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沪教版八年级数学下册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破21.1-21.3整式方程、分式方程(原卷版+解析)
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21.1-21.3整式方程、分式方程一、一元整式方程1. 一元整式方程：如果方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式,这个方程叫做一元整式方程;2.一元n次方程：一元整式方程中含未知数的项的最高次数是(是正整数),这个方程叫做一元次方程.3.一元高次方程概念：一元整式方程中含有未知数的项的最高次数是，若次数是大于2的正整数，这样的方程统称为一元高次方程。要点：一元高次方程应具备：整式方程;只含一个未知数;含未知数的项最高次数大于2次.二、二项方程1.概念：如果一元n次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这样的方程就叫做二项方程.要点：注 ：①=0（a≠0）是非常特殊的n次方程，它的根是0.②这里所涉及的二项方程的次数不超过6次.2.一般形式： 3. 二项方程的基本方法:是（开方）4.解的情况：当n为奇数时，方程有且只有一个实数根，；当n为偶数时，如果ab<0，那么方程有两个实数根，且这两个根互为相反数；如果ab>0，那么方程没有实数根.三、双二次方程1.概念：只含有偶数次项的一元四次方程. 要点：当常数项不是0时，规定它的次数为0.2.一般形式：3.解题的一般步骤：换元——解一元二次方程——回代4.解双二次方程的常用方法：因式分解法与换元法（目的是降次，使它转化为一元一次方程或一元二次方程）通过换元，把双二次方程转化为一元方程体现了“降次”的策略。要点：解高于一次的方程，基本思想就是“降次”，对有些高次方程，可以用因式分解的方法降次。用因式分解的方法时要注意：一定要使方程的一边为零，另一边可以因式分解。四、分式方程分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程.要点：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数.（2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程.（3）分式方程和整式方程看联系：分式方程可以转化为整式方程. 五、求解可化为一元二次方程的分式方程的步骤.可以用下面的图表示：分式方程去分母解整式方程检验增根舍去是原方程的根写出分式方程的根六、分式方程的解法1、解分式的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根.2、解分式方程的一般步骤：（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 要点：1、熟练掌握用“去分母”法求解分式方程的方法.2、了解用“换元法”解特殊的分式方程（组）.3、领会分式方程“整式化”的化归思想和方法.七、解分式方程产生增根的原因方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根.产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根.要点：（1）增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的.根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，所得方程是原方程的同解方程.如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根.（2）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的.题型1：整式方程1．下面四个方程中是整式方程的是（ ）．A． B． C． D．2．下列方程是一元高次方程的是（ ）A．x+3＝0 B．x2﹣3x﹣1＝0 C．x3+2x+＝0 D．x4+1＝03．解关于x的方程：4．关于x的方程,当a__________时为一元一次方程；当a________时为一元二次方程.题型2：二项方程5．下列方程中，是二项方程的是（ ）A．； B．； C．； D．6．下列方程中，二项方程是（ ）A． B．C． D．7．下列方程中，属于二项方程的是（ ）A． B． C． D．8．试写出一个二项方程，这个方程可以是________________.题型3：分式方程的概念9．已知方程：①；②③；④．这四个方程中，分式方程的个数是（ ）A．4 B．3 C．2 D．1题型4：解分式方程10．方程的解是（ ）A． B． C． D．无解11．方程的解是___．12．解方程：．13．解方程：题型5：分式方程的无解、增根问题14．若关于x的分式方程无解，则m的值为（ ）A．4 B．5 C．6 D．815．解关于的方程有增根，则的值为___________题型6：换元法16．用换元法解分式方程时，如果设，那么原方程可化为（ ）A．； B．； C．； D．．17．已知关于x的方程3，如果设y，那么原方程化为关于y的方程是 _____．题型7：求参数范围18．如果关于x的分式方程的解为正数，那么a的取值范围是___________．19．关于的方程只有一个实数根，求：的值．一、单选题1．下列方程中，是二项方程的是（ ）A．x3+8＝0 B．﹣16＝0 C．x3+x＝1 D．x2＝y22．下列方程是二项方程的是（ ）A．B．C．D．3．下列关于x的方程是分式方程的是（ ）A． B． C． D．4．下列分式方程中，解为的是（ ）A． B． C． D．5．下列方程：①；②；③；④．其中，分式方程有（ ）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个6．用换元法解方程时，若设，则原方程可化为关于y的方程是（ ）A． B． C． D．7．若关于x的分式方程无解，则a的值为（ ）A．1 B．1或 C．-1或 D．以上都不是8．已知关于x的方程的解为．则关于y的方程的解为（ ）A． B． C． D． 9．若关于x的分式方程的解是非负整数解，且a满足不等式，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）A．12 B．16 C．18 D．4910．若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解是正整数，则所有满足条件的整数a的个数是（ ）A．3 B．4 C．5 D．6二、填空题11．方程________二项方程（填“是”或不是）12．已知关于x的方程是二项方程，则m= ______．13．二项方程的实数根是_______．14．方程 的解是_______．15．分式方程的解是，则_______．16．如果关于的分式方程无解，则______．17．若数使关于的分式方程的解为正数，且使关于的不等式组的解集为，则符合条件所有整数的积为______．18．对于两个非零的实数，，定义新运算．例如：．则______；若，则的值为______．三、解答题19．解方程：．20．解方程：．21．解方程：．22．解方程：23．解方程：24．关于x的方程有且只有一个实数解，求k.25．用换元法解方程：x2﹣x﹣=4．26．已知方程只有一个根，求a的值．27．＝有增根，求所有可能的t之和． 21.1-21.3整式方程、分式方程一、一元整式方程1. 一元整式方程：如果方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式,这个方程叫做一元整式方程;2.一元n次方程：一元整式方程中含未知数的项的最高次数是(是正整数),这个方程叫做一元次方程.3.一元高次方程概念：一元整式方程中含有未知数的项的最高次数是，若次数是大于2的正整数，这样的方程统称为一元高次方程。要点：一元高次方程应具备：整式方程;只含一个未知数;含未知数的项最高次数大于2次.二、二项方程1.概念：如果一元n次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这样的方程就叫做二项方程.要点：注 ：①=0（a≠0）是非常特殊的n次方程，它的根是0.②这里所涉及的二项方程的次数不超过6次.2.一般形式： 3. 二项方程的基本方法:是（开方）4.解的情况：当n为奇数时，方程有且只有一个实数根，；当n为偶数时，如果ab<0，那么方程有两个实数根，且这两个根互为相反数；如果ab>0，那么方程没有实数根.三、双二次方程1.概念：只含有偶数次项的一元四次方程. 要点：当常数项不是0时，规定它的次数为0.2.一般形式：3.解题的一般步骤：换元——解一元二次方程——回代4.解双二次方程的常用方法：因式分解法与换元法（目的是降次，使它转化为一元一次方程或一元二次方程）通过换元，把双二次方程转化为一元方程体现了“降次”的策略。要点：解高于一次的方程，基本思想就是“降次”，对有些高次方程，可以用因式分解的方法降次。用因式分解的方法时要注意：一定要使方程的一边为零，另一边可以因式分解。四、分式方程分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程.要点：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数.（2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程.（3）分式方程和整式方程看联系：分式方程可以转化为整式方程. 五、求解可化为一元二次方程的分式方程的步骤.可以用下面的图表示：分式方程去分母解整式方程检验增根舍去是原方程的根写出分式方程的根六、分式方程的解法1、解分式的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根.2、解分式方程的一般步骤：（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 要点：1、熟练掌握用“去分母”法求解分式方程的方法.2、了解用“换元法”解特殊的分式方程（组）.3、领会分式方程“整式化”的化归思想和方法.七、解分式方程产生增根的原因方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根.产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根.要点：（1）增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的.根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，所得方程是原方程的同解方程.如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根.（2）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的.题型1：整式方程1．下面四个方程中是整式方程的是（ ）．A． B． C． D．【答案】C【分析】根据整式方程与分式方程的定义解答．分式方程的定义：分母里含有未知数的方程叫做分式方程进行判断．【解析】A. 分母中含有求知数，是分式方程，不符合题意；B. 即为，分母中含有求知数，是分式方程，不符合题意；C. 两边都是含未知数的整式，是整式方程；D. 分母中含有求知数，是分式方程，不符合题意.故选C.【点睛】本题考查了整式方程的定义．判断一个方程是否为整式方程，主要是依据整式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数．2．下列方程是一元高次方程的是（ ）A．x+3＝0 B．x2﹣3x﹣1＝0 C．x3+2x+＝0 D．x4+1＝0【答案】D【分析】根据一元高次方程的定义：只含一个未知数，未知项的最高次数大于等于3的整式方程，即可得出答案．【解析】解：这四个方程都只含一个未知数，∵A，B中未知数的项的次数小于等于2，∴A，B选项不是一元高次方程，不符合题意，∵C中分母中含有未知数，∴是分式方程，∴C选项不符合题意，∵D符合一元高次方程定义：只含一个未知数，未知项的最高次数大于等于3的整式方程，∴D选项符合题意，故选：D．【点睛】本题考查了一元高次方程的定义，注意几元几次方程都首先是整式方程．3．解关于x的方程：【答案】【分析】方程两边都除以b，再移项即可得出答案．【解析】解：去括号，得bx-3b=4，移项，得bx=3b +4，由题意知b≠0，∴方程两边同除以b得，，方程的解为．【点睛】本题考查了解一元一次方程，把b看作已知数是解题的关键．4．关于x的方程,当a__________时为一元一次方程；当a________时为一元二次方程.【答案】 =4 ≠4且≠-2.【分析】分别根据一元二次方程及一元一次方程的定义求解即可．【解析】(1) 由于一元一次方程的定义可知：a2-2a-8=0且a+2≠0，解得：a=4(2)由一元二次方程的定义可知：a2-2a-8≠0，解得a≠4且a≠-2.故答案为4;a≠4且a≠-2,【点睛】本题考查的一元二次方程和一元一次方程的定义，熟知一元二次方程与一元一次方程的定义是解题的关键；只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2次的整式方程叫做一元二次方程；只含有一个未知数，且未知数的最高次数的是1次的整式方程叫做一元一次方程；分别根据一元二次方程及一元一次方程的定义求解即可．题型2：二项方程5．下列方程中，是二项方程的是（ ）A．； B．； C．； D．【答案】C【分析】二项方程的左边只有两项，其中一项含未知数x，这项的次数就是方程的次数；另一项是非0常数项；结合选项进行判断即可．【解析】A. 中两项都含未知数x，所以不是二项方程；B. 中有三项，所以不是二项方程； C. 其中一项含未知数x，另一项是非0常数项，所以是二项方程；D. 中有三项，所以不是二项方程.故选C.【点睛】本题考查了二项方程的定义，注意二项方程只有两项，一项含未知数，一项是非0常数．6．下列方程中，二项方程是（ ）A． B．C． D．【答案】C【分析】如果一元n（n是正整数）次方程的一边只含有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是0，这样的方程就叫做二项方程，根据定义判断即可．【解析】解：A．有三项，不符合二项方程定义，故选项不合题意；B．不是二项方程，故选项不符合题意；C．可变为，符合二项方程定义．故选项符合题意；D．是分式方程，故选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查二项方程的定义，掌握二项方程的定义是求解本题的关键．7．下列方程中，属于二项方程的是（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据二项方程的定义，依次判读可得正确答案．【解析】解：A． ，故选项正确，不符合题意； B． ，含有两个未知数的项，故选项错误，不符合题意； C． ，含有两个未知数的项，故选项错误，不符合题意； D． ，不是整式方程，故选项错误，不符合题意； 故选：A．【点睛】此题考查二项方程的定义，解题的关键是知道二项方程的定义（一元n次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零）并会用概念判断．8．试写出一个二项方程，这个方程可以是________________.【答案】二项方程可以是x2-1=0(答案不唯一).【分析】根据二项方程定义写出即可.只含有未知数的一项和非零的常数项的一元方程，一般形式是（a、b 是不为0的常数）.【解析】解：二项方程可以是x2-1=0(答案不唯一).【点睛】本题考查了方程的项数的定义，掌握定义是关键.题型3：分式方程的概念9．已知方程：①；②③；④．这四个方程中，分式方程的个数是（ ）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】分母中含有未知数的方程叫分式方程，根据定义判断即可．【解析】解：根据定义可知，①②③为分式方程，④不是分式方程，故选：B．【点睛】本题考查了分式方程的定义，熟记定义是解题的关键．题型4：解分式方程10．方程的解是（ ）A． B． C． D．无解【答案】C【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．【解析】解：去分母得：，解得：，检验：将代入得：，∴是原方程的解．故选：C．【点睛】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解题关键在于解分式方程一定注意要验根．11．方程的解是___．【答案】和【分析】方程两边同时乘以，把分式方程化成整式方程，解整式方程检验后，即可得出分式方程的解．【解析】解：方程两边同时乘以得：，，解得：，，当时，，当时，，∴分式方程的解为和．【点睛】本题考查解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键，注意解分式方程要检验根．12．解方程：．【答案】【分析】先去分母化为整式方程求解，再验根即可．【解析】解：方程两边都乘，得，解得：，检验：当时，，是原方程的解．【点睛】本题的最简公分母是，方程两边都乘最简公分母，可把分式方程转换为整式方程求解．解分式方程的基本思想是“转化思想”，方程两边都乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要代入最简公分母验根．分式方程里单独的一个数和字母也必须乘最简公分母．13．解方程：【答案】【分析】方程两边同时乘以得到关于的一元二次方程，解一元二次方程，最后检验即可求解．【解析】解：方程两边同时乘以得，∴即∴解得：∵当时，，不合题意，∴【点睛】本题考查了解分式方程，解一元二次方程，去分母把分式方程化为一元二次方程是解题的关键．题型5：分式方程的无解、增根问题14．若关于x的分式方程无解，则m的值为（ ）A．4 B．5 C．6 D．8【答案】D【分析】先化分式方程为整式方程，分系数中含m和不含m两种情况求解，含m用一元一次方程的无解知识求解；不含m时，用分式方程的增根求解．【解析】将方程去分母得到：，即，∵分式无解，∴将代入中，解得，故选D．【点睛】本题考查分式方程无解的情况，正确理解分式方程无解的意义得到整式方程的解是解题的关键．15．解关于的方程有增根，则的值为___________【答案】##【分析】根据分式方程增根的产生，即使其最简公分母为0，但适合其转化为的整式方程进行求解．【解析】解：根据题意，得该分式方程的增根是，该分式方程转化为整式方程，得，把代入，得．故答案为：．【点睛】此题考查了分式方程的增根，即适合分式方程转化为整式方程，但却使分式方程的最简公分母为0．题型6：换元法16．用换元法解分式方程时，如果设，那么原方程可化为（ ）A．； B．； C．； D．．【答案】A【分析】把代入原方程，得出，再进行整理即可．【解析】解：整理，得，把代入方程得：，整理得：，故选 A．【点睛】本题考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握利用换元法，把一个式子做为整体进行替换，将分式方程化简为一元二次方程．17．已知关于x的方程3，如果设y，那么原方程化为关于y的方程是 _____．【答案】【分析】先根据y得到，再代入原方程进行换元即可．【解析】解：由,可得，故答案为：．【点睛】本题考查了换元法解分式方程，换元的实质是转化，将复杂问题简单化．常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，用一个字母来代替它可以简化问题，有时候要通过变形才能换元．题型7：求参数范围18．如果关于x的分式方程的解为正数，那么a的取值范围是___________．【答案】且【分析】根据解分式方程的一般步骤，可得分式方程的解，根据解为正数，可得不等式，根据解不等式，可得答案．【解析】解：，，解得：，，，即，解得，因为解为正数，，即，解得，故答案为：且．【点睛】此题考查分式方程的解；解题关键在于根据解为正数，可得不等式再求出解集.19．关于的方程只有一个实数根，求：的值．【答案】的值为或【分析】先将分式方程转化为整式方程，把分式方程的讨论转化为整式方程的解的讨论，求解即可．【解析】解：将转化为整式方程可得：；当时，方程为，解得经检验，是原方程的解；当时，方程为一元二次方程，判别式所以一元二次方程有两个不相等的实数根，由题意可得，一元二次方程必有一个根为分式方程的增根，由分式方程可得，方程的增根只可能为0或1，当时，方程不成立，舍去；当时，方程为，解得，将代入可得解得或经检验，是原分式方程的解，综上：的值为或．【点睛】本题考查了解分式方程，注意：分式方程转化为整式方程不一定是等价转化，有可能产生增根，分式方程只有一个解，可能是转化后所得的整式方程只有一个解，也可能是转化后的整式方程有两个解，而其中一个是原方程的增根，故分式方程的解的讨论，要运用判别式增根等知识全面分析．一、单选题1．下列方程中，是二项方程的是（ ）A．x3+8＝0 B．﹣16＝0 C．x3+x＝1 D．x2＝y2【答案】A【分析】根据二项方程的定义，逐个判断得结论．【解析】解：二项方程需满足：①方程是整式方程，②方程只含有一个未知数，③方程共两项，三个条件．∵方程A满足二项方程的条件，故选项A是二项方程；方程B不满足条件①，方程C不满足条件③，方程D不满足条件②，故选项B、C、D不是二项方程．故选：A．【点睛】本题考查了高次方程，掌握二项方程的定义是解决本题的关键．2．下列方程是二项方程的是（ ）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据二项方程的定义逐项判断即可求解．【解析】解：A. ，当a=0时，不是二项方程，不合题意；B. ，是二项方程，符合题意；C. ，不含常数项，不是二项方程，不合题意；D. ，不含常数项，不是二项方程，不合题意．故选：B【点睛】本题考查了二项方程的定义，二项方程需满足以下条件：（1）整式方程；（2）方程共两项；（3）两项中一项含有未知数，另一项是常数项．3．下列关于x的方程是分式方程的是（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫分式方程．根据定义结合选项即可求解．【解析】解：选项A、B、D是整式方程，不符合题意；选项C，是分式方程，符合题意；故选：C．【点睛】本题考查分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键．4．下列分式方程中，解为的是（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据方程解的意义，使方程左右两边相等的式子值叫方程的解，分别代入判断即可．【解析】当时，A． 中，左边，右边，A不符合题意；B．中，，分母等于0，分式无意义，B不符合题意；C． 中，左边右边，C符合题意；D． 中，分母，D不符合题意．故答案是：C【点睛】本题考查了分式方程的解，解决本题的关键是正确理解分式方程解的意义，做题时要考虑分母是否为0的情况．5．下列方程：①；②；③；④．其中，分式方程有（ ）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】C【分析】根据分式方程的定义对各小题进行逐一分析即可．【解析】①的分母中含有未知数，是分式方程；②是整式方程；③是整式方程；④的分母中含有未知数，是分式方程．故选：C．【点睛】本题考查的是分式方程的定义，熟知分母中含有未知数的方程叫做分式方程是解答此题的关键．6．用换元法解方程时，若设，则原方程可化为关于y的方程是（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】把原方程按按照所给条件换元，整理即可．【解析】解：设，可化为，∴，∴，故选：A．【点睛】本题考查换元法解方程，解题的关键是熟练掌握换元法．7．若关于x的分式方程无解，则a的值为（ ）A．1 B．1或 C．-1或 D．以上都不是【答案】B【分析】根据分式方程“无解”，考虑两种情况：第一种是分式方程化为整式方程时，整式方程有解，但是整式方程的解会使最简公分母为0，产生了增根．第二种情况是化为整式方程时，整式方程无解，则原分式方程也无解．综合两种情况求解即可．【解析】解：分式方程两边同乘以得：要使原分式方程无解，则有以下两种情况：当时，即，整式方程无解，原分式方程无解．当时，则，令最简公分母为0，即解得∴当，即时，原分式方程产生增根，无解．综上所述可得：或时，原分式方程无解．故选：B．【点睛】本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，根据分式方程无解，分两种情况进行讨论是解题的关键．8．已知关于x的方程的解为．则关于y的方程的解为（ ）A． B． C． D． 【答案】D【分析】将代入关于x的方程中，求出，再将，代入关于y的方程中，求出，再进行检验即可得出答案．【解析】解：∵关于x的方程的解为，∴，，∴，当时，关于y的方程是：，∴，∴，∴，经检验：是关于y的方程的解．故选：D．【点睛】本题考查了解分式方程，把分式方程化为整式方程解题的关键，分式方程一定要进行检验．9．若关于x的分式方程的解是非负整数解，且a满足不等式，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）A．12 B．16 C．18 D．49【答案】B【分析】先解分式方程，再根据关于x的分式方程的解是非负整数解，可得，且，再根据，求出a的取值范围，进一步可得满足条件的整数a的值，再求和即可．【解析】解：去分母，得，解得x＝，∵关于x的分式方程的解是非负整数解，∴且，解得且，∵，∴，∴a的取值范围是且，∴满足条件的整数a的值有6，10，∴，故选：B．【点睛】本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键．10．若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解是正整数，则所有满足条件的整数a的个数是（ ）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】解不等式组，结合题意，得出，再解分式方程，可得，再根据关于y的分式方程的解是正整数，且，即可确定满足条件的整数a的个数．【解析】解：，解不等式，可得：，解不等式，可得：，∵关于x的一元一次不等式组的解集为，∴，∴，解分式方程，解得：，∵关于y的分式方程的解是正整数，且，∴满足条件的的取值为：当时，，当时，，当时，，当时，，∴满足条件的整数有4个．故选：B【点睛】本题考查了分式方程的解和解一元一次不等式组，熟练掌握解分式方程和解不等式组的步骤是解题的关键．二、填空题11．方程________二项方程（填“是”或不是）【答案】不是【分析】根据二项方程的定义判断即可.【解析】解：根据二项方程的定义可知，方程不是二项方程，故答案为不是.【点睛】本题考查了二项方程的定义，注意二项方程的左边只有两项，一项含未知数，一项是常数，右边为0．12．已知关于x的方程是二项方程，则m= ______．【答案】1【分析】根据方程项数的概念得出，求出m即可．【解析】解：∵关于x的方程是二项方程，∴，即，故答案为：1．【点睛】本题考查了高次方程，利用方程的项数得出关于m的方程是解题的关键．13．二项方程的实数根是_______．【答案】【分析】先移项得到，推出，根据即可求出答案.【解析】，，，∵，∴，故答案为：.【点睛】此题考查解高次方程，掌握解方程的步骤，正确计算数的高次方是解题的关键.14．方程 的解是_______．【答案】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解析】解：去分母得：，移项合并得：，检验：当时，，∴分式方程的解为．故答案为：．【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．15．分式方程的解是，则_______．【答案】1【分析】先将代入分式方程中求解即可．【解析】解：∵分式方程的解是，∴，解得：．故答案为：1．【点睛】本题考查分式方程的解，理解分式方程的解是解答的关键．16．如果关于的分式方程无解，则______．【答案】或1．【分析】将分式方程化为整式方程，根据分式方程无解，分为整式方程无解和分式方程有增根两种情况进行分析即可得到答案．【解析】解：方程两边同乘得：，整理得：，①当整式方程无解时：，解得：，②当分式方程有增根时：，解得：或，时，整式方程无解，时，，解得：，综上可知，关于的分式方程无解，的值为或1，故答案为：或1．【点睛】本题考查了分式方程无解时求参数的值，解题关键是熟练掌握分式方程无解有两种情况：整式方程无解或分式方程有增根．17．若数使关于的分式方程的解为正数，且使关于的不等式组的解集为，则符合条件所有整数的积为______．【答案】8【分析】根据分式方程的解为正数即可得出且，根据不等式组的解集为，即可得出，找出且，中所有的整数，将其相乘即可得出结论．【解析】解：分式方程的解为且，∵分式方程的解为正数，∴且，∴且， 解不等式①，得，解不等式②，得，∵关于y的不等式组的解集为，∴，∴且，又为整数，则的值为2，4，符合条件的所有整数的积为，故答案为：8【点睛】本题考查了分式方程的解以及解一元一次不等式，根据分式方程的解为正数结合不等式组的解集为，找出的取值范围是解题的关键．18．对于两个非零的实数，，定义新运算．例如：．则______；若，则的值为______．【答案】 【分析】根据定义新运算的法则，列式求解即可．【解析】解：由题意，得：；，去分母，得：，去括号，得：，移项合并，得：，解得：，经检验：是原方程的解；故答案为：，．【点睛】本题考查定义新运算，解分式方程．理解并掌握新运算的运算法则，是解题的关键．三、解答题19．解方程：．【答案】【分析】观察可得最简公分母是，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．【解析】解：方程两边同时乘以，得，整理，得，∴，．经检验是增根，是原方程的解，∴原方程的解为．【点睛】本题主要考查了解可以化为一元二次方程的分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程和一元二次方程的步骤和方法．20．解方程：．【答案】，，，【分析】设，则原方程为，求解得出或，分别代入求解即可．【解析】解：设，则原方程为，整理得：，解得：或，当时，即，整理得：，解得：，；当时，，整理得：，解得：，，经检验：，，，是原方程的解，综上所述，原方程的解为，，，．【点睛】本题考查了解分式方程，换元法解一元二次方程，将设为，将原方程整理为含的分式方程是解本题的关键．21．解方程：．【答案】【分析】先去分母化为整式方程求解，再验根即可．【解析】解：方程两边都乘，得，解得：，检验：当时，，是原方程的解．【点睛】本题的最简公分母是，方程两边都乘最简公分母，可把分式方程转换为整式方程求解．解分式方程的基本思想是“转化思想”，方程两边都乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要代入最简公分母验根．分式方程里单独的一个数和字母也必须乘最简公分母．22．解方程：【答案】x1=，x2=．【分析】设，则原方程化为y-=2，求出y的值，再求出x的值，最后进行检验即可；【解析】解：设，则原方程化为：y-=2，整理，得y2-2y-3=0，解得：y=3或-1，当y=3时，，即x2-3x+1=0，Δ=b2-4ac=(-3)2-4×1×1=5>0，解方程得：x=；当y=-1时，=-1，即x2+x+1=0，Δ=b2-4ac=12-4×1×1=-3＜0，所以此方程无实数根；检验：当x=时，x（x2+1）≠0，所以x=都是原方程的解，即原方程的解是x1=，x2=．【点睛】本题考查了解分式方程，能正确换元是解此题的关键．23．解方程：【答案】x＝9【分析】方程两边都乘（x＋1）（x−1）得出6x＝（x＋1）（x−1）−5（x＋1）＋3（x−1），求出方程的解，再进行检验即可．【解析】解：解方程两边都乘（x＋1）（x−1），得6x＝（x＋1）（x−1）−5（x＋1）＋3（x−1），整理得：x2−8x−9＝0，解得：x＝9或−1，检验：当x＝9时，（x＋1）（x−1）≠0，所以x＝9是原方程的解，当x＝−1时，（x＋1）（x−1）＝0，所以x＝−1是增根，所以x＝−1不是原方程的解，即原方程的解是x＝9．【点睛】本题考查了解分式方程和一元二次方程，掌握分式方程的解法并注意验根是解此题的关键．24．关于x的方程有且只有一个实数解，求k.【答案】4或或0【分析】分k=0和k≠0求解，当k≠0时，再分方程是一元二次方程和不是一元二次方程两种情况求解．【解析】当k=0时，方程变形为，整理，得4x+1=0，方程只有一个实数解，符合题意，当k≠0时，方程两边用时乘以x(x-1)，整理，得，当k=4时，方程变形为3x+1=0，方程只有一个实数解，符合题意，当k≠4时，方程只有一个实数根，所以，解得k=，综上所述，当方程只有一个实数解，符合题意的k值为4或或0．【点睛】本题考查了分式方程的解法，分式方程转化为一元一次方程或一元二次方程，正确进行分类是解题的关键．25．用换元法解方程：x2﹣x﹣=4．【答案】【分析】方程的两个部分是倒数关系，所以可设，可用换元法转化为关于y的分式方程，先求y，再求x，最后检验一下结果．【解析】设，则原方程变形为，即，解得，当y=-2时，，因为，所以此方程无实数根，当y=6时，，解方程得：，检验：把分别代入原方程的分母，分母都不等于0，所以原方程的根是：．【点睛】换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧．26．已知方程只有一个根，求a的值．【答案】5或9或；【分析】去分母化为一元二次方程，分别讨论一元二次方程有一根为x=-1、有一根为x=-2、有两个相同根时，求得a的值再代入验证即可；【解析】解：去分母得：去括号得：①有一根为x=-1时，代入得a=5，，则另一个根为x=0，此时分式方程只有一个根x=0，且分母不等于零，符合题意；②有一根为x=-2时，代入得a=9，，则另一个根为x=1，此时分式方程只有一个根x=1，且分母不等于零，符合题意；③有两个相同根时，4-8（5-a）=0，a=，，，此时分式方程只有一个根x=，且分母不等于零，符合题意；∴a的值为5或9或；【点睛】本题考查了分式方程的增根，掌握分式方程的分母不能为零是解题关键．27．＝有增根，求所有可能的t之和．【答案】3【分析】根据根据有增根，说明0或﹣1可能是方程的增根，将分式方程化为整式方程可得（x+1）2+x2＝x+t，进一步求得t的所有可能值，相加即可求解．【解析】解：∵有增根，∴说明0或﹣1可能是方程的增根，去分母得：（x+1）2+x2＝x+t，代入x＝0，有t＝1；代入x＝﹣1，有t＝2．故所有可能的t之和为3．【点睛】本题主要考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
21.1-21.3整式方程、分式方程一、一元整式方程1. 一元整式方程：如果方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式,这个方程叫做一元整式方程;2.一元n次方程：一元整式方程中含未知数的项的最高次数是(是正整数),这个方程叫做一元次方程.3.一元高次方程概念：一元整式方程中含有未知数的项的最高次数是，若次数是大于2的正整数，这样的方程统称为一元高次方程。要点：一元高次方程应具备：整式方程;只含一个未知数;含未知数的项最高次数大于2次.二、二项方程1.概念：如果一元n次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这样的方程就叫做二项方程.要点：注 ：①=0（a≠0）是非常特殊的n次方程，它的根是0.②这里所涉及的二项方程的次数不超过6次.2.一般形式： 3. 二项方程的基本方法:是（开方）4.解的情况：当n为奇数时，方程有且只有一个实数根，；当n为偶数时，如果ab<0，那么方程有两个实数根，且这两个根互为相反数；如果ab>0，那么方程没有实数根.三、双二次方程1.概念：只含有偶数次项的一元四次方程. 要点：当常数项不是0时，规定它的次数为0.2.一般形式：3.解题的一般步骤：换元——解一元二次方程——回代4.解双二次方程的常用方法：因式分解法与换元法（目的是降次，使它转化为一元一次方程或一元二次方程）通过换元，把双二次方程转化为一元方程体现了“降次”的策略。要点：解高于一次的方程，基本思想就是“降次”，对有些高次方程，可以用因式分解的方法降次。用因式分解的方法时要注意：一定要使方程的一边为零，另一边可以因式分解。四、分式方程分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程.要点：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数.（2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程.（3）分式方程和整式方程看联系：分式方程可以转化为整式方程. 五、求解可化为一元二次方程的分式方程的步骤.可以用下面的图表示：分式方程去分母解整式方程检验增根舍去是原方程的根写出分式方程的根六、分式方程的解法1、解分式的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根.2、解分式方程的一般步骤：（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 要点：1、熟练掌握用“去分母”法求解分式方程的方法.2、了解用“换元法”解特殊的分式方程（组）.3、领会分式方程“整式化”的化归思想和方法.七、解分式方程产生增根的原因方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根.产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根.要点：（1）增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的.根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，所得方程是原方程的同解方程.如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根.（2）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的.题型1：整式方程1．下面四个方程中是整式方程的是（ ）．A． B． C． D．2．下列方程是一元高次方程的是（ ）A．x+3＝0 B．x2﹣3x﹣1＝0 C．x3+2x+＝0 D．x4+1＝03．解关于x的方程：4．关于x的方程,当a__________时为一元一次方程；当a________时为一元二次方程.题型2：二项方程5．下列方程中，是二项方程的是（ ）A．； B．； C．； D．6．下列方程中，二项方程是（ ）A． B．C． D．7．下列方程中，属于二项方程的是（ ）A． B． C． D．8．试写出一个二项方程，这个方程可以是________________.题型3：分式方程的概念9．已知方程：①；②③；④．这四个方程中，分式方程的个数是（ ）A．4 B．3 C．2 D．1题型4：解分式方程10．方程的解是（ ）A． B． C． D．无解11．方程的解是___．12．解方程：．13．解方程：题型5：分式方程的无解、增根问题14．若关于x的分式方程无解，则m的值为（ ）A．4 B．5 C．6 D．815．解关于的方程有增根，则的值为___________题型6：换元法16．用换元法解分式方程时，如果设，那么原方程可化为（ ）A．； B．； C．； D．．17．已知关于x的方程3，如果设y，那么原方程化为关于y的方程是 _____．题型7：求参数范围18．如果关于x的分式方程的解为正数，那么a的取值范围是___________．19．关于的方程只有一个实数根，求：的值．一、单选题1．下列方程中，是二项方程的是（ ）A．x3+8＝0 B．﹣16＝0 C．x3+x＝1 D．x2＝y22．下列方程是二项方程的是（ ）A．B．C．D．3．下列关于x的方程是分式方程的是（ ）A． B． C． D．4．下列分式方程中，解为的是（ ）A． B． C． D．5．下列方程：①；②；③；④．其中，分式方程有（ ）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个6．用换元法解方程时，若设，则原方程可化为关于y的方程是（ ）A． B． C． D．7．若关于x的分式方程无解，则a的值为（ ）A．1 B．1或 C．-1或 D．以上都不是8．已知关于x的方程的解为．则关于y的方程的解为（ ）A． B． C． D． 9．若关于x的分式方程的解是非负整数解，且a满足不等式，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）A．12 B．16 C．18 D．4910．若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解是正整数，则所有满足条件的整数a的个数是（ ）A．3 B．4 C．5 D．6二、填空题11．方程________二项方程（填“是”或不是）12．已知关于x的方程是二项方程，则m= ______．13．二项方程的实数根是_______．14．方程 的解是_______．15．分式方程的解是，则_______．16．如果关于的分式方程无解，则______．17．若数使关于的分式方程的解为正数，且使关于的不等式组的解集为，则符合条件所有整数的积为______．18．对于两个非零的实数，，定义新运算．例如：．则______；若，则的值为______．三、解答题19．解方程：．20．解方程：．21．解方程：．22．解方程：23．解方程：24．关于x的方程有且只有一个实数解，求k.25．用换元法解方程：x2﹣x﹣=4．26．已知方程只有一个根，求a的值．27．＝有增根，求所有可能的t之和． 21.1-21.3整式方程、分式方程一、一元整式方程1. 一元整式方程：如果方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式,这个方程叫做一元整式方程;2.一元n次方程：一元整式方程中含未知数的项的最高次数是(是正整数),这个方程叫做一元次方程.3.一元高次方程概念：一元整式方程中含有未知数的项的最高次数是，若次数是大于2的正整数，这样的方程统称为一元高次方程。要点：一元高次方程应具备：整式方程;只含一个未知数;含未知数的项最高次数大于2次.二、二项方程1.概念：如果一元n次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这样的方程就叫做二项方程.要点：注 ：①=0（a≠0）是非常特殊的n次方程，它的根是0.②这里所涉及的二项方程的次数不超过6次.2.一般形式： 3. 二项方程的基本方法:是（开方）4.解的情况：当n为奇数时，方程有且只有一个实数根，；当n为偶数时，如果ab<0，那么方程有两个实数根，且这两个根互为相反数；如果ab>0，那么方程没有实数根.三、双二次方程1.概念：只含有偶数次项的一元四次方程. 要点：当常数项不是0时，规定它的次数为0.2.一般形式：3.解题的一般步骤：换元——解一元二次方程——回代4.解双二次方程的常用方法：因式分解法与换元法（目的是降次，使它转化为一元一次方程或一元二次方程）通过换元，把双二次方程转化为一元方程体现了“降次”的策略。要点：解高于一次的方程，基本思想就是“降次”，对有些高次方程，可以用因式分解的方法降次。用因式分解的方法时要注意：一定要使方程的一边为零，另一边可以因式分解。四、分式方程分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程.要点：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数.（2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程.（3）分式方程和整式方程看联系：分式方程可以转化为整式方程. 五、求解可化为一元二次方程的分式方程的步骤.可以用下面的图表示：分式方程去分母解整式方程检验增根舍去是原方程的根写出分式方程的根六、分式方程的解法1、解分式的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根.2、解分式方程的一般步骤：（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 要点：1、熟练掌握用“去分母”法求解分式方程的方法.2、了解用“换元法”解特殊的分式方程（组）.3、领会分式方程“整式化”的化归思想和方法.七、解分式方程产生增根的原因方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根.产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根.要点：（1）增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的.根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，所得方程是原方程的同解方程.如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根.（2）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的.题型1：整式方程1．下面四个方程中是整式方程的是（ ）．A． B． C． D．【答案】C【分析】根据整式方程与分式方程的定义解答．分式方程的定义：分母里含有未知数的方程叫做分式方程进行判断．【解析】A. 分母中含有求知数，是分式方程，不符合题意；B. 即为，分母中含有求知数，是分式方程，不符合题意；C. 两边都是含未知数的整式，是整式方程；D. 分母中含有求知数，是分式方程，不符合题意.故选C.【点睛】本题考查了整式方程的定义．判断一个方程是否为整式方程，主要是依据整式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数．2．下列方程是一元高次方程的是（ ）A．x+3＝0 B．x2﹣3x﹣1＝0 C．x3+2x+＝0 D．x4+1＝0【答案】D【分析】根据一元高次方程的定义：只含一个未知数，未知项的最高次数大于等于3的整式方程，即可得出答案．【解析】解：这四个方程都只含一个未知数，∵A，B中未知数的项的次数小于等于2，∴A，B选项不是一元高次方程，不符合题意，∵C中分母中含有未知数，∴是分式方程，∴C选项不符合题意，∵D符合一元高次方程定义：只含一个未知数，未知项的最高次数大于等于3的整式方程，∴D选项符合题意，故选：D．【点睛】本题考查了一元高次方程的定义，注意几元几次方程都首先是整式方程．3．解关于x的方程：【答案】【分析】方程两边都除以b，再移项即可得出答案．【解析】解：去括号，得bx-3b=4，移项，得bx=3b +4，由题意知b≠0，∴方程两边同除以b得，，方程的解为．【点睛】本题考查了解一元一次方程，把b看作已知数是解题的关键．4．关于x的方程,当a__________时为一元一次方程；当a________时为一元二次方程.【答案】 =4 ≠4且≠-2.【分析】分别根据一元二次方程及一元一次方程的定义求解即可．【解析】(1) 由于一元一次方程的定义可知：a2-2a-8=0且a+2≠0，解得：a=4(2)由一元二次方程的定义可知：a2-2a-8≠0，解得a≠4且a≠-2.故答案为4;a≠4且a≠-2,【点睛】本题考查的一元二次方程和一元一次方程的定义，熟知一元二次方程与一元一次方程的定义是解题的关键；只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2次的整式方程叫做一元二次方程；只含有一个未知数，且未知数的最高次数的是1次的整式方程叫做一元一次方程；分别根据一元二次方程及一元一次方程的定义求解即可．题型2：二项方程5．下列方程中，是二项方程的是（ ）A．； B．； C．； D．【答案】C【分析】二项方程的左边只有两项，其中一项含未知数x，这项的次数就是方程的次数；另一项是非0常数项；结合选项进行判断即可．【解析】A. 中两项都含未知数x，所以不是二项方程；B. 中有三项，所以不是二项方程； C. 其中一项含未知数x，另一项是非0常数项，所以是二项方程；D. 中有三项，所以不是二项方程.故选C.【点睛】本题考查了二项方程的定义，注意二项方程只有两项，一项含未知数，一项是非0常数．6．下列方程中，二项方程是（ ）A． B．C． D．【答案】C【分析】如果一元n（n是正整数）次方程的一边只含有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是0，这样的方程就叫做二项方程，根据定义判断即可．【解析】解：A．有三项，不符合二项方程定义，故选项不合题意；B．不是二项方程，故选项不符合题意；C．可变为，符合二项方程定义．故选项符合题意；D．是分式方程，故选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查二项方程的定义，掌握二项方程的定义是求解本题的关键．7．下列方程中，属于二项方程的是（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据二项方程的定义，依次判读可得正确答案．【解析】解：A． ，故选项正确，不符合题意； B． ，含有两个未知数的项，故选项错误，不符合题意； C． ，含有两个未知数的项，故选项错误，不符合题意； D． ，不是整式方程，故选项错误，不符合题意； 故选：A．【点睛】此题考查二项方程的定义，解题的关键是知道二项方程的定义（一元n次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零）并会用概念判断．8．试写出一个二项方程，这个方程可以是________________.【答案】二项方程可以是x2-1=0(答案不唯一).【分析】根据二项方程定义写出即可.只含有未知数的一项和非零的常数项的一元方程，一般形式是（a、b 是不为0的常数）.【解析】解：二项方程可以是x2-1=0(答案不唯一).【点睛】本题考查了方程的项数的定义，掌握定义是关键.题型3：分式方程的概念9．已知方程：①；②③；④．这四个方程中，分式方程的个数是（ ）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】分母中含有未知数的方程叫分式方程，根据定义判断即可．【解析】解：根据定义可知，①②③为分式方程，④不是分式方程，故选：B．【点睛】本题考查了分式方程的定义，熟记定义是解题的关键．题型4：解分式方程10．方程的解是（ ）A． B． C． D．无解【答案】C【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．【解析】解：去分母得：，解得：，检验：将代入得：，∴是原方程的解．故选：C．【点睛】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解题关键在于解分式方程一定注意要验根．11．方程的解是___．【答案】和【分析】方程两边同时乘以，把分式方程化成整式方程，解整式方程检验后，即可得出分式方程的解．【解析】解：方程两边同时乘以得：，，解得：，，当时，，当时，，∴分式方程的解为和．【点睛】本题考查解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键，注意解分式方程要检验根．12．解方程：．【答案】【分析】先去分母化为整式方程求解，再验根即可．【解析】解：方程两边都乘，得，解得：，检验：当时，，是原方程的解．【点睛】本题的最简公分母是，方程两边都乘最简公分母，可把分式方程转换为整式方程求解．解分式方程的基本思想是“转化思想”，方程两边都乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要代入最简公分母验根．分式方程里单独的一个数和字母也必须乘最简公分母．13．解方程：【答案】【分析】方程两边同时乘以得到关于的一元二次方程，解一元二次方程，最后检验即可求解．【解析】解：方程两边同时乘以得，∴即∴解得：∵当时，，不合题意，∴【点睛】本题考查了解分式方程，解一元二次方程，去分母把分式方程化为一元二次方程是解题的关键．题型5：分式方程的无解、增根问题14．若关于x的分式方程无解，则m的值为（ ）A．4 B．5 C．6 D．8【答案】D【分析】先化分式方程为整式方程，分系数中含m和不含m两种情况求解，含m用一元一次方程的无解知识求解；不含m时，用分式方程的增根求解．【解析】将方程去分母得到：，即，∵分式无解，∴将代入中，解得，故选D．【点睛】本题考查分式方程无解的情况，正确理解分式方程无解的意义得到整式方程的解是解题的关键．15．解关于的方程有增根，则的值为___________【答案】##【分析】根据分式方程增根的产生，即使其最简公分母为0，但适合其转化为的整式方程进行求解．【解析】解：根据题意，得该分式方程的增根是，该分式方程转化为整式方程，得，把代入，得．故答案为：．【点睛】此题考查了分式方程的增根，即适合分式方程转化为整式方程，但却使分式方程的最简公分母为0．题型6：换元法16．用换元法解分式方程时，如果设，那么原方程可化为（ ）A．； B．； C．； D．．【答案】A【分析】把代入原方程，得出，再进行整理即可．【解析】解：整理，得，把代入方程得：，整理得：，故选 A．【点睛】本题考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握利用换元法，把一个式子做为整体进行替换，将分式方程化简为一元二次方程．17．已知关于x的方程3，如果设y，那么原方程化为关于y的方程是 _____．【答案】【分析】先根据y得到，再代入原方程进行换元即可．【解析】解：由,可得，故答案为：．【点睛】本题考查了换元法解分式方程，换元的实质是转化，将复杂问题简单化．常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，用一个字母来代替它可以简化问题，有时候要通过变形才能换元．题型7：求参数范围18．如果关于x的分式方程的解为正数，那么a的取值范围是___________．【答案】且【分析】根据解分式方程的一般步骤，可得分式方程的解，根据解为正数，可得不等式，根据解不等式，可得答案．【解析】解：，，解得：，，，即，解得，因为解为正数，，即，解得，故答案为：且．【点睛】此题考查分式方程的解；解题关键在于根据解为正数，可得不等式再求出解集.19．关于的方程只有一个实数根，求：的值．【答案】的值为或【分析】先将分式方程转化为整式方程，把分式方程的讨论转化为整式方程的解的讨论，求解即可．【解析】解：将转化为整式方程可得：；当时，方程为，解得经检验，是原方程的解；当时，方程为一元二次方程，判别式所以一元二次方程有两个不相等的实数根，由题意可得，一元二次方程必有一个根为分式方程的增根，由分式方程可得，方程的增根只可能为0或1，当时，方程不成立，舍去；当时，方程为，解得，将代入可得解得或经检验，是原分式方程的解，综上：的值为或．【点睛】本题考查了解分式方程，注意：分式方程转化为整式方程不一定是等价转化，有可能产生增根，分式方程只有一个解，可能是转化后所得的整式方程只有一个解，也可能是转化后的整式方程有两个解，而其中一个是原方程的增根，故分式方程的解的讨论，要运用判别式增根等知识全面分析．一、单选题1．下列方程中，是二项方程的是（ ）A．x3+8＝0 B．﹣16＝0 C．x3+x＝1 D．x2＝y2【答案】A【分析】根据二项方程的定义，逐个判断得结论．【解析】解：二项方程需满足：①方程是整式方程，②方程只含有一个未知数，③方程共两项，三个条件．∵方程A满足二项方程的条件，故选项A是二项方程；方程B不满足条件①，方程C不满足条件③，方程D不满足条件②，故选项B、C、D不是二项方程．故选：A．【点睛】本题考查了高次方程，掌握二项方程的定义是解决本题的关键．2．下列方程是二项方程的是（ ）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据二项方程的定义逐项判断即可求解．【解析】解：A. ，当a=0时，不是二项方程，不合题意；B. ，是二项方程，符合题意；C. ，不含常数项，不是二项方程，不合题意；D. ，不含常数项，不是二项方程，不合题意．故选：B【点睛】本题考查了二项方程的定义，二项方程需满足以下条件：（1）整式方程；（2）方程共两项；（3）两项中一项含有未知数，另一项是常数项．3．下列关于x的方程是分式方程的是（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫分式方程．根据定义结合选项即可求解．【解析】解：选项A、B、D是整式方程，不符合题意；选项C，是分式方程，符合题意；故选：C．【点睛】本题考查分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键．4．下列分式方程中，解为的是（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据方程解的意义，使方程左右两边相等的式子值叫方程的解，分别代入判断即可．【解析】当时，A． 中，左边，右边，A不符合题意；B．中，，分母等于0，分式无意义，B不符合题意；C． 中，左边右边，C符合题意；D． 中，分母，D不符合题意．故答案是：C【点睛】本题考查了分式方程的解，解决本题的关键是正确理解分式方程解的意义，做题时要考虑分母是否为0的情况．5．下列方程：①；②；③；④．其中，分式方程有（ ）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】C【分析】根据分式方程的定义对各小题进行逐一分析即可．【解析】①的分母中含有未知数，是分式方程；②是整式方程；③是整式方程；④的分母中含有未知数，是分式方程．故选：C．【点睛】本题考查的是分式方程的定义，熟知分母中含有未知数的方程叫做分式方程是解答此题的关键．6．用换元法解方程时，若设，则原方程可化为关于y的方程是（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】把原方程按按照所给条件换元，整理即可．【解析】解：设，可化为，∴，∴，故选：A．【点睛】本题考查换元法解方程，解题的关键是熟练掌握换元法．7．若关于x的分式方程无解，则a的值为（ ）A．1 B．1或 C．-1或 D．以上都不是【答案】B【分析】根据分式方程“无解”，考虑两种情况：第一种是分式方程化为整式方程时，整式方程有解，但是整式方程的解会使最简公分母为0，产生了增根．第二种情况是化为整式方程时，整式方程无解，则原分式方程也无解．综合两种情况求解即可．【解析】解：分式方程两边同乘以得：要使原分式方程无解，则有以下两种情况：当时，即，整式方程无解，原分式方程无解．当时，则，令最简公分母为0，即解得∴当，即时，原分式方程产生增根，无解．综上所述可得：或时，原分式方程无解．故选：B．【点睛】本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，根据分式方程无解，分两种情况进行讨论是解题的关键．8．已知关于x的方程的解为．则关于y的方程的解为（ ）A． B． C． D． 【答案】D【分析】将代入关于x的方程中，求出，再将，代入关于y的方程中，求出，再进行检验即可得出答案．【解析】解：∵关于x的方程的解为，∴，，∴，当时，关于y的方程是：，∴，∴，∴，经检验：是关于y的方程的解．故选：D．【点睛】本题考查了解分式方程，把分式方程化为整式方程解题的关键，分式方程一定要进行检验．9．若关于x的分式方程的解是非负整数解，且a满足不等式，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）A．12 B．16 C．18 D．49【答案】B【分析】先解分式方程，再根据关于x的分式方程的解是非负整数解，可得，且，再根据，求出a的取值范围，进一步可得满足条件的整数a的值，再求和即可．【解析】解：去分母，得，解得x＝，∵关于x的分式方程的解是非负整数解，∴且，解得且，∵，∴，∴a的取值范围是且，∴满足条件的整数a的值有6，10，∴，故选：B．【点睛】本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键．10．若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解是正整数，则所有满足条件的整数a的个数是（ ）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】解不等式组，结合题意，得出，再解分式方程，可得，再根据关于y的分式方程的解是正整数，且，即可确定满足条件的整数a的个数．【解析】解：，解不等式，可得：，解不等式，可得：，∵关于x的一元一次不等式组的解集为，∴，∴，解分式方程，解得：，∵关于y的分式方程的解是正整数，且，∴满足条件的的取值为：当时，，当时，，当时，，当时，，∴满足条件的整数有4个．故选：B【点睛】本题考查了分式方程的解和解一元一次不等式组，熟练掌握解分式方程和解不等式组的步骤是解题的关键．二、填空题11．方程________二项方程（填“是”或不是）【答案】不是【分析】根据二项方程的定义判断即可.【解析】解：根据二项方程的定义可知，方程不是二项方程，故答案为不是.【点睛】本题考查了二项方程的定义，注意二项方程的左边只有两项，一项含未知数，一项是常数，右边为0．12．已知关于x的方程是二项方程，则m= ______．【答案】1【分析】根据方程项数的概念得出，求出m即可．【解析】解：∵关于x的方程是二项方程，∴，即，故答案为：1．【点睛】本题考查了高次方程，利用方程的项数得出关于m的方程是解题的关键．13．二项方程的实数根是_______．【答案】【分析】先移项得到，推出，根据即可求出答案.【解析】，，，∵，∴，故答案为：.【点睛】此题考查解高次方程，掌握解方程的步骤，正确计算数的高次方是解题的关键.14．方程 的解是_______．【答案】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解析】解：去分母得：，移项合并得：，检验：当时，，∴分式方程的解为．故答案为：．【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．15．分式方程的解是，则_______．【答案】1【分析】先将代入分式方程中求解即可．【解析】解：∵分式方程的解是，∴，解得：．故答案为：1．【点睛】本题考查分式方程的解，理解分式方程的解是解答的关键．16．如果关于的分式方程无解，则______．【答案】或1．【分析】将分式方程化为整式方程，根据分式方程无解，分为整式方程无解和分式方程有增根两种情况进行分析即可得到答案．【解析】解：方程两边同乘得：，整理得：，①当整式方程无解时：，解得：，②当分式方程有增根时：，解得：或，时，整式方程无解，时，，解得：，综上可知，关于的分式方程无解，的值为或1，故答案为：或1．【点睛】本题考查了分式方程无解时求参数的值，解题关键是熟练掌握分式方程无解有两种情况：整式方程无解或分式方程有增根．17．若数使关于的分式方程的解为正数，且使关于的不等式组的解集为，则符合条件所有整数的积为______．【答案】8【分析】根据分式方程的解为正数即可得出且，根据不等式组的解集为，即可得出，找出且，中所有的整数，将其相乘即可得出结论．【解析】解：分式方程的解为且，∵分式方程的解为正数，∴且，∴且， 解不等式①，得，解不等式②，得，∵关于y的不等式组的解集为，∴，∴且，又为整数，则的值为2，4，符合条件的所有整数的积为，故答案为：8【点睛】本题考查了分式方程的解以及解一元一次不等式，根据分式方程的解为正数结合不等式组的解集为，找出的取值范围是解题的关键．18．对于两个非零的实数，，定义新运算．例如：．则______；若，则的值为______．【答案】 【分析】根据定义新运算的法则，列式求解即可．【解析】解：由题意，得：；，去分母，得：，去括号，得：，移项合并，得：，解得：，经检验：是原方程的解；故答案为：，．【点睛】本题考查定义新运算，解分式方程．理解并掌握新运算的运算法则，是解题的关键．三、解答题19．解方程：．【答案】【分析】观察可得最简公分母是，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．【解析】解：方程两边同时乘以，得，整理，得，∴，．经检验是增根，是原方程的解，∴原方程的解为．【点睛】本题主要考查了解可以化为一元二次方程的分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程和一元二次方程的步骤和方法．20．解方程：．【答案】，，，【分析】设，则原方程为，求解得出或，分别代入求解即可．【解析】解：设，则原方程为，整理得：，解得：或，当时，即，整理得：，解得：，；当时，，整理得：，解得：，，经检验：，，，是原方程的解，综上所述，原方程的解为，，，．【点睛】本题考查了解分式方程，换元法解一元二次方程，将设为，将原方程整理为含的分式方程是解本题的关键．21．解方程：．【答案】【分析】先去分母化为整式方程求解，再验根即可．【解析】解：方程两边都乘，得，解得：，检验：当时，，是原方程的解．【点睛】本题的最简公分母是，方程两边都乘最简公分母，可把分式方程转换为整式方程求解．解分式方程的基本思想是“转化思想”，方程两边都乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要代入最简公分母验根．分式方程里单独的一个数和字母也必须乘最简公分母．22．解方程：【答案】x1=，x2=．【分析】设，则原方程化为y-=2，求出y的值，再求出x的值，最后进行检验即可；【解析】解：设，则原方程化为：y-=2，整理，得y2-2y-3=0，解得：y=3或-1，当y=3时，，即x2-3x+1=0，Δ=b2-4ac=(-3)2-4×1×1=5>0，解方程得：x=；当y=-1时，=-1，即x2+x+1=0，Δ=b2-4ac=12-4×1×1=-3＜0，所以此方程无实数根；检验：当x=时，x（x2+1）≠0，所以x=都是原方程的解，即原方程的解是x1=，x2=．【点睛】本题考查了解分式方程，能正确换元是解此题的关键．23．解方程：【答案】x＝9【分析】方程两边都乘（x＋1）（x−1）得出6x＝（x＋1）（x−1）−5（x＋1）＋3（x−1），求出方程的解，再进行检验即可．【解析】解：解方程两边都乘（x＋1）（x−1），得6x＝（x＋1）（x−1）−5（x＋1）＋3（x−1），整理得：x2−8x−9＝0，解得：x＝9或−1，检验：当x＝9时，（x＋1）（x−1）≠0，所以x＝9是原方程的解，当x＝−1时，（x＋1）（x−1）＝0，所以x＝−1是增根，所以x＝−1不是原方程的解，即原方程的解是x＝9．【点睛】本题考查了解分式方程和一元二次方程，掌握分式方程的解法并注意验根是解此题的关键．24．关于x的方程有且只有一个实数解，求k.【答案】4或或0【分析】分k=0和k≠0求解，当k≠0时，再分方程是一元二次方程和不是一元二次方程两种情况求解．【解析】当k=0时，方程变形为，整理，得4x+1=0，方程只有一个实数解，符合题意，当k≠0时，方程两边用时乘以x(x-1)，整理，得，当k=4时，方程变形为3x+1=0，方程只有一个实数解，符合题意，当k≠4时，方程只有一个实数根，所以，解得k=，综上所述，当方程只有一个实数解，符合题意的k值为4或或0．【点睛】本题考查了分式方程的解法，分式方程转化为一元一次方程或一元二次方程，正确进行分类是解题的关键．25．用换元法解方程：x2﹣x﹣=4．【答案】【分析】方程的两个部分是倒数关系，所以可设，可用换元法转化为关于y的分式方程，先求y，再求x，最后检验一下结果．【解析】设，则原方程变形为，即，解得，当y=-2时，，因为，所以此方程无实数根，当y=6时，，解方程得：，检验：把分别代入原方程的分母，分母都不等于0，所以原方程的根是：．【点睛】换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧．26．已知方程只有一个根，求a的值．【答案】5或9或；【分析】去分母化为一元二次方程，分别讨论一元二次方程有一根为x=-1、有一根为x=-2、有两个相同根时，求得a的值再代入验证即可；【解析】解：去分母得：去括号得：①有一根为x=-1时，代入得a=5，，则另一个根为x=0，此时分式方程只有一个根x=0，且分母不等于零，符合题意；②有一根为x=-2时，代入得a=9，，则另一个根为x=1，此时分式方程只有一个根x=1，且分母不等于零，符合题意；③有两个相同根时，4-8（5-a）=0，a=，，，此时分式方程只有一个根x=，且分母不等于零，符合题意；∴a的值为5或9或；【点睛】本题考查了分式方程的增根，掌握分式方程的分母不能为零是解题关键．27．＝有增根，求所有可能的t之和．【答案】3【分析】根据根据有增根，说明0或﹣1可能是方程的增根，将分式方程化为整式方程可得（x+1）2+x2＝x+t，进一步求得t的所有可能值，相加即可求解．【解析】解：∵有增根，∴说明0或﹣1可能是方程的增根，去分母得：（x+1）2+x2＝x+t，代入x＝0，有t＝1；代入x＝﹣1，有t＝2．故所有可能的t之和为3．【点睛】本题主要考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
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