福建省厦门市双十中学2019-2020学年高一（下）期中数学试题（解析版）

这是一份福建省厦门市双十中学2019-2020学年高一（下）期中数学试题（解析版），共19页。试卷主要包含了选择题.，填空题.，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知数列，1，，，，…，，…，则是它的（ ）.
A. 第22项B. 第23项C. 第24项D. 第28项
【答案】B
【解析】
【分析】
将改写成的形式，即可确定它的项数.
【详解】因为题中数列的第项为，
而，
所以是题中数列的第23项.
故选：B.
【点睛】本题考查数列项数的确定，属于基础题.
2. 的内角的对边分别为成等比数列，且，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
成等比数列，可得，又，可得，利用余弦定理即可得出．
【详解】解：成等比数列，，又，，
则
故选B．
【点睛】本题考查了等比数列的性质、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
3. 在等差数列中，，则此数列前项的和是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
分析：利用等差数列的下标性质，结合等差数列的求和公式即可得结果.
详解：由等差数列的性质可得：，，
代入已知可得，即，
故数列的前项之和
．
故选．
点睛：等差数列的常用性质有：(1)通项公式的推广： (2)若 为等差数列，且 ；(3)若是等差数列，公差为，，则是公差 的等差数列；(4)数列也是等差数列.
4. 某观察站与两灯塔的距离分别为米和米，测得灯塔在观察站西偏北，灯塔在观察站北偏东，则两灯塔间的距离为（ ）
A. 米B. 米C. 米D. 米
【答案】A
【解析】
依题意，作出上图，∵ ，∴由余弦定理得：，故选A.
5. 若数列是等比数列，则下列数列一定是等比数列的是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
分析：求出，在A中，不一定是常数，在B中，可能有零项，在D中，当时，数列存在负项，此时无意义，只有C项满足等比数列的定义，并且公比是原数列公比的倒数，从而求得结果.
详解：因为数列是等比数列，所以，
对于A，不一定是常数，故A不一定是等比数列；
对于B，可能有项为零，故B不一定是等比数列；
对于C，利用等比数列的定义，可知的公比是数列公比的倒数，故C项一定是等比数列；
对于D，当时，数列存在负项，此时无意义，故D项不符合题意；
故选C
点睛：该题考查的是有关等比数列的判断问题，在解题的过程中需要对等比数列的定义牢牢掌握，再者就是对等比数列的性质要熟记，对等比数列中的项经过什么样的变换还成等比数列.
6. 中，，则符合条件的三角形有（ ）
A. 个B. 个C. 个D. 个
【答案】B
【解析】
由正弦定理可得: ,解得sinA= > ，故满足条件的角A有两个,一个钝角,一个锐角,应选B.
7. 已知函数，则下列说法不正确的是（ ）
A. 的一个周期为
B. 的图象关于对称
C. 在上单调递减
D. 向左平移个单位长度后图象关于原点对称
【答案】D
【解析】
函数f(x)=sin(x+)，
A. 函数f(x)的周期为：T=2π，正确．
B. 当x=时,f()=−1，正确．
C. 当x∈[]时,x+∈[,]，故函数单调递减，正确．
D函数f(x)向左平移个单位后函数的关系式转化为：f(x)=sin(x+)，函数的图象不关于原点对称，故错误．
故选D
8. 已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列的前5项和为（ ）
A. 或5B. 或5
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由9S3＝S6以及等比数列的前项和的公式解出公比，再根据等比数列的前项和的公式可得数列的前5项和.
【详解】设{an}的公比为q，显然q≠1，由题意得，
所以1＋q3＝9，得q＝2，
所以是首项为1，公比为的等比数列，前5项和为.
故选：C.
【点睛】本题考查了等比数列的前项和公式，属于基础题.
9. 在中，，，，则面积是（ ）
A. B. C. 或D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】
利用余弦定理可求的长度，从而可求三角形的面积.
【详解】由余弦定理可得，
故，解得或，
故三角形的面积为或，
故选：C.
【点睛】本题考查余弦定理和三角形的面积公式，注意三角形中共有七个几何量（三边三角以及外接圆的半径），一般地，知道两角及一边，用正弦定理，知道两边及一边所对的角，可以用余弦定理，也可以用正弦定理（结合要求解的目标确定方法），本题属于基础题.
10. 设是等差数列，是其前项的和，且，，则下列结论错误的是（ ）．
A. B. 与是的最大值
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
设等差数列的公差为，根据，，可得，，．即可得出结论．
【详解】设等差数列的公差为，
，
，，．
，，，与是的最大值．
因此A，B，D正确．
对于C．，可得，因此不正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
11. 若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围（ ）
A. （-1，4）B. C. （4，1）D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据不等式有解，转化为，然后利用“1”的代换，运用基本不等式求解最值，最后解出关于的一元二次不等式即可.
【详解】∵不等式有解，
∴，
∵，，且，
∴，
当且仅当，即，时取“=”，
∴，
故，即，
解得或，
∴实数的取值范围是.
故选：B.
【点睛】本题主要考查基本不等式在最值中的应用，不等式的有解问题，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.
12. 两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题．他们在沙滩上画点或用小石子表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类．如下图中实心点的个数为梯形数．根据图形的构成，记此数列的第项为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
观察梯形数的前几项，得
5=2+3=a1，
9=2+3+4=a2，
14=2+3+4+5=a3，
…
，
由此可得a2013=2+3+4+5+…+2011= ×2014×2017，
∴a2013−5= ×2014×2017−5=1007×2017−5=2019×1006，
本题选择D选项.
二、填空题.
13. 不等式的解集为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
把分式不等式等价转化为二次不等式，然后根据一元二次不等式的解法求解即可.
【详解】不等式等价于，
解得，
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了分式不等式的求解，考查了一元二次不等式的求解，考查转化思想的应用，属于基础试题.
14. 《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗.问： 五人各得几何？”其意思为： 有5个人分60个橘子，他们分得的橘子数成公差为3的等差数列，问5人各得多少个橘子.这个问题中，得到橘子最多的人所得的橘子个数是______.
【答案】18
【解析】
【分析】
设第一个人分到的橘子个数为，由等差数列前项和公式能求出得到橘子最少的人所得的橘子个数，再由等差数列的通项公式即可求出答案．
【详解】设第一个人分到的橘子个数为，由题意得，解得，
则.
故答案为：18
【点睛】本题考查等差数列的首项的求法，考查了等差数列的通项公式，是基础题．
15. 如图，在中，，是上一点，是上一点，若，，，，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】
过点作于点，设，再用x表示线段，，，，
，，然后在中，利用余弦定理求得x即可.
【详解】如图所示：
过点作于点，设，
则由题意得：，，，
因为，
所以，
∵，
，即，
∵，，
∴，∴，
，
，
∴中，由余弦定理得
，
，
又，
，
，
整理得：，
解得：或（舍去），
∴，
解得：.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查余弦定理的应用以及平面几何的知识，还考查了运算及其的能力，属于中档题.
16. 把一数列依次按第一个括号内一个数，第二个括号内两个数，第三个括号内三个数，第四个括号内一个数，…循环分为（1），（3，5），（7，9，11），（13），（15，17），（19，21，23），（25），…，则第50个括号内各数之和为__________.
【答案】392
【解析】
【分析】
由题意，每三个括号算一组，并确定每组中的数个数，再求出第50个括号里的数的个数以及第一个数，然后利用等差数列求和公式求解.
【详解】括号里的数的规律是：每三个括号算一组，里面的数个数都是1+2+3=6个，
所以到第49个括号时，共有个数，且第50个括号里的数有2个，
又数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，
所以，
所以第50个括号里的第一个数是，
所以第50个括号里的数是，
所以第50个括号里的数之和为195+197=392，
故答案为：392.
【点睛】本题考查等差数列的通项公式，还考查了观察、归纳运算求解的能力，属于基础题.
三、解答题
17. 设函数
（1）若对一切实数x，恒成立，求m的取值范围；
（2）若对于，恒成立，求m的取值范围：
【答案】（1）.（2）
【解析】
【分析】
（1）对进行分类讨论，利用判别式进行求解；
（2）利用参数分离得到对恒成立，利用二次函数的性质求得的值域即可.
【详解】（1）对恒成立，
若，显然成立，
若，则，解得.
所以，.
（2）对于，恒成立，即
对恒成立
对恒成立
∴对恒成立，
即求在的最小值，
的对称轴为，
，，，
可得即.
【点睛】本题考查一元二次函数的图象与性质、不等式恒成立问题，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意参变分离法的应用.
18. 在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，.
（1）当时，求的面积；
（2）求周长的最大值.
【答案】（1）或；（2）6.
【解析】
试题分析：（1）利用两角和与差的正弦公式将已知等式化为，分为和两种情形解出三角形，故而可求出其面积；（2）利用正弦定理将三角形的周长表示为关于的三角函数，利用三角函数的性质即可得其最值.
试题解析：（1）由条件得：，∴，∴.①时，，，∴，②时，，∴，，∴.
∴或.
（2）设的外接圆半径为，∴由正弦定理得：，∴，∴周长 .∵，∴，∴，∴，∴ ，∵，∴∴，∴.
19. 已知数列的前n项和为，且，递增的等比数列满足：．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和．
【答案】（1），，（2）．
【解析】
试题分析：（1）当时，；，故
由已知求出且，故．
（2）由（1）得
两式相减得
试题解析：（1）当时，
，所以
，方程的两根，
，所以解得
（2），则
将两式相减得：
所以.
考点：已知数列前n项和为求数列通向公式‚错位相减法求数列前n项和．
20. 在中，内角，，所对应的边分别为，，，若.
（1）求角；
（2）若，，为的中点，求的长.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由已知利用余弦定理化简已知等式可求，结合是三角形内角，可求的值；
（2）由余弦定理可求，由正弦定理可得，求得，值，进而利用勾股定理可求的值.
【详解】（1）由，，
得.
所以，
因为，
所以，
因为角是三角形内角，
所以；
（2）∵，，
∴由正弦定理得∶，
∴，
∴，
∵，，
∴.
【点睛】本题主要考查了余弦定理，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题.
21. 已知数列中，，，且.
（1）求、的值，
（2）设试用表示，并求的通项公式；
（3）设，求数列的前项和.
【答案】（1），；（2），，，；（3）.
【解析】
【分析】
（1）由数列中，，，且，分别令和，求出、的值.
（2）当时，，即，则，然后用累乘法求解.
（3）由，然后利用裂项相消法求解.
【详解】（1）∵数列中，，，
且
∴，
，
∴，·
（2）当时，,
∴当时，，
故，，
累乘得，
∵，
∴，
（3）∵
，
∴
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【点睛】本题主要考查数列的通项公式和前项和的求法以及累乘法和裂项求和法、两角差的正弦公式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题..
22. 如图所示，是某海湾旅游区的一角，为营造更加优美的旅游环境，旅游区管委会决定建立面积为平分千米的三角形主题游戏乐园，并在区域建立水上餐厅.
已知，.
（1）设，，用表示，并求的最小值；
（2）设（为锐角），当最小时，用表示区域的面积，并求的最小值.
【答案】(1);(2)S= ,8－.
【解析】
试题分析：
(1)首先确定函数的解析式为结合均值不等式的结论可得的最小值是;
(2)结合题意和三角函数的性质可得S=，利用三角函数的性质可知的最小值是8－.
试题解析：
（1）由S△ACB＝AC·BC·sin∠ACB＝4得，BC＝，
△ACB中，由余弦定理可得，AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cs∠ACB，
即y2＝x 2＋＋16，
所以y＝
y＝≥＝4，
当且仅当x2＝，即x＝4时取等号．
所以当x＝4时，y有最小值4．
（2）由（1）可知，AB＝4，AC＝BC＝4，所以∠BAC＝30°，
在△ACD中，由正弦定理，CD＝＝＝，
在△ACE中，由正弦定理，CE＝＝＝，
所以，S＝CD·CE·sin∠DCE＝＝．
因为θ为锐角，
所以当θ＝时，S有最小值8－4．
本试卷的题干、答案和解析均由组卷网（）专业教师团队编校出品。
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