专题05 易错题精选05之分式方程及应用专题-2023-2024学年八年级数学下学期期末复习培优拔高（苏科版）

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一．分式定义的理解。
1．下列各式中：xy2，3a−b，n−2π，a+1a，12(m+n)，a+2a2−4，其中分式的个数有（ ）
A．3B．4C．5D．6
试题分析：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB（B≠0）叫做分式，由此即可得到答案．
答案详解：解：xy2，3a−b，a+1a，a+2a2−4是分式；n−2π，12(m+n)是整式，
∴分式有4个．
所以选：B．
2．在a−b2，x+3x，5+xπ，a+ba−b，1a中，是分式的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
答案详解：解：在a−b2，x+3x，5+xπ，a+ba−b，1a中，是分式的为：x+3x，a+ba−b，1a，
所以共有3个，
所以选：C．
二．分式有意义、无意义、值为0。
3．当x ＝﹣3 时，分式3x−1x+3无意义．
试题分析：分式无意义则分式的分母为0，据此求得x的值即可．
答案详解：解：∵分式3x−1x+3无意义，
∴x+3＝0，
解得x＝﹣3．
所以答案是：＝﹣3．
4．当x＝3时，分式x−bx+2b没有意义，则b的值为（ ）
A．﹣3B．−32C．32D．3
试题分析：当x+2b＝0时，分式没意义，把x＝3代入x+2b＝0，求得b的值．
答案详解：解：∵当x＝3时，分式x−bx+2b没有意义，
∴x＝3时，x+2b＝0，
∴b=−32．
所以选：B．
5．若分式3−|x|x+3的值为零，则x的值为 3 ．
试题分析：分式的值为零：分子等于零，且分母不等于零，由此得到3﹣|x|＝0且x+3≠0，从而得到x的值．
答案详解：解：依题意得：3﹣|x|＝0且x+3≠0，
解得x＝3．
所以答案是：3．
6．若分式|a|−2a2+a−6的值为0，则a＝ ﹣2 ．
试题分析：分式的值为0的条件是：（1）分子为0；（2）分母不为0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．
答案详解：解：由分式|a|−2a2+a−6的值为0，得
|a|﹣2＝0且a2+a﹣6≠0，
解得a＝﹣2，
所以答案是：﹣2．
三．分式的混合运算。
7．化简：(yx−y−y2x2−y2)÷xxy+y2．
试题分析：先通分算括号内的，将除化为乘，再分子、分母分解因式，约分即可．
答案详解：解：原式＝[y(x+y)(x−y)(x+y)−y2(x−y)(x+y)]•y(x+y)x
=xy(x−y)(x+y)•y(x+y)x
=y2x−y．
8．化简：(x2x+1−x+1)÷x+2x2+2x+1．
试题分析：先将原式小括号内的式子进行通分计算，然后再算括号外面的除法．
答案详解：解：原式＝[x2x+1−(x+1)(x−1)x+1]⋅(x+1)2x+2
=x2−x2+1x+1⋅(x+1)2x+2
=x+1x+2．
9．计算：
（1）xx−y+yy−x．
（2）12m2−9+2m+3．
（3）(2ab)2−ab÷b2a．
（4）1x+1+1x2+3x+2．
试题分析：利用分式的通分约分以及分式的除法运算即可进行解答．
答案详解：解：（1）原式=xx−y−yx−y
=x−yx−y
＝1；
（2）原式=12(m+3)(m−3)+2(m−3)(m+3)(m−3)
=2(m+3)(m+3)(m−3)
=2m−3；
（3）原式=4a2b2−ab⋅2ab
=4a2b2−2a2b2
=2a2b2；
（3）原式=1x+1+1(x+1)(x+2)
=x+2+1(x+1)(x+2)
=x+3x2+3x+2．
四．分式的化简求值。
10．先化简，再求值：x+2x2−2x÷（8xx−2+x﹣2），其中x=2−1．
试题分析：先算括号内的式子，然后计算括号外的除法，最后将x的值代入化简后的式子计算即可．
答案详解：解：x+2x2−2x÷（8xx−2+x﹣2）
=x+2x(x−2)÷8x+(x−2)(x−2)x−2
=x+2x(x−2)•x−28x+x2−4x+4
=x+2x•1(x+2)2
=1x(x+2)，
当x=2−1时，原式=1(2−1)(2−1+2)=1．
11．先化简，再求值：(a2−b2a2−2ab+b2+ab−a)÷b2a2−ab，其中a．b满足|a−3|+b+1=0．
试题分析：先计算括号内的式子，再算括号外面的除法，然后根据|a−3|+b+1=0可以得到a、b的值，再代入化简后的式子计算即可．
答案详解：解：(a2−b2a2−2ab+b2+ab−a)÷b2a2−ab
＝[(a+b)(a−b)(a−b)2−aa−b]•a(a−b)b2
＝（a+ba−b−aa−b）•a(a−b)b2
=ba−b•a(a−b)b2
=ab，
∵|a−3|+b+1=0．
∴a−3=0，b+1＝0，
解得a=3，b＝﹣1，
当a=3，b＝﹣1时，原式=3−1=−3．
12．先化简，再求值：x+1x2−2x+1÷(2x−1+1)，请在﹣1≤x≤1范围内选择一个你喜欢的整数x代入求值．
试题分析：根据分式的混合运算法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定x的值，代入计算即可．
答案详解：解：原式=x+1(x−1)2÷（2x−1+x−1x−1）
=x+1(x−1)2÷x+1x−1
=x+1(x−1)2•x−1x+1
=1x−1，
在﹣1≤x≤1范围内的整数有﹣1，0，1，
∵x﹣1≠0，2x−1+1≠0，
∴x≠±1，
当x＝0时，原式=10−1=−1．
五．巧用裂项法，妙求分式值。
13．已知a、b、c为实数，a+bab=6，b+cbc=8，a+cac=10，求ab+bc+caabc的值．（提示：裂项法a+bab=aab+bab=1b+1a）
试题分析：先根据题意得出1a+1b+1c的值，进而可得出结论．
答案详解：解：∵a+bab=6，b+cbc=8，a+cac=10，
∴1a+1b=6①，1b+1c=8②，1a+1c=10③，
∴①+②+③得，2（1a+1b+1c）＝24，即1a+1b+1c=12．
原式=ab+bc+caabc=ababc+bcabc+caabc
=1c+1a+1b
＝12．
14．我们知道，在计算11×2+12×3+13×4+14×5+⋯+19×10的值时，大家会利用裂项的思想方法，即11×2+12×3+13×4+14×5+⋯+19×10=(11−12)+(12−13)+(13−14)+⋯+(19−110)=11−110=910请你利用裂项的思路化简下式：
（1）1x(x+1)+1(x+1)(x+2)+⋯1(x+2004)(x+2005)；
（2）解分式方程1x(x+2)+1(x+2)(x+4)+12x=1．
试题分析：（1）观察数字的变化规律，利用裂项的思路即可求得结果；
（2）利用裂项的思路化简后，解分式方程即可．
答案详解：解：（1）原式＝（1x−1x+1）+（1x+1−1x+2）+…（1x+2004−1x+2005）
=1x−1x+2005
=2005x(x+2005)；
（2）∵1x(x+2)+1(x+2)(x+4)+12x=1，
∴12（1x−1x+2+1x+2−1x+4+1x）＝1，
∴1x−1x+4+1x=2，
去分母得：2（x+4） -X＝2x（x+4），
整理得：2x2+7x﹣8＝0，
解得x=−7±1134，
经检验，x=−7±1134是原分式方程的根．
六．解分式方程--四都原则：去分母，项都要乘公分母；去括号，括号中的每一项都要乘系数； 移动的项都要变号；做完后，都要检验。
15．解方程：1x+3−23−x=12x2−9．
试题分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
答案详解：解：方程两边都乘（x+3）（x﹣3），得
x﹣3+2（x+3）＝12，
解得x＝3．
检验：当x＝3时，（x+3）（x﹣3）＝0．
故原方程无解．
16．解方程
（1）2x+1+3x−1=5x2−1；
（2）2x2x−1+51−2x=3．
试题分析：（1）方程两边都乘（x+1）（x﹣1）得出2（x﹣1）+3（x+1）＝5，求出方程的解，再进行检验即可；
（2）方程两边都乘2x﹣1得出2x﹣5＝3（2x﹣1），求出方程的解，再进行检验即可．
答案详解：解：（1）2x+1+3x−1=5x2−1，
方程两边都乘（x+1）（x﹣1），得2（x﹣1）+3（x+1）＝5，
解得：x=45，
检验：当x=45时，（x+1）（x﹣1）≠0，
所以分式方程的解是x=45；
（2）2x2x−1+51−2x=3，
方程两边都乘2x﹣1，得2x﹣5＝3（2x﹣1），
解得：x=−12，
检验：当x=−12时，2x﹣1≠0，
所以分式方程的解是x=−12．
六．分式方程解的特征--有解，无解，有增根，取值范围。
17．若分式方程：3+2−kxx−3=13−x无解，求k的值．
试题分析：分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出k的值即可．
答案详解：解：去分母得：3（x﹣3）+2 -Kx＝﹣1，
整理得：（3 -K）x＝6，
当3 -K＝0，即k＝3时，整式方程无解，满足题意；
当3 -K≠0，即k≠3时，x=63−k=3时，分式方程无解，即k＝1，
综上所示，k的值为3或1．
18．若关于x的方程2mx+1−m+1x2+x=1x有增根，求实数m的值．
试题分析：先确定增根的值，再把该方程化为整式方程，最后把增根代入整式方程求解即可．
答案详解：解：∵该方程的最简公分母是x（x+1），
∴该方程的增根为x＝0或x＝﹣1，
方程两边同乘以x（x+1）得，2mx﹣（m+1）＝x+1，
整理，得（2m﹣1）x＝m+2，
∴2m﹣1≠0，
解得m≠12，
当x＝0时，（2m﹣1）×0＝m+2，
解得m＝﹣2；
当x＝﹣1时，（2m﹣1）×（﹣1）＝m+2，
m=−13，
∴实数m的值为﹣2或−13．
19．先仔细看（1）题，再解答（2）题．
（1）a为何值时，方程xx−3=2+ax−3会产生增根？
解方程两边同时乘（x﹣3），得x＝2（x﹣3）+a，①因为x＝3是原方程的增根，但却是方程①的根，所以将x＝3代入①得：3＝2×（3﹣3）+a，所以a＝3．
（2）当m为何值时，方程yy−1−m2y2−y=y−1y会产生增根？
试题分析：根据增根产生的条件，最简公分母为0时，未知数的值即为增根，再求得m的值．
答案详解：解：原方程公分母为y（y﹣1），方程两边同乘y（y﹣1），得
y2 -M2＝（y﹣1）2
y2 -M2＝y2+1﹣2y
2y﹣1＝m2
当y＝0时，m2＝﹣1，此时m无解；
当y＝1时，m2＝1，此时m＝±1．
故当m＝±1时，方程有增根．
20．若关于x的分式方程x+mx−2+3m4−2x=3的解为正实数，求实数m的取值范围．
试题分析：用含m的代数式表示出分式方程的解，由于分式方程的解为正实数，得关于m的不等式，求解即可．
答案详解：解：原方程可变形为：x+mx−2−3m2(x−2)=3，
去分母，得2x+2m﹣3m＝6x﹣12，
整理，得4x＝12 -M
解得，x=12−m4
∵方程的解为正实数，
∴x=12−m4＞0且x=12−m4≠2
解得：m＜12且m≠4．
七．分式方程的特殊解法--换元法
21．阅读下面材料，解答后面的问题．解方程：x−1x−4xx−1=0．解：设y=x−1x，则原方程化为：y−4y=0，方程两边同时乘y得：y2﹣4＝0，解得：y＝±2，经检验：y＝±2都是方程y−4y=0的解，∴当y＝2时，x−1x=2，解得x＝﹣1，当y＝﹣2时，x−1x=−2，解得：x=13，经检验：x＝﹣1或x=13都是原分式方程的解，∴原分式方程的解为x＝﹣1或x=13．上述这种解分式方程的方法称为换元法．
问题：
（1）若在方程x−14x−xx−1=0中，设y=x−1x，则原方程可化为： y4−1y=0 ；
（2）若在方程中x−1x+1−4x+4x−1=0，设y=x−1x+1，则原方程可化为： y−4y=0 ；
（3）模仿上述换元法解方程：1−3x+2−x+2x−1=0．
试题分析：（1）和（2）将所设的y代入原方程即可；
（3）利用换元法解分式方程，设y=x−1x+2，将原方程化为y−1y=0，求出y的值并检验是否为原方程的解，然后求解x的值即可．
答案详解：解：（1）将y=x−1x代入原方程，则原方程化为y4−1y=0；
所以答案是：y4−1y=0；
（2）将y=x−1x+1代入方程，则原方程可化为y−4y=0；
所以答案是：y−4y=0；
（3）原方程化为：x−1x+2−x+2x−1=0，
设y=x−1x+2，则原方程化为：y−1y=0，
方程两边同时乘y得：y2﹣1＝0，
解得：y＝±1，
经检验：y＝±1都是方程y−1y=0的解．
当y＝1时，x−1x+2=1，该方程无解；
当y＝﹣1时，x−1x+2=−1，解得：x=−12；
经检验：x=−12是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为x=−12．
22．已知方程2xx−1−5x−5x+3=0，如果设xx−1=y，那么原方程可化为关于y的整式方程是 2y2+3y﹣5＝0 ．
试题分析：由设出的y，将方程左边前两项代换后，得到关于y的方程，去分母整理即可得到结果．
答案详解：解：设y=xx−1，
方程2xx−1−5x−5x+3＝0变形为2y−5y+3＝0，
整理得：2y2+3y﹣5＝0．
所以答案是：2y2+3y﹣5＝0．
23．用换元法解方程3xx2−1+x2−13x=52时，设3xx2−1=y，则原方程化为关于y的整式方程是 2y2﹣5y+2＝0 ．
试题分析：设3xx2−1=y，得到x2−13x=1y，原方程变为y+1y=52，再去分母即可．
答案详解：解：解方程3xx2−1+x2−13x=52时，设3xx2−1=y，则x2−13x=1y，
原方程可变为y+1y=52，
去分母得2y2﹣5y+2＝0．
所以答案是：2y2﹣5y+2＝0．
八．实际问题中的分式方程。
24．《九章算术》是中国古代数学名著，其中记载：每头牛比每只羊贵1两，20两买牛，15两买羊，买得牛羊的数量相等，则每头牛的价格为多少两？若设每头牛的价格为x两，则可列方程为（ ）
A．20x=15x+1B．20x=15x−1C．20x+1=15xD．20x−1=15x
试题分析：设每头牛的价格为x两，则设每头羊的价格为（x﹣1）两，然后根据20两买牛，15两买羊，买得牛羊的数量相等列出方程即可．
答案详解：解：设每头牛的价格为x两，则设每头羊的价格为（x﹣1）两，
由题意得，20x=15x−1，
所以选：B．
25．“五一”节期间，几名同学在老师组织下包租一辆旅游中巴车前往七星关鸡鸣三省红色景区游览，租价为180元，出发时因特殊原因两名同学不能前往，结果每个同学比原来多摊了3元车费，设实际参加游览的同学共有x人，则所列方程为（ ）
A．180x−180x+2=3B．180x+2−180x=3
C．180x−180x−2=3D．180x−2−180x=3
试题分析：设实际参加游览的同学共x人，则原有的几名同学每人分担的车费为：180x+2元，出发时每名同学分担的车费为：180x元，根据每个同学比原来多摊了3元车费即可得到等量关系．
答案详解：解：设实际参加游览的同学共x人，
根据题意得：180x−180x+2=3．
所以选：A．
26．为了改善生态环境，某社区计划在荒坡上种植600棵树，由于学生志愿者的加入，每日比原计划多种20%，结果提前1天完成任务．设原计划每天种树x棵，可列方程（ ）
A．600(1+20%)x−600x=1B．600x−600(1−20%)x=1
C．600(1−20%)x−600x=1D．600x−600(1+20%)x=1
试题分析：设原计划每天种x棵树，实际每天种树（1+20%）x棵树，根据原计划完成任务的天数﹣实际完成任务的天数＝1，列方程即可．
答案详解：解：设原计划每天种x棵树，实际每天种树（1+20%）x棵树，
由题意得：600x−600(1+20%)x=1．
所以选：D．
27．某工程队承接了80万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了35%，结果提前40天完成了这一任务．如果设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，那么可列方程为： 80×(1+35%)x−80x=40 ．
试题分析：设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则原计划每天绿化的面积为x1+35%万平方米，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合实际比原计划提前40天完成了这一任务，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
答案详解：解：设设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则原计划工作每天绿化的面积为x1+35%万平方米，
依题意得：80×(1+35%)x−80x=40．
所以答案是：80×(1+35%)x−80x=40．
九．列分式方程解决实际问题。
28．为改善南宁市的交通现状，市政府决定修建地铁，甲、乙两工程队承包地铁1号线的某段修建工作，从投标书中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的3倍；若由甲队先做20天，剩下的工程再由甲、乙两队合作10天完成．
（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？
（2）已知甲队每天的施工费用为15.6万元，乙队每天的施工费用为18.4万元，工程预算的施工费用为500万元，为缩短工期，拟安排甲、乙两队同时开工合作完成这项工程，那么工程预算的施工费用是否够用？若不够用，需增加多少万元？
试题分析：（1）设乙队单独完成这项工程需x天，则甲队单独完成这项工作所需天数是3x天，则甲队的工效为13x，乙队的工效为1x，由已知得：甲队工作了30天，乙队工作了10天完成，列方程得：303x+10x=1，解出即可，要检验；
（2）根据（1）中所求得出甲、乙合作需要的天数，进而求出总费用，即可得出答案．
答案详解：解：（1）设乙队单独完成这项工程需x天，则甲队单独完成这项工作所需天数是3x天，
依题意得：303x+10x=1，
解得x＝20，
检验，当x＝20时，3x≠0，
所以原方程的解为x＝20．
所以3x＝3×20＝60（天）．
答：乙队单独完成这项工程需20天，则甲队单独完成这项工作所需天数是60天；
（2）设甲、乙两队合作完成这项工程需要y天，
则有y（120+160）＝1，
解得y＝15．
需要施工的费用：15×（15.6+18.4）＝510（万元）．
∵510＞500，
∴工程预算的费用不够用，需要追加预算10万元．
29．某工厂现在平均每天比原计划多生产25个零件，现在生产600个零件所需时间与原计划生产450个零件所需时间相同，原计划平均每天生产多少个零件？
试题分析：设原计划平均每天生产x个零件，现在平均每天生产（x+25）个零件，根据现在生产600个零件所需时间与原计划生产450个零件所需时间相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
答案详解：解：设原计划平均每天生产x个零件，现在平均每天生产（x+25）个零件，
根据题意得：600x+25=450x，
解得：x＝75，
经检验，x＝75是原方程的解．
答：原计划平均每天生产75个零件．
30．绵阳人民商场准备购进甲、乙两种牛奶进行销售，若甲种牛奶的进价比乙种牛奶的进价每件少5元，其用90元购进甲种牛奶的数量与用100元购进乙种牛奶的数量相同．
（1）求甲种牛奶、乙种牛奶的进价分别是多少元？
（2）若该商场购进甲种牛奶的数量是乙种牛奶的3倍少5件，两种牛奶的总数不超过95件，该商场甲种牛奶的销售价格为49元，乙种牛奶的销售价格为每件55元，则购进的甲、乙两种牛奶全部售出后，可使销售的总利润（利润＝售价﹣进价）超过371元，请通过计算求出该商场购进甲、乙两种牛奶有哪几种方案？
试题分析：（1）设乙种牛奶的进价为每件x元，则甲种牛奶的进价为每件（x﹣5）元，由题意列出关于x的方程，求出x的值即可；
（2）设购进乙种牛奶y件，则购进甲种牛奶（3y﹣5）件，根据题意列出关于y的不等式组，求出y的整数解即可得出结论．
答案详解：解：（1）设乙种牛奶的进价为每件x元，则甲种牛奶的进价为每件（x﹣5）元，
由题意得，90x−5=100x，解得x＝50．
经检验，x＝50是原分式方程的解，且符合实际意义
故乙种牛奶的进价是50元，甲种牛奶的进价是45元．
（2）设购进乙种牛奶y件，则购进甲种牛奶（3y﹣5）件，
由题意得3y−5+y≤95(49−45)(3y−5)+(55−50)y＞371，解得23＜y≤25．
∵y为整数，
∴y＝24或25，
∴共有两种方案：
方案一：购进甲种牛奶67件，乙种牛奶24件；
方案二：购进甲种牛奶70件，乙种牛奶25件．
31．八年级（1）班学生周末乘汽车到游览区游览，游览区距学校120km．一部分学生乘慢车先行，出发0.5h后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达游览区．已知快车的速度是慢车速度的1.2倍，求慢车的速度．
试题分析：设出慢车的速度，再利用慢车的速度表示出块车的速度，根据所用时间差为0.5h列方程解答．
答案详解：解：设慢车的速度为xkm/h，则快车的速度为1.2xkm/h，根据题意得
120x−1201.2x=0.5，
解得：x＝40，
经检验，x＝40是原方程的根．
答：慢车的速度是40km/h．
32．我市某学校2016年在某商场购买甲、乙两种不同足球，购买甲种足球共花费2000元，购买乙种足球共花费1400元，购买甲种足球数量是购买乙种足球数量的2倍，且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花20元．
（1）求购买一个甲种足球、一个乙种足球各需多少元；
（2）2017年为大力推动校园足球运动，这所学校决定再次购买甲、乙两种足球共50个，恰逢该商场对两种足球的售价进行调整，甲种足球售价比第一次购买时提高了10%，乙种足球售价比第一次购买时降低了10%，如果此次购买甲、乙两种足球的总费用不超过3000元，那么这所学校最多可购买多少个乙种足球？
试题分析：（1）根据题意可以列出相应的分式方程，从而可以求得购买一个甲种足球、一个乙种足球各需多少元；
（2）根据题意可以列出相应的不等式，从而可以求得这所学校最多可购买多少个乙种足球．
答案详解：解：（1）设购买一个甲种足球需要x元，
2000x=1400x+20×2，
解得，x＝50，
经检验，x＝50是原分式方程的解，
∴x+20＝70，
即购买一个甲种足球需50元，一个乙种足球需70元；
（2）设这所学校再次购买了y个乙种足球，
70（1﹣10%）y+50（1+10%）（50 -Y）≤3000，
解得，y≤31.25，
∴最多可购买31个足球，
即这所学校最多可购买31个乙种足球．