1)当M的坐标为（0，﹣1）时，求过M，A，B三点的圆的方程，并判断直线l与此圆的位置关系；
(2)求证：直线AB恒过定点；
(3)当m变化时，试探究直线l上是否存在点M，使△MAB为直角三角形，若存在，有几个这样的点，若不存在，说明理由．
【答案】(1)x2+（y﹣1）2＝4；圆与直线l相切
(2)证明见解析
(3)答案不唯一，具体见解析
【解析】
【分析】
（1）设过点的切线方程，代入，整理得，令△，可得，的坐标，利用到的中点的距离为2，可得过，，三点的圆的方程，从而可判断圆与直线相切；
（2）证法一：设切点分别为，，，，过抛物线上点，的切线方程为，代入，消元，利用，即可确定，利用切线过点，，所以可得，同理可得，由此可得直线的方程，从而可得结论；
证法二：利用导数法，确定切线的斜率，得切线方程，由此可得直线的方程，从而可得结论；
（3）由（2）中①②两式知，是方程的两实根，故有，从而可得，分类讨论，利用，，即可求得结论．
(1)
当的坐标为时，设过点的切线方程为，代入，
整理得，
令，解得，
代入方程得，故得，，
因为到的中点的距离为2，
从而过，，三点的圆的方程为．
圆心坐标为，半径为2，
圆与直线相切.
(2)
证法一：设切点分别为，，，，过抛物线上点，的切线方程为，代入，整理得
△，又因为，所以，
从而过抛物线上点，的切线方程为即
又切线过点，，所以得①,即
同理可得过点，的切线为，
又切线过点，，所以得②,即,
即点，，，均满足即，
故直线的方程为
又，为直线上任意一点，故对任意成立，
所以，，从而直线恒过定点.
证法二：由已知得，求导得，切点分别为，，，，故过点，的切线斜率为，从而切线方程为即
又切线过点，，所以得①即，
同理可得过点，的切线为，
又切线过点，，所以得②即，
即点，，，均满足即，
故直线的方程为.
又，为直线上任意一点，故对任意成立，所以，，从而直线恒过定点.
(3)
由（2）中①②两式知，是方程的两实根，故有
，，
，
①当时，，直线上任意一点均有，为直角三角形；
②当时，，，不可能为直角三角形；
③当时，，，
因为，，
所以
若，则，整理得，
又因为，所以，
因为方程有解的充要条件是，所以当时，有或，为直角三角形.
综上所述，当时，直线上任意一点，使为直角三角形，当时，直线上存在两点，使为直角三角形；当或时，不是直角三角形．
【点睛】
关键点点睛：求抛物线的切线问题，可以先设出切线方程，再联立方程利用判别式确定参数，也可以利用导数求出切线的斜率，直接点斜式求解，证明直线过定点问题，需要先找到符合条件的直线方程，且需要转化为含一个参数的直线方程即可求出所过定点，属于常规问题.
变式2-2.已知椭圆的长轴长为，点在上．
(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆的左、右顶点分别为、，过定点的直线与椭圆交于、两点（异于点、），试探究直线、的交点的横坐标是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．
【答案】(1)；
(2)直线、的交点的横坐标为定值.
【解析】
【分析】
（1）求出的值，将点的坐标代入椭圆的方程，求出的值，可得出椭圆的标准方程；
（2）分析可知直线与轴不重合，可设直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，求出直线、的方程，求出两直线交点的横坐标，将韦达定理代入即可求得结果.
(1)
解：由题意，得，
又在椭圆上，所以，解得，．
所以椭圆的方程为．
(2)
解：可得、，
若直线与轴重合，则与重合，不合乎题意，
设直线的直线方程为，设点、，
联立，消整理得，
，
由韦达定理可得，．
直线的方程为，直线的方程为，
联立两条直线方程，解得．①
将，代入①，
得．②
将，代入②，
得．
因此，直线、的交点的横坐标为定值．
【点睛】
方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
变式2-3．已知点是圆：上任意一点，是圆内一点，线段的垂直平分线与半径相交于点．
(1)当点在圆上运动时，求点的轨迹的方程；
(2)设不经过坐标原点，且斜率为的直线与曲线相交于，两点，记，的斜率分别是，．当，都存在且不为时，试探究是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)是定值，.
【解析】
【分析】
(1)根据给定条件探求得，再借助椭圆定义直接求得轨迹的方程.
(2)设出直线的方程，再与轨迹的方程联立，借助韦达定理计算作答.
(1)
圆：的圆心，半径，
因线段的垂直平分线与半径相交于点，则，而，
于是得，
因此，点的轨迹是以C，A为左右焦点，长轴长为4的椭圆，短半轴长有，
所以轨迹的方程为.
(2)
依题意，设直线的方程为：，，
由消去y并整理得：，
，则且，
设，则有，，
因直线，的斜率，都存在且不为，因此，且，，
，
所以直线，的斜率，都存在且不为时，是定值，这个定值是.
【点睛】
方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：
(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
巩固练习
练习一 存在性问题
1．如图，椭圆C的离心率是，过点的动直线l与椭圆相交于A，B两点，当直线l平行于y轴时，直线l被椭圆C截得的线段长为．
(1)求椭圆C的方程:
(2)已知D为椭圆的左端点，问: 是否存在直线l使得的面积为?若不存在，说明理由，若存在，求出直线l的方程．
【答案】(1)
(2)存在方程使得
【解析】
【分析】
(1)借助题设条件建立方程组求解；
(2)依据题设运用直线与椭圆的位置关系进行探求．
(1)
椭圆的离心率是，过点的动直线与椭圆相交于两点，
当直线平行于轴时，直线被椭圆截得的线段长为，
点在椭圆上，
，解得：，
椭圆的方程为.
(2)
当直线与轴平行时，不存在，
设直线的方程为，并设两点，，
联立，得，
其判别式，
，，
假设存在直线，则有，
解得或（舍去），，
故存在直线方程使得．
【点晴】
本题考查的是椭圆的标准方程等基础知识与直线与椭圆的位置关系的综合性问题．解答本题的第一问时，直接依据题设条件运用椭圆的几何性质和椭圆的有关概念建立方程组，求得椭圆的标准方程为；第二问的求解过程中，先设直线的方程为，再借助题设中的的面积为满足的条件建立方程，求得，从而使得问题获解．
2．已知圆与x轴交于A，B两点，动点P满足直线与直线的斜率之乘积为.
(1)求动点P的轨迹E的方程；
(2)过点的直线l与曲线E交于M，N两点，则在x轴上是否存在定点Q，使得的值为定值？若存在，求出点Q的坐标和该定值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)，；
(2)存在点使得为定值，理由见解析；
【解析】
【分析】
（1）设出动点，利用直接法求解轨迹方程；（2）先求出直线l斜率为0时不合题意，得到直线斜率不等于0，从而设出直线l的方程，联立第一问求出的轨迹方程，利用韦达定理得到两根之和，两根之积，设出，求解，化简整理得到，从而得到存在点使得为定值.
(1)
令得：，不妨设，，则，整理得：，；动点P的轨迹方程E为，；
(2)
存在点，使得为定值，理由如下：
当直线l斜率为0时，则直线l为，此时与，无交点，故不合题意，舍去，即直线l斜率不为0
设，直线l设为，则与，联立得：，设，则，所以
当即时，为定值，即存在点使得为定值；
综上：存在点使得为定值.
【点睛】
圆锥曲线上是否存在点使某些量为定值的题目，经常考察，一般题目计算量大，且变量多，此时要抓住核心不变量，进行化简整理，主要方法是分离常数法，配方法等，本题中，将化简整理为是解题的关键所在.
3．已知椭圆C：的右焦点为F，O为坐标原点，过F且和x轴垂直的直线交椭圆于P，Q两点，，椭圆C的离心率为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点F的直线交椭圆C于M，N两点，问x轴正半轴上是否存在一定点T，使得，若存在，求出T点坐标；若不存在，说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，T（4，0）
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法求出椭圆的标准方程；
（2）分MN的斜率不存在和存在两种情况讨论：当MN的斜率不存在时，此时MN和x轴垂直，由椭圆的对称性知有TF平分∠MTN；当MN的斜率存在时，设MN的直线方程为，设，，T（t，0），用“设而不求法”判断出当时，，即可证明.
(1)
设椭圆的焦距为2c.依题意，P点的横坐标为c，不妨设点P在第一象限，将c代入到椭圆方程中得P点的坐标为P（c，），
由椭圆的离心率为知，，，
于是P的坐标为（c，c），
而由得，所以，，
所以椭圆的标准方程为.
(2)
当MN的斜率不存在时，此时MN和x轴垂直，由椭圆的对称性知有TF平分∠MTN，
当MN的斜率存在时，
设MN的直线方程为，
，，T（t，0），
得到直线TM和直线TN的斜率之和
将代入到椭圆方程中得，
所以
所以
当时，，且与k无关，
即存在T（4，0），使得TF平分∠MTN.
【点睛】
（1）待定系数法可以求二次曲线的标准方程；
（2）“设而不求法”是一种在解析几何中常见的解题方法，可以解决直线与二次曲线相交的问题.
4．如图，抛物线E：y2＝2px的焦点为F，四边形DFMN为正方形，点M在抛物线E上，过焦点F的直线l交抛物线E于A，B两点，交直线ND于点C.
(1)若B为线段AC的中点，求直线l的斜率；
(2)若正方形DFMN的边长为1，直线MA，MB，MC的斜率分别为k1，k2，k3，则是否存在实数λ，使得k1＋k2＝λk3？若存在，求出λ；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)存在，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）作出辅助线，利用抛物线定义及中位线得到AQ＝AB，从而得到倾斜角的余弦值及正切值，即直线l的斜率；（2）先求出p＝1，设出直线方程my＝x－，与抛物线方程联立，得到两根之和，两根之积，假设存在实数λ，得到等量关系，求出λ的值.
(1)
由已知可得DN为抛物线的准线．
设直线l的倾斜角为α.
如图所示，分别过点A，B，作AG⊥DN，BH⊥DN，G，H为垂足．则BH＝BF，AG＝AF.
作BQ⊥AG，Q为垂足，则QG＝BH.
因为B为线段AC的中点，所以BH为△ACG的中位线．所以BH＝AG＝AQ，所以AQ＝AB.
所以cs α＝cs ∠QAB＝，所以tan α＝，所以直线l的斜率为.
(2)
存在，使得k1＋k2＝λk3，理由如下：
因为正方形DFMN的边长为1，所以p＝1，因此抛物线的方程为：y2＝2x.可得.
设直线l的方程为my＝x－，A（x1，y1），B（x2，y2），.
联立，化为：y2－2my－1＝0，所以y1＋y2＝2m，y1y2＝－1.
假设存在实数λ，使得k1＋k2＝λk3，则，
左边＝，所以，
解得：λ＝2.因此存在实数λ＝2，使得k1＋k2＝2k3.
练习二 探究性问题
5．设a，b是实数，若椭圆过点，且离心率为.
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)过椭圆E的上顶点P分别作斜率为，的两条直线与椭圆交于C，D两点，且，试探究过C，D两点的直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；否则，说明理由.
【答案】(1)；
(2)过定点，坐标为.
【解析】
【分析】
（1）根据椭圆的离心率公式，结合代入法进行求解即可；
（2）根据直线斜率公式和一元二次方程根与系数的关系进行求解即可.
(1)
因为椭圆的离心率为，
所以有.
椭圆过点，所以，由可解：
，所以该椭圆方程为：；
(2)
由（1）可知：，
设直线的方程为：，若，由椭圆的对称性可知：，不符合题意，
当时，
直线的方程与椭圆方程联立得：，
设， ，
，
因为，所以，把代入得：
，
所以有或，
解得：或，
当时，直线，直线恒过定点，
此时与点重合， 不符合题意，
当时，，直线恒过点，
当直线不存在斜率时，此时， ，因为，所以
，两点不在椭圆上，不符合题意，
综上所述：过C，D两点的直线过定点，定点坐标为.
【点睛】
关键点睛：根据一元二次方程根与系数关系是解题的关键.
6．如图，已知抛物线与圆相交于A，B，C，D四点．
(1)若，求抛物线C的方程；
(2)试探究直线AC是否经过定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)直线AC恒过点
【解析】
【分析】
(1)将抛物线与圆联立，再运用韦达定理建立等式求解；
(2) 先求直线AC的斜率，再根据点斜式写出直线AC的方程，然后化简可求解.
(1)
根据已知圆及抛物线的对称性，可设，，，．
由，消去y，可得．
则，得或，
，，且．
显然，，故．
由，知，即，则．
故抛物线C的方程为．
(2)
直线AC经过定点．
由题意，直线AC的斜率存在，且为．
所以，直线AC的方程可以表示为：．
即，
所以，即．所以直线AC恒过点．
7．已知双曲线的离心率，虚轴在轴上且长为．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若斜率为的直线交于、两点，且直线与圆相切，求证：；
(3)已知椭圆，若、分别是、上的动点，且，探究点到直线的距离是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)点到直线的距离为定值，且定值为
【解析】
【分析】
（1）根据已知条件可得出关于、、的方程组，求出这三个量的值，即可得出双曲线的标准方程；
（2）设直线的方程为，设点、，由直线与圆相切可得出，将直线的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，计算得出，即可证得结论成立；
（3）设点到直线的距离为，分轴与与轴不垂直两种情况讨论，求出、，利用等面积法求出的值，即可得出结论.
(1)
解：虚轴在轴上，则双曲线的标准方程为．
由题意得，解得a=22b=1c=62，
故双曲线的标准方程为．
(2)
证明：设直线的方程为，设点、，
因为直线与圆相切，则，即．
联立y=x+t2x2−y2=1可得，，
由韦达定理可得，，
所以，，
因此，．
(3)
解：设点到直线的距离为，
当直线轴时，，，
则点到直线的距离为；
当直线不垂直于轴时，设直线的方程为，则直线的的方程为，
由得，则，同理．
，即，
∴，即．
综上，点到直线的距离为定值，且定值为．
【点睛】
方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
8．设为坐标原点，椭圆与，轴的正半轴分别交于，两点，且的面积为，点，（，均不与重合）是椭圆上两个动点，且当时，.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线和的斜率之积为，试探究：直线是否过定点；若是，求出该定点坐标，若不是，请说明理由.
【答案】(1)
(2)过定点，
【解析】
【分析】
(1)根据三角形面积公式和题意可得、，联立方程组，解方程组即可；
(2)由(1)知直线的斜率存在，设直线的方程为，联立椭圆方程并消去y，利用韦达定理表示出，结合两点坐标表示直线斜率进而得出关于m的方程，解方程即可.
(1)
由题意得，，则①，
∵，∴在椭圆上，代入可得②，
联立①②，解得，，∴椭圆的方程为.
(2)
由（1）知，，若直线的斜率不存在，设，，
此时，
与题设矛盾，故直线的斜率必存在.
设直线的方程为，联立，
得，，
设，
∴，，（*）
∴
，
将（*）式代入上式，整理得，
解得或，当时，直线过定点，不符题意.
所以直线过定点.