2022-2023学年四川省宜宾市叙州一中高二（下）期末数学试卷（文科）（含解析）

2022-2023学年四川省宜宾市叙州一中高二（下）期末数学试卷（文科）

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知复数，则的共轭复数(    )

A.  B.  C.  D.

2.  某学校高二年级选择“史政地”，“史政生”和“史地生”组合的同学人数分别为，和现采用分层抽样的方法选出位同学进行项调查研究，则“史政生”组合中选出的同学人数为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  已知命题：，为真命题，则实数的值不能是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  已知，，则“”是“”的(    )

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

5.  若，满足约束条件则的最大值是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  函数的图象大致为(    )

A.
B.
C.
D.

7.  若曲线的方程为：，则该曲线(    )

A. 曲线关于轴对称 B. 曲线的顶点坐标为
C. 曲线位于直线的左侧 D. 曲线过坐标原点

8.  已知双曲线的离心率是它的一条渐近线斜率的倍，则(    )

A.  B.  C.  D.

9.  已知抛物线的准线为，且点在抛物线上，则点到准线的距离为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  设，为椭圆：的两个焦点，点在上，若，则(    )

A.  B.  C.  D.

11.  在三棱锥中，底面，，，，若三棱锥外接球的表面积为，则(    )

A.  B.  C.  D.

12.  函数在内存在零点，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  已知样本，，，，的平均数为，方差为，则 ______ ．

14.  已知，若直线与直线平行，则   ．

15.  曲线在点处的切线方程为______ ．

16.  已知函数是在上连续的奇函数，其导函数为当时，，且，则函数的零点个数为______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
已知函数．
求函数的单调区间；
若函数的图像在点处的切线斜率为，设，若函数在区间内单调递增，求实数的取值范围．

18.  本小题分
新冠肺炎疫情发生以来，中医药全面参与疫情防控救治，做出了重要贡献，日前公布的“十四五”中医药发展规划提出，提升中医药参与新发突发传染病防治和公共卫生事件的应急处置能力某中药企业决定加大中药产品的科研投入，根据市场调研和模拟，得到科研投入亿元与产品的收益亿元的数据统计如下：

是否可用线性回归模型拟合与的关系？请用相关系数加以说明当时，变量，有较强的线性相关关系；
利用最小二乘法求出关于的线性回归方程，并预测当科研投入为亿元时产品的收益．
参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计分式分别为：，．
本题相关数据：，．

19.  本小题分
如图，在四棱锥中，，，在以为直径的半圆上不包括端点，平面平面，，分别为，的中点．
求证：平面；
求四棱锥的体积的最大值．

20.  本小题分
已知抛物线：的焦点为，为上一动点，为圆：上一动点，的最小值为．
求的方程；
直线交于，两点，交轴的正半轴于点，点与关于原点对称，且，求证为定值．

21.  本小题分
已知函数，且对恒成立．
Ⅰ求的值；
Ⅱ若关于的方程有两个实根，求实数的取值范围．

22.  本小题分
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数，以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，点为曲线上的动点，点在线段的延长线上，且满足，点的轨迹为．
Ⅰ求曲线，的极坐标方程；
Ⅱ设点的极坐标为，求面积的最小值．

23.  本小题分
已知函数．
求解不等式．
若关于的不等式的解集不是空集，求实数的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，，
，．
故选：．
由复数的运算法则求出即可求得．
本题考查复数的四则运算及共轭复数，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：由题意可知，“史政地”、“史政生”和“史地生”这三种组合的学生人数分别为，和，
故“史政生”所占的比例为，
由分层抽样是按比例抽取，可得“史政生”组合中抽取的学生人数为，
故选：．
先求出“史政生”所占的比例，然后按比例抽取人数，即可得到答案．
本题考查了分层抽样的理解和应用，解题的关键是掌握分层抽样的特点，即按比例抽取，考查了逻辑推理能力，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：因为命题：，为真命题，
所以解得，
结合选项可得实数的值不能是．
故选：．
利用一元二次方程的根与判别式的关系求解．
本题主要考查存在量词和特称命题，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：由“”推不出“”，例如，，
由“”也推不出“”，例如，，
所以“”是“”的既不充分也不必要条件．
故选：．
利用不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义判断即可．
本题主要考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：作出可行域如下图阴影部分所示，

表示到原点距离的平方，
由图象可知，的最大值为．
故选：．
作出可行域，结合图象即可得到答案．
本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：，函数是奇函数，图象关于原点对称，
，排除，，
，排除，
故选：．
判断函数的奇偶性和对称性，利用特殊值的符号是否一致进行排除即可．
本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数图象的对称性以及特殊值法是解决本题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：因，
以代入曲线方程，方程变化，所以不关于轴对称，故A错；
又，得，C正确；
将代入不成立，故D错误；
又，
若，
，
则在上单调递减，
当时，，则，
若，
，
则在上单调递增，
又时，，
故此时，
因此的顶点只有一个，且为，错．
故选：．
根据方程的性质，方程的转化，求导探究单调性，即可逐一进行判断．
本题考查椭圆的几何性质，属基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：由题意得，解得，所以，解得．
故选：．
由已知可得，求解即可．
本题考查双曲线的离以率的求法，属基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：由题意知，
所以，
所以抛物线方程为，则抛物线的准线为，
所以点到抛物线准线的距离为．
故选：．
点代入抛物线方程求得的值，运用点到线的距离公式即可求得结果．
本题考查抛物线的几何性质，属基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：根据题意，点在椭圆上，满足，可得，
又由椭圆：，其中，
则有，，
可得，
故选：．
根据题意，分析可得，由椭圆的标准方程和定义可得，，将两式联立可得的值即可．
本题考查椭圆的几何性质，涉及勾股定理与三角形的面积，关键是掌握椭圆的几何性质．
 

11.【答案】 

【解析】解：底面，底面，
，又，，
面，是和的公共斜边，
是三棱锥的外接球直径，由，
设，则，
则，．
故选：．
由已知可得是三棱锥的外接球直径，可得，设，进而可得，进而可求．
本题考查空间几何体的外接球问题，属中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：设，则与的零点相同，
，设，
则，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
当时，，所以当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
令，则，
在上单调递增，
所以，所以无零点；
当时，，
因为，
所以在内存在零点，符合题意；
当时，在内存在个零点，设这个零点分别为，，
则，不妨设，
可以得出，当或时，；
当时，，
因为，
所以的根为，，，且，
当时，，当时，，当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
因为，
同理可得，所以此时在内存在个零点．
综上所述，．
故选：．
设，由与的零点相同，利用导数法求解判断．
本题考查了函数的零点、转化思想、分类讨论思想及导数的综合运用，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：因为样本，，，，的平均数为，
所以，化简得，
由方差定义可得，
即，
可化为，
将代入，解得．
故答案为：．
根据平均数和方差的定义列方程组，即可求得的值．
本题考查了平均数和方差的定义与应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：，若直线：与直线：平行，
则且，
则，
故答案为：．
由题意，根据两直线平行，一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，计算求得值．
本题主要考查两直线平行的性质，两直线平行，一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：由，得，
，
曲线在点处的切线方程为，
即．
故答案为：．
求出原函数的导函数，得到函数在处的导数值，再由直线方程的点斜式得答案．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，熟记基本初等函数的导函数是关键，是基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：，
则函数的零点就是方程的根．
设，
由题意得，
因为的定义域为，
所以为上连续的奇函数．
易得，
由题知，当时，，则，
即函数为上的增函数，
又因为为上连续的奇函数，
所以为上的增函数．
由，得，
则方程只有一个根，
故函数只有个零点．
故答案为：．
函数的零点就是方程的根，设，对求导，结合题意知为上的增函数，由，即可得出答案．
本题考查函数与导数的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
 

17.【答案】解：，
当时，的单调增区间为，减区间为；
当时，的单调增区间为，减区间为；
当时，不是单调函数．
，
，解得，
，，
又，
要在区间上单调递增，只需在上恒成立，
即在上恒成立，即，
又在上，
的取值范围为． 

【解析】求导，分类讨论，和三种情况讨论单调性即可；
根据导数的几何意义求出，然后根据在单调递增，得到在上恒成立，然后求最值即可．
本题考查利用导数研究函数的单调性及最值，考查不等式的恒成立问题，考查转化思想，分类讨论思想及运算求解能力，属于中档题．
 

18.【答案】解：由题意可得，
，
变量，有较强的线性相关关系，可用线性回归模型拟合与的关系；
由题意可得，
，
，
当时，，
当科研投入为亿元时，预测产品收益为亿元． 

【解析】根据题意求出相关系数，即可判断；根据题意求出线性回归方程，即可求解．
本题考查了相关关系和回归方程的计算，属于中档题．
 

19.【答案】证明：如图所示，取的中点的，连接，，
因为，分别为和的中点，所以，
因为，所以，
因为平面，平面，
所以平面，同理可得平面，
因为，平面，平面，
所以平面平面，
因为平面，所以平面．
解：如图所示，过作交于，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，故E为四棱锥的高，
要使四棱锥体积最大，则为弧的中点，所以为的中点．
此时．
 

【解析】取的中点的，连接，，则由三角形中位线定理可得，结合已知可得，则由线面平行的判定可得平面，同理可得平面，从而可得平面平面，再由面面平行的性质可得结论，
过作交于，则可证得为四棱锥的高，当为弧的中点时，四棱锥的体积的最大，进而可求出其最大值．
本题主要考查线面平行的证明，锥体体积的计算，空间想象能力的培养等知识，属于中等题．
 

20.【答案】解：由题得，
当点，，，四点共线且点，在，中间时，取得最小值，

最小值为，
又，解得，
所以的方程为；
证明：当直线的斜率为时，显然不适合题意，
当直线的斜率不为时，设直线的方程为，，，
联立方程，消去得，
则，，，
所以，又，
所以，
所以，解得或舍去，
即，所以，
所以，
又，
所以，
即为定值． 

【解析】先判断出当点，，，四点共线且点，在，中间时取得最小值，再解方程求出，即可求解；
设出直线方程，联立抛物线求出，，由解出，再由即可证明．
本题主要考查抛物线的几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理及其应用等知识，属于中等题．
 

21.【答案】解：Ⅰ因为，且，
故是函数的极值点，
因为，
所以，故，
又因为时，，且，
故在上单调递增，在上单调递减，
故，
故．
Ⅱ因为，则，
设，则，
令，可得，令，可得，
故在上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以，
所以，
设，
则，
因为，所以，即，
令，可得，令，可得，
故函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
又当无限增大或无限接近时，都趋近于，
故，
因为关于的方程有两个实根，
所以实数的取值范围是． 

【解析】Ⅰ由，且，可得是函数的极值点，由，求解的值，验证即可得结论；
Ⅱ将已知方程转化为，利用导数可得，分离参数可得，令，利用导数求出的取值范围，从而可求得的取值范围．
本题主要考查利用导数研究函数的最值，不等式恒成立求参数问题，方程有实根求参数问题，考查转化思想与运算求解能力，属于难题．
 

22.【答案】解：Ⅰ将曲线化为普通方程为，即，
又，则曲线的极坐标方程为；
又根据题意有，可知，即为曲线的极坐标方程；
Ⅱ由，
而，
故面积的最小值为． 

【解析】Ⅰ利用参数方程，普通方程，极坐标方程之间的转化关系直接求解可；
Ⅱ先表示出的面积，再利用余弦函数的有界性求解即可．
本题主要考查简单曲线的参数方程，极坐标方程与普通方程的互化，考查三角形的面积公式，属于基础题．
 

23.【答案】解：因为，
所以不等式，
即 ，或 ，或
解求得，解求得，解求得．
综上可得，原不等式的解集为．
解：因为函数的图象如下所示：

由函数图象可得，
若的解集不为空集，只需满足即可，故的取值范围为． 

【解析】把要解的绝对值不等式等价转化与之等价的三不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．
根据题意，数形结合，求出实数的取值范围．
本题主要考查绝对值不等式的解法，分段函数的应用，属于中档题．