河南省三门峡市陕州区2023-2024学年九年级上学期期末教情学情诊断数学试题（原卷版+解析版）

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2．答题前请将密封线内的项目填写清楚．
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”、“谷雨”、“白露”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
【详解】解：选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
选项A、B、C均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
2. 点关于原点对称的点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据“平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（-x，-y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数”解答．
【详解】解：根据关于原点对称的点的坐标的特点，
则点M（1，2）关于原点对称的点的坐标是（-1，-2）．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标的特点，比较简单．
3. 三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程的根，则该三角形的周长为（ ）
A. 14B. 12C. 12或14D. 以上都不对
【答案】B
【解析】
【分析】解方程得x＝5或x＝7，由三角形三边满足的条件可知x＝7不合题意，x＝5符合题意，由此即可求得周长．
【详解】解：解方程x2−12x＋35＝0
得x＝5或x＝7，
又3＋4＝7，
故长度为3，4，7的线段不能组成三角形，
∴x＝7不合题意，
∴三角形的周长为3＋4＋5＝12．
故选：B．
【点睛】本题考查一元二次方程的解，三角形三边满足的条件，解题关键是掌握三角形三边满足的条件．
4. 将抛物线向右平移3个单位，再向下平移5个单位，得到的抛物线的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律即可得出平移后的抛物线的解析式．
【详解】解：将抛物线向右平移3个单位，再向下平移5个单位，得到的抛物线的解析式为：，
故选A．
【点睛】此题考查了抛物线的平移规律：左加右减，上加下减，熟记抛物线平移规律是正确解题的关键．
5. 下列事件是随机事件的是（ ）
A. 在一个标准大气压下，水加热到100℃会沸腾B. 购买一张福利彩票就中奖
C. 有一名运动员奔跑的速度是50米/秒D. 在一个仅装有白球和黑球的袋中摸球，摸出红球
【答案】B
【解析】
【分析】根据事件的类型特点及性质进行判断.
【详解】A、是必然事件，选项错误；
B、是随机事件，选项错误；
C、是不可能事件，选项错误；
D、是不可能事件，选项错误．
故选B．
【点睛】本题考查的是随机事件的特性，熟练掌握随机事件的特性是本题的解题关键.
6. 如果一个扇形半径是1，弧长是，那么此扇形的圆心角的大小为【 】
A. 30°B. 45° C ．60°C. 90°
【答案】C
【解析】
【分析】根据弧长公式，即可求解
【详解】设圆心角是n度，根据题意得，
解得：n=60．
故选C
【点睛】本题考查了弧长的有关计算．
7. 如图，已知是的直径，弦，若的度数是，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查圆中求角度问题，涉及平行线性质和圆周角定理，首先由平行线性质“两直线平行，内错角相等”得到，再由“同弧所对的圆周角是圆心角的一半”即可得到答案，熟练掌握平行性质及圆周角定理是解决问题的关键．
【详解】解：，的度数是，
，
在中，，则，
故选：D．
8. 一次函数y＝ax＋b图象经过第一、二、三象限，则二次函数y＝ax2＋bx的大致图象是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题可先由一次函数图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致．
【详解】∵函数的图象经过一、二、三象限，
∴，，
∵时，抛物线开口向上，排除D；
∵，时，对称轴，排除A、C．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，一次函数图象与系数的关系．解决本题的关键是根据一次函数图象确定a、b的符号，进而判断二次函数的开口方向及对称轴位置．
9. 在同一直角坐标系中，一次函数与反比例函数（）的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是反比例函数及一次函数图象，解答此题的关键是先根据反比例函数所在的象限判断出的符号，再根据一次函数的性质进行解答．对进行分类讨论，结合选项进行排除即可．
【详解】解：当时，，
反比例函数的图象在一、三象限，一次函数的图象经过一、三、四象限，故C，D错误；
当时，，
反比例函数的图象在二、四象限，一次函数的图象经过一、二、四象限，故B选项错误，A选项正确；
故选：A．
10. 如图，为的内接三角形，，，则的内接正方形的面积为（ ）
A. 2B. 4C. 8D. 16
【答案】A
【解析】
【分析】先连接BO，并延长交于点D，再连接，根据同圆中同弧所对的圆周角相等，可得，而是直径，那么易知是直角三角形，再利用直角三角形中30°的角所对的边等于斜边的一半，那么可求，进而可知半径的长，任意圆内接正方形都是以两条互相垂直的直径作为对角线的四边形，故利用勾股定理可求正方形的边长，从而可求正方形的面积．
【详解】解：连接，并延长交于点D，再连接，如图，
∵，
∴，
∵是直径，
∴，
在中，，
∴的直径是2，
∵的内接正方形是以两条互相垂直的直径为对角线的，
∴=．
故选：A．
【点睛】本题考查了圆周角定理、含有30角直角三角形的性质，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 小燕抛一枚硬币10次，有7次正面朝上，当她抛第11次时，正面向上的概率为_______________．
【答案】##
【解析】
【分析】硬币只有正反两个面，然后根据概率的意义解答．
【详解】解：∵抛硬币正反出现的概率是相同的，不论抛多少次出现正面或反面的概率是一致的，
∴正面向上的概率为．
故答案为：．
【点睛】本题考查的知识点是概率的意义，解题的关键是理解概率的定义并明确硬币只有正反两个面．
12. 某商品原价元，经过连续两次降价后，售价为元．设平均每次降价的百分率为，则的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】可先表示出第一次降价后的价格，那么第一次降价后的价格(1-降低的百分率)=256，把相应数值代入即可求解．
【详解】解：根据题意得：，
解得：或(舍去)，
故答案为：．
【点睛】考查了求平均变化率的方法，解题的关键是若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为．
13. 如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，点E是⊙O上一点，且∠AEB=60°，则∠P=________度．
【答案】60
【解析】
【分析】连接OA，BO，由圆周角定理知可知∠AOB=2∠E=120°，PA、PB分别切⊙O于点A、B，利用切线的性质可知∠OAP=∠OBP=90°，根据四边形内角和可求得∠P=180°-∠AOB=60°．
【详解】解：连接OA，BO；
∵∠AOB=2∠E=120°，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∴∠P=180°-∠AOB=60°．
故答案为：60．
【点睛】本题利用了圆周角定理，切线的性质，四边形的内角和为360度求解，熟练掌运用切线的性质是解题关键．
14. 如图，直线与双曲线相交于点，则不等式解集是_______．
【答案】或##或
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的图象综合，写出直线在双曲线上方部分的的取值范围即可．
【详解】点在直线，
，
解得．
则，
将其代入双曲线得到：，
双曲线的解析式为：，
解得或，
直线与双曲线的另一交点坐标是，
不等式的解集是或．
故答案为：或．
15. 如图，正方形和正方形的对称中心都是点O，其边长分别是3和2，则图中阴影部分的面积是_______．
【答案】1.25
【解析】
【分析】本题考查了中心对称，连接，，根据中心对称的定义可知，阴影的面积等于正方形面积差的四分之一．
【详解】连接，，
正方形的边长分别为3和2，
面积分别为9和4，
正方形和正方形的对称中心都是点，
．
故答案为：1.25．
三、解答题（本大题8个小题，共75分）
16. 解方程：
（1）x2+4x﹣1=0
（2）．
【答案】（1）；（2）或
【解析】
【分析】（1）运用配方法求解即可；
（2）运用因式分解法求解即可．
【详解】解：（1）x2+4x﹣1=0

∴，
（2）

，
∴，．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
17. 在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，的三个顶点都在格点上．
（1）以O为原点建立直角坐标系，点B的坐标为，则点A的坐标为______；
（2）画出绕点O顺时针旋转90°后的，并求线段扫过的面积．
【答案】（1）图见解析，
（2）图见解析，
【解析】
【分析】本题考查了作图旋转变换，扇形的面积公式．
（1）先画出直角坐标系，然后根据第二象限点的坐标特征写出点坐标；
（2）先利用网格特点和旋转的性质画出点和的对应点、，即可得到，再利用勾股定理计算出和，然后根据扇形面积公式计算即可．
【小问1详解】
如图1，点的坐标为；
【小问2详解】
如图2，为所作；
，
线段扫过的面积
．
18. 在直径是52cm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度CD为16cm，求油面宽度AB的长．
【答案】48cm．
【解析】
【详解】试题分析：因为圆柱形油槽装入油后形成弓形，可以考虑用垂径定理解答．
试题解析：由题意得出：OC⊥AB于点D，
由垂径定理知，点D为AB的中点，AB=2AD，
∵直径是52cm，
∴OB=26cm，
∴OD=OC﹣CD=26﹣16=10（cm），
由勾股定理知，
BD==24（cm），
∴AB=48cm．
考点：1．垂径定理的应用；2．勾股定理．
19. 码头工人每天往一艘轮船上装载货物，平均每天装载速度y（吨/元）与装完货物所需时间x（天）之间是反比例函数关系，其图象如图所示．
（1）求这个反比例函数的表达式；
（2）由于紧急情况，要求船上的货物不超过5天卸货完毕，那么平均每天至少要卸货多少吨？
（3）若码头原有工人10名，且每名工人每天的装卸量相同，装载完毕恰好用了8天时间，在（2）的条件下，至少需要增加多少名工人才能完成任务？
【答案】（1）；（2） 80吨货物；（3）6名.
【解析】
【分析】（1）根据题意即可知装载速度y（吨/天）与装完货物所需时间x（天）之间是反比例函数关系，则可求得答案；
（2）由x=5，代入函数解析式即可求得y的值，即求得平均每天至少要卸的货物；
（3）由10名工人，每天一共可卸货50吨，即可得出平均每人卸货的吨数，即可求得答案．
【详解】解：（1）设y与x之间的函数表达式为y=，
根据题意得：50=，
解得k=400，
∴y与x之间的函数表达式为y=；
（2）∵x=5，
∴y=400÷5=80，
解得：y=80；
答：平均每天至少要卸80吨货物；
（3）∵每人一天可卸货：50÷10=5（吨），
∴80÷5=16（人），16﹣10=6（人）．
答：码头至少需要再增加6名工人才能按时完成任务．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是熟练的掌握反比例函数的性质.
20. 如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC=∠D=60°．
（1）求∠ABC的度数；
（2）求证：AE是⊙O的切线；
（3）当BC=4时，求劣弧AC的长．
【答案】（1）60°;(2)证明略;(3)
【解析】
【分析】（1）根据∠ABC与∠D都是劣弧AC所对的圆周角，利用圆周角定理可证出∠ABC=∠D=60°；
（2）根据AB是⊙O的直径，利用直径所对的圆周角是直角得到∠ACB=90°，结合∠ABC=60°求得∠BAC=30°，从而推出∠BAE=90°，即OA⊥AE，可得AE是⊙O的切线；
（3）连结OC，证出△OBC是等边三角形，算出∠BOC=60°且⊙O的半径等于4，可得劣弧AC所对的圆心角∠AOC=120°，再由弧长公式加以计算，可得劣弧AC的长．
【详解】（1）∵∠ABC与∠D都是弧AC所对的圆周角，
∴∠ABC=∠D=60°；
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．
∴∠BAC=30°，
∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=30°+60°=90°，
即BA⊥AE，
∴AE是⊙O的切线；
（3）如图，连接OC，
∵OB=OC，∠ABC=60°，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB=BC=4，∠BOC=60°，
∴∠AOC=120°，
∴劣弧AC的长为==．
【点睛】本题考查了切线长定理及弧长公式，熟练掌握定理及公式是解题的关键.
21. 某商场销售一批衬衫，进货价为每件40元，按每件50元出售，一个月内可售出500件．已知这种衬衫每涨价1元，其销售量要减少10件．
（1）为在月内赚取8000元的利润，售价应定为每件多少元？
（2）要想获得的利润最大，该商场应当如何定价销售？
【答案】（1）每件60元或80元，利润为8000元；（2）70元
【解析】
【分析】（1）设涨x元，利用单件利润乘以销售量得到总利润得到（50-40+x）（500-10x）=8000，然后解方程即可；
（2）设每件涨x元，利润为y元，则y=（50-40+x）（500-10x），然后利用二次函数的性质解决问题．
【详解】解：（1）设涨x元，
根据题意得（50﹣40+x）（500﹣10x）＝8000，
整理得x2﹣40x+300＝0，解得x1＝10，x2＝30，
当x＝10时，50+10＝60；当x＝30时，50+30＝80，
此时售价应定为每件60元或80元，利润为8000元；
（2）设每件涨x元，利润为y元，
则y＝（50﹣40+x）（500﹣10x）
＝﹣10x2+400x+5000
＝﹣10（x﹣20）2+9000，
∵a＝﹣10＜0，
∴当x＝20时，y有最大值，最大值为9000，
∴要想获得的利润最大，销售价应定为70元．
【点睛】本题考查了二次函数的应用：在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义．
22. 在中，，将在平面内绕点B顺时针旋转（旋转角不超过180°），得到，其中点A的对应点为点D，连接，．

（1）如图1，试猜想与之间满足的等量关系，并给出证明；
（2）如图2，若点D在边上， ，求的长．
【答案】（1）相等，见解析
（2）3
【解析】
【分析】（1）由旋转的性质可得可得，由平行线的性质可得,然后根据等量代换即可解答；
（2）过点D作于点E，由旋转的性质可得，可证是等边三角形，由直角三角形的性质可求的长，由勾股定理可求的长，可得，得的长即可．
【小问1详解】
解：，理由如下：
∵在平面内绕点B顺时针旋转（旋转角不超过），得到，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【小问2详解】
解：如图，过点D作于点F，

∵在平面内绕点B顺时针旋转（旋转角不超过），得到，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，且，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴．
∴的长为3．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质、平行线的性质、勾股定理等知识点，熟练运用旋转的性质解决问题是本题的关键．
23. 如图，某跳水运动员进行10米跳台跳水训练，水面边缘点E的坐标为．运动员（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点O的抛物线．在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处A点的坐标为，正常情况下，运动员在距水面高度5米以前，必须完成规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，否则就会失误．运动员入水后，运动路线为另一条抛物线．

（1）求运动员在空中运动时对应抛物线的解析式并求出入水处B点的坐标；
（2）若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点E的水平距离为5米，问该运动员此次跳水会不会失误？通过计算说明理由；
（3）在该运动员入水点的正前方有M，N两点，且，，该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为且顶点C距水面4米，若该运动员出水点D在之间（包括M，N两点），请直接写出a的取值范围．
【答案】（1）；
（2）该运动员此次跳水失误了，理由见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）设抛物线的解析式为，将代入即可求得解析式；令，即可求得点B的坐标；
（2）求出距点E水平距离为5米的点的纵坐标即可进行判断；
（3）分别求出当抛物线经过点时的的值即可．
【小问1详解】
解：设抛物线的解析式为
将代入解析式得：
∴抛物线的解析式为
令，则
解得：
∴入水处B点的坐标
【小问2详解】
解：距点E的水平距离为5米，对应的横坐标为：
将代入解析式得：
∵
∴该运动员此次跳水失误了
【小问3详解】
解：∵，，点E的坐标为
∴点M、N的坐标分别为：
∵该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为顶点C距水面4米
，
∴当抛物线经过点时，把点M代入得：
同理，当抛物线经过点时，
由点D在之间可得：
【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的应用．涉及了抛物线的顶点式、求抛物线上的点的坐标等．熟记二次函数的相关形式是解题关键．