广东省2024届高三数学新改革适应性训练七（九省联考题型）

这是一份广东省2024届高三数学新改革适应性训练七（九省联考题型），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（九省联考题型）
本套试卷根据九省联考题型命制，题型为8+3+3+5模式
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知由小到大排列的4个数据1、3、5、a，若这4个数据的极差是它们中位数的2倍，则这4个数据的第75百分位数是（ ）
A．7B．6C．5D．4
2．“2<|m|<6”是“方程x2m2-4+y26-m2=1表示的曲线为椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．已知数列an的前n项和Sn=n3，则12a1+a5×5的值为（ ）
A．135B．145C．155D．165
4．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若α//β，a⊂α，b⊂β，则a//bB．若α∩β=a，b//a，则b//α
C．若α⊥β，a⊂α，b⊂β，则a⊥bD．若a⊥α，b⊂β，α//β，则a⊥b
5．杭州亚运会共设40个竞赛大项，包括31个奥运项目和9个非奥运项目，共设杭州赛区、宁波赛区、温州赛区、金华赛区、绍兴赛区、湖州赛区，现需从6名管理者中选取4人分别到温州，金华、绍兴、湖州四个赛区负责志愿者工作，要求四个赛区各有一名管理者，且6人中甲不去温州赛区，乙不去金华赛区，则不同的选择方案共有（ ）
A．108种B．216种C．240种D．252种
6．若tan2α=3tanα-β，则tanα+β的最大值为（ ）
A．3B．1C．2-3D．33
7．在△ABC中，AC=27，O是△ABC的外心，M为BC的中点，AB⋅AO=8，N是直线OM上异于M、O的任意一点，则AN⋅BC=（ ）
A．3B．6C．7D．9
8．已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P，Q是它们的两个公共点，且P，Q关于原点对称， ∠PF2Q=2π3，若椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e2，则 e12e12+1+3e22e22+3的最小值是（ ）
A．2+33B．1+33C．233D．433
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知△ABC中角A，B的对边分别为a，b，则可作为“a>b”的充要条件的是（ ）
A．sinA>sinBB．csAC．tanA>tanBD．sin2A>sin2B
10．下列说法正确的是（ ）
A．z⋅z=z2，z∈C
B．i2024=-1
C．若z=1，z∈C，则z-2的最小值为1
D．若-4+3i是关于x的方程x2+px+q=0(p,q∈R)的根，则p=8
11．已知函数fx，gx的定义域为R，g'x为gx的导函数，且fx+g'x-8=0，fx-2-g'6-x-8=0，若gx为偶函数，则下列一定成立的有（ ）
A．g'4=0B．f1+f3=16
C．f2023=8D．n-120fn=160
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知集合S=x|csπx2=0,x∈Z}，T={x|x=4t+1,t∈Z}，则两集合间的关系是：T S；
13．卢浮宫金字塔位于巴黎卢浮宫的主院，是由美籍华人建筑师贝聿铭设计的，已成为巴黎的城市地标，卢浮宫金字塔为正四棱锥造型，该正四棱锥的底面边长为a，高为23a，若该四棱锥的五个顶点都在同一个球面上，则该外接球的表面积是 .
14．关于x的不等式xeax+bx-lnx≥1(a>0)恒成立，则ba的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本题13分）已知函数fx=ax-lnx+1．
(1)若fx的零点也是其极值点，求a；
(2)若fx>0对所有x∈0,+∞成立，求a的取值范围．
16．（本题15分）现有甲、乙、丙三人参加某电视台的应聘节目《非你莫属》，若甲应聘成功的概率为12，乙、丙应聘成功的概率均为t20(1)若乙、丙有且只有一个人应聘成功的概率等于甲应聘成功的概率，求t的值；
(2)记应聘成功的人数为ξ，若当且仅当ξ为2时概率最大，求Eξ的取值范围.
17．（本题15分）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=2，沿AC将△ADC折起，使点D到达点P的位置，点P在平面ABC的射影H落在边AB上.
(1)求AH的长度；
(2)若M是边PC上的一个动点，是否存在点M，使得平面AMB与平面PBC的夹角余弦值为34？若存在，求CM的长度；若不存在，说明理由.
18．（本题17分）在平面直角坐标系xOy中，已知点F(2,0)，直线l：x=-2，点P在直线l上移动，R是线段PF与y轴的交点，动点Q满足：RQ⊥PF，PQ⊥l．
(1)求动点Q的轨迹C的方程；
(2)过点F的直线交轨迹C于A，B两点，过点B作y轴的垂线交直线AO于点D，过点A作直线DF的垂线与轨迹C的另一交点为E，AE的中点为G，证明：G，B，D三点共线．
19．（本题17分）定义：max{a,b}=a,a≥b,b,a(1)若a2=2，a3=3，求a1，a4的值；
(2)若∀n∈N*，∃k∈N*，使得an≤ak恒成立．探究：是否存在正整数p，使得ap=0，若存在，求出p的可能取值构成的集合；若不存在，请说明理由；
(3)若数列{an}为正项数列，证明：不存在实数A，使得∀n∈N*,an≤A．
参考答案：
1．A
【详解】由小到大排列的4个数据1、3、5、a，则a≥5，
这四个数为极差为a-1，中位数为3+52=4，
因为这4个数据极差是它们中位数的2倍，则a-1=2×4，解得a=9，
所以，这四个数由小到大依次为1、3、5、9，
因为4×0.75=3，故这4个数据的第75百分位数是5+92=7.
故选：A.
2．B
【详解】若方程x2m2-4+y26-m2=1表示椭圆，则
m2-4>06-m2>0m2-4≠6-m2，解得：2所以“2<|m|<6”是“方程x2m2-4+y26-m2=1表示的曲线为椭圆”的必要不充分条件.
故选：B
3．C
【详解】由题意可知，a1=S1=13=1，a5=S5-S4=53-43=125-64=61，
所以12a1+a5×5=121+61×5=155.
故选：C.
4．D
【详解】在长方体ABCD-A1B1C1D1，令平面ABCD是平面α，
对于A，若平面A1B1C1D1为平面β，直线BC为直线a，直线A1B1为直线b，
显然α//β，a⊂α，b⊂β，此时直线a,b是异面直线，a,b不平行，故A错误；
对于B，若平面CDD1C1为平面β，
则α∩β=DC，直线DC为直线a，直线AB为直线b，
显然a//b，但b⊂α，此时直线b不与平面α平行，故B错误；
对于C，若平面CDD1C1为平面β，直线AB为直线a，直线DC为直线b，
显然α⊥β，a⊂α，b⊂β，此时直线a,b平行，a,b不垂直，故C错误；
对于D，过直线b作平面γ与平面α相交，设交线为b'，
因为b⊂β，β∩γ=b，α∩γ=b'，且α//β，可得b//b'，
又因为a⊥α，b'⊂α，则a⊥b'，所以a⊥b，故D正确．
故选：D．
5．D
【详解】根据题意，可分为四类：
①当甲乙都未选中，则不同的选择方案有A44=24种；
②当甲选中，乙未选中，则不同的选择方案有C43C31A33=72种；
③当甲未选中，乙选中，则不同的选择方案有C43C31A33=72种；
④当甲乙都选中，则由C42中选法，先安排甲，再安排乙，
若甲去了金华赛区，则有A33=6；若甲未去金华赛区，则有C21C21A22=8，
则不同的安排方案有C42×(6+8)=84种，
由分类计数原理，可得共有24+72+72+84=252种不同的安排方案.
故选：D.
6．D
【详解】因为α+β=2α-α-β，
所以tanα+β=tan2α-α-β=tan2α-tanα-β1+tan2αtanα-β=2tanα-β1+3tan2α-β，
设tanα-β=t，则2tanα-β1+3tan2α-β=2t1+3t2=21t+3t≤221t×3t=33，
当且仅当1t=3tt>0⇒t=33时，等号成立.
故选：D
7．B
【详解】因为O是△ABC的外心，M为BC的中点，设AC的中点为D，连接OD，

所以OM⊥BC，OD⊥AC，设ON=λOM，
则AN⋅BC=AO+ON⋅BC=AO⋅BC+λOM⋅BC
=AO⋅BC=AO⋅BA+AC
=AO⋅BA+AO⋅AC =-AO⋅AB+AO⋅AC，
又O是△ABC的外心，所以AO⋅AC=AO⋅ACcs∠CAO=AOcs∠CAO⋅AC
=12AC2=12×272=14，
所以AN⋅BC=-AO⋅AB+AO⋅AC=-8+14=6.
故选：B
8．A
【详解】如图，设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，

则根据椭圆及双曲线的定义得：PF1+PF2=2a1,PF1-PF2=2a2，
∴PF1=a1+a2,PF2=a1-a2，设F1F2=2c,∠PF2Q=2π3，
根据椭圆与双曲线的对称性知四边形PF1QF2为平行四边形，则∠F1PF2=π3，
则在△PF1F2中，由余弦定理得，4c2=a1+a22+a1-a22-2a1+a2a1-a2csπ3，
化简得a12+3a22=4c2，即1e12+3e22=4，
则e12e12+1+3e22e22+3=11e12+1+33e22+1=11e12+1+33e22+11e12+1+3e22+1×16
=16×4+3e22+11e12+1+31e12+13e22+1≥16×4+23e22+11e12+1×31e12+13e22+1
=16×4+23=2+33，
当且仅当3e22+12=31e12+121e12+3e22=4，即e12=33+411<1e22=38-33=24+9337>1时等号成立，
故选：A.
9．AB
【详解】△ABC中，由正弦定理asinA=bsinB可知，sinA>sinB时有a>b，a>b时有sinA>sinB，A选项正确；
余弦函数在0,π上单调递减，△ABC中，当a>b时有A>B，则有csAB，则有a>b，B选项正确；
△ABC中，当a>b时有A>B，当A为钝角，B为锐角时，tanA<0△ABC中，当a>b时有A>B，当A为钝角，B为锐角时，sin2A<0故选：AB
10．ACD
【详解】对于A，z∈C，设复数z=a+bi,(a,b∈R)，则z=a-bi,(a,b∈R)，|z|=a2+b2，
故z⋅z=(a+bi)(a-bi)=a2+b2=z2，A正确；
对于B，由于i2=-1,i4=1，故i2024=(i4)506=1，B错误；
对于C，z∈C，设z=x+yi,(x,y∈R)，由于z=1，则x2+y2=1,∴x2+y2=1，
故z-2=(x-2)2+y2=(x-2)2+1-x2=-4x+5，
由x2+y2=1，得-1≤x≤1，则-4x+5≥1，
故当x=1时，z-2的最小值为1，C正确；
对于D，-4+3i是关于x的方程x2+px+q=0(p,q∈R)的根，
故(-4+3i)2+p(-4+3i)+q=0(p,q∈R)，即7-4p+q+(3p-24)i=0，
故7-4p+q=03p-24=0,∴p=8q=25，D正确，
故选：ACD
11．ABD
【详解】由gx是偶函数，则g-x=gx，两边求导得-g'-x=g'x，
所以g'x是奇函数，故g'0=0．
对于A，由fx+g'x-8=0⇒fx-2+g'x-2-8=0⇒fx-2=8-g'x-2，
代入fx-2-g'6-x-8=0，得8-g'x-2-g'6-x-8=0，
又g'x是奇函数，
则g'x-2=-g'6-x=g'x-6⇒g'x+6-2=g'x+6-6⇒g'x+4=g'x，
所以g'x是周期函数，且周期为4，g'0=g'4=0，故A正确；
对选项B，令x=1得，f1+g'1-8=0，令x=5得，f3-g'1-8=0，
故f1+f3=16，故B正确；
对于C：令x=2023得f2023+g'2023-8=0⇒f2023+g'4×505+3-8=0，
即f2023+g'3-8=0，
若f2023=8，则g'3=0，g'3=g'-1+4=g'-1=0
但g'-1不一定为0，故C错误；
对于D：令x=4，得f4+g'4-8=f4+g'0-8=0，
故f4=8，g'2=g'2-4=g'-2=-g'2，所以g'2=0，
令x=2，得f2+g'2-8=0，则f2=8
则f1+f3=16，由g'x是以4为周期得fx+g'x-8=0，
所以n=120fn=5f1+f2+f3+f4=5×8+16+8=160，故D正确．
故选：ABD．
12．⊆
【详解】由题意，集合S=x|csπx2=0,x∈Z}={x|x=2k+1,k∈Z}，
又由集合T={x|x=4t+1,t∈Z}={x|x=2×2t+1,t∈Z}，所以T ⊆ S
故答案为：⊆
13．289144a2
【详解】
如图，因为OA因为正四棱锥的底面边长为a，高为23a，所以AO1=22a，
设OO'=x，OA=OP=r，
则22a2+x2=23a+x2，解得x=a24，所以半径r=a24+23a=1724a，
所以外接球的表面积为4π17a242=289144a2.
故答案为：289144a2
14．-1
【详解】令fx=ex-x-1，则f'x=ex-1，
当x<0时，f'x<0，当x>0时，f'x>0，
所以函数fx在-∞,0上单调递减，在0,+∞上单调递增，
所以fx≥f0=0，所以ex≥x+1，
由xeax+bx-lnx≥1(a>0)，得eax+lnx≥-bx+lnx+1(a>0)，
而ax+lnx∈R，
令ax+lnx+1≥-bx+lnx+1(a>0)，
则a+b≥0，所以ba≥-1，
若a+b<0，
如图作出函数y=-axa>0,y=lnx的图象，

由函数图象可知，方程ax+lnx=0有唯一实数根x0∈0,1，
即ax0+lnx0=0，
由xeax+bx-lnx≥1(a>0)，得eax+lnx≥-bx+lnx+1，
即eax+lnx-ax+lnx≥1-a+bx，
当x=x0时，e0-0≥1-a+bx0，即a+bx0≥0，
又a+b<0，x0∈0,1，所以a+bx0<0，
所以a+bx0≥0不成立，
即当a+b<0时，xeax+bx-lnx≥1(a>0)不恒成立，
综上所述，ba的最小值为-1.
故答案为：-1.
15．(1)1
(2)1,+∞
【详解】（1）fx=ax-lnx+1，x>-1，f'x=a-1x+1，
若a≤0，则f'x=a-1x+1<0，fx在-1,+∞单调递减，无极值点，不合题意；
若a>0，f'x=ax+a-1x+1，则-11-aa,f'x>0;
故fx在-1,1-aa上单调递减，在1-aa,+∞上单调递增，
故fx极小值=f1-aa=1-a+lna
因为fx的零点也是其极值点，则1-a+lna=0，
设ga=1-a+lnaa>0，g'a=-1+1a=1-aa，
则00;a>1,g'a<0;故ga在0,a上单调递增，在a,+∞上单调递减，
且易知g1=0，故ga=0有唯一解a=1.
此时fx的零点和极值点均为0，符合题意；故a=1.
（2）首先注意到f0=0，
fx=ax-lnx+1，x>0，f'x=a-1x+1=ax+a-1x+1，
①若a≤0，则f'x<0在x>0时恒成立，故fx单调递减，
则对所有x>0，fx②若01-aa,f'x>0;
故fx在0,1-aa上单调递减，在1-aa,+∞上单调递增，
则fxmin=f1-aa③若a≥1，则f'x=1x+1ax+a-1>0在x>0时恒成立
所以fx在0,+∞上单调递增，则对所有x>0，fx>f0=0，
符合题意，该情况成立．
综上所述，a的取值范围是1,+∞．
16．(1)1
(2)(32,52).
【详解】（1）因乙、丙有且只有一个人应聘成功包括两类情况：①乙成功且丙未成功，概率为t2×(1-t2)，②乙未成功且丙成功，概率为(1-t2)×t2，由题意得2×t2×(1-t2)=12，解得t=1；
（2）ξ的所有可能取值为0，1，2，3，
Pξ=0=1-121-t21-t2=2-t28；
Pξ=1=12×1-t2×1-t2+2×1-12×t2×1-t2=4-t28；
Pξ=2=2×12×t2×1-t2+1-12×t2×t2=4t-t28；
Pξ=3=12×t2×t2=t28.
故ξ的分布列为：
所以Eξ=1×4-t28+2×4t-t28+3×t28=t+12.
由题意得：Pξ=2-Pξ=1=t-12>0，得t>1；
Pξ=2-Pξ=0=-t2+4t-24>0，得2-2Pξ=2-Pξ=3=2t-t24>0，得0综上可得：117．(1)1
(2)83
【详解】（1）作PE⊥AC，垂足为E，连接EH，如下图所示：

由点P在平面ABC的射影H落在边AB上可得PH⊥平面ABC，
又AC⊂平面ABC，所以PH⊥AC，
因为PH∩PE=E，且PH,PE⊂平面PHE，
所以AC⊥平面PHE，
又EH⊂平面PHE，所以AC⊥EH，
又因为ABCD为矩形，AB⊥BC，可得△ABC∼△AEH，
由AB=4，BC=2可得AP=2,PC=4,AC=25，
所以PE=AP⋅PCAC=455，AE=AP2-PE2=255；
由△ABC∼△AEH可得AEAH=ABAC，即AH=AE⋅ACAB=255×254=1；
即AH的长度为1.
（2）根据题意，以点H为坐标原点，以过点H且平行于BC的直线为y轴，分别以HB,PH所在直线为x,z轴建立空间直角坐标系，如下图所示：

则A-1,0,0,P0,0,3,B3,0,0,C3,2,0，并设CM=λCP,λ∈0,1，
可得CM=λCP=λ-3,-2,3=-3λ,-2λ,3λ，所以M3-3λ,2-2λ,3λ；
易知AB=4,0,0,MB=3λ,2λ-2,-3λ，PB=3,0,-3,BC=0,2,0，
设平面AMB的一个法向量为m=x1,y1,z1，
所以AB⋅m=4x1=0MB⋅m=3λx1+2λ-2y1-3λz1=0，解得x1=0，取y1=3λ，则z1=2λ-2，
即m=0,3λ,2λ-2，
设平面PBC的一个法向量为n=x2,y2,z2，
所以PB⋅n=3x2-3z1=0BC⋅n=2y2=0，解得y2=0，取x2=1，则z2=3，
即n=1,0,3，
因此可得csm,n=m⋅nmn=23λ-12×7λ2-8λ+4=34，整理可得3λ2-8λ+4=0，
解得λ=2（舍）或λ=23；
因此CM=23CP，即可得CM=23CP=83.
所以CM的长度为83.
18．(1)y2=8x(x≠0)
(2)证明见解析
【详解】（1）由题意可知R是线段PF的中点，因为RQ⊥PF，所以RQ为PF的中垂线，
即QP=QF，又因为PQ⊥l，即点Q到点F的距离与到直线l的距离相等，
设Qx,y，则x+2=(x-2)2+y2，化简得y2=8x，
所以动点Q的轨迹C的方程为y2=8xx≠0．
（2）证明：设直线AB的方程为x=my+2，设点Ax1,y1，Bx2,y2，
联立x=my+2y2=8x，得y2-8my-16=0，
由韦达定理可得y1+y2=8m，y1y2=-16，
又因为直线AO的方程为y=y1x1x=8y1x，
将y=y2代入，可得x=y1y28=-2，即点D-2,y2，
所以kDF=-y24，
因为AE⊥DF，则kAE=4y2，
所以直线AE的方程为y-y1=4y2x-x1，
联立y-y1=4y2x-x1y2=8x，得y2-2y2y-8x1-32=0，则y1+yE=2y2，
故yE=2y2-y1，yG=y1+yE2=y2，
故G，B，D三点纵坐标相同，即三点共线．
19．(1)a1=1，a4=1或a4=5
(2)p∈{k+1,k+2}
(3)证明见解析
【详解】（1）依题意，an=max{an+1,an+2}-min{an+1,an+2}，显然an≥0；
故a1=max{a2,a3}-min{a2,a3}=1；
a2=max{a3,a4}-min{a3,a4}=2，
即a3-a4=2或a4-a3=2，则a4=1或a4=5．
（2）∵maxan+1,an+2≥minan+1,an+2，
∴an=maxan+1,an+2-minan+1,an+2≥0,
∵an≤ak对∀n∈N*恒成立，
∴ak+1≤ak,ak+2≤ak,∴maxak+1,ak+2≤ak.
∵ak=maxak+1,ak+2-minak+1,ak+2≤maxak+1,ak+2
∴ak≤maxak+1,ak+2≤ak，
∴maxak+1,ak+2=ak,∴minak+1,ak+2=0，
①ak+1=0,ak+2≠0 时,
ak=maxak+1,ak+2-minak+1,ak+2=ak+2≠0
ak-1=maxak,ak+1-minak,ak+1=ak=ak+2≠0
ak-2=maxak-1,ak-minak-1,ak=ak-ak=0
ak-3=maxak-2,ak-1-minak-2,ak-1=ak-0=ak=ak+2≠0
∴ 当 p=k+3m-2,m∈Z, 且p>0时,ap=0.
∴p的集合为 {p∣p=k+3m-2,m∈Z且p>0}
②ak+2=0,ak+1≠0 时,
ak=maxak+1,ak+2-minak+1,ak+2=ak+1≠0，
ak-1=maxak,ak+1-minak,ak+1=ak+1-ak+1=0，
ak-2=maxak-1,ak-minak-1,ak=ak+1≠0，
∴ 当p=k+3m-1,m∈Z, 且 p>0 时, ap=0.
∴p的集合为 {p∣p=k+3m-1,m∈Z且p>0}
③ak+1=0且ak+2=0时, ak=0,p的集合为 N*
（3）∵an=max{an+1,an+2}-min{an+1,an+2}>0，∴an+1≠an+2；
设S={n|an>an+1,n∈N*}，
①若S=∅，则a1≤a2，ai对任意A>0，取n1=[Aa1]①+2（[x]表示不超过x的最大整数），
当n>n1时，an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+⋯+(a3-a2)+a2=an-2+an-3+⋯+a1+a2≥(n-1)a1 >(n1-1)an=([Aa1]+1)a1>Aa1⋅a1=A；
②若S≠∅，
ⅰ）若S为有限集，设m=max{n|an>an+1,n∈N*}，am+i对任意A>0，取n2=[Aam+1+m+1]（[x]表示不超过x的最大整数），
当n>n2时，an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+⋯+(am+2-am+1)+am+1=an-2+an-3+⋯+am+am+1 ≥(n-m)am+1>(n2-m)am+1=([Aam+1]+1)am+1>Aam+1⋅am+1=A；
ⅱ）若S为无限集，设p1=min{n|an>an+1,n∈N*}，pi+1=min{n|an>an+1,n>pi}(i∈N*)，
若pi+1-pi=1，则api>api+1>api+2，又api故pi+1-pi≥2(i∈N*）；
记mi=api+1(i∈N*）；
当pi+1-pi=2时，api>api+1，api+1api+3；
因为api+1=api+2-api+3，所以mi+1=api+1+1=a(pi+2)+1=api+3=api+2-api+1=api>api+1=mi；
当pi+1-pi≥3时，api>api+1，api+1api+1+1
因为api+1-1=api+1-api+1+1，故mi+1=api+1+1=api+1-api+1-1=api+1-2≥api+1=mi；
因为api+1=api+1+2-api+1+1，故api+1+2=api+1-api+1+1=api+1+mi+1≥api+1+m1≥api+2+m1，
故对任意A>0，取n3=[Am1]+1，当k>n3时，apk+2=(apk+2-apk-1+2)+(apk-1+2-apk-2+2)+…+(ap2+2-ap1+2)+ap1+2≥(k-1)m1+ap1+2>km1 >([Am1+1])m1>Am1⋅m1=A；
综上所述，不存在实数A，使得∀n∈N*,an≤A．
综上所述，不存在实数A，使得对任意的正整数n，都有an≤A．
ξ
0
1
2
3
P
2-t28
4-t28
4t-t28
t28