2024年新高考数学培优专练23 利用导数证明不等式（原卷版+解析）

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1．已知函数，数列的前n项和为，且满足，，则下列有关数列的叙述正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列不等式正确的是（ ）
A．当时，B．当时，
C．当时，D．当时，
3．已知定义在R上的函数满足，则下列式子成立的是（ ）
A．B．
C．是R上的增函数D．，则有
二、解答题
4．已知函数，，若最小值为0.
（1）求实数的值；
（2）设，证明：.
5．已知函数，.
（1）当时，求函数的最大值；
（2）设，当，且，求证：.
6．已知函数，其中为自然对数的底数．
（1）当时，证明：；
（2）设实数，是函数的两个零点，求实数的取值范围．
7．已知，当时恒成立．
（1）求实数的取值范围；
（2）当时，求证：．
8．已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若，求证：.
9．已知函数.
(1)若只有一个极值点，求的取值范围.
(2)若函数存在两个极值点，记过点的直线的斜率为，证明：.
10．函数.
（1）当时，求的单调区间；
（2）当，时，证明：.
11．已知函数．
（1）讨论函数的单调区间；
（2）当时，求证：．
12．函数.
（1）若，求的单调性；
（2）当时，若函数有两个零点，求证：.
13．已知函数．
（1）试讨论的单调性；
（2）若，证明：．
14．已知函数.
（1）当时，求的最小值；
（2）若对任意恒有不等式成立.
①求实数的值；
②证明：.
15．已知a＞0，函数．
（1）若f（x）为减函数，求实数a的取值范围；
（2）当x＞1时，求证：．（e＝2.718…）
16．已知函数，.
（1）判断函数的单调性；
（2）若，判断是否存在实数，使函数的最小值为2？若存在求出的值；若不存在，请说明理由；
（3）证明：.
17．已知函数.
（1）求证：；
（2）函数，有两个不同的零点，.求证：.
18．已知函数，.
（1）若函数在区间内是增函数，求的取值范围；
（2）证明：.
19．已知函数.
（1）若a= -2，求函数f(x)的单调区间；
（2）若函数f(x)有两个极值点x1，x2，求证.
20．（1）当时，求证：；
（2）若对于任意的恒成立，求实数k的取值范围；
（3）设a>0，求证；函数在上存在唯一的极大值点，且.