湖南省2024届高三数学新改革适应性训练二（九省联考题型）（含解析）

这是一份湖南省2024届高三数学新改革适应性训练二（九省联考题型）（含解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．一组数据2，3，3，4，4，4，5，5，6，6的中位数是（ ）
A．6B．5C．4D．3
2．已知椭圆的离心率为，则（ ）
A．B．C．D．
3．若是等差数列的前n项和，，则（ ）
A．10B．18C．20D．24
4．设、是不同的直线，、是不同的平面，下列命题中正确的是（ ）
A．若，，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
5．一排11个座位，现安排甲、乙2人就座，规定中间的3个座位不能坐，且2人不能相邻，则不同排法的种数是（ ）
A．28B．32C．38D．44
6．已知圆和圆相交于两点，点是圆上任意一点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
7．求值：（ ）
A．B．C．1D．
8．双曲线的左､右焦点分别为，以的实轴为直径的圆记为，过作的切线与曲线在第一象限交于点，且，则曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．若函数则（ ）
A．的最小正周期为10B．的图象关于点对称
C．在上有最小值D．的图象关于直线对称
10．已知是复数，下列结论中不正确的是（ ）
A．若，则B．
C．D．
11．已知是定义在上的不恒为零的函数，对于任意都满足，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．是奇函数
C．若，则
D．若当时，，则在单调递减
三、填空题
12．已知，那么实数的取值范围为 .
13．三个相似的圆锥的体积分别为，，，侧面积分别为，，，且，，则实数的最大值为 ．
14．已知函数，若不等式对恒成立，则实数a的取值范围为 .
四、解答题
15．设函数．
(1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值；(其中为自然对数的底数)
(2)在（1）的条件下求的单调区间和极小值．
16．当前，以ChatGPT为代表的AIGC（利用AI技术自动生成内容的生产方式）领域一系列创新技术有了革命性突破．全球各大科技企业都在积极拥抱AIGC，我国的BAT（百度、阿里、腾讯3个企业的简称）、字节跳动、万兴科技、蓝色光标、华为等领头企业已纷纷加码布局AIGC赛道，某传媒公司准备发布《2023年中国AIGC发展研究报告》，先期准备从上面7个科技企业中随机选取3个进行采访．
(1)求选取的3个科技企业中，BAT中至少有2个的概率；
(2)记选取的3个科技企业中BAT中的个数为X，求X的分布列与期望．
17．如图，在四棱锥中，底面四边形为直角梯形，，，，为的中点，，.
(1)证明: 平面；
(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
18．已知点、、是抛物线上的点，且．
(1)若点的坐标为，则动直线是否过定点？如果过定点，请求出定点坐标，反之，请说明理由．
(2)若，求面积的最小值．
19．已知数表中的项互不相同，且满足下列条件：
①；
②.
则称这样的数表具有性质.
(1)若数表具有性质，且，写出所有满足条件的数表，并求出的值；
(2)对于具有性质的数表，当取最大值时，求证：存在正整数，使得；
(3)对于具有性质的数表，当n为偶数时，求的最大值.
参考答案：
1．C
【分析】根据中位数定义确定数据中的中位数即可.
【详解】由中位数是从小到大排序后，中间两位数的平均值.
故选：C
2．D
【分析】由离心率及椭圆参数关系可得，进而可得.
【详解】因为，则，所以.
故选：D
3．B
【分析】先利用等差数列的下角标性质求出，再利用等差数列求和公式求即可.
【详解】由等差数列的下角标性质得，
，
.
故选：B.
4．D
【分析】对于A、D项，根据线面平行的性质可过作，可得，进而根据面面垂直的判定即可判断；对于B、C项，由已知可推出或，因此无法判断与的关系.
【详解】对于A项，因为，，所以，因为，过作平面与平面交线为，则，，因为，由面面垂直的判定定理可得，故A错误；
对于B项，因为，，所以或，又因为，所以与的位置关系不确定，故B项错误；
对于C项，因为，，所以或，又因为，所以与的位置关系不确定，故C项错误；
对于D项，因为，，所以，因为，过作平面与平面交线为，则，，因为，由面面垂直的判定定理可得，故D正确.
故选：D.
5．D
【分析】根据甲、乙两人在三个空位同侧与异侧进行分类，分别求解，再利用分类加法原理进行求值.
【详解】根据两人在三个空位同侧与异侧进行分类，
当甲、乙两人在三个空位左侧时：共（种），
同理，当甲、乙两人在三个空位右侧时：共（种），
当甲、乙两人在三个空位异侧时：共（种），
即共（种），
故选：D.
6．B
【分析】取线段的中点，连接，将的取值范围问题转化为的范围问题，通过将圆的方程做差得到公共弦的方程，求出，结合圆的性质可得的范围.
【详解】圆，即，其圆心，半径，
圆，即，其圆心，半径，
取线段的中点，连接，
则，
将圆与圆的方程做差可得公共弦的方程为，
则，
则，
所以.
故选：B.

7．A
【分析】利用积化和差和和差化积公式，结合半角公式，诱导公式化简得到结果.
【详解】由积化和差公式可得
，
故
，
由和差化积公式可得
，
故
所以.
故选：A
【点睛】和差化积公式：，
，
，
积化和差公式：，
，
，
.
8．A
【分析】设，求出及，由三角形面积及三角函数值得到，由双曲线定义得到，在中，由余弦定理得到方程，求出，得到离心率.
【详解】设切点为，，连接，则，，
过点作⊥轴于点E，则，故，
因为，解得，
由双曲线定义得，所以，
在中，由余弦定理得，
化简得，又，
所以，方程两边同时除以得，
解得，所以离心率.
故选：A
【点睛】本题考查双曲线的几何性质及其应用，对于双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于离心率的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得离心率或离心率的取值范围).
9．AD
【分析】由正弦型函数的周期公式可求A，通过代入求值的方法可判断BD选项，利用正弦函数的图象与性质可判断C.
【详解】，A正确.
因为，所以的图象不关于点对称，B错误.
因为，所以的图象关于直线对称，D正确.
若，则，由的图象可知，
在上有最大值，没有最小值，C错误.
故选：AD.
10．ABC
【分析】举反例，可判断选项A、B，举反例，可判断选项C，设，，分别计算、即可判断选项D，进而可得正确选项.
【详解】对于选项A：取，，，，
满足，但与是两个复数，不能比较大小，故选项A不正确；
对于选项B：取，，，
而无意义，故选项B不正确；
对于选项C：取，，则，但是，，故选项C不正确；
对于选项D：设，，则
，
，，所以，所以，故选项D正确.
故选：ABC.
11．ABD
【分析】令即可判断A；令，求出，再令，即可判断B；令即可判断C；由，得，再根据函数单调性定义即可判断D.
【详解】因为，
令，得，所以，故A正确；
令，得，
所以，令，得，又，
所以，又因为定义域为，所以函数是奇函数，故B正确；
令，得，
又，所以，故C错误；
当时，由，
可得，又，
，在上任取，不妨设，
，
，
故在单调递减，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于对和准确的赋值以及对单调性定义计算的精简.
12．.
【分析】根据不等式，求得，结合题意列出不等式组，即可求解.
【详解】由，可得，解得，
即，
所以且，解得，
所以实数的取值范围为.
故答案为：.
13．/
【分析】设三个圆锥的高分别为，，．母线与轴线的夹角为，分别表示出三个圆锥的体积以及侧面积，利用，可化简的到，构造函数，利用导数求出最大值即可.
【详解】设三个圆锥的高分别为，，．母线与轴线的夹角为，
则，由，得，
则，由 可得，
则，则
令，，得，
令，解得；令，解得，
故在上单调递增，在上单调递减，
所以，故，故．
故答案为：
14．
【分析】将不等式等价转化，构造函数，并探讨其性质，再利用导数分类讨论的值域即可求解作答.
【详解】，
令，则，，设，则，
当时,，且等号不同时成立，则恒成立，
当时，，则恒成立，则在上单调递增，
又因为，因此存在，使得，
当时，，当时,，
所以函数在上单调递减，在,上单调递增,
又，作出函数的图像如下：

函数定义域为，求导得，
①当时，，函数的单调递减区间为，
当时，的取值集合为，而取值集合为，
因此函数在上的值域包含，
当时，的取值集合为，而取值集合为，
因此函数在上无最小值，从而函数的值域为R，即，，不合题意，
②当时，由得，由得，函数在上单调递增，在上单调递减，
，当时，的取值集合为，
而取值集合为，因此函数在上的值域包含，
此时函数的值域为，即，
当时，即当时，恒成立，符合题意，
当时，即当时，，结合图象可知，，不合题意，
所以实数的取值范围为.
故答案为：
【点睛】关键点睛：函数不等式恒成立求参数范围问题，结合已知，利用换元法构造新函数，用导数探讨函数的性质，借助数形结合的思想推理求解.
15．(1)
(2)的单调减区间是，单调增区间是，极小值为
【分析】（1）根据题意可得切线的斜率为0，然后利用即可求解；
（2）讨论的正负即可得到函数的单调区间，继而得到极小值
【详解】（1）由可得，
因为在点处的切线与垂直，
所以此切线的斜率为0，即，解得；
（2）由（1）可得，
由得，由得，
所以的单调减区间是，单调增区间是，
所以当时，取得极小值
16．(1)
(2)分布列见解析；期望为
【分析】（1）分两种情况求出概率，相加得到答案；
（2）求出X的所有取值及对应的概率，得到分布列和期望值.
【详解】（1）选取的3个科技企业中，BAT中有2个的概率为，
BAT中有3个的概率为，
故选取的3个科技企业中，BAT中至少有2个的概率为．
（2）由题意，X的所有取值为0，1，2，3，
，，
，，
所以X的分布列为
．
17．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接，可通过证明，，得平面；
（2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和平面的法向量，通过向量的夹角公式可得答案.
【详解】（1）证明：连接，，则，
在中，因为，则，
因为，，所以，，
所以，则，
又，、平面，所以平面
（2）解：因为，为的中点，则，又平面，
以为原点，以、、方向为、、轴正方向建立空间直角坐标系，
则、、、、，
所以，，，，
，，，
，
设平面法向量为，则，令，即，
设平面法向量为，则令，即，
设平面与平面所成锐二面角的平面角为，
所以．
18．(1)证明见解析，直线过定点；
(2).
【分析】（1）分析可知直线的斜率存在，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，由结合平面向量数量积的坐标运算与韦达定理可得出、所满足的等式，化简直线的方程，即可得出直线所过定点的坐标；
（2）分和两种情况讨论，在时，直接计算出的面积，在时，将的面积表示为的表达式，求出面积的取值范围，综合可得结果.
【详解】（1）解：设直线轴，则直线与抛物线有且只有一个交点，不合乎题意.
设直线的方程为，设点、，则且，
联立可得，，
由韦达定理可得，，
，同理，
，
所以，，可得，
故直线的方程为，
因此，直线过定点.
（2）解：由（1）可知，直线的斜率存在，且直线的方程为，记线段的中点为点.
①当时，则、关于轴对称，此时线段的垂线为轴，
因为，则点为坐标原点，又因为，则为等腰直角三角形，
则的两腰所在直线的方程为，联立，解得或，
此时，，；
②当时，，，即点，
因为，则，
设点，其中且，，，
由已知可得
，
所以，，则，
直线的斜率为，可得，
所以，，当时，等式不成立，
所以，且，
所以，，则
，
所以，，
故.
综上所述，.
因此，面积的最小值为.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：
一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；
二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．
19．(1)答案见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据题意写出满足性质的所有数表，再分别计算即可；
（2）根据题意，可知当取最大值时，存在，使得，由数表具有性质可得为奇数，不妨设此时数表为，再利用反证法证明即可；
（3）结合性质可得，，两式相加可得得，结合，可得，构造数表，结合性质进而可以求解.
【详解】（1）满足条件的数表为，
所以的值分别为5，5，6.
（2）若当取最大值时，存在，使得.
由数表具有性质可得为奇数，
不妨设此时数表为.
①若存在（为偶数，），使得，交换和的位置，所得到的新数表也具有性质，
调整后数表第一行和大于原数表第一行和，与题设矛盾，所以存在，使得.
②若对任意的（为偶数，），都有，交换和的位置，所得到的新数表也具有性质，此时转化为①的情况.
综上可知，存在正整数，使得.
（3）当n为偶数时，令，，对任意具有性质数表，
一方面，，
因此．①
另一方面，，
因此.②
记．
由①+②得.
又，可得.
构造数表
可知数表具有性质，且.
综上可知，当n为偶数时，的最大值为.
【点睛】方法点睛：在证明抽象问题时，常常使用反证法：先设题设不成立，结合条件推出矛盾，即可说明题目成立.
X
0
1
2
3
P