四川省成都市武侯区四川大学附属中学(西区学校)2022-2023学年九年级上学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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1. 如图是一个“凹”字形几何体，下列关于该几何体的俯视图画法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】直接利用三视图画法结合俯视图的观察角度得出答案．
【详解】解：如图所示，其俯视图是：
．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了作三视图，正确掌握俯视图观察角度是解题关键．
2. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. 且D. 且
【答案】D
【解析】
【分析】利用一元二次方程的定义及根的判别式列不等式a≠0且，从而求解．
【详解】解：根据题意得：a≠0且，即
，
解得：且，
故选D．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．
3. 同一时刻，同一地点，在阳光下影长为0.4米的小王身高为1.6米，一棵树的影长为3.2米，则这棵树的高度为（ ）
A. 0.8米B. 6.4米C. 12.8米D. 25.6米
【答案】C
【解析】
【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个问题物体、影子、经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．
【详解】解：设树的高度为h米
由题意可得：
解得：h＝12.8
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用．解题的关键在于对相似三角形知识的熟练掌握．
4. 如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，根据实际需要可以调节间的距离，若间的距离调节到60，菱形的边长，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】如图（见解析），先根据菱形的性质可得，再根据全等的性质可得，然后根据等边三角形的判定与性质可得，最后根据平行线的性质即可得．
【详解】如图，连接AC
四边形ABCD是菱形
如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，
是等边三角形
故选：C．
【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、平行线的性质等知识点，理解题意，熟练掌握菱形的性质是解题关键．
5. 如图，四边形的对角线，交于点O，且，，下列说法错误的是（ ）

A. 若，则是菱形B. 若，则是矩形
C. 若且，则是正方形D. 若，则是正方形
【答案】D
【解析】
【分析】先根据平行四边形的判定证明是平行四边形，再根据已知条件结合菱形、矩形及正方形的判定逐一判断即可．
【详解】解：∵，，
∴四边形是平行四边形，
若，则四边形是菱形，故A选项不符合题意；
若，则四边形是矩形，故B选项不符合题意；
若且，则四边形是正方形，故C选项不符合题意；
若，则四边形是矩形，故D选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查平行四边形的判定、菱形的判定与矩形的判定、正方形的判定，熟练掌握相关定理是解题的关键．
6. 如图，在平面直角坐标系xOy中，两个“E”字是位似图形，位似中心点O，①号“E”与②号“E”的位似比为2：1．点P（﹣6，9）在①号“E”上，则点P在②号“E”上的对应点Q的坐标为（ ）
A. （﹣3，）B. （﹣2，3）C. （﹣，3）D. （﹣3，2）
【答案】A
【解析】
【分析】根据位似变换的性质计算，得到答案．
【详解】解：∵①号“E”与②号“E”是位似图形，位似比为2：1，点P（﹣6，9），
∴点P在②号“E”上的对应点Q的坐标为（﹣6×，9×），即（﹣3，），
故选：A．
【点睛】此题考查了位似变换的性质：如果两个图形位似，那么任意一对对应点到位似中心的距离之比都等于位似比，任意一组对应边都互相平行（或在一条直线上），熟记性质是解题的关键．
7. 如图，中，P为边AB上一点，下列选项中的条件，不能说明与相似的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要应用两三角形相似的判定定理，做题即可．
【详解】解：、当，时，，故本选项不符合题意；
、当，时，，故本选项不符合题意；
、当，即时，结合可以判定，故本选项不符合题意；
、当时，不能判断和相似．
故选：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．
8. 在同一平面直角坐标系中，函数y和y＝﹣kx+k（k≠0）的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据一次函数及反比例函数的图象与系数的关系作答，即可求解．
【详解】解：A、当时，，反比例函数y位于第一、三象限，一次函数图象经过一、二、四象限，故本选项错误，不合题意；
B、当时，，反比例函数y位于第一、三象限，一次函数图象经过一、二、四象限，故本选项正确，符合题意；
C、当时，，反比例函数y位于第一、三象限，一次函数图象经过一、二、四象限，故本选项错误，不合题意；
D、当时，，反比例函数y位于第二、四象限，一次函数图象经过一、三、四象限，故本选项错误，不合题意；
故选：B
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质，一次函数的图象和性质是解题的关键．
二．填空题（每小题4分，共20分）
9. 若（b+d≠0），则=________
【答案】
【解析】
【详解】由题意得：b=3a，d=3c，
∴===.
故答案为.
10. 已知 ，则锐角α的度数是 ________．
【答案】50°
【解析】
【分析】本题考查特殊角的三角函数值，关键是掌握特殊角的正弦值．根据题意由特殊角的正弦值，即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴锐角α的度数是，
故答案为：．
11. 如图，某河堤的横截面是梯形，，迎水面长26，且斜坡的坡比（即）为12:5，则河堤的高为__________．
【答案】24cm
【解析】
【分析】根据坡比（即）为12:5，设BE=12x，AE=5x，因为AB=26cm，根据勾股定理列出方程即可求解.
【详解】解：设BE=12x，AE=5x，
∵AB=26cm，
∴
∴BE=2×12=24cm
故答案为：24cm.
【点睛】本题主要考查的是坡比以及勾股定理，找出图中的直角三角形在根据勾股定理列出方程即可求解.
12. 如图，在平面直角坐标系中，直线（为常数）与反比例函数， 的图象分别交于点A，B，连接，若的面积为，则的值是 _______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点，根据反比例函数的比例系数的几何意义求解即可,解题的关键是理解反比例函数的比例系数的几何意义．
【详解】解：如图，设直线（为常数）交轴于,
∵轴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
13. 如图，在矩形中，按以下步骤作图：①分别以点和点为圆心的长为半径作弧，两弧相交于点和，②作直线交于，若,，则该矩形的周长为_______．
【答案】24
【解析】
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，矩形的性质．连接，如图，利用基本作图得到垂直平分，根据线段垂直平分线的性质得到，然后利用勾股定理计算出，从而得到矩形的周长．
【详解】连接，如图，
由作法得垂直平分，
在中，
所以该矩形的周长为．
故答案24．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14. （1）计算：
（2）解方程：
【答案】（1）；（2），
【解析】
【分析】本题考查实数的运算及解一元二次方程．
（1）根据非零数的零次幂等于1，特殊角的三角函数值，绝对值的性质，负整数指数幂的定义以及二次根式的性质计算即可；
（2）用因式分解解即可．
【详解】解：（1）原式
；
（2）
或
，．
15. 学校实施新课程改革以来，学生学习能力有了很大提高，陈老师为进一步了解本班学生自主学习、合作交流的现状，把调查结果分成四类（A：特别好，B：好，C：一般，D：较差）．并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图．

（1）本次调查中，陈老师一共调查了 名学生；
（2）将条形统计图补充完整；扇形统计图中D类学生所对应的圆心角是 度；
（3）为了共同进步，陈老师从被调查的A类和D类学生中分别选取一名学生进行“兵教兵”互助学习，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中一名男生和一名女生的概率．
【答案】（1）20 （2）36；补充条形统计图见详解
（3）列表见解析，
【解析】
【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图．
（1）由题意可得：陈老师一共调查学生：（名）；
（2）由题意可得：C类女生：（名），D类男生：（名），继而可补全条形统计图；
（3）首先根据题意列出表格，再利用表格求得所有等可能的结果与恰好选中一名男生和一名女生的情况，继而求得答案．
【小问1详解】
陈老师一共调查学生：（名）；
故答案为：20
【小问2详解】
C类学生人数：（名），
C类女生人数：（名），
D类学生占的百分比：，
D类学生人数：（名），
D类男生人数：（名），，
补充条形统计图如图，

故答案为：36；
【小问3详解】
列表如下，A类学生中的两名女生分别记为和，
共有6种等可能的结果，其中符合条件的有3种，所以所选两位同学恰好是一位男生和一位女生的概率为．
16. 某校开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板离地面的高度，如图，已知测角器的高度为米，在测点A处安置测角器，测得点M的仰角，在与A点相距米的测点D处安置测角器，测得点M的仰角（点A，D与N在同一条直线上），求电池板离地面的高度（结果精确到1米，参考数据：）．
【答案】8米
【解析】
【分析】本题考查了仰角和俯角的应用，过延长交于点F，设米，构造出直角三角形，并正确解直角三角形求解即可．
【详解】解：如图，延长交于点F，
设米，
根据题意，得到四边形是矩形，四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴（米），（米），
在中，，
∴，
解得
经检验，是原方程的解，
∴（米），
答：电池板离地面高度约为8米．
17. 如图，在中，是边上中线，点是的中点，过点作交的延长线于，交于，连接，
（1）求证：；
（2）若，试判断四边形的形状，并证明你的结论．
【答案】（1）证明见解析
（2）四边形是菱形，理由见解析
【解析】
【分析】（1）由“”证得，即可得出结论；
（2）先证明四边形是平行四边形，再证明邻边相等，即可得出结论．
【小问1详解】
证明：∵点是的中点，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：四边形是菱形，理由如下：
∵，
∴，
∵是边上的中线，
∴，
∴，
又，
∴四边形是平行四边形，
∵，是边上的中线，
∴，
∴四边形是菱形．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质、直角三角形的性质、平行四边形的判定、菱形的判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质和菱形的判定是解题的关键．
18. 如图，已知一次函数与反比例函数的图象相交于，且，过点作轴于点，连接．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式，以及点的坐标；
（2）将沿轴向左平移，对应得，当反比例函数图象经过的中点时；求的面积
（3）在第二象限内点上方的双曲线上求一点，使得．
【答案】（1），，点
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查反比例函数的综合知识．
（1）利用待定系数法求解析式，将已知点代入即可；
（2）由平移的性质可得的中点的纵坐标，由，可求点坐标，由三角形的面积公式可求解；
（3）由勾股定理可求点E坐标，利用待定系数法可求直线的解析式，联立方程组可求解．
【小问1详解】
一次函数与反比例函数的图象相交于
，
，
一次函数解析式为，反比例函数的解析式为
由得
，
【小问2详解】
如图，连接，
轴
的中点坐标为
将沿轴向左平移，对应得
的中点的纵坐标为
平移的长度为
;
【小问3详解】
如图，过点作轴于，作，交双曲线于点，
,
,
,即点P为所求
四边形是矩形
,
设直线的解析式为
直线的解析式为
由得
点在第二象限
．
四、填空题（每小题4分，共20分）
19. 已知a，b是方程的两个实数根，则的值是 _________．
【答案】2022
【解析】
【分析】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，利用一元二次方程的解及根与系数的关系，可得出，再将其代入中，即可求出结论．
【详解】解：∵a是方程的两个实数根，
∴，
∴．
∵a，b是方程的两个实数根，
∴，
∴．
故答案为：2022．
20. 已知关于x的一元二次方程x2+bx+c=0，从-1，2，3三个数中任取一个数，作为方程中b的值，再从剩下的两个数中任取一个数作为方程中c的值，能使该一元二次方程有实数根的概率是 _____．
【答案】
【解析】
【分析】先利用树状图展示所有6种等可能的结果数，再根据判别式的意义得到当b=2，c=-1；b=3，c=-1；b=3，c=2时，该一元二次方程有实数根，然后根据概率公式计算．
【详解】解：画树状图为：
，
共有6种等可能的结果数，
因为b2-4c≥0，
所以能使该一元二次方程有实数根占3种，
b=2，c=-1；
b=3，c=-1；
b=3，c=2，
所以能使该一元二次方程有实数根的概率=，
故答案为：．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．也考查了根的判别式．
21. 符合黄金分割比例形式的图形很容易使人产生视觉上的美感．如图所示的五角星中，AD＝BC，且C、D两点都是AB的黄金分割点，若CD＝1，则AB的长是_______________．
【答案】＋2
【解析】
【分析】根据黄金分割的定义可得：，，从而可AC+BD=AB+CD=（﹣1）AB，故可求得AB的长．
【详解】∵C、D两点都是AB的黄金分割点，
∴AC＝AB，BD＝AB，
∴AC＋BD＝（﹣1）AB，
即AB＋CD＝（﹣1）AB，
∵CD=1，
∴AB＝＋2，
故答案为：＋2．
【点睛】本题考查黄金分割的含义，关键是根据C、D都是黄金分割点，从而得出AB+CD=（﹣1）AB．
22. 如图，M为双曲线（）上的一点，分别交直线于点D、C两点．若直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，则的值为_____．
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数（k为常数，）的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值k，即．
过点M作x轴、y轴的垂线，垂足分别为G、H，作轴于E，轴于F，先证明为等腰直角三角形，则判断和都为等腰直角三角形，所以，，则，设，利用反比例函数图象上点的坐标特征得到，从而得到的值．
【详解】解：过点M作x轴、y轴的垂线，垂足分别为G、H，作轴于E，轴于F，
则四边形，四边形都是矩形，
∴，
∵直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，
∴，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴和都为等腰直角三角形，
∴，，
∴，
设，则，
故
∴．
故答案为：6．
23. 如图，在中，，，，点D为边上一个动点，以为边在的上方作正方形，则的最小值是 __________________，此时的长为 __________________．
【答案】 ①. ## ②. ##
【解析】
【分析】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理的应用，先作于M，证明，可得，设，根据勾股定理求出边长，最后根据二次函数的性质求最值即可，正确理解题意，搞清楚数量关系是解题的关键．
【详解】解：作于M，如图所示：
，
∴，
在正方形中，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∵中，，
由勾股定理得：，
∴，
∴在中，
根据勾股定理可得：，
即
当时取最小值为：，
即的最小值为，
故答案为：；．
五、解答题（3个小题，共30分）
24. 直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件．
（1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？
（2）小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元．为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（1）中的售价，则该商品至少需打几折销售？
【答案】（1）50元；（2）八折
【解析】
【分析】（1）设每件的售价定为x元，根据利润不变，列出关于x的一元二次方程，求解即可；
（2）设该商品至少打m折，根据销售价格不超过（1）中的售价列出一元一次不等式，解不等式即可．
【详解】解：（1）设每件的售价定为x元，
则有：，
解得：(舍)，
答：每件售价为50元；
（2）设该商品至少打m折，
根据题意得：，
解得：，
答：至少打八折销售价格不超过50元．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用以及一元一次不等式的应用，找准等量关系列出方程是解决问题的关键．
25. 如图，正方形的边长为4，点E，F分别在，上，且，的延长线交的延长线于点，的延长线交的延长线于点，连接，，．
（1）填空： ______ ；（填“”或“”或“”）
（2）线段什么关系？请说明理由；
（3）当是等腰三角形时，求的长．
【答案】（1）
（2），理由见解答
（3）2或或
【解析】
【分析】（1）根据正方形的性质可得，利用外角的性质和已知条件即可求出；
（2）证明得出结论；
（3）根据是等腰三角形分类讨论：当时，先证，即可求出，，再利用平行可得：，再利用与的和为4即可求出；当时，方法同上；当时，先证，在上取一点，使得，可证，设，则，再利用勾股定理即可求出，再利用与的和为即可求出．
【小问1详解】
解：∵四边形是正方形，
∴，
∵，，
∴．
故答案为：．
【小问2详解】
解：，理由如下：
∵四边形是正方形，
∴，
又∵，
∴
又∵，
∴，
∴，
∴．
【小问3详解】
解：如图1中，当时，
∵
∴
∴
∵
∴
在和中
∴，
可得，，
∵，
∴，
∴．
如图2中，当时，
∵
∴
∴
∵
∴
在和中
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
如图3中，当时，
由（2）中，
∴，
∴
∴
∴．
在上取一点，使得，
∴，
∵，
∴，
∴，设，则，
∴，
解得：，
∴，
综上所述，满足条件的的值为或或．
【点睛】此题考查的是正方形的性质和相似三角形的判定及性质，等腰三角形的定义，分类讨论，解决此题的关键是画出每种分类讨论下的图形，利用已知条件推出各个边或角之间的关系，利用相似或勾股定理求边．
26. 如图，在矩形中，，，是上的一个动点．

（1）如图1，连接，是对角线的中点，连接．当时，求的长；
（2）如图2，连接，，过点作交于点，连接，与交于点．当平分时，求的长
（3）如图3，连接，点在上，将矩形沿直线折叠，折叠后点落在上的点处，过点作于点，与交于点，且．求的值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）先求出，进而求出，再判断出，即可得出结论；
（2）先判断出，进而求出，再判断出，进而求出，最后用勾股定理即可得出结论；
（3）先求出，再求出，根据勾股定理求出，，再判断出，，列比例式，并根据同高三角形面积的比等于对应底边的比，可得结论．
【小问1详解】
如图1，连接，

在矩形中，，，，
在中，根据勾股定理得，，
是中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，
，
，
，
即：；
【小问2详解】
如图2，在矩形中，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
如图2，过点作于，

，
，，
，
，
，
设，
，
，
，
在中，；
【小问3详解】
如图3，在矩形中，，

，，
，
，
，
由折叠知，，，，
，
设，
，
根据勾股定理得，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】此题是四边形和相似形综合题，主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线的定义，熟练掌握判定两三角形相似的方法是解本题的关键．
．
女
女
男A
男D
女男D
女男D
男A男D
女D
女女D
女女D
男A女D