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苏科版八年级上册3.1 勾股定理单元测试同步测试题
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这是一份苏科版八年级上册3.1 勾股定理单元测试同步测试题，共19页。试卷主要包含了在中，，是高，，，则线段的长为，如图，中，，，等内容，欢迎下载使用。
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列各组数中，是勾股数的
A．，，1B．1，2，3C．1.5，2，2.5D．9，40，41
2．（3分）在中，，是高，，，则线段的长为
A．B．C．D．
3．（3分）满足下列条件的，不是直角三角形的是
A．B．
C．D．
4．（3分）如图：在一个边长为1的小正方形组成的方格稿纸上，有、、、、、、七个点，则在下列任选三个点的方案中可以构成直角三角形的是
A．点、点、点 B．点、点、点
C．点、点、点D．点、点、点
5．（3分）如图，在中，，，，是边上的中线，则的面积是
A．B．
6．（3分）有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了下图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2019次后形成的图形中所有的正方形的面积和是
A．1B．2018C．2019D．2020
7．（3分）如图，一根长5米的竹竿斜靠在一竖直的墙上，这时为4米，如果竹竿的顶端沿墙下滑1米，竹竿底端外移的距离
A．等于1米B．大于1米C．小于1米D．以上都不对
8．（3分）如图所示，有一个高，底面周长为的圆柱形玻璃容器，在外侧距下底的点处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处的点处有一只苍蝇，则急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路径的长度是
A．B．C．D．
9．（3分）如图是“赵爽弦图”， 、、和是四个全等的直角三角形，四边形和都是正方形，如果，，那么等于
A．8B．6C．4D．5
10．（3分）中，，，． 动点从点开始， 按的路径运动， 速度为每秒，运动的时间为秒 ． 以下结论中正确的有
①为 6 秒时，把的周长分成相等的两部分
②为 6.5 秒时，把的面积分成相等的两部分， 且此时长为
③为 3 秒或 5.4 秒或 6 秒或 6.5 秒时，为等腰三角形，
A ．①②③B ．①②C ．②③D ．①③
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．（3分）分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）6、8、10，（2）5、12、13，（3）8、15、17，（4）4、5、6，其中能构成直角三角形的有______________________．（填序号）
12．（3分）如图， 在中，，，点为的中点， 垂足为点，则等于___________．
13．（3分）如图，一棵大树在离地3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是___________米．
14．（3分）如图， 已知是的角平分线，，，，则___________．
15．（3分）如图所示，四边形中，，，，，，则四边形的面积为___________．
16．（3分）如图所示的网格是正方形网格，则___________（点，，是网格线交点）．
17．（3分）在中，，，，动点从点出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为秒，当为等腰三角形时，的值为___________．
18．（3分）如图，在中，，底边，点是底边上任意一点，于点，于点，则___________．
三、解答题（共5小题，满分46分）
19．（8分）如图，在中，，，，为边上的高，点为垂足，求的面积．
20．（8分）在甲村至乙村间有一条公路，在处需要爆破，已知点与公路上的停靠站的距离为300米，与公路上的另一停靠站的距离为400米，且，如图所示，为了安全起见，爆破点周围半径250米范围内不得进入，问：在进行爆破时，公路段是否有危险？是否需要暂时封锁？请用你学过的知识加以解答．
21．（10分）
（1）如图，在的网格中，请你画出一个格点正方形，使它的面积是10．
（2）如图，、是的网格中的格点，网格中每个小正方形的边长都是单位1，请在图中清晰地标出使以、、为顶点的三角形是等腰三角形的所有格点的位置．
22．（10分）观察、思考与验证
（1）如图1是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式 ；
（2）如图2所示，，且，，在同一直线上．试说明：；
（3）伽菲尔德年任美国第20届总统）利用（1）中的公式和图2证明了勾股定理（发表在1876年4月1日的《新英格兰教育日志》上），请你写出验证过程．
23．（10分）如图1，，，，点为斜边上动点．
（1）如图2，过点作交于点，连接，当平分时，求；
（2）如图3，在点的运动过程中，连接，若为等腰三角形，求．
参考答案
一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1、D
【分析】根据勾股定理的逆定理分别对各组数据进行检验即可．
【答案】解：A、和不是整数，此选项错误；
B、∵12+22≠32，∴不是勾股数，此选项错误；
C、1.5和2.5不是整数，此选项错误；
D、∵92+402＝412，∴是勾股数，此选项正确．
故选：D．
【点睛】此题考查了勾股数，说明：
①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数．
②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．
③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…
2、B
【分析】根据勾股定理求出AB，根据三角形的面积公式列式计算．
【答案】解：在Rt△ABC中，AB＝＝＝5，
△ABC的面积＝×AB×CD＝×AC×BC，即×5×CD＝×4×3，
解得，CD＝，
故选：B．
【点睛】本题考查的是勾股定理，三角形的面积计算，掌握直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2是解题的关键．
3、B
【分析】依据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理以及直角三角形的性质，即可得到结论．
【答案】解：A、由a：b：c＝3：4：5得c2＝a2+b2符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形；
B、由∠A：∠B：∠C＝9：12：15，及∠A+∠B+∠C＝180°得∠C＝75°≠90°，故不是直角三角形；
C、由三角形三个角度数和是180°及∠C＝∠A﹣∠B解得∠A＝90°，故是直角三角形．
D、由b2﹣a2＝c2得b2＝a2+c2符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形；
故选：B．
【点睛】本题考查了直角三角形的判定及勾股定理的逆定理，掌握直角三角形的判定及勾股定理的逆定理是解题的关键．
4、C
【分析】根据勾股定理分别求得每两个点之间的距离的平方，再进一步利用勾股定理的逆定理进行分析．
【答案】解：A、AB2＝1+36＝37，AC2＝16+25＝41，BC2＝1+9＝10，37+10≠41，不可以构成直角三角形；
B、AD2＝16+16＝32，AG2＝9+36＝45，DG2＝1+4＝5，32+5≠45，不可以构成直角三角形；
C、BE2＝36+16＝52，BF2＝25+25＝50，EF2＝1+1＝2，50+2＝52，可以构成直角三角形
D、BG2＝25+9＝34，BE2＝36+16＝52，GE2＝9+1＝10，34+10≠52，不可以构成直角三角形．
故选：C．
【点睛】本题考查的是勾股定理，勾股定理的逆定理，利用数形结合求解是解答此题的关键．
5、A
【分析】根据勾股定理求出AC，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【答案】解：由勾股定理得，AC＝＝12，
∵BD是AC边上的中线，
∴CD＝AD＝6，
∴△BCD的面积＝×5×6＝15（cm2），
故选：A．
【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
6、D
【分析】根据勾股定理和正方形的面积公式，知“生长”1次后，以直角三角形两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积，即所有正方形的面积和是2×1＝2；“生长”2次后，所有的正方形的面积和是3×1＝3，推而广之即可求出“生长”2019次后形成图形中所有正方形的面积之和．
【答案】解：设直角三角形的是三条边分别是a，b，c．
根据勾股定理，得a2+b2＝c2，
即正方形A的面积+正方形B的面积＝正方形C的面积＝1．
推而广之，“生长”了2019次后形成的图形中所有的正方形的面积和是2020×1＝2020．
故选：D．
【点睛】此题考查了正方形的性质，以及勾股定理，其中能够根据勾股定理发现每一次得到的新的正方形的面积和与原正方形的面积之间的关系是解本题的关键．
7、A
【分析】要求下滑的距离，显然需要分别放到两个直角三角形中，运用勾股定理求得BO和DO的长即可．
【答案】解：由题意得：在Rt△AOB中，OA＝4米，AB＝5米，
∴OB＝＝3米，
在Rt△COD中，OC＝3米，CD＝5米，
∴OD＝＝4米，
∴AC＝OD﹣OB＝1米．
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，注意此题中梯子的长度是不变的．熟练运用勾股定理是解题的关键．
8、C
【分析】展开后连接SF，求出SF的长就是捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路径，过S作SE⊥CD于E，求出SE、EF，根据勾股定理求出SF即可．
【答案】解：如图展开后连接SF，求出SF的长就是捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路径，
过S作SE⊥CD于E，
则SE＝BC＝×24＝12cm，
EF＝18﹣1﹣1＝16cm，
在Rt△FES中，由勾股定理得：SF＝＝＝20（cm），
答：捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路径的长度是20cm．
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理、平面展开﹣最大路线问题，关键是构造直角三角形，题目比较典型，难度适中．
9、C
【分析】根据面积的差得出a+b的值，再利用a﹣b＝2，解得a，b的值代入即可．
【答案】解：∵AB＝10，EF＝2，
∴大正方形的面积是100，小正方形的面积是4，
∴四个直角三角形面积和为100﹣4＝96，设AE为a，DE为b，即4×ab＝96，
∴2ab＝96，a2+b2＝100，
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝100+96＝196，
∴a+b＝14，
∵a﹣b＝2，
解得：a＝8，b＝6，
∴AE＝8，DE＝6，
∴AH＝8﹣2＝6．
故选：C．
【点睛】此题考查勾股定理的证明，关键是应用直角三角形中勾股定理的运用解得ab的值．
10、A
【分析】①先由勾股定理求出△ABC的斜边AB＝10cm，则△ABC的周长为24cm，所以当CP把△ABC的周长分成相等的两部分时，点P在AB上，此时CA+AP＝BP+BC＝12cm，再根据时间＝路程÷速度即可求解；
②根据中线的性质可知，点P在AB中点时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分，进而求解即可；
③△BCP为等腰三角形时，分点P在边AC和边AB上讨论计算．
【答案】解：△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，
∴AB＝10cm，
∴△ABC的周长＝8+6+10＝24cm，
∴当CP把△ABC的周长分成相等的两部分时，点P在AB上，
此时CA+AP＝BP+BC＝12cm，
∴t＝12÷2＝6（秒），故①正确；
当点P在AB中点时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分，
此时CA+AP＝8+5＝13（cm），
∴t＝13÷2＝6.5（秒），
∴CP＝AB＝×10＝5cm，故②正确；
依据△BCP为等腰三角形，
当点P在边AC上时，CP＝CB＝6cm，
此时t＝6÷2＝3（秒）；
当点P在边AB上时．
①如图1，若CP＝CB，作AB边上的高CD，
∵AC×BC＝AB×CD．
∴CD＝＝4.8，
在Rt△CDP中，根据勾股定理得，DP＝＝3.6，
∴BP＝2DP＝7.2，AP＝2.8，
∴t＝（AC+AP）÷2＝（8+2.8）÷2＝5.4（秒）；
②若BC＝BP，
∴BP＝6cm，CA+AP＝8+10﹣6＝12（cm），
∴t＝12÷2＝6（秒）；
③若PB＝PC，
∴点P在BC的垂直平分线与AB的交点处，即在AB的中点处，
此时CA+AP＝8+5＝13（cm），
t＝13÷2＝6.5（秒）；
综上可知，当t＝3秒或5.4秒或6秒或6.5秒时，△BCP为等腰三角形，故③正确．
故选：A．
【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了勾股定理，三角形的面积，周长，等腰三角形的性质，线段的垂直平分线，解本题的关键是求出点P的运动路程．
二、填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11、（1）（2）（3）
【分析】欲判断是否可以构成直角三角形，只需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
【答案】解：（1）62+82＝102，可以构成直角三角形；
（2）52+122＝132，能构成直角三角形；
（3）82+152＝172，能构成直角三角形；
（4）52+42≠62．不能构成直角三角形；
故答案为：（1）（2）（3）．
【点睛】此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2＝c2，则△ABC是直角三角形．
12、
【分析】首先连接AD，由△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，D为BC中点，利用等腰三角形的三线合一的性质，即可证得：AD⊥BC，然后利用勾股定理，即可求得AD的长，然后利用面积法来求DE的长．
【答案】解：连接AD，
∵△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，D为BC中点，
∴AD⊥BC，BD＝BC＝5，
∴AD＝＝12，
又∵DE⊥AB，
∴BD•AD＝AB•ED，
∴ED＝，
故答案为：
【点睛】此题考查了等腰三角形的性质以及勾股定理．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，注意数形结合思想的应用．
13、8
【分析】由题意得，在直角三角形中，知道了两直角边，运用勾股定理直接解答即可求出斜边．
【答案】解：∵AC＝4米，BC＝3米，∠ACB＝90°，
∴折断的部分长为＝5（m），
∴折断前高度为5+3＝8（米）．
故答案为：8．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，训练了学生对勾股定理在实际生活中的运用能力．
14、5
【分析】作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质得到DE＝DC，根据勾股定理计算即可
【答案】解：作DE⊥AB于E，
∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝10，
∵AD是角平分线，DE⊥AB，∠ACB＝90°，
∴DE＝DC，AE＝AC＝6，
∴BE＝4，
在Rt△DEB中，DE2＝（8﹣DE）2﹣42，
解得，DC＝DE＝3，
∴BD＝BC﹣DC＝8﹣3＝5，
故答案为：5．
【点睛】本题考查的是角平分线的性质、勾股定理，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
15、2+6
【分析】先根据勾股定理求出BD的长，再由勾股定理的逆定理判断出△BCD的形状，根据S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD即可得出结论．
【答案】解：∵BA⊥DA，AB＝2，AD＝2，
∴BD＝＝＝4．
∵CD＝3，BC＝5，32+42＝52，
∴△BCD是直角三角形，
∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD＝AB•AD+CD•BD＝×2×2+×3×4＝2+6．
故答案为：2+6．
【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
16、45
【分析】延长AP交格点于D，连接BD，根据勾股定理得到PD2＝BD2＝1+22＝5，PB2＝12+32＝10，求得PD2+DB2＝PB2，于是得到∠PDB＝90°，根据三角形外角的性质即可得到结论．
【答案】解：延长AP交格点于D，连接BD，
则PD2＝BD2＝1+22＝5，PB2＝12+32＝10，
∴PD2+DB2＝PB2，
∴∠PDB＝90°，
∴∠DPB＝∠PAB+∠PBA＝45°，
故答案为：45．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，三角形的外角的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
17、
【分析】当△ABP为等腰三角形时，分三种情况：①当AB＝BP时；②当AB＝AP时；③当BP＝AP时，分别求出BP的长度，继而可求得t值．
【答案】解：∵∠C＝90°，AB＝13cm，AC＝5cm，
∴BC＝12cm．
①当BP＝BA＝13时，∴t＝13s．
②当AB＝AP时，BP＝2BC＝24cm，∴t＝24s．
③当PB＝PA时，PB＝PA＝t cm，CP＝（12﹣t）cm，AC＝5 cm，
在Rt△ACP中，AP2＝AC2+CP2，
∴（t）2＝52+（12﹣t）2，解得t＝s．
综上，当△ABP为等腰三角形时，t＝13s或24s或s．
【点睛】本题考查勾股定理，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
18、4.8
【分析】连接AP，过A作AF⊥BC于F，由图可得：S△ABC＝S△ABP+S△ACP，代入数值，解答出即可．
【答案】解：连接AP，过A作AF⊥BC于F，
∵AB＝AC＝5，
∴BF＝CF＝BC＝3，
由勾股定理得：AF＝＝4，
由图可得，S△ABC＝S△ABP+S△ACP，
∵PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，
∴+，
＝×5PE，
24＝5（PD+PE），
∴PD+PE＝4.8，
故答案为：4.8．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和勾股定理，解答时注意，将一个三角形的面积转化成两个三角形的面积和；体现了转化思想．
三．解答题（共5小题，满分46分）
19、
【分析】设BD为x，利用勾股定理得出方程解答即可．
【答案】解：设BD＝x，则CD＝14﹣x，
由勾股定理可得：AD2＝AB2﹣BD2＝152﹣x2，AD2＝AC2﹣CD2＝132﹣（14﹣x）2，
则152﹣x2＝132﹣（14﹣x）2，
解得：x＝9，
则AD＝，
所以△ABC的面积＝．
【点睛】本题主要考查勾股定理，关键是利用勾股定理得出方程解答．
20、
【分析】过C作CD⊥AB于D．根据BC＝400米，AC＝300米，∠ACB＝90°，利用根据勾股定理有AB＝500米．利用S△ABC＝AB•CD＝BC•AC得到CD＝240米．再根据240米＜250米可以判断有危险．
【答案】解：公路AB需要暂时封锁．
理由如下：如图，过C作CD⊥AB于D．
因为BC＝400米，AC＝300米，∠ACB＝90°，
所以根据勾股定理有AB＝500米．
因为S△ABC＝AB•CD＝BC•AC
所以CD＝＝＝240（米）．
由于240米＜250米，故有危险，
因此AB段公路需要暂时封锁．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是构造直角三角形，以便利用勾股定理．
21、
【分析】（1）根据面积求出正方形的边长为，再勾股定理画出符合的图形即可；
（2）分为三种情况：①AC＝BC，②AB＝BC，③AC＝AB，找出符合的点即可．
【答案】解：（1）使4条边长为，如图所示：
；
（2）如图2所示：
共7个点．
【点睛】本题考查了正方形，勾股定理，等腰三角形的性质的应用，主要考查学生的动手操作能力，比较容易出错．
22、（1）（a+b）2＝a2+2ab+b2 ；
【分析】（1）由大正方形面积的两种计算方法即可得出结果；
（2）由全等三角形的性质得出∠BAC＝∠DCE，再由角的互余关系得出∠ACB+∠DCE＝90°，即可得出结论；
（3）先证明四边形ABDE是梯形，由四边形ABDE的面积的两种计算方法即可得出结论．
【答案】（1）解：这个公式是完全平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2；理由如下：
∵大正方形的边长为a+b，
∴大正方形的面积＝（a+b）2，
又∵大正方形的面积＝两个小正方形的面积+两个矩形的面积＝a2+b2+ab+ab＝a2+2ab+b2，
∴（a+b）2＝a2+2ab+b2；
故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2；
（2）证明：∵△ABC≌△CDE，
∴∠BAC＝∠DCE，
∵∠ACB+∠BAC＝90°，
∴∠ACB+∠DCE＝90°，
∴∠ACE＝90°；
（3）证明：∵∠B＝∠D＝90°，
∴∠B+∠D＝180°，
∴AB∥DE，即四边形ABDE是梯形，
∴四边形ABDE的面积＝（a+b）（a+b）＝ab+c2+ab，
整理得：a2+b2＝c2．
【点睛】本题考查了完全平方公式、全等三角形的性质、正方形面积的计算、梯形面积的计算方法；熟练掌握完全平方公式和四边形面积的计算方法是解决问题的关键．
23、
【分析】（1）由△ACE≌△AED（AAS），推出CE＝DE，AC＝AD＝15，设CE＝x，则BE＝20﹣x，BD＝25﹣15＝10，在Rt△BED中根据勾股定理即可解决问题；
（2）分两种情形分别求解即可解决问题；
【答案】解：（1）∵AC⊥CB，AC＝15，AB＝25
∴BC＝20，
∵AE平分∠CAB，
∴∠EAC＝∠EAD，
∵AC⊥CB，DE⊥AB，
∴∠EDA＝∠ECA＝90°，
∵AE＝AE，
∴△ACE≌△AED（AAS），
∴CE＝DE，AC＝AD＝15，
设CE＝x，则BE＝20﹣x，BD＝25﹣15＝10
在Rt△BED中
∴x2+102＝（20﹣x）2，
∴x＝7.5，
∴CE＝7.5．
（2）①当AD＝AC时，△ACD为等腰三角形
∵AC＝15，
∴AD＝AC＝15．
②当CD＝AD时，△ACD为等腰三角形
∵CD＝AD，
∴∠DCA＝∠CAD，
∵∠CAB+∠B＝90°，
∠DCA+∠BCD＝90°，
∴∠B＝∠BCD，
∴BD＝CD，
∴CD＝BD＝DA＝12.5，
③当CD＝AC时，△ACD为等腰三角形，
如图1中，作CH⊥BA于点H，
则•AB•CH＝•AC•BC，
∵AC＝15，BC＝20，AB＝25，
∴CH＝12，
在Rt△ACH中，AH＝＝9，
∵CD＝AC，CH⊥BA，
∴DH＝HA＝9，
∴AD＝18．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列各组数中，是勾股数的
A．，，1B．1，2，3C．1.5，2，2.5D．9，40，41
2．（3分）在中，，是高，，，则线段的长为
A．B．C．D．
3．（3分）满足下列条件的，不是直角三角形的是
A．B．
C．D．
4．（3分）如图：在一个边长为1的小正方形组成的方格稿纸上，有、、、、、、七个点，则在下列任选三个点的方案中可以构成直角三角形的是
A．点、点、点 B．点、点、点
C．点、点、点D．点、点、点
5．（3分）如图，在中，，，，是边上的中线，则的面积是
A．B．
6．（3分）有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了下图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2019次后形成的图形中所有的正方形的面积和是
A．1B．2018C．2019D．2020
7．（3分）如图，一根长5米的竹竿斜靠在一竖直的墙上，这时为4米，如果竹竿的顶端沿墙下滑1米，竹竿底端外移的距离
A．等于1米B．大于1米C．小于1米D．以上都不对
8．（3分）如图所示，有一个高，底面周长为的圆柱形玻璃容器，在外侧距下底的点处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处的点处有一只苍蝇，则急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路径的长度是
A．B．C．D．
9．（3分）如图是“赵爽弦图”， 、、和是四个全等的直角三角形，四边形和都是正方形，如果，，那么等于
A．8B．6C．4D．5
10．（3分）中，，，． 动点从点开始， 按的路径运动， 速度为每秒，运动的时间为秒 ． 以下结论中正确的有
①为 6 秒时，把的周长分成相等的两部分
②为 6.5 秒时，把的面积分成相等的两部分， 且此时长为
③为 3 秒或 5.4 秒或 6 秒或 6.5 秒时，为等腰三角形，
A ．①②③B ．①②C ．②③D ．①③
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．（3分）分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）6、8、10，（2）5、12、13，（3）8、15、17，（4）4、5、6，其中能构成直角三角形的有______________________．（填序号）
12．（3分）如图， 在中，，，点为的中点， 垂足为点，则等于___________．
13．（3分）如图，一棵大树在离地3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是___________米．
14．（3分）如图， 已知是的角平分线，，，，则___________．
15．（3分）如图所示，四边形中，，，，，，则四边形的面积为___________．
16．（3分）如图所示的网格是正方形网格，则___________（点，，是网格线交点）．
17．（3分）在中，，，，动点从点出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为秒，当为等腰三角形时，的值为___________．
18．（3分）如图，在中，，底边，点是底边上任意一点，于点，于点，则___________．
三、解答题（共5小题，满分46分）
19．（8分）如图，在中，，，，为边上的高，点为垂足，求的面积．
20．（8分）在甲村至乙村间有一条公路，在处需要爆破，已知点与公路上的停靠站的距离为300米，与公路上的另一停靠站的距离为400米，且，如图所示，为了安全起见，爆破点周围半径250米范围内不得进入，问：在进行爆破时，公路段是否有危险？是否需要暂时封锁？请用你学过的知识加以解答．
21．（10分）
（1）如图，在的网格中，请你画出一个格点正方形，使它的面积是10．
（2）如图，、是的网格中的格点，网格中每个小正方形的边长都是单位1，请在图中清晰地标出使以、、为顶点的三角形是等腰三角形的所有格点的位置．
22．（10分）观察、思考与验证
（1）如图1是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式 ；
（2）如图2所示，，且，，在同一直线上．试说明：；
（3）伽菲尔德年任美国第20届总统）利用（1）中的公式和图2证明了勾股定理（发表在1876年4月1日的《新英格兰教育日志》上），请你写出验证过程．
23．（10分）如图1，，，，点为斜边上动点．
（1）如图2，过点作交于点，连接，当平分时，求；
（2）如图3，在点的运动过程中，连接，若为等腰三角形，求．
参考答案
一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1、D
【分析】根据勾股定理的逆定理分别对各组数据进行检验即可．
【答案】解：A、和不是整数，此选项错误；
B、∵12+22≠32，∴不是勾股数，此选项错误；
C、1.5和2.5不是整数，此选项错误；
D、∵92+402＝412，∴是勾股数，此选项正确．
故选：D．
【点睛】此题考查了勾股数，说明：
①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数．
②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．
③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…
2、B
【分析】根据勾股定理求出AB，根据三角形的面积公式列式计算．
【答案】解：在Rt△ABC中，AB＝＝＝5，
△ABC的面积＝×AB×CD＝×AC×BC，即×5×CD＝×4×3，
解得，CD＝，
故选：B．
【点睛】本题考查的是勾股定理，三角形的面积计算，掌握直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2是解题的关键．
3、B
【分析】依据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理以及直角三角形的性质，即可得到结论．
【答案】解：A、由a：b：c＝3：4：5得c2＝a2+b2符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形；
B、由∠A：∠B：∠C＝9：12：15，及∠A+∠B+∠C＝180°得∠C＝75°≠90°，故不是直角三角形；
C、由三角形三个角度数和是180°及∠C＝∠A﹣∠B解得∠A＝90°，故是直角三角形．
D、由b2﹣a2＝c2得b2＝a2+c2符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形；
故选：B．
【点睛】本题考查了直角三角形的判定及勾股定理的逆定理，掌握直角三角形的判定及勾股定理的逆定理是解题的关键．
4、C
【分析】根据勾股定理分别求得每两个点之间的距离的平方，再进一步利用勾股定理的逆定理进行分析．
【答案】解：A、AB2＝1+36＝37，AC2＝16+25＝41，BC2＝1+9＝10，37+10≠41，不可以构成直角三角形；
B、AD2＝16+16＝32，AG2＝9+36＝45，DG2＝1+4＝5，32+5≠45，不可以构成直角三角形；
C、BE2＝36+16＝52，BF2＝25+25＝50，EF2＝1+1＝2，50+2＝52，可以构成直角三角形
D、BG2＝25+9＝34，BE2＝36+16＝52，GE2＝9+1＝10，34+10≠52，不可以构成直角三角形．
故选：C．
【点睛】本题考查的是勾股定理，勾股定理的逆定理，利用数形结合求解是解答此题的关键．
5、A
【分析】根据勾股定理求出AC，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【答案】解：由勾股定理得，AC＝＝12，
∵BD是AC边上的中线，
∴CD＝AD＝6，
∴△BCD的面积＝×5×6＝15（cm2），
故选：A．
【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
6、D
【分析】根据勾股定理和正方形的面积公式，知“生长”1次后，以直角三角形两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积，即所有正方形的面积和是2×1＝2；“生长”2次后，所有的正方形的面积和是3×1＝3，推而广之即可求出“生长”2019次后形成图形中所有正方形的面积之和．
【答案】解：设直角三角形的是三条边分别是a，b，c．
根据勾股定理，得a2+b2＝c2，
即正方形A的面积+正方形B的面积＝正方形C的面积＝1．
推而广之，“生长”了2019次后形成的图形中所有的正方形的面积和是2020×1＝2020．
故选：D．
【点睛】此题考查了正方形的性质，以及勾股定理，其中能够根据勾股定理发现每一次得到的新的正方形的面积和与原正方形的面积之间的关系是解本题的关键．
7、A
【分析】要求下滑的距离，显然需要分别放到两个直角三角形中，运用勾股定理求得BO和DO的长即可．
【答案】解：由题意得：在Rt△AOB中，OA＝4米，AB＝5米，
∴OB＝＝3米，
在Rt△COD中，OC＝3米，CD＝5米，
∴OD＝＝4米，
∴AC＝OD﹣OB＝1米．
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，注意此题中梯子的长度是不变的．熟练运用勾股定理是解题的关键．
8、C
【分析】展开后连接SF，求出SF的长就是捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路径，过S作SE⊥CD于E，求出SE、EF，根据勾股定理求出SF即可．
【答案】解：如图展开后连接SF，求出SF的长就是捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路径，
过S作SE⊥CD于E，
则SE＝BC＝×24＝12cm，
EF＝18﹣1﹣1＝16cm，
在Rt△FES中，由勾股定理得：SF＝＝＝20（cm），
答：捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路径的长度是20cm．
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理、平面展开﹣最大路线问题，关键是构造直角三角形，题目比较典型，难度适中．
9、C
【分析】根据面积的差得出a+b的值，再利用a﹣b＝2，解得a，b的值代入即可．
【答案】解：∵AB＝10，EF＝2，
∴大正方形的面积是100，小正方形的面积是4，
∴四个直角三角形面积和为100﹣4＝96，设AE为a，DE为b，即4×ab＝96，
∴2ab＝96，a2+b2＝100，
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝100+96＝196，
∴a+b＝14，
∵a﹣b＝2，
解得：a＝8，b＝6，
∴AE＝8，DE＝6，
∴AH＝8﹣2＝6．
故选：C．
【点睛】此题考查勾股定理的证明，关键是应用直角三角形中勾股定理的运用解得ab的值．
10、A
【分析】①先由勾股定理求出△ABC的斜边AB＝10cm，则△ABC的周长为24cm，所以当CP把△ABC的周长分成相等的两部分时，点P在AB上，此时CA+AP＝BP+BC＝12cm，再根据时间＝路程÷速度即可求解；
②根据中线的性质可知，点P在AB中点时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分，进而求解即可；
③△BCP为等腰三角形时，分点P在边AC和边AB上讨论计算．
【答案】解：△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，
∴AB＝10cm，
∴△ABC的周长＝8+6+10＝24cm，
∴当CP把△ABC的周长分成相等的两部分时，点P在AB上，
此时CA+AP＝BP+BC＝12cm，
∴t＝12÷2＝6（秒），故①正确；
当点P在AB中点时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分，
此时CA+AP＝8+5＝13（cm），
∴t＝13÷2＝6.5（秒），
∴CP＝AB＝×10＝5cm，故②正确；
依据△BCP为等腰三角形，
当点P在边AC上时，CP＝CB＝6cm，
此时t＝6÷2＝3（秒）；
当点P在边AB上时．
①如图1，若CP＝CB，作AB边上的高CD，
∵AC×BC＝AB×CD．
∴CD＝＝4.8，
在Rt△CDP中，根据勾股定理得，DP＝＝3.6，
∴BP＝2DP＝7.2，AP＝2.8，
∴t＝（AC+AP）÷2＝（8+2.8）÷2＝5.4（秒）；
②若BC＝BP，
∴BP＝6cm，CA+AP＝8+10﹣6＝12（cm），
∴t＝12÷2＝6（秒）；
③若PB＝PC，
∴点P在BC的垂直平分线与AB的交点处，即在AB的中点处，
此时CA+AP＝8+5＝13（cm），
t＝13÷2＝6.5（秒）；
综上可知，当t＝3秒或5.4秒或6秒或6.5秒时，△BCP为等腰三角形，故③正确．
故选：A．
【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了勾股定理，三角形的面积，周长，等腰三角形的性质，线段的垂直平分线，解本题的关键是求出点P的运动路程．
二、填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11、（1）（2）（3）
【分析】欲判断是否可以构成直角三角形，只需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
【答案】解：（1）62+82＝102，可以构成直角三角形；
（2）52+122＝132，能构成直角三角形；
（3）82+152＝172，能构成直角三角形；
（4）52+42≠62．不能构成直角三角形；
故答案为：（1）（2）（3）．
【点睛】此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2＝c2，则△ABC是直角三角形．
12、
【分析】首先连接AD，由△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，D为BC中点，利用等腰三角形的三线合一的性质，即可证得：AD⊥BC，然后利用勾股定理，即可求得AD的长，然后利用面积法来求DE的长．
【答案】解：连接AD，
∵△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，D为BC中点，
∴AD⊥BC，BD＝BC＝5，
∴AD＝＝12，
又∵DE⊥AB，
∴BD•AD＝AB•ED，
∴ED＝，
故答案为：
【点睛】此题考查了等腰三角形的性质以及勾股定理．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，注意数形结合思想的应用．
13、8
【分析】由题意得，在直角三角形中，知道了两直角边，运用勾股定理直接解答即可求出斜边．
【答案】解：∵AC＝4米，BC＝3米，∠ACB＝90°，
∴折断的部分长为＝5（m），
∴折断前高度为5+3＝8（米）．
故答案为：8．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，训练了学生对勾股定理在实际生活中的运用能力．
14、5
【分析】作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质得到DE＝DC，根据勾股定理计算即可
【答案】解：作DE⊥AB于E，
∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝10，
∵AD是角平分线，DE⊥AB，∠ACB＝90°，
∴DE＝DC，AE＝AC＝6，
∴BE＝4，
在Rt△DEB中，DE2＝（8﹣DE）2﹣42，
解得，DC＝DE＝3，
∴BD＝BC﹣DC＝8﹣3＝5，
故答案为：5．
【点睛】本题考查的是角平分线的性质、勾股定理，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
15、2+6
【分析】先根据勾股定理求出BD的长，再由勾股定理的逆定理判断出△BCD的形状，根据S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD即可得出结论．
【答案】解：∵BA⊥DA，AB＝2，AD＝2，
∴BD＝＝＝4．
∵CD＝3，BC＝5，32+42＝52，
∴△BCD是直角三角形，
∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD＝AB•AD+CD•BD＝×2×2+×3×4＝2+6．
故答案为：2+6．
【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
16、45
【分析】延长AP交格点于D，连接BD，根据勾股定理得到PD2＝BD2＝1+22＝5，PB2＝12+32＝10，求得PD2+DB2＝PB2，于是得到∠PDB＝90°，根据三角形外角的性质即可得到结论．
【答案】解：延长AP交格点于D，连接BD，
则PD2＝BD2＝1+22＝5，PB2＝12+32＝10，
∴PD2+DB2＝PB2，
∴∠PDB＝90°，
∴∠DPB＝∠PAB+∠PBA＝45°，
故答案为：45．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，三角形的外角的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
17、
【分析】当△ABP为等腰三角形时，分三种情况：①当AB＝BP时；②当AB＝AP时；③当BP＝AP时，分别求出BP的长度，继而可求得t值．
【答案】解：∵∠C＝90°，AB＝13cm，AC＝5cm，
∴BC＝12cm．
①当BP＝BA＝13时，∴t＝13s．
②当AB＝AP时，BP＝2BC＝24cm，∴t＝24s．
③当PB＝PA时，PB＝PA＝t cm，CP＝（12﹣t）cm，AC＝5 cm，
在Rt△ACP中，AP2＝AC2+CP2，
∴（t）2＝52+（12﹣t）2，解得t＝s．
综上，当△ABP为等腰三角形时，t＝13s或24s或s．
【点睛】本题考查勾股定理，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
18、4.8
【分析】连接AP，过A作AF⊥BC于F，由图可得：S△ABC＝S△ABP+S△ACP，代入数值，解答出即可．
【答案】解：连接AP，过A作AF⊥BC于F，
∵AB＝AC＝5，
∴BF＝CF＝BC＝3，
由勾股定理得：AF＝＝4，
由图可得，S△ABC＝S△ABP+S△ACP，
∵PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，
∴+，
＝×5PE，
24＝5（PD+PE），
∴PD+PE＝4.8，
故答案为：4.8．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和勾股定理，解答时注意，将一个三角形的面积转化成两个三角形的面积和；体现了转化思想．
三．解答题（共5小题，满分46分）
19、
【分析】设BD为x，利用勾股定理得出方程解答即可．
【答案】解：设BD＝x，则CD＝14﹣x，
由勾股定理可得：AD2＝AB2﹣BD2＝152﹣x2，AD2＝AC2﹣CD2＝132﹣（14﹣x）2，
则152﹣x2＝132﹣（14﹣x）2，
解得：x＝9，
则AD＝，
所以△ABC的面积＝．
【点睛】本题主要考查勾股定理，关键是利用勾股定理得出方程解答．
20、
【分析】过C作CD⊥AB于D．根据BC＝400米，AC＝300米，∠ACB＝90°，利用根据勾股定理有AB＝500米．利用S△ABC＝AB•CD＝BC•AC得到CD＝240米．再根据240米＜250米可以判断有危险．
【答案】解：公路AB需要暂时封锁．
理由如下：如图，过C作CD⊥AB于D．
因为BC＝400米，AC＝300米，∠ACB＝90°，
所以根据勾股定理有AB＝500米．
因为S△ABC＝AB•CD＝BC•AC
所以CD＝＝＝240（米）．
由于240米＜250米，故有危险，
因此AB段公路需要暂时封锁．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是构造直角三角形，以便利用勾股定理．
21、
【分析】（1）根据面积求出正方形的边长为，再勾股定理画出符合的图形即可；
（2）分为三种情况：①AC＝BC，②AB＝BC，③AC＝AB，找出符合的点即可．
【答案】解：（1）使4条边长为，如图所示：
；
（2）如图2所示：
共7个点．
【点睛】本题考查了正方形，勾股定理，等腰三角形的性质的应用，主要考查学生的动手操作能力，比较容易出错．
22、（1）（a+b）2＝a2+2ab+b2 ；
【分析】（1）由大正方形面积的两种计算方法即可得出结果；
（2）由全等三角形的性质得出∠BAC＝∠DCE，再由角的互余关系得出∠ACB+∠DCE＝90°，即可得出结论；
（3）先证明四边形ABDE是梯形，由四边形ABDE的面积的两种计算方法即可得出结论．
【答案】（1）解：这个公式是完全平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2；理由如下：
∵大正方形的边长为a+b，
∴大正方形的面积＝（a+b）2，
又∵大正方形的面积＝两个小正方形的面积+两个矩形的面积＝a2+b2+ab+ab＝a2+2ab+b2，
∴（a+b）2＝a2+2ab+b2；
故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2；
（2）证明：∵△ABC≌△CDE，
∴∠BAC＝∠DCE，
∵∠ACB+∠BAC＝90°，
∴∠ACB+∠DCE＝90°，
∴∠ACE＝90°；
（3）证明：∵∠B＝∠D＝90°，
∴∠B+∠D＝180°，
∴AB∥DE，即四边形ABDE是梯形，
∴四边形ABDE的面积＝（a+b）（a+b）＝ab+c2+ab，
整理得：a2+b2＝c2．
【点睛】本题考查了完全平方公式、全等三角形的性质、正方形面积的计算、梯形面积的计算方法；熟练掌握完全平方公式和四边形面积的计算方法是解决问题的关键．
23、
【分析】（1）由△ACE≌△AED（AAS），推出CE＝DE，AC＝AD＝15，设CE＝x，则BE＝20﹣x，BD＝25﹣15＝10，在Rt△BED中根据勾股定理即可解决问题；
（2）分两种情形分别求解即可解决问题；
【答案】解：（1）∵AC⊥CB，AC＝15，AB＝25
∴BC＝20，
∵AE平分∠CAB，
∴∠EAC＝∠EAD，
∵AC⊥CB，DE⊥AB，
∴∠EDA＝∠ECA＝90°，
∵AE＝AE，
∴△ACE≌△AED（AAS），
∴CE＝DE，AC＝AD＝15，
设CE＝x，则BE＝20﹣x，BD＝25﹣15＝10
在Rt△BED中
∴x2+102＝（20﹣x）2，
∴x＝7.5，
∴CE＝7.5．
（2）①当AD＝AC时，△ACD为等腰三角形
∵AC＝15，
∴AD＝AC＝15．
②当CD＝AD时，△ACD为等腰三角形
∵CD＝AD，
∴∠DCA＝∠CAD，
∵∠CAB+∠B＝90°，
∠DCA+∠BCD＝90°，
∴∠B＝∠BCD，
∴BD＝CD，
∴CD＝BD＝DA＝12.5，
③当CD＝AC时，△ACD为等腰三角形，
如图1中，作CH⊥BA于点H，
则•AB•CH＝•AC•BC，
∵AC＝15，BC＝20，AB＝25，
∴CH＝12，
在Rt△ACH中，AH＝＝9，
∵CD＝AC，CH⊥BA，
∴DH＝HA＝9，
∴AD＝18．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
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