2024年山东省实验中学高考数学一模试卷

这是一份2024年山东省实验中学高考数学一模试卷，共20页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）已知复数z＝﹣i（1+2i），则（ ）
A．2﹣iB．2+iC．﹣2﹣iD．﹣2+i
2．（5分）设全集U＝R，A＝{x|y＝ln（1﹣x）}，B＝{x||x﹣1|＜1}，则（∁UA）∩B＝（ ）
A．（﹣2，1）B．（﹣2，1]C．[1，2）D．（1，2）
3．（5分）若，则实数m＝（ ）
A．6B．﹣6C．3D．﹣3
4．（5分）函数f（x）的定义域为[1，+∞），数列{an}满足an＝f（n），则“函数f（x）为减函数”是“数列{an}为递减数列”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
5．（5分）已知函数，若A，B是锐角△ABC的两个内角，则下列结论一定正确的是（ ）
A．f（sinA）＞f（sinB）B．f（csA）＞f（csB）
C．f（sinA）＞f（csB）D．f（csA）＞f（sinB）
6．（5分）已知x，y为正实数，且x+y＝1，则的最小值为（ ）
A．24B．25C．D．
7．（5分）如图，已知菱形ABCD的边长为2，且∠A＝60°，E，F分别为棱AB，DC中点．将△BCF和△ADE分别沿BF，DE折叠，若满足AC∥平面DEBF，则线段AC的取值范围为（ ）
A．[，2）B．C．D．
8．（5分）若椭圆C1和C2的方程分别为1（a＞b＞0）和λ（a＞b＞0，λ＞0且λ≠1），则称C1和C2为相似椭圆．已知椭圆C1：1，C2：λ（0＜λ＜1），过C2上任意一点P作直线交C1于M，N两点，且，则△MON的面积最大时，λ的值为（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
（多选）9．（5分）下列说法正确的是（ ）
A．cs2sin3＜0
B．若圆心角为的扇形的弧长为π，则扇形的面积为
C．终边落在直线y＝x上的角的集合是
D．函数的定义域为，π为该函数的一个周期
（多选）10．（5分）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6．从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”．丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ）
A．甲与丙相互独立B．甲与丁相互独立
C．乙与丙不相互独立D．丙与丁相互独立
（多选）11．（5分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面ABCD所成的角为，底面ABCD为直角梯形，，点E为棱PD上一点，满足，下列结论正确的是（ ）
A．平面PAC⊥平面PCD
B．在棱PD上不存在点E，使得CE∥平面PAB
C．当时，异面直线CE与AB所成角的余弦值为
D．点P到直线CD的距离
（多选）12．（5分）对于函数．下列结论正确的是（ ）
A．任取x1，x2∈[2，+∞），都有|f（x1）﹣f（x2）|≤1
B．函数y＝f（x）﹣ln（x﹣1）有2个零点
C．函数y＝f（x）在[4，5]上单调递增
D．若关于x的方程f（x）＝m（m＜0）有且只有两个不同的实根x1，x2，则x1+x2＝3
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）已知数列{an}满足，则a2024＝ ．
14．（5分）已知多项式，则a1＝ ．
15．（5分）已知F为抛物线C：y的焦点，过点F的直线l与抛物线C交于不同的两点A，B，抛物线在点A，B处的切线分别为l1和l2，若l1和l2交于点P，则|PF|2的最小值为 ．
16．（5分）已知对于任意正数x，ex+ax（e2x﹣1）≥（a2+2a）x2ex﹣2axexlnax恒成立，则正数a的取值范围为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
17．（10分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且2a．
（1）求sinA的值；
（2）若△ABC的周长为18，求△ABC的面积．
18．（12分）已知数列{an}满足．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设，求数列{bn}的前n项和Sn．
19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，BC⊥CD，BC＝2CD＝2AD＝2，平面ABCD⊥平面PAC．
（1）证明：PC⊥AB；
（2）若PA＝PCAC，M是PA的中点，求平面MBC与平面PAC夹角的余弦值．
20．（12分）一只LED灯能闪烁红、黄、蓝三种颜色的光，受智能程序控制每隔1秒闪一次光，相邻两次闪光的颜色不相同．若某次闪红光，则下次有的概率闪黄光；若某次闪黄光，则下次有的概率闪蓝光；若某次闪蓝光，则下次有的概率闪红光．已知第1次闪光为红光．
（Ⅰ）求第4次闪光为红光的概率；
（Ⅱ）求第n次闪光为红光的概率．
21．（12分）已知椭圆的右焦点为F（2，0），点在椭圆C上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过F的两条互相垂直的直线分别交椭圆C于A，B两点和P，Q两点，设AB，PQ的中点分别为M，N，求△FMN面积的最大值．
22．（12分）已知函数f（x）＝ex﹣sinx．
（1）若f（x）≥ax2+1对于任意x∈[0，+∞）恒成立，求a的取值范围；
（2）若函数f（x）的零点按照从大到小的顺序构成数列{xn}，n∈N*，证明：；
（3）对于任意正实数x1，x2，证明：．
2024年山东省实验中学高考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．（5分）已知复数z＝﹣i（1+2i），则（ ）
A．2﹣iB．2+iC．﹣2﹣iD．﹣2+i
【解答】解：z＝﹣i（1+2i）＝2﹣i，
则2+i．
故选：B．
2．（5分）设全集U＝R，A＝{x|y＝ln（1﹣x）}，B＝{x||x﹣1|＜1}，则（∁UA）∩B＝（ ）
A．（﹣2，1）B．（﹣2，1]C．[1，2）D．（1，2）
【解答】解：A＝{x|y＝ln（1﹣x）}＝（﹣∞，1），
B＝{x||x﹣1|＜1}＝（0，2），
故（∁UA）∩B＝[1，2）；
故选：C．
3．（5分）若，则实数m＝（ ）
A．6B．﹣6C．3D．﹣3
【解答】解：∵||＝||，
∴2•2•，
∴•0，又（1，2），（m，3），
∴1×m+2×3＝0，解得m＝﹣6．
故选：B．
4．（5分）函数f（x）的定义域为[1，+∞），数列{an}满足an＝f（n），则“函数f（x）为减函数”是“数列{an}为递减数列”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【解答】解：根据题意，函数f（x）为定义域为[1，+∞）的减函数，当n≥1且n∈Z时，必有f（n）＞f（n+1），则数列{an}为递减数列，
反之，当f（x）＝﹣（x）2时，an+1﹣an＝﹣x，数列{an}为递减数列，但函数f（x）在定义域上不是减函数，
故“函数f（x）为减函数”是“数列{an}为递减数列”的充分不必要条件．
故选：A．
5．（5分）已知函数，若A，B是锐角△ABC的两个内角，则下列结论一定正确的是（ ）
A．f（sinA）＞f（sinB）B．f（csA）＞f（csB）
C．f（sinA）＞f（csB）D．f（csA）＞f（sinB）
【解答】解：∵A，B是锐角△ABC的两个内角，
∴A，B∈（0，），
又，
∴在上恒成立，∴f（x）在上单调递减．
又⇒，
则，
∴f（csA）＞f（sinB），D正确；
同理可得f（csB）＞f（sinA），C错误
而sinA与sinB，csA与csB的大小关系均不确定，
∴f（sinA）与f（sinB），f（csA）与f（csB）的大小关系也均不确定，A，B均错误．
故选：D．
6．（5分）已知x，y为正实数，且x+y＝1，则的最小值为（ ）
A．24B．25C．D．
【解答】解：因为x，y为正实数，且x+y＝1，
所以
，
当且仅当即时，等号成立，所以的最小值为25．
故选：B．
7．（5分）如图，已知菱形ABCD的边长为2，且∠A＝60°，E，F分别为棱AB，DC中点．将△BCF和△ADE分别沿BF，DE折叠，若满足AC∥平面DEBF，则线段AC的取值范围为（ ）
A．[，2）B．C．D．
【解答】解：如图，
折叠前，连接AC，BD，
由题意，在菱形ABCD中，AB＝BC＝2，，
则由余弦定理得，，
所以，，故在折叠过程中，，
折叠后，若AC∥平面DEBF，
则AC⊄平面DEBF，则，故BD项错误；
折叠前，在菱形ABCD中，，
则△ABD是正三角形，
由E，F分别为棱AB，DC中点，
则DE⊥AB，BF⊥DC，AB∥DC，所以DE∥BF，
折叠后，DE⊥AE，DE⊥EB，AE∩EB＝E，又AE⊂平面EAB，且EB⊂平面EAB，
则DE⊥平面EAB，同理BF⊥平面FDC，所以平面EAB∥平面FDC，
则平面EAB与平面FDC的距离即为，
由点A∈平面EAB，点C∈平面FDC，则，
在折叠过程中，当时，由AE＝EB，DF＝FC，
则△EBA，△DFC均为正三角形，可构成如图所示的正三棱柱DFC﹣EBA，
满足AC∥平面DEBF，此时，
所以AC最小值为，故A正确，C项错误．
故选：A．
8．（5分）若椭圆C1和C2的方程分别为1（a＞b＞0）和λ（a＞b＞0，λ＞0且λ≠1），则称C1和C2为相似椭圆．已知椭圆C1：1，C2：λ（0＜λ＜1），过C2上任意一点P作直线交C1于M，N两点，且，则△MON的面积最大时，λ的值为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：当直线MN的斜率不存在时，
设直线MN的方程为：，
联立可得，
所以，
所以△MON的面积为，
由，可得点P为线段MN的中点，
所以点p的坐标为（x0，0），
因为点p在椭圆C2上，所以，
所以，
当直线MN的斜率存在时，如图，
设直线MN的方程为y＝sx+t，
联立，消去y得：（4s2+3）x2+8stx+4t2﹣12＝0，
方程（4s2+3）x2+8stx+4t2﹣12＝0的判别式
Δ＝64s2t2﹣4（4s2+3）（4t2﹣12）＞0，
设M（x3，y3），N（x4，y4），
则，
所以，
，
所以点P的坐标为，
因为点P在椭圆C2上，
所以代入C2：λ，化即可得：t2＝4λs2+3λ，
联立联立，化简可得（4s2+3）x2+8stx+4t2﹣12λ＝0，
所以Δ＝64s2t2﹣4（4s2+3）（4t2﹣12λ）＝48（4λs2﹣t2+3λ）＝0，
故直线MN和椭圆C2相切，
因为原点O到直线MN的趾离为，
，
所以△MON的面积为2，
综上2，当且仅当时取等号．
故选：B．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
（多选）9．（5分）下列说法正确的是（ ）
A．cs2sin3＜0
B．若圆心角为的扇形的弧长为π，则扇形的面积为
C．终边落在直线y＝x上的角的集合是
D．函数的定义域为，π为该函数的一个周期
【解答】解：由于2和3都是钝角，故有cs2＜0，且sin3＞0，故有cs2sin3＜0，故A正确．
设圆心角为的扇形所在圆的半径为r，由于它的弧长为π•r，∴r＝3，
则扇形的面积为••32，故B正确．
由于终边落在直线y＝x上的角的集合是{α|α＝kπ，k∈Z}，故C错误．
由于函数的定义域为{x|2xkπ，k∈Z}＝{x|x，k∈Z}，
它的周期为，故π为该函数的一个周期，故D正确．
故选：ABD．
（多选）10．（5分）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6．从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”．丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ）
A．甲与丙相互独立B．甲与丁相互独立
C．乙与丙不相互独立D．丙与丁相互独立
【解答】解：由题意可得，P（甲），P（乙），，P（丁），
P（甲丙）＝0≠P（甲）P（丙），P（甲丁）＝P（甲）P（丁），
P（乙丙），P（丙丁）＝0≠P（丁）P（丙）．
故选：BC．
（多选）11．（5分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面ABCD所成的角为，底面ABCD为直角梯形，，点E为棱PD上一点，满足，下列结论正确的是（ ）
A．平面PAC⊥平面PCD
B．在棱PD上不存在点E，使得CE∥平面PAB
C．当时，异面直线CE与AB所成角的余弦值为
D．点P到直线CD的距离
【解答】解：对于A，∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，AB⊂平面ABCD，
∴PA⊥CD，PA⊥AB，
∴∠PBA即为PB与底面ABCD所成角，即，
∴AB＝PA＝1，∵，∴AC，
∴AC2+CD2＝AD2，∴AC⊥CD，
∵AP∩AC＝A，AP，AC⊂平面PAC，∴CD⊥平面PAC，
∵CD⊂平面PAC，∴平面PCD⊥平面PAC，故A正确；
对于D，由A选项的证明过程知CD⊥平面PAC，
∵PC⊂平面PAC，∴CD⊥PC，
∴点P到直线CD的距离即为PC的长度，
∵PA⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴PA⊥AC，
∵PA＝1，AC，∴PC，
∴点P到直线CD的距离为，故D正确；
对于C，当时，，∴E为PD的中点，
设F为PA的中点，连接EF，BF，
则EF∥AD，EFAD，
∵BC∥AD，BCAD，∴EF∥BC，EF＝BC，
∴四边形EFBC为平行四边形，则CE∥BF，
∴异面直线CE与AB所成角即为BF，AB的夹角，
在Rt△FAB中，AF，AB＝1，
∴BF，
则cs∠FBA，
则异面直线CE与AB所成角的余弦值为，故C正确；
对于B，由C选项知，当λ时，CE∥BF，
∵CE⊄平面PAB，BF⊂平面PAB，∴CE∥平面PAB，
∴λ时，CE∥平面PAB，故B错误．
故选：ACD．
（多选）12．（5分）对于函数．下列结论正确的是（ ）
A．任取x1，x2∈[2，+∞），都有|f（x1）﹣f（x2）|≤1
B．函数y＝f（x）﹣ln（x﹣1）有2个零点
C．函数y＝f（x）在[4，5]上单调递增
D．若关于x的方程f（x）＝m（m＜0）有且只有两个不同的实根x1，x2，则x1+x2＝3
【解答】解：函数，
因为y＝sinπx在[0，2]爱上最大值为1，最小值为﹣1；
故当x∈[2，+∞）时，函数f（x）的最大值为，最小值为，
所以任取x1，x2∈[2，+∞），都有|f（x1）﹣f（x2）|≤1恒成立，A正确；
当x∈[4，5]，x﹣4∈[0，1]，故f（x）f（x﹣4）sinπ（x﹣4）sinπx，函数先增后减，C不正确；
取y＝f（x）﹣ln（x﹣1）＝0，即f（x）＝ln（x﹣1），同C，计算得到f（x），
画出函数图象，如图所示：
根据图象知，函数有3个零点，故B不正确；
f（x）＝m（m＜0）有且只有两个不同的实根x1，x2，根据图象知﹣1＜m，根据对称性知x1+x2＝3，故D正确．
故选：AD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）已知数列{an}满足，则a2024＝ ．
【解答】解：，
可得a2＝2a1﹣11，
a3＝2a2﹣11，
a4＝2a3，
a5＝2a4，
a6＝2a5﹣11，
...，可得数列{an}是最小正周期为4的数列，
则a2024＝a4．
故答案为：．
14．（5分）已知多项式，则a1＝ 74 ．
【解答】解：∵多项式，
∴a1的值，即（x﹣2）5+（x﹣1）6中展开式中x的系数．
故a1•（﹣2）4•（﹣1）5＝80﹣6＝74．
故答案为：74．
15．（5分）已知F为抛物线C：y的焦点，过点F的直线l与抛物线C交于不同的两点A，B，抛物线在点A，B处的切线分别为l1和l2，若l1和l2交于点P，则|PF|2的最小值为 10 ．
【解答】解：因为抛物线C：y，所以x2＝4y，焦点为F（0，1），准线为y＝﹣1，
设直线l的方程为：y＝kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），
由，得x2﹣4kx﹣4＝0，
x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4，
|AB|＝y1+y2+p＝k（y1+y2）+4＝4k2+4．
抛物线在点A出的切线的斜率为，所以直线l1的方程为：y﹣y1（x﹣x1），
即yx，同理直线l2的方程为：yx，
联立直线l1和l2的方程，得y＝﹣1，x＝2k，即点P（2k，﹣1），
所以|PF|2＝（2k）2+4＝4k2+4．
所以|PF|2（4k2+4）2×5＝10，
当且仅当4k2+4＝5，即k时取等号．
故答案为：10．
16．（5分）已知对于任意正数x，ex+ax（e2x﹣1）≥（a2+2a）x2ex﹣2axexlnax恒成立，则正数a的取值范围为 （0，e] ．
【解答】解：ex+ax（e2x﹣1）≥（a2+2a）x2ex﹣2axexlnax恒成立，
由于x＞0，a＞0，两边同乘，
则，
设，则，
∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，
由，得f（x）≥f（lnax），
则lnax≤x，∴ax＝elnax≤ex，∴恒成立，
令函数，则，
当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；
当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，
∴g（x）min＝g（1）＝e，∴a≤e，则0＜a≤e，
∴正数a的取值范围为（0，e]．
故答案是：（0，e]．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
17．（10分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且2a．
（1）求sinA的值；
（2）若△ABC的周长为18，求△ABC的面积．
【解答】解：（1）因为，
所以，
因为c＝2a，
所以sinC＝2sinA，
则；
（2）因为，
所以，
因为c＝2a，
所以，解得，
因为△ABC的周长为18，所以，解得a＝4，
则b＝6，c＝8，
故△ABC的面积为．
18．（12分）已知数列{an}满足．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设，求数列{bn}的前n项和Sn．
【解答】解：（1）由，
得，
所以．
所以数列是常数列．
又a1＝1，
则，
所以．
所以an＝2n﹣1．
（2）因为，
所以，
即数列{bn}的前n项和Sn为．
19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，BC⊥CD，BC＝2CD＝2AD＝2，平面ABCD⊥平面PAC．
（1）证明：PC⊥AB；
（2）若PA＝PCAC，M是PA的中点，求平面MBC与平面PAC夹角的余弦值．
【解答】解：（1）证明：取BC中点N，连接AN，则，
又AD∥CN，BC⊥CD，所以四边形ANCD为正方形，
则∠ANB＝∠ANC＝90°，∠NAC＝45°，
又在△ANB中，，
则∠BAN＝45°，所以∠BAC＝90°，即AB⊥AC，
又平面ABCD⊥平面PAC，平面ABCD∩平面PAC＝AC，AB⊂平面ABCD，
所以AB⊥平面PAC，又PC⊂面PAC，所以PC⊥AB．
（2）连接DN，交AC于O，连OP，由于AD∥BN，AD＝BN，
所以四边形ABND是平行四边形，所以ON∥AB．
因为AB⊥平面PAC，所以ON⊥平面PAC，
OP，OC⊂平面PAC，所以ON⊥OP，ON⊥OC，
因为PA＝PC，所以OP⊥AC，
所以ON，OC，OP两两垂直，
因为BC＝2CD＝2AD＝2，PA＝PCAC，
所以AC＝2，ON＝OC＝1，PC，所以OP＝2，
以O为原点，ON，OC，OP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，
所以C（0，1，0），B（2，﹣1，0），P（0，0，2），
M是PA中点，所以M（0，，1），
所以，
设是平面MBC的法向量，
则，
令x＝2，可得，
平面PAC的一个法向量是，
所以，
所以平面MBC与平面PAC夹角的余弦值为．
20．（12分）一只LED灯能闪烁红、黄、蓝三种颜色的光，受智能程序控制每隔1秒闪一次光，相邻两次闪光的颜色不相同．若某次闪红光，则下次有的概率闪黄光；若某次闪黄光，则下次有的概率闪蓝光；若某次闪蓝光，则下次有的概率闪红光．已知第1次闪光为红光．
（Ⅰ）求第4次闪光为红光的概率；
（Ⅱ）求第n次闪光为红光的概率．
【解答】解：（Ⅰ）一只LED灯能闪烁红、黄、蓝三种颜色的光，受智能程序控制每隔1秒闪一次光，相邻两次闪光的颜色不相同，
若某次闪红光，则下次有的概率闪黄光；若某次闪黄光，则下次有的概率闪蓝光；
若某次闪蓝光，则下次有的概率闪红光，
已知第1次闪光为红光，第4次闪光为红光，
由题意，前4次闪光的顺序为“红共蓝红”或“红蓝黄红”，
所以．
（Ⅱ）设事件An表示“第n次闪光为红光”，事件Bn表示“第n次闪光为黄光”，
事件∁n表示“第n次闪光为蓝光”，且P（An）＝f（n），P（An）＝f（n），P（Bn）＝g（n），
则P（∁n）＝1﹣f（n）﹣g（n），
由题意知f（1）＝P（A1）＝1，当n≥2时，P（An）＝P（Bn﹣1）P（An|Bn﹣1）+P（Cn﹣1）P（An|Cn﹣1），
即，整理得，
所以，
所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，
故，即第n次闪红光的概率为．
21．（12分）已知椭圆的右焦点为F（2，0），点在椭圆C上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过F的两条互相垂直的直线分别交椭圆C于A，B两点和P，Q两点，设AB，PQ的中点分别为M，N，求△FMN面积的最大值．
【解答】解：（1）由题意知，c＝2，
因为a2＝b2+c2，所以a2＝b2+4，
把点代入椭圆方程，得，解得b2＝4，
所以a2＝8，
故椭圆C的方程为．
（2）由题意知，直线AB，PQ的斜率均存在且不为零，
设直线AB的方程为y＝k（x﹣2）（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，消去y得（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣8＝0，
所以x1+x2，x1x2，
所以，
因为M是线段AB的中点，
所以，
同理可得，
若，则k＝±1，此时直线MN的斜率不存在，其方程为x，且，
所以；
若k≠±1，则直线MN的斜率为，
所以直线MN的方程为，化简得，
所以直线MN过定点，
所以S△FMN＝S△FTM+S△FTN|FT|×|yM||FT|×|yN|
，
令，则，在t∈（2，+∞）上单调递减，
所以，即，
综上，，
所以当k＝±1时，△FMN的面积取得最大值．
22．（12分）已知函数f（x）＝ex﹣sinx．
（1）若f（x）≥ax2+1对于任意x∈[0，+∞）恒成立，求a的取值范围；
（2）若函数f（x）的零点按照从大到小的顺序构成数列{xn}，n∈N*，证明：；
（3）对于任意正实数x1，x2，证明：．
【解答】解：（1）∵ex﹣sinx≥ax2+1在[0，+∞）上恒成立
⇔ex﹣sinx﹣ax2﹣1在[0，+∞）上恒成立，
设F（x）＝ex﹣sinx﹣ax2﹣1（x≥0），g（x）＝F′（x）＝ex﹣csx﹣2ax，
则g′（x）＝ex+sinx﹣2a，g′（0）＝1﹣2a，
①当时，g′（0）＜0，∃t＞0，使g（x）在区间（0，t）上单调递减；
则F′（x）＝g（x）＜g（0）＝0，F（x）在区间（0，t）上单调递减，
则F（x）＜F（0）＝0，不满足题意，
②当时，，
设n（x）＝ex﹣1﹣x（x≥0），则n′（x）＝ex﹣1≥0，
所以n（x）＝ex﹣1﹣x在[0，+∞）上单调递增，
则n（x）≥n（0）＝0⇒ex﹣1﹣x≥0，
设（x≥0），
则m′（x）＝ex﹣csx﹣x≥ex﹣1﹣x≥0成立，
故在[0，+∞）上单调递增，
则m（x）≥m（0）＝0，
所以F（x）≥0恒成立，得证，
∴综上知，a的取值范围为（﹣∞，．
证明：（2）当x∈[﹣2nπ，﹣（2n﹣1）π]时，
f′（x）＝ex﹣csx，设r（x）＝f′（x）＝ex﹣csx，
则r′（x）＝ex+sinx＞0，
则函数r（x）＝f′（x）单调递增，
f′（﹣2nπ）＝e﹣2nπ﹣1＜0，，
∴，，
f（x）在上单调递减，上单调递增，
又f（﹣2nπ）＝e﹣2nπ＞0，，f（﹣（2n﹣1）π）＝e（1﹣2n）π＞0，
∴，f（x2n）＝0，
，f（x2n﹣1）＝0．
，
由于，﹣（4n﹣1）π﹣x2n＞x2n，，
∴f（﹣（4n﹣1）π﹣x2n）＞f（x2n﹣1）＝0，
由于f（x）在上单调递增，
∴﹣（4n﹣1）π﹣x2n＞x2n﹣1
∴x2n﹣1+x2n＜﹣（4n﹣1）π．
累加得．
证明：（3）设t（x）＝f′（x）＝ex﹣csx（x＞0），
t′（x）＝ex+sinx＞0，t（x）在（0，+∞）上单调递增，
即f′（x）＝ex﹣csx在（0，+∞）上单调递增，
设h（x）＝f（x+x1）﹣f（x1）﹣xf′（x1），（x＞0），
h′（x）＝f′（x+x1）﹣f′（x1），
由于f′（x）在（0，+∞）上单调递增，x+x1＞x1
∴f′（x+x1）＞f′（x1），h′（x）＞0，h（x）在（0，+∞）单调递增．
又h（0）＝0，
∴当x＞0时，h（x）＞0，
∴f（x+x1）﹣f（x1）﹣xf′（x1）＞0，
∴f（x+x1）＞f（x1）+xf′（x1），
因此f（x1+x2）＞f（x1）+x2f′（x1）恒成立，
∴，
∴．
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