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49，广东省2024届高三数学新改革适应性训练二（九省联考题型）
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这是一份49，广东省2024届高三数学新改革适应性训练二（九省联考题型），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（九省联考题型）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 在一组样本数据、、、、、、、不全相等）的散点图中，若所有的样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据相关系数的与线性相关关系可得解.
【详解】因为所有样本点都在直线上，所以相关系数满足.
又因为，所以，所以.
故选：C.
2. 圆心在轴上，半径为1，且过点的圆的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先设圆心再根据点在圆上求得，再应用圆的标准方程写出圆的方程即可.
【详解】因为圆心在轴上，所以可设所求圆的圆心坐标为，
则圆的方程为，又点在圆上，
所以，解得，
所以所求圆的方程为．
故选：A您看到的资料都源自我们平台，家威鑫 MXSJ663 免费下载 3. 已知数列满足，若，则（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据递推关系分别求出，故可得数列的周期，从而可求解.
【详解】因为，，
所以，，，
所以数列的周期为3.
所以.
故选:D.
4. 设是两条异面直线，下列命题中正确是（ ）
A. 过且与平行的平面有且只有一个
B. 过且与垂直的平面有且只有一个
C. 过空间一点与均相交的直线有且只有一条
D. 过空间一点与均平行的平面有且只有一个
【答案】A
【解析】
【分析】根据平面性质、异面直线的定义逐项判断可得答案.
【详解】
对于A，过上一点作的平行直线，则与确定一平面，由平面，
平面，所以平面，故A正确；
对于B，设过的平面为，若平面，则，故若与不垂直，则不存在过的平面与垂直，故B错误；
对于C，当点与确定一个平面，且与平行时，如图，则过空间一点与均相交的直线不存在，故C错误；
对于D，当点与中一条确定的平面与另一条直线平行时，满足条件的平面就不存在，故D错误.
故选：A.
5. 将12名志愿者（含甲､乙､丙）安排到三个地区做环保宣传工作，每个地区至少需要安排3人，则甲､乙､丙3人恰好被安排到同一个地区的安排方法总数为（ ）
A. 3129B. 4284C. 18774D. 25704
【答案】C
【解析】
【分析】利用排列组合原理和分组分配方法求解.
【详解】先分类讨论人员分组情况．
当甲､乙､丙所在组恰有3人时，余下9人分成2组，有种方法；
当甲､乙､丙所在组恰有4人时，先从其他9人中选1人到这组，再将余下8人分成2组，有种方法；
当甲､乙､丙所在组恰有5人时，先从其他9人中选2人到这组，余下7人分成2组，
有种方法
当甲､乙､丙所在组恰有6人时，先从其他9人中选3人到这组，余下6人分成2组，
有种方法．
再将三组人员分配到三个地区．
因为这三组分配到三个地区有种方法，
所以安排方法总数为.
故选:C.
6. 已知是的重心，是空间中的一点，满足，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由是的重心可得，然后再结合题意即可求出.
【详解】由题意知是的重心，则，即
所以，
又因为，
所以.
故选：C.
7. 在锐角中，角所对的边分别为．若，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由，根据正弦定理边化角，再消去，可得，利用三角形是锐角三角形，可得，进而求出，对化简，可求出结果．
【详解】因为，由正弦定理可知， ，
又，所以
所以，
所以
即，
又是锐角，则，
则，，所以，即，
所以，解得，
所以.
，则，则，
故选：B.
8. 已知复数满足，（其中是虚数单位），则的最小值为（ ）
A. 2B. 6C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设，则即在复平面的对应点表示焦点分别在，的椭圆，该椭圆的长轴为直线，短轴为直线，在复平面的对应点表示射线上的点且.的最小值为与两点间距离的最小值，即，，三点共线，且点在第一象限内时，可取的最小值.求解即可.
【详解】设，（其中，是虚数单位），在复平面的对应点
则
即点的轨迹表示为焦点分别在，的椭圆，且该椭圆的长轴为直线，短轴为直线.长半轴长为，半焦距，短半轴长为.
因为
所以
设在复平面的对应点.
即点的轨迹表示为射线上的点.
若使得最小，则需取得最小值，即点为第一象限内的短轴端点，点为射线的端点时，最小.
故选：B
【点睛】本题考查复数的几何意义，属于难题.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 用“五点法”作函数（，，）在一个周期内的图象时，列表计算了部分数据，下列有关函数描述正确的是（ ）
A. 函数的最小正周期是
B. 函数的图象关于点对称
C. 函数的图象关于直线对称
D. 函数与表示同一函数
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据表格及三角函数的图象与性质一一分析选项即可.
【详解】根据表格可知，且，则，
由正弦函数的周期性可知的最小正周期为，故A正确；
由已知结合正弦函数的对称性可知：
，
显然此时取得最小值，所以的图象不关于点对称，故B错误；
由已知结合正弦函数的对称性可知：
，此时取得最大值，
所以的图象关于直线对称，故C正确；
由诱导公式可知，故D正确.
故选：ACD
10. 如图，已知抛物线的焦点为 ，抛物线 的准线与 轴交于点 ，过点 的直线 （直线 的倾斜角为锐角）与抛物线 相交于 两点（A在 轴的上方，在 轴的下方），过点 A作抛物线 的准线的垂线，垂足为 ，直线 与抛物线 的准线相交于点 ，则（ ）
A. 当直线 的斜率为1时，B. 若，则直线的斜率为2
C. 存在直线 使得 D. 若，则直线 的倾斜角为
【答案】AD
【解析】
【分析】根据抛物线的焦点弦的性质一一计算即可.
【详解】易知，可设，设，
与抛物线方程联立得，
则，
对于A项，当直线 的斜率为1时，此时，
由抛物线定义可知，故A正确；
易知是直角三角形，若，
则，
又，所以为等边三角形，即，此时，故B错误；
由上可知 ，
即，故C错误；
若，
又知，所以，
则，即直线 的倾斜角为 ，故D正确.
故选：AD
11. 设函数的定义域为，若存在，使得，则称是函数的二阶不动点.下列各函数中，有且仅有一个二阶不动点的函数是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】先定义一阶不动点，且得到二阶不动点包括两种情况，且证明出当单调递增时，一阶不动点和二阶不动点等价，A选项，找到一阶不动点，并画出函数图象，得到有且仅有一个二阶不动点；B选项，找到两个二阶不动点，不满足要求；C选项，单调递增，画出函数图象，找到仅有一个一阶不动点，即仅有一个二阶不动点，C正确；D选项，作出函数的图象，结合图象即可判断.
【详解】若，称为一阶不动点，
显然若，则满足，故一阶不动点显然也是二阶不动点，
若，则有，即都在函数的图象上，
即上存在两点关于对称，此时这两点的横坐标也为二阶不动点，
下证：当单调递增时，一阶不动点和二阶不动点等价，
因为，若，因为单调递增，所以，
即，矛盾，
若，因为单调递增，所以，即，矛盾，
综上：当单调递增时，一阶不动点和二阶不动点等价；
由题意得：只需与直线的交点个数为1，
A选项，，解得：，有且仅有1个根，
画出与的图象，如下：
显然上不存在两点关于对称，
综上：有且仅有一个二阶不动点，满足要求，A正确；
B选项，令，定义域为，
显然，
则均为的二阶不动点，不满足要求，B错误；
C选项，定义域为R，单调递增，只需寻找一阶不动点即可，
令，整理得：，
令，则，单调递减，
再同一坐标系总画出两函数与图象，如下：
两函数只有1个交点，满足要求，C正确；
D选项，令，
作出函数的图象，
由图可知，点与点关于直线对称，
故函数满足题意，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】结论点睛：函数新定义问题的方法和技巧：
（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；
（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；
（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；
（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若命题“”为假命题，则实数m的取值范围是_______．
【答案】
【解析】
【分析】正难则反，命题“”为假命题，等价于命题“”为真命题，则分为和两大类讨论即可.
【详解】命题“”的否定为：“”
命题“”为假命题等价于命题“”为真命题；
当时，，成立；
当时，结合一元二次函数的图象可得：，解得，
综上，实数m的取值范围是.
故答案为：.
13. 如图，圆锥底面半径为，母线PA＝2，点B为PA的中点，一只蚂蚁从A点出发，沿圆锥侧面绕行一周，到达B点，其最短路线长度为________，其中下坡路段长为________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】将圆锥侧面沿母线PA剪开并展开成扇形，过P作AB的垂线，垂足为M，最短路线即为扇形中的直线段AB，利用余弦定理求出即可；当蚂蚁从M点爬行到B点的过程中，它与点P的距离越来越大，故MB为下坡路段，求出即可.
【详解】如图，将圆锥侧面沿母线PA剪开并展开成扇形，
易知该扇形半径为2，弧长为，故圆心角∠APB＝，
最短路线即为扇形中的直线段AB，由余弦定理易知
AB＝＝，
cs∠PBA＝＝；
过P作AB的垂线，垂足为M，
当蚂蚁从A点爬行到M点的过程中，它与点P的距离越来越小，故AM为上坡路段，
当蚂蚁从M点爬行到B点的过程中，它与点P的距离越来越大，故MB为下坡路段，
下坡路段长MB＝PB･cs∠PBA＝．
故答案为：，.
14. 已知反比例函数图象上三点的坐标分别，与，过B作直线的垂线，垂足为Q.若恒成立，则a的取值范围为___________.
【答案】
【解析】
【分析】先利用向量的数量积公式得到，进而构造函数，只需即可，先用必要性探究，再用充分性进行证明.
【详解】由题意得：反比例函数为，因为点P在反比例函数图象上，所以，，所以
，
记，由题意得：恒成立，
当，则，解得：，由于，故；
下面证明当时，恒成立，即
因为是开口向上的二次函数，
所以
；
②，
令，则，开口向下，对称轴为，故在上单调递减，故.
所以当时，恒成立，故a的取值范围是
故答案为：
【点睛】对于求解函数比较复杂的参数的取值范围问题，利用必要性探究和充分性证明是一种很重要的方法，要善于观察，代入特殊点得到参数的取值范围，再证明充分性成立，即可得到答案.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数.
（1）若，求函数极值；
（2）求函数的单调区间.
【答案】（1）函数的极大值为，无极小值
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）求导，即可根据函数的单调性求解最值，
（2）求导，分类讨论即可根据导函数的正负确定函数的单调性.
小问1详解】
当时，，其定义域为，
.
令，则.
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
函数的极大值为，无极小值.
【小问2详解】
，，
当时，，在上单调递增；
当时，由，得，
若，则,若，则，单调递减，
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，
综上，当时，函数的单调递增区间为；
当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
16. 某闯关游戏共设置4道题，参加比赛的选手从第1题开始答题，一旦答错则停止答题，否则继续，直到答完所有题目．设选手甲答对第1题的概率为，甲答对题序为的题目的概率，，各题回答正确与否相互之间没有影响．
（1）若甲已经答对了前3题，求甲答对第4题的概率；
（2）求甲停止答题时答对题目数量的分布列与数学期望．
【答案】（1）
（2）分布列见解析；期望为
【解析】
【分析】（1）根据题意，得到，进而求得甲答对第4题的概率；
（2）根据题意，得到可取，取得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解.
【小问1详解】
解：因为选手甲答对第1题的概率为，所以，即，
所以若甲已经答对了前3题，则甲答对第4题的概率为．
【小问2详解】
解：由题意得，，，．
随机变量可取，
则，，，
，．
所以随机变量分布列如下：
所以．
17. 在图1所示的平面多边形中，四边形为菱形，与均为等边三角形．分别将沿着，翻折，使得四点恰好重合于点，得到四棱锥．
（1）若，证明：；
（2）若二面角的余弦值为，求的值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）当时，可得为的中点，然后利用线面垂直证明平面，从而证明，又由，从而可求证.
（2）建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，然后由二面角的余弦值为，从而可求解.
【小问1详解】
证明：因为，所以为的中点．
由题可知，，所以．
又，平面，所以平面．
取，如图，则．由平面，可得，则．
【小问2详解】
连接，易证得平面，过点作，垂足为，则平面．
以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴，建立如上图所示的空间直角坐标系．
由，得，
从而，则，
则，
，．
设平面的一个法向量为，
则由得
令，得．
由图可知，平面的一个法向量为，
因为二面角的余弦值为，
所以，解得．
故的值为.
18. 在平面直角坐标系中，双曲线的左、右焦点分别为的离心率为2，直线过与交于两点，当时，的面积为3.
（1）求双曲线的方程；
（2）已知都在的右支上，设的斜率为.
①求实数的取值范围；
②是否存在实数，使得为锐角？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）①②不存在，理由见解析
【解析】
【分析】（1）由已知条件可得，然后利用勾股定理结合双曲线的定义，及的面积可求出，再由离心率可求出，从而可求得双曲线的方程，
（2）①设直线，代入双曲线方程化简，利用根与系数的关系结合判别式可求出实数的取值范围；②假设存在实数，使为锐角，则，所以，再结合前面的式子化简计算即可得结论.
【小问1详解】
因为，所以.
则，所以，
的面积.
又的离心率为，所以.
所以双曲线的方程为.
【小问2详解】
①根据题意，则直线，
由，得，
由，得恒成立.
设，则，
因为直线与双曲线的右支相交于不同的两点，
所以，即，
所以，解得.
②假设存在实数，使为锐角，所以，即，
因为，
所以，
由①得，
即解得，
与矛盾，故不存在.
【点睛】关键点点睛：此题考查双曲线方程的求法，考查直线与双曲线的位置关系，第（2）问解题的关键是设出直线方程代入双曲线方程化简，利用根与系数的关系，再结合求解，考查计算能力，属于较难题.
19. 已知无穷数列满足，其中表示x，y中最大的数，表示x，y中最小的数.
（1）当，时，写出的所有可能值；
（2）若数列中的项存在最大值，证明：0为数列中的项；
（3）若，是否存在正实数M，使得对任意的正整数n，都有？如果存在，写出一个满足条件的M；如果不存在，说明理由.
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）不存在，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据定义知，讨论、及大小求所有可能值；
（2）由，假设存在使，进而有，可得，即可证结论；
（3）由题设，令，讨论、求证即可判断存在性.
【小问1详解】
由，，
若，则，即，此时，
当，则，即；
当，则，即；
若，则，即，此时，
当，则，即；
当，则，即（舍）；
综上，的所有可能值为.
【小问2详解】
由（1）知：，则，
数列中的项存在最大值，故存在使，，
由，
所以，故存在使，
所以0为数列中项；
【小问3详解】
不存在，理由如下：由，则，
设，
若，则，，
对任意，取（表示不超过的最大整数），
当时，
；
若，则为有限集，
设，，
对任意，取（表示不超过的最大整数），
当时，
；
综上，不存在正实数M，使得对任意的正整数n，都有.
【点睛】关键点点睛：第三问，首选确定，并构造集合，讨论、研究存在性.0
x
a
b
c
1
3
1
d
1
X
0
1
2
3
4
P
（九省联考题型）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 在一组样本数据、、、、、、、不全相等）的散点图中，若所有的样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据相关系数的与线性相关关系可得解.
【详解】因为所有样本点都在直线上，所以相关系数满足.
又因为，所以，所以.
故选：C.
2. 圆心在轴上，半径为1，且过点的圆的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先设圆心再根据点在圆上求得，再应用圆的标准方程写出圆的方程即可.
【详解】因为圆心在轴上，所以可设所求圆的圆心坐标为，
则圆的方程为，又点在圆上，
所以，解得，
所以所求圆的方程为．
故选：A您看到的资料都源自我们平台，家威鑫 MXSJ663 免费下载 3. 已知数列满足，若，则（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据递推关系分别求出，故可得数列的周期，从而可求解.
【详解】因为，，
所以，，，
所以数列的周期为3.
所以.
故选:D.
4. 设是两条异面直线，下列命题中正确是（ ）
A. 过且与平行的平面有且只有一个
B. 过且与垂直的平面有且只有一个
C. 过空间一点与均相交的直线有且只有一条
D. 过空间一点与均平行的平面有且只有一个
【答案】A
【解析】
【分析】根据平面性质、异面直线的定义逐项判断可得答案.
【详解】
对于A，过上一点作的平行直线，则与确定一平面，由平面，
平面，所以平面，故A正确；
对于B，设过的平面为，若平面，则，故若与不垂直，则不存在过的平面与垂直，故B错误；
对于C，当点与确定一个平面，且与平行时，如图，则过空间一点与均相交的直线不存在，故C错误；
对于D，当点与中一条确定的平面与另一条直线平行时，满足条件的平面就不存在，故D错误.
故选：A.
5. 将12名志愿者（含甲､乙､丙）安排到三个地区做环保宣传工作，每个地区至少需要安排3人，则甲､乙､丙3人恰好被安排到同一个地区的安排方法总数为（ ）
A. 3129B. 4284C. 18774D. 25704
【答案】C
【解析】
【分析】利用排列组合原理和分组分配方法求解.
【详解】先分类讨论人员分组情况．
当甲､乙､丙所在组恰有3人时，余下9人分成2组，有种方法；
当甲､乙､丙所在组恰有4人时，先从其他9人中选1人到这组，再将余下8人分成2组，有种方法；
当甲､乙､丙所在组恰有5人时，先从其他9人中选2人到这组，余下7人分成2组，
有种方法
当甲､乙､丙所在组恰有6人时，先从其他9人中选3人到这组，余下6人分成2组，
有种方法．
再将三组人员分配到三个地区．
因为这三组分配到三个地区有种方法，
所以安排方法总数为.
故选:C.
6. 已知是的重心，是空间中的一点，满足，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由是的重心可得，然后再结合题意即可求出.
【详解】由题意知是的重心，则，即
所以，
又因为，
所以.
故选：C.
7. 在锐角中，角所对的边分别为．若，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由，根据正弦定理边化角，再消去，可得，利用三角形是锐角三角形，可得，进而求出，对化简，可求出结果．
【详解】因为，由正弦定理可知， ，
又，所以
所以，
所以
即，
又是锐角，则，
则，，所以，即，
所以，解得，
所以.
，则，则，
故选：B.
8. 已知复数满足，（其中是虚数单位），则的最小值为（ ）
A. 2B. 6C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设，则即在复平面的对应点表示焦点分别在，的椭圆，该椭圆的长轴为直线，短轴为直线，在复平面的对应点表示射线上的点且.的最小值为与两点间距离的最小值，即，，三点共线，且点在第一象限内时，可取的最小值.求解即可.
【详解】设，（其中，是虚数单位），在复平面的对应点
则
即点的轨迹表示为焦点分别在，的椭圆，且该椭圆的长轴为直线，短轴为直线.长半轴长为，半焦距，短半轴长为.
因为
所以
设在复平面的对应点.
即点的轨迹表示为射线上的点.
若使得最小，则需取得最小值，即点为第一象限内的短轴端点，点为射线的端点时，最小.
故选：B
【点睛】本题考查复数的几何意义，属于难题.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 用“五点法”作函数（，，）在一个周期内的图象时，列表计算了部分数据，下列有关函数描述正确的是（ ）
A. 函数的最小正周期是
B. 函数的图象关于点对称
C. 函数的图象关于直线对称
D. 函数与表示同一函数
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据表格及三角函数的图象与性质一一分析选项即可.
【详解】根据表格可知，且，则，
由正弦函数的周期性可知的最小正周期为，故A正确；
由已知结合正弦函数的对称性可知：
，
显然此时取得最小值，所以的图象不关于点对称，故B错误；
由已知结合正弦函数的对称性可知：
，此时取得最大值，
所以的图象关于直线对称，故C正确；
由诱导公式可知，故D正确.
故选：ACD
10. 如图，已知抛物线的焦点为 ，抛物线 的准线与 轴交于点 ，过点 的直线 （直线 的倾斜角为锐角）与抛物线 相交于 两点（A在 轴的上方，在 轴的下方），过点 A作抛物线 的准线的垂线，垂足为 ，直线 与抛物线 的准线相交于点 ，则（ ）
A. 当直线 的斜率为1时，B. 若，则直线的斜率为2
C. 存在直线 使得 D. 若，则直线 的倾斜角为
【答案】AD
【解析】
【分析】根据抛物线的焦点弦的性质一一计算即可.
【详解】易知，可设，设，
与抛物线方程联立得，
则，
对于A项，当直线 的斜率为1时，此时，
由抛物线定义可知，故A正确；
易知是直角三角形，若，
则，
又，所以为等边三角形，即，此时，故B错误；
由上可知 ，
即，故C错误；
若，
又知，所以，
则，即直线 的倾斜角为 ，故D正确.
故选：AD
11. 设函数的定义域为，若存在，使得，则称是函数的二阶不动点.下列各函数中，有且仅有一个二阶不动点的函数是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】先定义一阶不动点，且得到二阶不动点包括两种情况，且证明出当单调递增时，一阶不动点和二阶不动点等价，A选项，找到一阶不动点，并画出函数图象，得到有且仅有一个二阶不动点；B选项，找到两个二阶不动点，不满足要求；C选项，单调递增，画出函数图象，找到仅有一个一阶不动点，即仅有一个二阶不动点，C正确；D选项，作出函数的图象，结合图象即可判断.
【详解】若，称为一阶不动点，
显然若，则满足，故一阶不动点显然也是二阶不动点，
若，则有，即都在函数的图象上，
即上存在两点关于对称，此时这两点的横坐标也为二阶不动点，
下证：当单调递增时，一阶不动点和二阶不动点等价，
因为，若，因为单调递增，所以，
即，矛盾，
若，因为单调递增，所以，即，矛盾，
综上：当单调递增时，一阶不动点和二阶不动点等价；
由题意得：只需与直线的交点个数为1，
A选项，，解得：，有且仅有1个根，
画出与的图象，如下：
显然上不存在两点关于对称，
综上：有且仅有一个二阶不动点，满足要求，A正确；
B选项，令，定义域为，
显然，
则均为的二阶不动点，不满足要求，B错误；
C选项，定义域为R，单调递增，只需寻找一阶不动点即可，
令，整理得：，
令，则，单调递减，
再同一坐标系总画出两函数与图象，如下：
两函数只有1个交点，满足要求，C正确；
D选项，令，
作出函数的图象，
由图可知，点与点关于直线对称，
故函数满足题意，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】结论点睛：函数新定义问题的方法和技巧：
（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；
（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；
（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；
（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若命题“”为假命题，则实数m的取值范围是_______．
【答案】
【解析】
【分析】正难则反，命题“”为假命题，等价于命题“”为真命题，则分为和两大类讨论即可.
【详解】命题“”的否定为：“”
命题“”为假命题等价于命题“”为真命题；
当时，，成立；
当时，结合一元二次函数的图象可得：，解得，
综上，实数m的取值范围是.
故答案为：.
13. 如图，圆锥底面半径为，母线PA＝2，点B为PA的中点，一只蚂蚁从A点出发，沿圆锥侧面绕行一周，到达B点，其最短路线长度为________，其中下坡路段长为________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】将圆锥侧面沿母线PA剪开并展开成扇形，过P作AB的垂线，垂足为M，最短路线即为扇形中的直线段AB，利用余弦定理求出即可；当蚂蚁从M点爬行到B点的过程中，它与点P的距离越来越大，故MB为下坡路段，求出即可.
【详解】如图，将圆锥侧面沿母线PA剪开并展开成扇形，
易知该扇形半径为2，弧长为，故圆心角∠APB＝，
最短路线即为扇形中的直线段AB，由余弦定理易知
AB＝＝，
cs∠PBA＝＝；
过P作AB的垂线，垂足为M，
当蚂蚁从A点爬行到M点的过程中，它与点P的距离越来越小，故AM为上坡路段，
当蚂蚁从M点爬行到B点的过程中，它与点P的距离越来越大，故MB为下坡路段，
下坡路段长MB＝PB･cs∠PBA＝．
故答案为：，.
14. 已知反比例函数图象上三点的坐标分别，与，过B作直线的垂线，垂足为Q.若恒成立，则a的取值范围为___________.
【答案】
【解析】
【分析】先利用向量的数量积公式得到，进而构造函数，只需即可，先用必要性探究，再用充分性进行证明.
【详解】由题意得：反比例函数为，因为点P在反比例函数图象上，所以，，所以
，
记，由题意得：恒成立，
当，则，解得：，由于，故；
下面证明当时，恒成立，即
因为是开口向上的二次函数，
所以
；
②，
令，则，开口向下，对称轴为，故在上单调递减，故.
所以当时，恒成立，故a的取值范围是
故答案为：
【点睛】对于求解函数比较复杂的参数的取值范围问题，利用必要性探究和充分性证明是一种很重要的方法，要善于观察，代入特殊点得到参数的取值范围，再证明充分性成立，即可得到答案.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数.
（1）若，求函数极值；
（2）求函数的单调区间.
【答案】（1）函数的极大值为，无极小值
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）求导，即可根据函数的单调性求解最值，
（2）求导，分类讨论即可根据导函数的正负确定函数的单调性.
小问1详解】
当时，，其定义域为，
.
令，则.
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
函数的极大值为，无极小值.
【小问2详解】
，，
当时，，在上单调递增；
当时，由，得，
若，则,若，则，单调递减，
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，
综上，当时，函数的单调递增区间为；
当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
16. 某闯关游戏共设置4道题，参加比赛的选手从第1题开始答题，一旦答错则停止答题，否则继续，直到答完所有题目．设选手甲答对第1题的概率为，甲答对题序为的题目的概率，，各题回答正确与否相互之间没有影响．
（1）若甲已经答对了前3题，求甲答对第4题的概率；
（2）求甲停止答题时答对题目数量的分布列与数学期望．
【答案】（1）
（2）分布列见解析；期望为
【解析】
【分析】（1）根据题意，得到，进而求得甲答对第4题的概率；
（2）根据题意，得到可取，取得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解.
【小问1详解】
解：因为选手甲答对第1题的概率为，所以，即，
所以若甲已经答对了前3题，则甲答对第4题的概率为．
【小问2详解】
解：由题意得，，，．
随机变量可取，
则，，，
，．
所以随机变量分布列如下：
所以．
17. 在图1所示的平面多边形中，四边形为菱形，与均为等边三角形．分别将沿着，翻折，使得四点恰好重合于点，得到四棱锥．
（1）若，证明：；
（2）若二面角的余弦值为，求的值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）当时，可得为的中点，然后利用线面垂直证明平面，从而证明，又由，从而可求证.
（2）建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，然后由二面角的余弦值为，从而可求解.
【小问1详解】
证明：因为，所以为的中点．
由题可知，，所以．
又，平面，所以平面．
取，如图，则．由平面，可得，则．
【小问2详解】
连接，易证得平面，过点作，垂足为，则平面．
以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴，建立如上图所示的空间直角坐标系．
由，得，
从而，则，
则，
，．
设平面的一个法向量为，
则由得
令，得．
由图可知，平面的一个法向量为，
因为二面角的余弦值为，
所以，解得．
故的值为.
18. 在平面直角坐标系中，双曲线的左、右焦点分别为的离心率为2，直线过与交于两点，当时，的面积为3.
（1）求双曲线的方程；
（2）已知都在的右支上，设的斜率为.
①求实数的取值范围；
②是否存在实数，使得为锐角？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）①②不存在，理由见解析
【解析】
【分析】（1）由已知条件可得，然后利用勾股定理结合双曲线的定义，及的面积可求出，再由离心率可求出，从而可求得双曲线的方程，
（2）①设直线，代入双曲线方程化简，利用根与系数的关系结合判别式可求出实数的取值范围；②假设存在实数，使为锐角，则，所以，再结合前面的式子化简计算即可得结论.
【小问1详解】
因为，所以.
则，所以，
的面积.
又的离心率为，所以.
所以双曲线的方程为.
【小问2详解】
①根据题意，则直线，
由，得，
由，得恒成立.
设，则，
因为直线与双曲线的右支相交于不同的两点，
所以，即，
所以，解得.
②假设存在实数，使为锐角，所以，即，
因为，
所以，
由①得，
即解得，
与矛盾，故不存在.
【点睛】关键点点睛：此题考查双曲线方程的求法，考查直线与双曲线的位置关系，第（2）问解题的关键是设出直线方程代入双曲线方程化简，利用根与系数的关系，再结合求解，考查计算能力，属于较难题.
19. 已知无穷数列满足，其中表示x，y中最大的数，表示x，y中最小的数.
（1）当，时，写出的所有可能值；
（2）若数列中的项存在最大值，证明：0为数列中的项；
（3）若，是否存在正实数M，使得对任意的正整数n，都有？如果存在，写出一个满足条件的M；如果不存在，说明理由.
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）不存在，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据定义知，讨论、及大小求所有可能值；
（2）由，假设存在使，进而有，可得，即可证结论；
（3）由题设，令，讨论、求证即可判断存在性.
【小问1详解】
由，，
若，则，即，此时，
当，则，即；
当，则，即；
若，则，即，此时，
当，则，即；
当，则，即（舍）；
综上，的所有可能值为.
【小问2详解】
由（1）知：，则，
数列中的项存在最大值，故存在使，，
由，
所以，故存在使，
所以0为数列中项；
【小问3详解】
不存在，理由如下：由，则，
设，
若，则，，
对任意，取（表示不超过的最大整数），
当时，
；
若，则为有限集，
设，，
对任意，取（表示不超过的最大整数），
当时，
；
综上，不存在正实数M，使得对任意的正整数n，都有.
【点睛】关键点点睛：第三问，首选确定，并构造集合，讨论、研究存在性.0
x
a
b
c
1
3
1
d
1
X
0
1
2
3
4
P
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