初中数学苏科版八年级上册3.1 勾股定理复习练习题

这是一份初中数学苏科版八年级上册3.1 勾股定理复习练习题，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题(每小题3分,共24分)
1.直角三角形的三边长分别为2,4,x,则x的值有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.(2022江苏徐州期中)用三张正方形纸片按如图所示的方式构成图案,若要使所围成的三角形是直角三角形,则选取的三张正方形纸片的面积不可以是( )
A.1,2,3 B.2,2,4 C.3,4,5 D.2,3,5
3.(2022江苏宿迁期中)下列各组数中,是勾股数的是( )
A.35,45,1 B.30,40,50
C.-6,-8,-10 D.0.3,0.4,0.5
4.(2022江苏溧阳期中)一座建筑物发生了火灾,消防车到达现场后,发现最多只能靠近建筑物底端7米,消防车的云梯最大伸长为25米,则云梯可以到达该建筑物的最大高度是( )
A.16米 B.20米 C.24米 D.25米
5.(2022独家原创)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,已知BC=5,AB=13,点D是斜边AB上的动点,则CD的最小值为( )
A.6013 B.365 C.94 D.1225
6.(2022江苏南京期中)如图,以一个直角三角形的三边为直径作3个半圆,若半圆B、C的面积分别是4、5,则半圆A的面积是( )
A.1 B.3
C.4.5 D.9
7.有一个边长为1的正方形,以它的一条边为斜边,向外作一个直角三角形,再分别以直角三角形的两条直角边为边,向外各作一个正方形,称为第一次“生长”(如图1);再分别以这两个正方形的边为斜边,向外各自作一个直角三角形,然后分别以这两个直角三角形的直角边为边,向外各作一个正方形,称为第二次“生长”(如图2);……如果继续“生长”下去,它将变得“枝繁叶茂”,请你算出“生长”了2 021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是( )

图1 图2
A.1 B.2 020
C.2 021 D.2 022
8.如图,△ABC中,∠BAC=90°,AB=6,BC=10,BD平分∠ABC,若P,Q分别是BD和AB上的动点,则PA+PQ的最小值是( )
A.2.4 B.4.8 C.4 D.5
二、填空题(每小题3分,共24分)
9.(2022独家原创)在Rt△ABC中,∠C=90°,已知AC=24,AB=25,则△ABC的面积为 .
10.(2021湖南岳阳中考)《九章算术》是我国古代数学名著,书中有下列问题:“今有户高多于广六尺八寸,两隅相去适一丈.问户高、广各几何?”其意思:今有一门,高比宽多6尺8寸,门对角线的长恰好为1丈.问门高、宽各是多少?(1丈=10尺,1尺=10寸)如图,设门高AB为x尺,根据题意,可列方程为 .
11.如图,学校有一块长方形花圃,有极少数人为了避开拐角走“捷径”,在花圃内走出了一条“路”.他们仅仅少走了 步路(假设2步为1米),却踩伤了花草.
12.已知a、b、c是△ABC的三边长,且满足关系式|c2-a2-b2|+(a-b)2=0,则△ABC的形状为 .
13.如图所示的网格是正方形网格(每个小正方形的边长为1),则∠PAB+∠PBA= °(点A,B,P在小正方形的顶点上).
14.利用图①②中两个图形的有关面积的等量关系能证明数学中一个十分著名的定理,这个定理称为 ,其数学表达式是 .

图① 图②
15.(2022江苏邳州期中)观察下列各组勾股数:
(1)3,4,5;
(2)5,12,13;
(3)7,24,25;
(4)9,40,41;
……
照此规律,将第n组勾股数按从小到大的顺序排列,排在中间的数,用含n的代数式可表示为 .
16.如图,圆柱形玻璃杯的高为7 cm,底面周长为16 cm,在杯内离杯底2 cm的点C处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿1 cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁到达蜂蜜的最短路径为 cm.
三、解答题(共52分)
17.(8分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E.若AC=8,BC=4,求AE的长.
18.(8分)勾股定理神秘而美妙,它的证法多样,其巧妙各有不同,当两个全等的直角三角形按如图所示的方式摆放时,也可以用面积法来证明勾股定理,请完成证明过程.(提示:BD和AC都可以分割四边形ABCD)
(2022江苏南京期中)(8分)如图,在四边形ABCD中,∠B=90°,AB=20,BC=15,
CD=7,AD=24.求四边形ABCD的面积.
20.(8分)如图,在B港有甲、乙两艘渔船同时航行,若甲船沿北偏东60°方向以8千米/时的速度前进,乙船沿南偏东某方向以15千米/时的速度前进,2小时后甲船到达M岛,乙船到达P岛,两岛相距34千米,你知道乙船沿哪个方向航行吗?
21.(2021江苏无锡新吴期中)(10分)满足a2+b2=c2的三个正整数,称为勾股数.
(1)请把下列三组勾股数补充完整:
① ,8,10;②5, ,13;
③8,15, ;
(2)小敏发现,很多已经约去公因数的勾股数中,都有一个数是偶数,如果将它写成2mn,那么另外两个数可以写成m2+n2,m2-n2,如4=2×2×1,5=22+12,3=22-12.请你帮小敏证明这三个数2mn,m2+n2,m2-n2是勾股数;
(3)如果21,72,75是满足上述小敏发现的规律的勾股数,求m+n的值.
22.(2022江苏南京期末)(10分)【知识生成】通过不同的方法表示同一图形的面积,可以探求相应的等式,两个边长分别为a,b的直角三角形和一个两条直角边长都是c的直角三角形拼成如图①所示的梯形,请用两种方法计算梯形面积.
(1)方法一可表示为 ;
方法二可表示为 ;
(2)根据方法一和方法二,得出a,b,c之间的数量关系是 (等式的两边需写成最简形式);
(3)由上可知,若一直角三角形的两条直角边长为6和8,则其斜边长为 ;
【知识迁移】通过不同的方法表示同一几何体的体积,也可以探求相应的等式.如图②是边长为a+b的正方体,被如图所示的分割线分成8块.
(4)用不同方法计算这个正方体的体积,就可以得到一个等式,这个等式为 ;(等号两边需化为最简形式)
(5)已知2m-n=4,mn=2,利用上面的规律求8m3-n3的值.

图① 图②
答案全解全析
1.B 当x为斜边长时,x2=22+42=20;当4为斜边长时,x2=42-22=12.故x的值有2个.
2.C 由题意可知,三角形各边长的平方是对应的正方形的面积,
∵所围成的三角形是直角三角形,
∴斜边对应的正方形的面积=两直角边对应的正方形的面积和.
∵1+2=3,2+2=4,3+4≠5,2+3=5,
∴选取的三张正方形纸片的面积不可以是3,4,5.故选C.
3.B A.35,45不是正整数,∴不是勾股数;
B.302+402=502,∴是勾股数;
C.-6,-8,-10不是正整数,∴不是勾股数;
D.0.3,0.4,0.5不是正整数,∴不是勾股数.故选B.
4.C 如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=25米,BC=7米.
由勾股定理,得AC2=AB2-BC2=252-72=576,
所以AC=24米.故选C.
5.A 在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=5,AB=13,
∴AC2=AB2-BC2=132-52=144,∴AC=12.
根据垂线段最短可知,当CD⊥AB时,
CD的值最小,为12AC·BC12AB=5×1213=6013.故选A.
6.A 如图,
∵△DEF是直角三角形,
∴DE2+DF2=EF2,
∴π8DE2+π8DF2=π8EF2,
∴SB+SA=SC.
∵半圆B、C的面积分别是4、5,
∴半圆A的面积是1.故选A.
7.D 由题意得SA=1,
由勾股定理,得SB+SC=1,
∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2.
同理可得,“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3,
“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4,
……
∴“生长”了2 021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是2 022.
故选D.
8.B 如图所示.作点Q关于直线BD的对称点Q',因为BD平分∠ABC,所以点Q'在BC上,连接PQ',则PA+PQ的最小值即为PA+PQ'的最小值,∴当A、P、Q'三点共线且AQ'⊥BC时,PA+PQ的值最小,过点A作AM⊥BC于点M,则PA+PQ的最小值即为AM的长.∵AB=6,BC=10,∴由勾股定理得AC2=BC2-AB2=102-62=82,∴AC=8,∵S△ABC=12AM·BC=12AB·AC,∴AM=AB·ACBC=4810=4.8.故选B.
9.答案 84
解析 在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=25,AC=24,
∴BC2=AB2-AC2=252-242=49,∴BC=7,
∴△ABC的面积为12AC·BC=12×24×7=84.
10.答案 x2+(x-6.8)2=102
解析 门高AB为x尺,则门的宽为(x-6.8)尺,AC=1丈=10尺,
由勾股定理,得AB2+BC2=AC2,
即x2+(x-6.8)2=102.
11.答案 4
解析 设“路”的长度是x米,由勾股定理,得x2=42+32=25,∴x=5,∴他们少走了3+4-5=2(米),即2×2=4步.
12.答案 等腰直角三角形
解析 由关系式|c2-a2-b2|+(a-b)2=0得,c2-a2-b2=0且a-b=0,即a2+b2=c2且a=b,∴△ABC是等腰直角三角形.
13.答案 45
解析 延长AP交网格线于D,连接BD.
则PD2=BD2=12+22=5,PB2=12+32=10,
∴PD2+DB2=PB2,PD=BD,
∴∠PDB=90°,
∴∠DPB=∠PAB+∠PBA=45°.故答案为45.
14.答案 勾股定理;a2+b2=c2
解析 借助题图①,根据大正方形的面积=小正方形的面积+四个直角三角形的面积,得c2=(b-a)2+4×12ab,化简后可得c2=a2+b2.借助题图②,根据大正方形的面积=小正方形的面积+四个直角三角形的面积,得(a+b)2=c2+4×12ab,化简得a2+b2=c2.
15.2n2+2n
解析 (1)3,4,5中,3=2×1+1,4=32-12;
(2)5,12,13中,5=2×2+1,12=52-12;
(3)7,24,25中,7=2×3+1,24=72-12;
(4)9,40,41中,9=2×4+1,40=92-12;
……
以此类推,第n组勾股数中,最小的数为2n+1,排在中间的数为(2n+1)2-12,即2n2+2n.
故答案为2n2+2n.
16.答案 10
解析 如图(图中数据的单位:cm),将杯子的侧面展开,作A关于EF的对称点A',连接A'C,易知A'C的长为所求的最短路程,根据勾股定理得A'C2=A'D2+CD2=82+62=102,所以A'C=10 cm,即所求的最短路程为10 cm.
17.解析 连接BE.
∵DE垂直平分AB,∴AE=BE.
设AE=BE=x,则CE=8-x,
在Rt△BCE中,由勾股定理,得BC2+CE2=BE2,
∴42+(8-x)2=x2,解得x=5,∴AE=5.
18.解析 连接DB,过点D作BC边上的高DF,则DF=EC=b-a.
∵S四边形ABCD=S△ACD+S△ABC=12b2+12ab,
S四边形ABCD=S△ADB+S△DCB=12c2+12a(b-a),
∴12b2+12ab=12c2+12a(b-a),
∴a2+b2=c2.
19.解析 连接AC.
在△ABC中,∠B=90°,
由勾股定理,得AB2+BC2=AC2.
∵AB=20,BC=15,
∴AC2=202+152=625,
∴AC=25.
∵CD=7,AD=24,AC=25,
∴CD2+AD2=72+242=49+576=625,AC2=252=625,
∴CD2+AD2=AC2,
∴△ACD是直角三角形,即∠D=90°,
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=12AB·BC+12AD·CD
=12×20×15+12×24×7=234.
20.解析 由题意知,BM=8×2=16千米,BP=15×2=30千米,在△BMP中,BM2+BP2=256+900=1 156,PM2=342=1 156,∴BM2+BP2=MP2,∴△BMP是直角三角形,∠MBP=90°,∴∠ABP=180°-90°-60°=30°,∴乙船沿南偏东30°方向航行.
21.解析 (1)6;12;17.
(2)证明:∵(m2-n2)2+(2mn)2=m4+n4-2m2n2+4m2n2=m4+n4+2m2n2,
(m2+n2)2=m4+n4+2m2n2,
∴(m2-n2)2+(2mn)2=(m2+n2)2,
∴m2-n2,m2+n2,2mn是勾股数.
(3)把21,72,75分别除以3,得7,24,25,
∵偶数24=2×4×3,25=42+32,7=42-32,
∴m=4,n=3,∴m+n=4+3=7.
22.解析 (1)方法一可表示为12ab+12ab+12c2;
方法二可表示为12(a+b)2.
故答案为12ab+12ab+12c2;12(a+b)2.
(2)由题意可得12ab+12ab+12c2=12(a+b)2,
整理得c2=a2+b2.故答案为c2=a2+b2.
(3)10.
(4)方法一可表示为(a+b)3;
方法二可表示为a3+3a2b+3ab2+b3.
∴等式为(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3.
故答案为(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3.
(5)由(4)可得
(2m-n)3=8m3-12m2n+6mn2-n3
=8m3-n3-6mn(2m-n),
∵2m-n=4,mn=2,
∴64=8m3-n3-6×2×4,
∴8m3-n3=64+48=112.