第21章 代数方程 单元综合检测-2023-2024学年八年级数学下册高频考点精讲与精练高分突破（沪教版）

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第21章 代数方程 单元综合检测 一、单选题1．下列说法正确的是(    )A．是二项方程 B．是二元二次方程C．是分式方程 D．是无理方程【答案】B【分析】根据二项方程：形如;无理方程:根式方程就是根号下含有未知数的方程.二元二次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是二的整式方程；分式方程：是指分母里含有未知数的有理方程，依次判断即可．【解析】解：A、没有常数项，不符合题意；B、符合二元二次方程的定义，符合题意；C、分母中无未知量，不符合分式方程的定义，不符合题意；D、根号下无未知量，不符合无理方程的定义，不符合题意；故选：B．【点睛】此题考查了各类方程的定义，熟记二项方程，二元二次方程，分式方程，无理方程的定义是解题的关键．2．由方程组消去y后化简得到的方程是（　　）A．2x2﹣2x﹣6＝0 B．2x2+2x+5＝0 C．2x2+5＝0 D．2x2﹣2x+5＝0【答案】D【分析】根据题目中方程组的特点，由x﹣y﹣1＝0，可以得到y＝x-1，然后将x-1看成一个整体，换为y代入第二方程，再化简即可解答本题．【解析】解：，由①，得y＝x-1③，将③代入②，得（x﹣1）2+x2+4＝0，化简，得2x2﹣2x+5＝0，故选：D．【点睛】本题考查二元二次方程组，解答本题的关键是明确消元法，利用方程的思想解答．3．用换元法解分式方程时，如果设，那么原方程可化为（    ）A．； B．； C．； D．．【答案】A【分析】把代入原方程，得出，再进行整理即可．【解析】解：整理，得，把代入方程得：，整理得：，故选 A．【点睛】本题考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握利用换元法，把一个式子做为整体进行替换，将分式方程化简为一元二次方程．4．下列方程中，有一个根是的方程是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】解方程再检验，或把x=2代入选项中的每个方程，再逐个判断．【解析】A.解方程，方程两边都乘以x-2，得x=2，检验：当x=2时，x-2=0，所以x=2是增根，即x=2不是原方程的解，故A选项不符合题意；B.当x=2时，分母不等于0，方程的左边=， 右边=0，即左边=右边，所以x=2是原方程的解，故本选项符合题意；C．当x=2时，中x-3＜0，所以x=2不是方程的解，故本选项不符合题意；D．当x=2时，中x-6＜0，所以x=2不是方程的解，故本选项不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了解分式方程和解无理方程，注意：解分式方程和解无理方程的过程中都必须进行检验．5．下列关于的方程中，一定有实数解的是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】先解答选项中的各个方程，即可判断那个选项中的方程一定有实数解，从而可以解答本题．【解析】解：∵，∴无解，故选项A错误；∵，得，∴，则Δ＝，故此方程无解，故选项B错误；∵，∴Δ＝，∴一定有两个不相等的实数根，故选项C正确；∵，解得，x＝1，而x＝1时，x−1＝0，故此分式方程无解，故选项D错误；故选：C．【点睛】本题考查无理方程、根的判别式、分式方程的解，解题的关键是明确无理方程根号里面的数或式子大于等于0，根的判别式△0时，方程有实数根，分式方程的解要使得原分式方程有意义．6．如果关于的方程有实数根，那么的值是（  ）A． B． C． D．【答案】A【分析】把代入方程得出，再求出方程的解即可．【解析】解：把代入方程，得：，两边平方得：，解得：，经检验是方程的解，即，故选：A．【点睛】本题考查了解无理方程和方程的解，能把无理方程转化为有理方程是解此题的关键．7．方程组的解是（　　）A． B． C． D．【答案】A【分析】将分解因式，将x−y＝1代入可得x＋y＝3，据此可求出x，y．【解析】解：由得：（x＋y）（x−y）＝3，∵x−y＝1①，∴x＋y＝3②，由①＋②得2x＝4，解得：x＝2，把x＝2代入x−y＝1得y＝1，∴方程组的解为，故选：A．【点睛】本题考查解二元二次方程组，解题的关键是将二次方程通过因式分解和整体代换转化为解二元一次方程组．8．A，B两地相距180km，新修的高速公路开通后，在A，B两地间行驶的长途客车平均车速提高了50%，而从A地到B地的时间缩短了1h．若设原来的平均车速为，则根据题意可列方程为（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】设原来的平均车速为，则根据题意“从A地到B地的时间缩短了1h”，列出分式方程即可求解．【解析】解：设原来的平均车速为，则新修的高速公路开通后车速为，根据题意可列方程为．故选A．【点睛】本题考查了列分式方程，找到等量关系列出方程是解题的关键．9．二元二次方程组的解的个数是（　　）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】先由方程①求出x，y的值，代入②，求解，即可得出结论．【解析】解：，由①得x＝﹣1或y＝2，当x＝﹣1时，代入②得∶y＝1，当y＝2时， 代入②得∶x＝±，所以方程组的解或或．故选：C．【点睛】本题主要考查解方程的能力，体现数学中化归思想，消元和降次是解此类问题的关键．10．方程组有四组不同的实数解，则m的取值范围是（  　 ）A． B． C． D．，且【答案】D【分析】首先运用代入法将方程组变形，然后利用根的判别式即可得解.【解析】由②，得③将③代入①，得∵方程组有四组不同的实数解，∴且∴，且故选：D.【点睛】此题主要考查根据二元二次方程组的解求参数的取值范围，解题关键的利用根的判别式.二、填空题11．方程 的解是_______．【答案】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解析】解：去分母得：，移项合并得：，检验：当时，，∴分式方程的解为．故答案为：．【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．12．二元二次方程可以化为两个一次方程，它们是______．【答案】x-6y=0或x+y=0【分析】把y看成常量，方程就是关于x的一元二次方程，利用因式分解法化为两个一次方程即可．【解析】解：x2-5xy-6y2=0，（x-6y）（x+y）=0，∴x-6y=0或x+y=0．故答案为：x-6y=0或x+y=0．【点睛】本题考查了二元二次方程，把y看成常量，方程看成关于x的一元二次方程是解决本题的关键．13．方程的根是______．【答案】【分析】首先把方程两边同时平方，去掉根号，然后解一元二次方程，最后检验即可求解．【解析】解：两边平方得，，移项得：，即，解得，，经检验，是增根，∴方程的解为．故答案为：．【点睛】此题主要考查了解无理方程的方法，解题的关键是利用平方把方程的根号去掉，化无理方程为有理方程．14．方程组的解为______．【答案】【分析】设=m，=n，即可得到一个关于m，n的方程组求得m，n的值，进而即可求得x，y的值．【解析】解：设=m，=n．则原方程组即可化为：，解得：，则，解得：．经检验是原方程组的解．故答案是：．【点睛】本题主要考查了分式方程组的解法，利用换元法转化为整式方程组是解题的关键．15．甲乙两人加工一批零件，甲先加工了一半，然后乙加工了剩下部分，前后共用了10天完成，如果甲乙两人一起加工，6天可加工完，如设甲、乙两人单独加工完成这批零件各需x天．y天可列方程组为______．【答案】【分析】根据“甲先加工了一半，然后乙加工了剩下部分，前后共用了10天完成”得到第一个等量关系；根据“如果甲乙两人一起加工，6天可加工完”得到第二个等量关系，据此列出方程组即可．【解析】解：由题意，得，故答案为：．【点睛】此题考查了分式方程的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系，工程问题中常用的关系式有：工作时间=工作总量÷工作效率．16．解关于的方程有增根，则的值为___________【答案】##【分析】根据分式方程增根的产生，即使其最简公分母为0，但适合其转化为的整式方程进行求解．【解析】解：根据题意，得该分式方程的增根是，该分式方程转化为整式方程，得，把代入，得．故答案为：．【点睛】此题考查了分式方程的增根，即适合分式方程转化为整式方程，但却使分式方程的最简公分母为0．17．如果关于x的分式方程的解为正数，那么a的取值范围是___________．【答案】且【分析】根据解分式方程的一般步骤，可得分式方程的解，根据解为正数，可得不等式，根据解不等式，可得答案．【解析】解：，，解得：，，，即，解得，因为解为正数，，即，解得，故答案为：且．【点睛】此题考查分式方程的解；解题关键在于根据解为正数，可得不等式再求出解集.18．若关于x的方程-2x+m+4020=0存在整数解，则正整数m的所有取值的和为___________.【答案】18【分析】将原方程变形为m=2x-4020，由m为正整数、被开方数非负，可得出2010≤x≤2018，依此代入各值求出m的值，再将是正整数的m的值相加即可得出结论．【解析】原题可得：m=2x-4020，∵m为正整数，∴m≥0，∴2x-4020≥0，∴x≥2010．∵2018-x≥0，∴x≤2018，∴2010≤x≤2018．当x=2010时，2m=0，m=0，不符合题意；当x=2011时，m=2，m=，不符合题意；当x=2012时，m=4，m=，不符合题意；当x=2013时，m=6，m=，不符合题意；当x=2014时，2m=8，m=4；当x=2015时，m=10，m=，不符合题意；当x=2016时，m=12，m=6，不符合题意；当x=2017时，m=14；当x=2018时，0=16，不成立．∴正整数m的所有取值的和为4+14=18．故答案为18．【点睛】本题考查了无理方程，由被开方数非负及m为正整数，找出x的取值范围是解题的关键．三、解答题19．解方程组：【答案】或【分析】根据①得，即或，分别与②联立解方程组即可求解．【解析】解：由①得，则或，∴或，解得：或．【点睛】本题考查了解二元二次方程组，正确的计算是解题的关键．20．解方程：．【答案】【分析】先把移到方程的右边，两边平方，化简后再次平方，然后解一元二次方程，最后检验即可.【解析】解： 两边平方化简， 两边平方化简．解之得， 检验：将代入原方程，左边右边，舍去．所以原方程的解为．【点睛】本题考查了解无理方程，以及解一元二次方程，通过平方把无理方程化为有理方程是解答本题的关键.21．解方程组：．【答案】【分析】设，，可解得，即得，可解得，再检验，即可得答案．【解析】解：设，，则原方程组变形为：，解得，，即，解得，经检验，是原方程组的解，原方程组的解为：．【点睛】本题考查解分式方程，解题的关键是用换元法把方程组变形．22．解方程：(1)；(2)；(3)【答案】(1)(2)，；(3)，，，．【分析】（1）移项后两边平方得出，求出，再方程两边平方得出，求出，再进行检验即可；（2）观察可得最简公分母是，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解；（3）令，则，代入原方程，得，所以，，然后分两种情况分别解方程即可．【解析】（1）解：移项得，，两边平方得，，合并同类项得，，∴，两边平方得，，整理得，，∴，解得：，，经检验，，不是原方程的解，∴原方程的解为：．（2）解：方程两边同时乘以得， 整理得，，解得，，∴，，经检验，，时，，∴原方程的根为：，．（3）解：令，代入原方程得，，∴，解得：，，当时，，即： ，∴，解得：，，当时，，即： ，∴，解得：，，经检验都为原方程的解∴原方程的解为：，，，．【点睛】本题考查了解无理方程，能把无理方程转化成有理方程是解此题的关键；还考查了解分式方程，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，（2）解分式方程一定注意要验根．23．关于x的方程有且只有一个实数解，求k.【答案】4或或0【分析】分k=0和k≠0求解，当k≠0时，再分方程是一元二次方程和不是一元二次方程两种情况求解．【解析】当k=0时，方程变形为，整理，得4x+1=0，方程只有一个实数解，符合题意，当k≠0时，方程两边用时乘以x(x-1)，整理，得，当k=4时，方程变形为3x+1=0，方程只有一个实数解，符合题意，当k≠4时，方程只有一个实数根，所以，解得k=，综上所述，当方程只有一个实数解，符合题意的k值为4或或0．【点睛】本题考查了分式方程的解法，分式方程转化为一元一次方程或一元二次方程，正确进行分类是解题的关键．24．北京冬奥会期间，海内外掀起一股购买冬奥会吉祥物“冰墩墩”的热潮．某玩具厂接到6000箱“冰墩墩”的订单，需要在冬奥会闭幕之前全部交货．为了尽快完成订单，玩具厂改良了原有的生产线，每天可以多生产20箱“冰墩墩”，结果提前10天完成任务，求该玩具厂改良生产线前每天生产多少箱“冰墩墩”？【答案】100箱【分析】设该玩具厂改良生产线前每天生产x箱“冰墩墩”，则该玩具厂改良生产线后每天生产(x+20)箱“冰墩墩”，根据题意即可列出分式方程，解分式方程即可求得．【解析】解：设该玩具厂改良生产线前每天生产x箱“冰墩墩”，则该玩具厂改良生产线后每天生产箱“冰墩墩”，根据题意得整理得：解得，(舍去)经检验：，都是原方程的解，但不符合题意舍去，故该玩具厂改良生产线前每天生产100箱“冰墩墩”．【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，找准等量关系，列出分式方程是解决本题的关键，注意要检验．25．甲，乙两名摩托车选手在匀速状态下进行赛道训练，已知两名选手先后从起点A地驶往相距60千米的终点B地．如果甲的速度比乙的速度慢1千米/分钟．甲比乙早出发1分钟，最后乙先到达终点B地．设甲的行驶时间为x（分钟），甲、乙的行驶路程、（千米）与x之间的函数图像如图所示．（1）根据图像，回答问题：当乙到达终点B地时，________千米；（2）求甲、乙两名摩托车选手的速度；（3）求关于x的函数解析式．【答案】（1）52；（2）甲的速度是3千米/分钟，乙的速度是4千米/分钟；（3）（1≤x≤12）【分析】（1）由图象可直接得出答案；（2）设乙摩托车选手的速度为v千米/分钟，根据路程、速度与时间的关系，即可解答；（3）利用待定系数法即可求解．【解析】解：（1）观察图象知当乙到达终点B地时，y甲=52千米，故答案为：52；（2）设乙的速度是x千米/分钟，由题意，，解得：x1=-13，x2=4，经检验，x1=-13，x2=4是原方程的解，x1=-13，不合题意，舍去，∴乙的速度是4千米/分钟，甲的速度是3千米/分钟；（3）乙的行驶时间为60÷5=12（分钟），设y乙关于x的函数解析式为y=kx+b，根据题意得，，解得：，∴y乙关于x的函数解析式为（1≤x≤12）．【点睛】本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用，利用路程、速度与时间的关系得出方程是解题关键．26．“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程．”这是我国古代著名数学家刘徽在《九章算术》对方程一词给出的注释．对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的一个解，则称这两个方程为“相似方程”：②若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”．(1)判断分式方程与无理方程是否是“相似方程”，并说明理由；(2)已知关于x，y的方程：和，它们是“相似方程”吗？如果是，请写出它们的公共解；如果不是，请说明理由；(3)已知关于x，y的二元一次方程：和（其中k为常数）是“相伴方程”，求k的值.【答案】(1)分式方程与无理方程是“相似方程”，理由见解析；(2)和，它们是“相似方程”，公共解为(3)或或【分析】（1）分别求出分式方程和无理方程的解，然后根据“相似方程”的定义进行判断即可；（2）联立两个两个方程，求出它们的公共解，如果只有唯一解，即说明两个方程是“相似方程”，如果没有唯一解则说明两个方程不是“相似方程”；（3）联立两个方程得到，再分当时， 当时，两种情况讨论求解即可．【解析】（1）解：分式方程与无理方程是“相似方程”，理由如下：两边用时乘以得：，∴，∴，∴或，经检验和都是原方程的解；∵，∴，∴，∴，解得或，∴分式方程与无理方程有一个相同的解，∴分式方程与无理方程是“相似方程”；（2）解：联立得：，∴，∴，∴，∴原方程组的解为，∴方程和方程有一个公共解，∴和，它们是“相似方程”，公共解为（3）解：∵关于x，y的二元一次方程：和（其中k为常数）是“相伴方程”，∴，∴，当时，即不符合题意；当时，则，∵x、y都是整数，∴或或【点睛】本题主要考查了解分式方程，解无理方程，解二元二次方程，解二元一次方程组等等，正确理解题意是解题的关键．