2024年中考数学复习课件---第13讲 二次函数的综合与应用

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1.通过对实际问题的分析,体会二次函数的意义.2.会求二次函数的最大值或最小值,并能确定相应自变量的值,能解决相 应的实际问题.
例1 某水产养殖户利用温棚养殖技术养殖南美白虾,与传统养殖相比,可 缩短养殖周期,并从原来的每年养殖两季提高至每年三季.已知每 克白虾的养殖成本为8元,在某上市周期的70天里,销售单价p(元/千 克)与时间第t(天)之间的函数关系为:
(1)求日销售量y与时间t的函数关系式;
解：（1）设所求解析式为y=kt+b(k≠0),将(1,198),(70,60)代入,
∴日销售量y与时间t的函数关系式为y=-2t+200(1≤t≤70,t为整数).　
(2)求第几天的日销售利润最大?最大利润是多少元? 
（2）设日销售利润为w元,则w=(p-8)y,
(3)在实际销售的前40天中,该养殖户决定每销售1千克白虾,就捐赠m(m<8)元给公益事业.在这前40天中,已知每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大,求m的取值范围. 
方法指导利润问题一般解题思路：第一步:分析题意,找出利润关系式,并写出对应的函数解析式;第二步:确定自变量的取值范围;第三步:通过配方将函数解析式化为顶点式,根据函数增减性求得在自变量取值范围内的最大值.
1.(2022·黔东南州一模)黔东南州某企业用A，B两种原料开发了一 种新型的产品,A原料每千克的进货单价比B原料每千克的进货单 价少5元,已知用800元购买B原料比用800元购买A原料少80 kg.生 产这种新型产品每盒需要A原料3 kg和B原料6 kg,每盒产品还需 要其他成本5元.市场调查发现:该产品每盒的售价是90元时,每天 可以销售400盒;每涨价1元,每天少销售10盒.
(1)求每盒产品的成本(成本=原料费+其他成本);
(2)设每盒产品的销售单价为x元(x≥90,且取整数),每天的利润是w元,请写出w关于x的函数解析式;
（2）根据题意,得w=(x-80)[400-10(x-90)]=-10x2+2 100x-104 000.∴w关于x的函数解析式为w=-10x2+2 100x-104 000;　
（3）w=-10x2+2 100x-104 000=-10(x-105)2+6 250,∵-10<0,对称轴为直线x=105,∴当x≤100时,w随x的增大而增大.∴当x=100时,w取最大值,最大值为-10×(100-105)2+6 250=6 000(元).答:每天的最大销售利润是6 000元.　
(3)若物价部门规定每盒产品的销售单价不超过100元,则每天的最大销售利润是多少?
例2 (2022·六盘水模拟)如图,篮球场上OF的长为25米,篮球运动员小 明站在左方的点O处向右抛球,球从离地面2米的A处抛出,球的运 动轨迹可看作一条抛物线,在距O点4米的B处达到最高点,最高点C 距离地面4米;篮球在点D处落地后弹起,弹起后在点E处落地,且弹 起后的轨迹与抛出后的轨迹形状相同,但高度减少为原来最大高度 的一半.以点O为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系.
(1)求抛物线ACD的函数表达式;
(2)求篮球第二次落地点E与点O之间的距离;
(3)若运动员小易在点E处拿球前进到点G处起跳投篮,起跳后篮球在距离地面3米的地方出手,球出手后的运动轨迹与抛出后的轨迹形状相同,高度相等,并且恰好投入离地面3米的篮筐中,求EG的长.
方法指导抛物线型问题一般解题思路：第一步:根据特点选择合适的原点,建立平面直角坐标系;第二步:设抛物线的解析式为顶点式或交点式;第三步:利用待定系数法,根据已知数据,求解析式.
2. 跨学科·物理 (2022·贵阳云岩区一模)如图1是古代的一种远 程投石机,其投出去的石块运动轨迹是抛物线的一部分.据《范蠡 兵法》记载:“飞石重二十斤,为机发,行三百步”,其原理蕴含了 物理中的“杠杆原理”.
在如图2所示的平面直角坐标系中,将投石机置于斜坡OA的底部原点O处,石块从投石机竖直方向上的点C处被投出,在斜坡上的点A处建有垂直于水平面的城墙AB.已知石块运动轨迹所在抛物线的顶点坐标是(50,25),OC=5,OD=75,AD=12,AB=9.
(1)求抛物线的表达式;(2)通过计算说明石块能否飞越城墙AB;
(3)分别求出0≤x≤37.5和37.5例3 (2022·贵阳观山湖区模拟)如图,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴 交于A,B两点,与y轴交于点C,且关于直线x=1对称,点A的坐标为 (-1,0).
(1)求二次函数的表达式;
(2)连接BC,若点P在y轴上时,BP和BC的夹角为15°,求线段CP的长度;
(3)当a≤x≤a+1时,二次函数y=x2+bx+c的最小值为2a,求a的值.
3.(2022·贵阳观山湖区一模)如图,是某同学在平面直角坐标系中设 计的一动画示意图,点A,N在x轴上,在ON上方有五个水平台 T1~T5(各拐角均为90°),每个台阶的高、宽分别是1和1.5,台阶T1 到x轴的距离为10.从点A处向右上方沿抛物线y1=-x2+4x+12发出一 个带光的点P.
(2)当点P落到台阶T4上后立即向右弹起,又形成了另一条与原抛物线形状相同的新抛物线y2,且最大高度为11,求新抛物线y2的表达式;
解:(1)由题意,台阶T4的纵坐标为10-1×3=7,当y=7时,7=-x2+4x+12,解得x1=-1(舍去)或x2=5,∴落点P的坐标为(5,7).
(2)由题意设抛物线y2=-x2+bx+c,经过P(5,7),最高点的纵坐标为11,则
(1)已知点P恰好落在台阶T4上,求此时落点P的坐标;
(3)如图,在x轴上摆放一个可以左右平移的Rt△BDE,且直角边DE=1,BE=2.若保证(2)中沿抛物线y2下落的点P必须落在斜边BD(包括端点)上,则点B横坐标的最大值比最小值大多少?
(1)求抛物线的表达式;
(2)求△ACD面积的最大值;
(3)若△CED与△COB相似,求点D的坐标.
4.(2022·安顺普定县模拟)如图,抛物线y=ax2+bx-3过A(1,0),B(-3,0), 直线AD交抛物线于点D,点D的横坐标为-2,点P(m,n)是线段AD上的 动点.
(1)求直线AD及抛物线的解析式.
(2)过点P的直线垂直于x轴,交抛物线于点Q,求线段PQ的长度l与m的关系式,m为何值时,PQ最长?
(3)在平面内是否存在整点(横、纵坐标都为整数)R,使得以P,Q,D,R为顶点的四边形是平行四边形?若存在,直接写出点R的坐标;若不存在,说明理由.
②若PQ为平行四边形的一条对角线,则PQ与DR互相平分,当PQ=1时,即x-1-(x2+2x-3)=1,此时x不是整数;当PQ=2时,即x-1-(x2+2x-3)=2,此时x1=-1,x2=0.当x1=-1,R与点C重合,即R5(0,-3),当x2=0,此时R6(2,-1).综上所述,符合条件的点R有6个,即R1(-2,-2),R2(-2,-4),R3(-2,-1),R4(-2,-5),R5(0,-3),R6(2,-1).
（2017~2022）
(贵阳6年3考,遵义6年1考,毕节6年2考)
2.(2021·遵义22题12分)为增加农民收入,助力乡村振兴,某驻村干部 指导农户进行草莓种植和销售.已知草莓的种植成本为8元/千克,经 市场调查发现,今年五一期间草莓的销售量y(千克)与销售单价x(元/ 千克)(8≤x≤40)满足的函数图象如图所示.
(1)根据图象信息,求y与x的函数关系式;
(2)求五一期间销售草莓获得的最大利润.
(2)设利润为W,则:当8≤x≤32时,W=(x-8)y=(x-8)(-3x+216)=-3(x-40)2+3 072.∵开口向下,对称轴为直线x=40,∴当8≤x≤32时,W随x的增大而增大.∴当x=32时,W最大=2 880;当320,∴W随x的增大而增大.∴x=40时,W最大=3 840.∵3 840>2 880,∴最大利润为3 840元.答:五一期间销售草莓获得的最大利润为3 840元.
3.(2022·铜仁23题12分)为实施“乡村振兴”计划,某村产业合作社种 植了“千亩桃园”.2022年该村桃子丰收,销售前对本地市场进行调 查发现:当批发价为4千元/吨时,每天可售出12吨,每吨涨1千元,每天 销量将减少2吨.据测算,每吨平均投入成本2千元,为了抢占市场,薄 利多销,该村产业合作社决定,批发价每吨不低于4千元,不高于5.5千 元.请解答以下问题:
(1)求每天销量y(吨)与批发价x(千元/吨)之间的函数关系式,并直接写出自变量x的取值范围;
解:(1)由题得y=12-2(x-4)=-2x+20(4≤x≤5.5),∴每天销量y(吨)与批发价x(千元/吨)之间的函数关系式y=-2x+20,自变量x的取值范围是4≤x≤5.5;　
(2)当批发价定为多少时,每天所获利润最大?最大利润是多少?
(2)设每天获得的利润为w千元,根据题意得w=(-2x+20)·(x-2)=-2x2+24x-40=-2(x-6)2+32,∵-2<0,∴当x<6,w随x的增大而增大.∵4≤x≤5.5,∴当x=5.5时,w有最大值,最大值为-2×(5.5-6)2+32=31.5.∴将批发价定为5.5千元时,每天获得的利润最大,最大利润是31.5千元.
4.(2021·贵阳24题12分)甲秀楼是贵阳市一张靓丽的名片.如图1,甲秀楼 的桥拱截面OBA可视为抛物线的一部分,在某一时刻,桥拱内的水面宽 OA=8 m,桥拱顶点B到水面的距离是4 m.
(1)按如图2所示建立平面直角坐标系,求桥拱部分抛物线的函数表达式;
(2)一只宽为1.2 m的打捞船径直向桥驶来,当船驶到桥拱下方且距O点0.4 m时,桥下水位刚好在OA处,有一名身高1.68 m的工人站立在打捞船正中间清理垃圾,他的头顶是否会触碰到桥拱,请说明理由(假设船底与水面齐平);
(3)如图3,桥拱所在的函数图象是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0),该抛物线在x轴下方部分与桥拱OBA在平静水面中的倒影组成一个新函数图象.将新函数图象向右平移 m( m>0)个单位长度,平移后的函数图象在8≤x≤9时,y的值随x值的增大而减小,结合函数图象,求m的取值范围.
∵平移不改变图形形状和大小,∴平移后函数图象的对称轴是直线x=4+m.∴当m≤x≤4+m或x≥8+m时,y的值随x值的增大而减小.∵当8≤x≤9时,y的值随x值的增大而减小,结合函数图象,得m的取值范围是①m≤8且4+m≥9,得5≤m≤8;②8+m≤8,得m≤0.∵m>0,∴m≤0不符合题意,舍去.综上所述,m的取值范围是5≤m≤8.
5.(2020·贵阳24题12分)2020年体育中考,增设了考生进入考点需进行体 温检测的要求.防疫部门为了解学生错峰进入考点进行体温检测的情况, 调查了一所学校某天上午考生进入考点的累计人数y(人)与时间x(分钟) 的变化情况,数据如下表:(表中9~15表示9(1)根据这15分钟内考生进入考点的累计人数与时间的变化规律,利用初中所学函数知识求出y与x之间的函数关系式;
(2)如果考生一进考点就开始测量体温,体温检测点有2个,每个检测点每分钟检测20人,考生排队测量体温,求排队人数最多时有多少人?全部考生都完成体温检测需要多少时间?
①当0≤x≤9时,w=-10x2+140x=-10(x-7)2+490,∴当x=7时,w的最大值=490;②当9(3)在(2)的条件下,如果要在12分钟内让全部考生完成体温检测,从一开始就应该至少增加几个检测点?
(贵阳6年3考,遵义6年4考,毕节6年6考)
6.(2022·贵阳24题12分)已知二次函数y=ax2+4ax+b.
(1)求二次函数图象的顶点坐标(用含a,b的代数式表示);
解:(1)∵y=ax2+4ax+b=a(x+2)2-4a+b,∴二次函数图象的顶点坐标为(-2,-4a+b).
(2)在平面直角坐标系中,若二次函数的图象与x轴交于A,B两点,AB=6,且图象过(1,c),(3,d),(-1,e),(-3,f)四点,判断c,d,e,f的大小,并说明理由;
(2)由(1)得抛物线对称轴为直线x=-2,当a>0时,抛物线开口向上,∵|3-(-2)|>|1-(-2)|>|(-1)-(-2)|=|(-3)-(-2)|,∴d>c>e=f.当a<0时,抛物线开口向下,∵|3-(-2)|>|1-(-2)|>|(-1)-(-2)|=|(-3)-(-2)|,∴d(3)点M(m,n)是二次函数图象上的一个动点,当-2≤m≤1时,n的取值范围是-1≤n≤1,求二次函数的表达式.
(3)当a>0时,抛物线开口向上,x>-2时,y随x的增大而增大,∴m=-2时,n=-1;m=1时,n=1.
(1)求该抛物线的解析式;
8.(2019·遵义24题14分)如图,抛物线C1:y=x2-2x与抛物线C2:y=ax2+bx开 口大小相同、方向相反,它们相交于O,C两点,且分别与x轴的正半轴交于 点B,点A,OA=2OB. 
(1)求抛物线C2的解析式;
解:(1)令y=x2-2x=0,则x=0或2,即点B(2,0),∵C1,C2开口大小相同、方向相反,则a=-1,∵OA=2OB,∴点A(4,0).将点A的坐标代入C2的表达式,得0=-16+4b,解得b=4,故抛物线C2的解析式为y=-x2+4x.　
(2)在抛物线C2的对称轴上是否存在点P,使PA+PC的值最小?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由;
(3)M是直线OC上方抛物线C2上的一个动点,连接MO,MC,M运动到什么位置时,△MOC面积最大?并求出最大面积.
9.(2022·毕节27题16分)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=-x2+bx+c与 x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,顶点为D(2,1),抛物线的对称轴交直 线BC于点E.
(1)求抛物线y=-x2+bx+c的表达式;
解:(1)∵抛物线y=-x2+bx+c的顶点为D(2,1),∴抛物线的表达式为y=-(x-2)2+1=-x2+4x-3.
(2)把上述抛物线沿它的对称轴向下平移,平移的距离为h(h>0),在平移过程中,该抛物线与直线BC始终有交点,求h的最大值;
(3)M是(1)中抛物线上一点,N是直线BC上一点.是否存在以点D,E,M,N为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.