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2022届初中数学一轮复习 第13讲 二次函数的应用 课件
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这是一份2022届初中数学一轮复习 第13讲 二次函数的应用 课件，共47页。PPT课件主要包含了考点梳理整合，中考真题体验，考法互动研析，Part1，Part2，Part3等内容，欢迎下载使用。
命题点1 二次函数与增长率1.(2014·安徽,12,5分)某厂今年一月份新产品的研发资金为a元,以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x,则该厂今年三月份新产品的研发资金y(单位:元)关于x的函数关系式为y=_____________.
答案 a(1+x)2解析 ∵一月份新产品的研发资金为a元,二月份起,每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x,∴二月份研发资金为a·(1+x).∴三月份的研发资金为y=a·(1+x)·(1+x)=a(1+x)2.
命题点2 几何图形与二次函数2.(2015·安徽,22,12分)为了节省材料,某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边,用总长为80 m的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域,而且这三块矩形区域的面积相等.设BC的长度为x m,矩形区域ABCD的面积为y m2.(1)求y与x之间的函数关系式,并注明自变量x的取值范围.(2)x为何值时,y有最大值?最大值是多少?
命题点3 利润与资源的最优化3.(2018·安徽,22,12分)小明大学毕业回家乡创业,第一期培植盆景与花卉各50盆,售后统计,盆景平均每盆的利润是160元,花卉平均每盆的利润是19元,调研发现:①盆景每增加1盆,盆景平均每盆的利润减少2元;每减少1盆,盆景平均每盆的利润增加2元;②花卉平均每盆的利润始终不变.小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆,设培植的盆景比第一期增加x盆,第二期盆景与花卉售完后的利润分别为W1,W2(单位:元).(1)用含x的代数式分别表示W1,W2;(2)当x取何值时,第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大,最大总利润是多少?
命题点4 现实生活中的抛物线4.(2012·安徽,23,14分)如图,排球运动员站在点O处练习发球,将球从O点正上方2 m的A处发出,把球看成点,其运行的高度y(单位:m)与运行的水平距离x(单位:m)满足关系式y=a(x-6)2+h.已知球网与O点的水平距离为9 m,高度为2.43 m,球场的边界距O点的水平距离为18 m.(1)当h=2.6时,求y与x的关系式.(不要求写出自变量x的取值范围)(2)当h=2.6时,球能否越过球网?球会不会出界?请说明理由.(3)若球一定能越过球网,又不出边界,求h的取值范围.
考点 二次函数的实际应用(高频考点) (10年7考)1.解二次函数应用题的步骤及关键点
2.应用二次函数解决实际问题的方法(1)弄清问题的变化过程,寻找数量关系;(2)根据等量关系列出函数表达式;(3)根据自变量的实际意义确定自变量的取值范围 ; (4)利用函数性质解决问题;(5)检验并写出合适的答案.
3.二次函数应用题的常见类型及解法(1)最值型①列出二次函数表达式,根据自变量的实际意义确定自变量的取值范围;②配方或用公式法求顶点坐标 ; ③如果自变量的取值范围是x1≤x≤x2,顶点在自变量的取值范围x1≤x≤x2内,则当 .如果顶点不在此范围内,则需根据二次函数增减性确定最值.
(2)现实生活中的抛物线型①弄清函数中自变量和函数的实际意义,建立平面直角坐标系,将题目中实际条件转化成坐标;②利用待定系数法求出二次函数关系式;③将题目中提出的实际问题转化为函数问题;④利用函数性质求解,并检验结果是否符合实际问题.(3)几何图形面积型①找出引起面积变化的长度、坐标或时间等作为变量;②找出题目中变量与面积的对应关系,求出二次函数关系式;③确定自变量的取值范围;④利用函数性质求解,并检验结果是否符合实际问题.
考法1二次函数与增长率例1 (2020·河南)国家统计局统计数据显示,我国快递业务收入逐年增加.2017年至2019年我国快递业务收入由5 000亿元增加到7 500亿元.设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x,则可列方程为( )A.500(1+2x)=7 500B.5 000×2(1+x)=7 500C.5 000(1+x)2=7 500D.5 000+5 000(1+x)+5 000(1+x)2=7 500
答案 C解析 设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x,由题意得5 000(1+x)2=7 500.故选C.
方法总结 这类题目主要是以增长率公式列出函数表达式,进而用二次函数的性质等解决问题.
对应练1(2020·安徽淮北一模)据省统计局公布的数据,安徽省2019年第二季度GDP总值约为7.9千亿元人民币,若我省第四季度GDP总值为y千亿元人民币,平均每个季度GDP增长的百分率为x,则y关于x的函数表达式是( )A.y=7.9(1+2x)B.y=7.9(1-x)2C.y=7.9(1+x)2D.y=7.9+7.9(1+x)+7.9(1+x)2
答案 C解析 设平均每个季度GDP增长的百分率为x,第三季度GDP总值约为7.9(1+x)元,第四季度GDP总值为7.9(1+x)2元,则y关于x的函数表达式是:y=7.9(1+x)2.故选C.
对应练2(2020·安徽芜湖无为一模)某工厂今年一月份防疫护目镜的产量是20万件,计划之后两个月增加产量,如果月平均增长率为x,那么第一季度防疫护目镜的产量y(单位:万件)与x之间的关系式应表示为_____________.
答案 y=20+20(x+1)+20(x+1)2解析 y与x之间的关系应表示为y=20+20(x+1)+20(x+1)2.
考法2几何图形面积与二次函数例2(2020·安徽安庆模拟)某农场拟建两间矩形饲养室,一面靠现有墙(墙足够长),中间用一道墙隔开,并在如图所示的三处各留1 m宽的门,已知计划中的材料可建墙体(不包括门)总长为27 m,则能建成的饲养室面积最大为多少?
解 设垂直于墙的材料长为x米,则平行于墙的材料长为27+3-3x=30-3x,则总面积S=x(30-3x)=-3x2+30x=-3(x-5)2+75,答:饲养室的最大面积为75平方米.
方法总结 解决几何图形的面积问题一般是根据几何图形的性质,先找变量,再确定变量与该图形周长或面积之间的关系,用变量表示出其他边的长,从而确定二次函数的表达式,再根据题意及二次函数的性质等解决实际问题.
对应练3(2019·安徽合肥二模)某社区决定把一块长50 m、宽30 m的矩形空地建成居民健身广场,设计方案如图,阴影区域为绿化区(四块绿化区为大小、形状都相同的矩形),空白区域为活动区,且四周的4个出口宽度相同,其宽度不小于14 m,不大于26 m,设绿化
区较长边为x m,活动区的面积为y m2.为了想知道出口宽度的取值范围,小明同学根据出口宽度不小于14 m,算出x≤18.(1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围;(2)求活动区的最大面积;(3)预计活动区造价为50元/m2,绿化区造价为40元/m2,若社区的此项建造投资费用不得超过72 000元,求投资费用最少时活动区的出口宽度?
解 (1)根据题意得,一块绿化区的宽为[30-(50-2x)]÷2=x-10.∴y=50×30-4x(x-10)=-4x2+40x+1 500.∵4个出口宽度相同,其宽度不小于14 m,不大于26 m,∴12≤x≤18,∴y=-4x2+40x+1 500(12≤x≤18).(2)y=-4x2+40x+1 500=-4(x-5)2+1 600,∵a=-4<0,抛物线的开口向下,当12≤x≤18时,y随x的增大而减小,∴当x=12时,y最大=1 404.答:活动区的最大面积为1 404 m2.
(3)设投资费用为w元,由题意得,w=50(-4x2+40x+1 500)+40×4x(x-10)=-40(x-5)2+76 000,∴当w=72 000时,解得x1=-5(不符合题意舍去),x2=15,∵a=-40<0,∴当x≥15时,w≤72 000,又∵12≤x≤18,∴15≤x≤18,∴当x=18时,投资费用最少,此时出口宽度为50-2x=50-2×18=14(m).答:投资最少时活动区的出口宽度为14 m.
对应练4(2019·安徽模拟)如图,某住宅小区有一块矩形场地ABCD,AB=16 m,BC=12 m,开发商准备对这块地进行绿化,分别设计了①②③④⑤五块地,其中①③两块形状、大小相同的正方形地用来种花,②④两块形状、大小相同的矩形地用来
种植草坪,⑤为矩形地用来养殖观赏鱼.(1)设矩形观赏鱼用地LJHF的面积为y m2,AG长为x m,求y与x之间的函数关系式;(2)求矩形观赏鱼用地LJHF面积的最大值.
解 (1)在矩形ABCD中,CD=AB=16,AD=BC=12.∵正方形AEFG和正方形JKCI形状、大小相同,矩形GHID和矩形EBKL形状、大小相同,AG=x,∴DG=12-x,FL=x-(12-x)=2x-12,BE=16-x,LJ=(16-x)-x=16-2x.∵S矩形LJHF=FL·LJ,∴y=(2x-12)(16-2x)=-4x2+56x-192.(2)由(1)得,y=-4x2+56x-192=-4(x-7)2+4,∵FL=2x-12>0,LJ=16-2x>0,∴6
解 (1)设A,B两种花苗的单价分别是x元和y元,答:A,B两种花苗的单价分别是20元和30元.(2)设购买B花苗a盆,则购买A花苗为(12-a)盆,设总费用为w元,由题意得w=20(12-a)+(30-a)a=-a2+10a+240(0≤a≤12),∵-1<0.∴w有最大值,当a=5时,w的最大值为265,当x=12时,w的最小值为216.答:本次购买至少准备216元,最多准备265元.
方法总结 利用二次函数解决实际生活中的实际问题,应理清变量所表示的实际意义,注意隐含条件的使用,同时考虑问题要周全.
对应练5(2020·江苏南京)小明和小丽先后从A地出发沿同一直道去B地.设小丽出发第x min时,小丽、小明离B地的距离分别为y1m,y2m.y1与x之间函数表达式是y1=-180x+2 250,y2与x之间的函数表达式是y2=-10x2-100x+2 000.(1)小丽出发时,小明离A地的距离为_____________ m. (2)小丽出发至小明到达B地这段时间内,两人何时相距最近?最近距离是多少?
解 (1)∵y1=-180x+2 250,y2=-10x2-100x+2 000.∴当x=0时,y1=2 250,y2=2 000.∴小丽出发时,小明离A地的距离为2 250-2 000=250(m).故答案为:250.(2)设小丽出发第x min时,两人相距s m,则s=(-180x+2 250)-(-10x2-100x+2 000)=10x2-80x+250=10(x-4)2+90,∴当x=4时,s取得最小值,此时s=90.答:小丽出发第4 min时,两人相距最近,最近距离是90 m.
对应练6(2020·四川广元)某网店正在热销一款电子产品,其成本为10元/件,销售中发现,该商品每天的销售量y(单位:件)与销售单价x(单位:元/件)之间存在如图所示的关系:
(1)请求出y与x之间的函数关系式;(2)该款电子产品的销售单价为多少元时,每天销售利润最大?最大利润是多少元;(3)由于武汉爆发了“新型冠状病毒”疫情,该网店店主决定从每天获得的利润中抽出300元捐赠给武汉,为了保证捐款后每天剩余利润不低于450元,该如何确定该款电子产品的销售单价?
解 (1)设 y 与 x 的函数关系式为 y=kx+b,将(20,100),(25,50)代入 y=kx+b,∴y与x的函数关系式为 y=-10x+300.(2)设该款电子产品每天的销售利润为w元.由题意得 w=(x-10)·y=(x-10)(-10x+300)=-10x2+400x-3 000=-10(x-20)2+1 000,∵-10<0,∴当x=20时,w有最大值,w最大值为1 000.答:该款电子产品销售单价定为20元时,每天销售利润最大,最大销售利润为1 000元.
(3)设捐款后每天剩余利润为z元,由题意可得 z=-10x2+400x-3 000-300=-10x2+400x-3 300.令z=450,即-10x2+400x-3 300=450,x2-40x+375=0,解得x1=15,x2=25.∵-10<0,∴当该款电子产品的销售单价每件不低于15元,且不高于25元时,可保证捐款后每天剩余利润不低于450 元.
考法4现实生活的抛物线
例4(2018·浙江衢州)某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池,喷水池的周边有一圈喷水头,喷出的水柱为抛物线,在距水池中心3米处达到最高,高度为5米,且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合,如图所示,以水平方向为x轴,喷水池中心为原点建立直角坐标系.(1)求水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式;(2)王师傅在水池内维修设备期间,喷水管意外喷水,
为了不被淋湿,身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内?(3)经检修评估,游乐园决定对喷水设施做如下设计改进:在喷出水柱的形状不变的前提下,把水池的直径扩大到32米,各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物(高度不变)处汇合,请探究扩建改造后水柱的最大高度.
方法总结 现实生活的抛物线型问题一般涉及抛球、投篮、隧道、拱桥、喷泉水柱等.解决此类问题的关键是理解题目中的条件所表示的几何意义.最高点为抛物线的顶点,抛出点为抛物线与y轴的交点,落地点为抛物线与x轴的交点,落地点到抛出点的水平距离是此落地点横坐标的绝对值.(1)抛球运动判断球是否过网即判断球网的坐标是否在抛物线上方;(2)投篮判断是否能投中即判断篮网是否在球的运动轨迹所在的抛物线图象上;
(3)判断货车是否能通过隧道即判断货车两端点的坐标是否在抛物线的下方;(4)判断船是否能通过拱桥即判断船的高度是否比桥的最高点到水面的距离小;(5)判断人是否会被喷泉淋湿即判断人所处位置的水的高度是否比人的身高大.
对应练7(2020·浙江绍兴)如图1,排球场长为18 m,宽为9 m,网高为2.24 m.队员站在底线O点处发球,球从点O的正上方1.9 m的C点发出,运动路线是抛物线的一部分,当球运动到最高点A时,高度为
2.88 m.即BA=2.88 m.这时水平距离OB=7 m,以直线OB为x轴,直线OC为y轴,建立平面直角坐标系,如图2.(1)若球向正前方运动(即x轴垂直于底线),求球运动的高度y(单位:m)与水平距离x(单位:m)之间的函数关系式(不必写出x取值范围).并判断这次发球能否过网?是否出界?说明理由.
(2)若球过网后的落点是对方场地①号位内的点P(如图1,点P距底线1 m,边线0.5 m),问发球点O在底线上的哪个位置?(参考数据: 取1.4)
(2)如图,分别过点作底线、边线的平行线PQ,OQ交于点Q,在Rt△OPQ中,OQ=18-1=17.∵9-8.4-0.5=0.1,∴发球点O在底线上且距右边线0.1米处.
命题点1 二次函数与增长率1.(2014·安徽,12,5分)某厂今年一月份新产品的研发资金为a元,以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x,则该厂今年三月份新产品的研发资金y(单位:元)关于x的函数关系式为y=_____________.
答案 a(1+x)2解析 ∵一月份新产品的研发资金为a元,二月份起,每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x,∴二月份研发资金为a·(1+x).∴三月份的研发资金为y=a·(1+x)·(1+x)=a(1+x)2.
命题点2 几何图形与二次函数2.(2015·安徽,22,12分)为了节省材料,某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边,用总长为80 m的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域,而且这三块矩形区域的面积相等.设BC的长度为x m,矩形区域ABCD的面积为y m2.(1)求y与x之间的函数关系式,并注明自变量x的取值范围.(2)x为何值时,y有最大值?最大值是多少?
命题点3 利润与资源的最优化3.(2018·安徽,22,12分)小明大学毕业回家乡创业,第一期培植盆景与花卉各50盆,售后统计,盆景平均每盆的利润是160元,花卉平均每盆的利润是19元,调研发现:①盆景每增加1盆,盆景平均每盆的利润减少2元;每减少1盆,盆景平均每盆的利润增加2元;②花卉平均每盆的利润始终不变.小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆,设培植的盆景比第一期增加x盆,第二期盆景与花卉售完后的利润分别为W1,W2(单位:元).(1)用含x的代数式分别表示W1,W2;(2)当x取何值时,第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大,最大总利润是多少?
命题点4 现实生活中的抛物线4.(2012·安徽,23,14分)如图,排球运动员站在点O处练习发球,将球从O点正上方2 m的A处发出,把球看成点,其运行的高度y(单位:m)与运行的水平距离x(单位:m)满足关系式y=a(x-6)2+h.已知球网与O点的水平距离为9 m,高度为2.43 m,球场的边界距O点的水平距离为18 m.(1)当h=2.6时,求y与x的关系式.(不要求写出自变量x的取值范围)(2)当h=2.6时,球能否越过球网?球会不会出界?请说明理由.(3)若球一定能越过球网,又不出边界,求h的取值范围.
考点 二次函数的实际应用(高频考点) (10年7考)1.解二次函数应用题的步骤及关键点
2.应用二次函数解决实际问题的方法(1)弄清问题的变化过程,寻找数量关系;(2)根据等量关系列出函数表达式;(3)根据自变量的实际意义确定自变量的取值范围 ; (4)利用函数性质解决问题;(5)检验并写出合适的答案.
3.二次函数应用题的常见类型及解法(1)最值型①列出二次函数表达式,根据自变量的实际意义确定自变量的取值范围;②配方或用公式法求顶点坐标 ; ③如果自变量的取值范围是x1≤x≤x2,顶点在自变量的取值范围x1≤x≤x2内,则当 .如果顶点不在此范围内,则需根据二次函数增减性确定最值.
(2)现实生活中的抛物线型①弄清函数中自变量和函数的实际意义,建立平面直角坐标系,将题目中实际条件转化成坐标;②利用待定系数法求出二次函数关系式;③将题目中提出的实际问题转化为函数问题;④利用函数性质求解,并检验结果是否符合实际问题.(3)几何图形面积型①找出引起面积变化的长度、坐标或时间等作为变量;②找出题目中变量与面积的对应关系,求出二次函数关系式;③确定自变量的取值范围;④利用函数性质求解,并检验结果是否符合实际问题.
考法1二次函数与增长率例1 (2020·河南)国家统计局统计数据显示,我国快递业务收入逐年增加.2017年至2019年我国快递业务收入由5 000亿元增加到7 500亿元.设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x,则可列方程为( )A.500(1+2x)=7 500B.5 000×2(1+x)=7 500C.5 000(1+x)2=7 500D.5 000+5 000(1+x)+5 000(1+x)2=7 500
答案 C解析 设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x,由题意得5 000(1+x)2=7 500.故选C.
方法总结 这类题目主要是以增长率公式列出函数表达式,进而用二次函数的性质等解决问题.
对应练1(2020·安徽淮北一模)据省统计局公布的数据,安徽省2019年第二季度GDP总值约为7.9千亿元人民币,若我省第四季度GDP总值为y千亿元人民币,平均每个季度GDP增长的百分率为x,则y关于x的函数表达式是( )A.y=7.9(1+2x)B.y=7.9(1-x)2C.y=7.9(1+x)2D.y=7.9+7.9(1+x)+7.9(1+x)2
答案 C解析 设平均每个季度GDP增长的百分率为x,第三季度GDP总值约为7.9(1+x)元,第四季度GDP总值为7.9(1+x)2元,则y关于x的函数表达式是:y=7.9(1+x)2.故选C.
对应练2(2020·安徽芜湖无为一模)某工厂今年一月份防疫护目镜的产量是20万件,计划之后两个月增加产量,如果月平均增长率为x,那么第一季度防疫护目镜的产量y(单位:万件)与x之间的关系式应表示为_____________.
答案 y=20+20(x+1)+20(x+1)2解析 y与x之间的关系应表示为y=20+20(x+1)+20(x+1)2.
考法2几何图形面积与二次函数例2(2020·安徽安庆模拟)某农场拟建两间矩形饲养室,一面靠现有墙(墙足够长),中间用一道墙隔开,并在如图所示的三处各留1 m宽的门,已知计划中的材料可建墙体(不包括门)总长为27 m,则能建成的饲养室面积最大为多少?
解 设垂直于墙的材料长为x米,则平行于墙的材料长为27+3-3x=30-3x,则总面积S=x(30-3x)=-3x2+30x=-3(x-5)2+75,答:饲养室的最大面积为75平方米.
方法总结 解决几何图形的面积问题一般是根据几何图形的性质,先找变量,再确定变量与该图形周长或面积之间的关系,用变量表示出其他边的长,从而确定二次函数的表达式,再根据题意及二次函数的性质等解决实际问题.
对应练3(2019·安徽合肥二模)某社区决定把一块长50 m、宽30 m的矩形空地建成居民健身广场,设计方案如图,阴影区域为绿化区(四块绿化区为大小、形状都相同的矩形),空白区域为活动区,且四周的4个出口宽度相同,其宽度不小于14 m,不大于26 m,设绿化
区较长边为x m,活动区的面积为y m2.为了想知道出口宽度的取值范围,小明同学根据出口宽度不小于14 m,算出x≤18.(1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围;(2)求活动区的最大面积;(3)预计活动区造价为50元/m2,绿化区造价为40元/m2,若社区的此项建造投资费用不得超过72 000元,求投资费用最少时活动区的出口宽度?
解 (1)根据题意得,一块绿化区的宽为[30-(50-2x)]÷2=x-10.∴y=50×30-4x(x-10)=-4x2+40x+1 500.∵4个出口宽度相同,其宽度不小于14 m,不大于26 m,∴12≤x≤18,∴y=-4x2+40x+1 500(12≤x≤18).(2)y=-4x2+40x+1 500=-4(x-5)2+1 600,∵a=-4<0,抛物线的开口向下,当12≤x≤18时,y随x的增大而减小,∴当x=12时,y最大=1 404.答:活动区的最大面积为1 404 m2.
(3)设投资费用为w元,由题意得,w=50(-4x2+40x+1 500)+40×4x(x-10)=-40(x-5)2+76 000,∴当w=72 000时,解得x1=-5(不符合题意舍去),x2=15,∵a=-40<0,∴当x≥15时,w≤72 000,又∵12≤x≤18,∴15≤x≤18,∴当x=18时,投资费用最少,此时出口宽度为50-2x=50-2×18=14(m).答:投资最少时活动区的出口宽度为14 m.
对应练4(2019·安徽模拟)如图,某住宅小区有一块矩形场地ABCD,AB=16 m,BC=12 m,开发商准备对这块地进行绿化,分别设计了①②③④⑤五块地,其中①③两块形状、大小相同的正方形地用来种花,②④两块形状、大小相同的矩形地用来
种植草坪,⑤为矩形地用来养殖观赏鱼.(1)设矩形观赏鱼用地LJHF的面积为y m2,AG长为x m,求y与x之间的函数关系式;(2)求矩形观赏鱼用地LJHF面积的最大值.
解 (1)在矩形ABCD中,CD=AB=16,AD=BC=12.∵正方形AEFG和正方形JKCI形状、大小相同,矩形GHID和矩形EBKL形状、大小相同,AG=x,∴DG=12-x,FL=x-(12-x)=2x-12,BE=16-x,LJ=(16-x)-x=16-2x.∵S矩形LJHF=FL·LJ,∴y=(2x-12)(16-2x)=-4x2+56x-192.(2)由(1)得,y=-4x2+56x-192=-4(x-7)2+4,∵FL=2x-12>0,LJ=16-2x>0,∴6
解 (1)设A,B两种花苗的单价分别是x元和y元,答:A,B两种花苗的单价分别是20元和30元.(2)设购买B花苗a盆,则购买A花苗为(12-a)盆,设总费用为w元,由题意得w=20(12-a)+(30-a)a=-a2+10a+240(0≤a≤12),∵-1<0.∴w有最大值,当a=5时,w的最大值为265,当x=12时,w的最小值为216.答:本次购买至少准备216元,最多准备265元.
方法总结 利用二次函数解决实际生活中的实际问题,应理清变量所表示的实际意义,注意隐含条件的使用,同时考虑问题要周全.
对应练5(2020·江苏南京)小明和小丽先后从A地出发沿同一直道去B地.设小丽出发第x min时,小丽、小明离B地的距离分别为y1m,y2m.y1与x之间函数表达式是y1=-180x+2 250,y2与x之间的函数表达式是y2=-10x2-100x+2 000.(1)小丽出发时,小明离A地的距离为_____________ m. (2)小丽出发至小明到达B地这段时间内,两人何时相距最近?最近距离是多少?
解 (1)∵y1=-180x+2 250,y2=-10x2-100x+2 000.∴当x=0时,y1=2 250,y2=2 000.∴小丽出发时,小明离A地的距离为2 250-2 000=250(m).故答案为:250.(2)设小丽出发第x min时,两人相距s m,则s=(-180x+2 250)-(-10x2-100x+2 000)=10x2-80x+250=10(x-4)2+90,∴当x=4时,s取得最小值,此时s=90.答:小丽出发第4 min时,两人相距最近,最近距离是90 m.
对应练6(2020·四川广元)某网店正在热销一款电子产品,其成本为10元/件,销售中发现,该商品每天的销售量y(单位:件)与销售单价x(单位:元/件)之间存在如图所示的关系:
(1)请求出y与x之间的函数关系式;(2)该款电子产品的销售单价为多少元时,每天销售利润最大?最大利润是多少元;(3)由于武汉爆发了“新型冠状病毒”疫情,该网店店主决定从每天获得的利润中抽出300元捐赠给武汉,为了保证捐款后每天剩余利润不低于450元,该如何确定该款电子产品的销售单价?
解 (1)设 y 与 x 的函数关系式为 y=kx+b,将(20,100),(25,50)代入 y=kx+b,∴y与x的函数关系式为 y=-10x+300.(2)设该款电子产品每天的销售利润为w元.由题意得 w=(x-10)·y=(x-10)(-10x+300)=-10x2+400x-3 000=-10(x-20)2+1 000,∵-10<0,∴当x=20时,w有最大值,w最大值为1 000.答:该款电子产品销售单价定为20元时,每天销售利润最大,最大销售利润为1 000元.
(3)设捐款后每天剩余利润为z元,由题意可得 z=-10x2+400x-3 000-300=-10x2+400x-3 300.令z=450,即-10x2+400x-3 300=450,x2-40x+375=0,解得x1=15,x2=25.∵-10<0,∴当该款电子产品的销售单价每件不低于15元,且不高于25元时,可保证捐款后每天剩余利润不低于450 元.
考法4现实生活的抛物线
例4(2018·浙江衢州)某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池,喷水池的周边有一圈喷水头,喷出的水柱为抛物线,在距水池中心3米处达到最高,高度为5米,且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合,如图所示,以水平方向为x轴,喷水池中心为原点建立直角坐标系.(1)求水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式;(2)王师傅在水池内维修设备期间,喷水管意外喷水,
为了不被淋湿,身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内?(3)经检修评估,游乐园决定对喷水设施做如下设计改进:在喷出水柱的形状不变的前提下,把水池的直径扩大到32米,各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物(高度不变)处汇合,请探究扩建改造后水柱的最大高度.
方法总结 现实生活的抛物线型问题一般涉及抛球、投篮、隧道、拱桥、喷泉水柱等.解决此类问题的关键是理解题目中的条件所表示的几何意义.最高点为抛物线的顶点,抛出点为抛物线与y轴的交点,落地点为抛物线与x轴的交点,落地点到抛出点的水平距离是此落地点横坐标的绝对值.(1)抛球运动判断球是否过网即判断球网的坐标是否在抛物线上方;(2)投篮判断是否能投中即判断篮网是否在球的运动轨迹所在的抛物线图象上;
(3)判断货车是否能通过隧道即判断货车两端点的坐标是否在抛物线的下方;(4)判断船是否能通过拱桥即判断船的高度是否比桥的最高点到水面的距离小;(5)判断人是否会被喷泉淋湿即判断人所处位置的水的高度是否比人的身高大.
对应练7(2020·浙江绍兴)如图1,排球场长为18 m,宽为9 m,网高为2.24 m.队员站在底线O点处发球,球从点O的正上方1.9 m的C点发出,运动路线是抛物线的一部分,当球运动到最高点A时,高度为
2.88 m.即BA=2.88 m.这时水平距离OB=7 m,以直线OB为x轴,直线OC为y轴,建立平面直角坐标系,如图2.(1)若球向正前方运动(即x轴垂直于底线),求球运动的高度y(单位:m)与水平距离x(单位:m)之间的函数关系式(不必写出x取值范围).并判断这次发球能否过网?是否出界?说明理由.
(2)若球过网后的落点是对方场地①号位内的点P(如图1,点P距底线1 m,边线0.5 m),问发球点O在底线上的哪个位置?(参考数据: 取1.4)
(2)如图,分别过点作底线、边线的平行线PQ,OQ交于点Q,在Rt△OPQ中,OQ=18-1=17.∵9-8.4-0.5=0.1,∴发球点O在底线上且距右边线0.1米处.
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