
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- 人教版2023-2024学年七年级数学上册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破 1.1 正数和负数 试卷 0 次下载
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- 人教版2023-2024学年七年级数学上册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破 1.4 有理数的乘除法 试卷 0 次下载
- 人教版2023-2024学年七年级数学上册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破 第一章《有理数》同步单元基础与培优高分必刷卷(全解全析) 试卷 0 次下载
- 人教版2023-2024学年七年级数学上册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破 第一章《有理数》同步单元基础与培优高分必刷卷(考试版) 试卷 0 次下载
初中人教版1.2.1 有理数练习题
展开考点一:有理数的概念
⑴正整数、0、负整数统称为整数(0和正整数统称为自然数)
⑵正分数和负分数统称为分数
⑶正整数,0,负整数,正分数,负分数都可以写成分数的形式,这样的数称为有理数。
理解:只有能化成分数的数才是有理数。①π是无限不循环小数,不能写成分数形式,不是有理数。②有限小数和无限循环小数都可化成分数,都是有理数。3,整数也能化成分数,也是有理数
注意:引入负数以后,奇数和偶数的范围也扩大了,像-2,-4,-6,-8…也是偶数,-1,-3,-5…也是奇数。
考点二:有理数的分类
⑴按有理数的意义分类 ⑵按正、负来分
正整数 正整数
整数 0 正有理数
负整数 正分数
有理数 有理数 0 (0不能忽视)
正分数 负整数
分数 负有理数
负分数 负分数
总结:①正整数、0统称为非负整数(也叫自然数)
②负整数、0统称为非正整数
③正有理数、0统称为非负有理数
④负有理数、0统称为非正有理数
考点三:数轴
⒈数轴的概念
规定了原点,正方向,单位长度的直线叫做数轴。
注意:⑴数轴是一条向两端无限延伸的直线;⑵原点、正方向、单位长度是数轴的三要素,三者缺一不可;⑶同一数轴上的单位长度要统一;⑷数轴的三要素都是根据实际需要规定的。
2.数轴上的点与有理数的关系
⑴所有的有理数都可以用数轴上的点来表示,正有理数可用原点右边的点表示,负有理数可用原点左边的点表示,0用原点表示。
⑵所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来,但数轴上的点不都表示有理数,也就是说,有理数与数轴上的点不是一一对应关系。(如,数轴上的点π不是有理数)
3.利用数轴表示两数大小
⑴在数轴上数的大小比较,右边的数总比左边的数大;
⑵正数都大于0,负数都小于0,正数大于负数;
⑶两个负数比较,距离原点远的数比距离原点近的数小。
4.数轴上特殊的最大(小)数
⑴最小的自然数是0,无最大的自然数;
⑵最小的正整数是1,无最大的正整数;
⑶最大的负整数是-1,无最小的负整数
5.a可以表示什么数
⑴a>0表示a是正数;反之,a是正数,则a>0;
⑵a<0表示a是负数;反之,a是负数,则a<0
⑶a=0表示a是0;反之,a是0,,则a=0
考点四.相反数
⒈相反数
只有符号不同的两个数叫做互为相反数,其中一个是另一个的相反数,0的相反数是0。
注意:⑴相反数是成对出现的;⑵相反数只有符号不同,若一个为正,则另一个为负;
⑶0的相反数是它本身;相反数为本身的数是0。
2.相反数的性质与判定
⑴任何数都有相反数,且只有一个;
⑵0的相反数是0;
⑶互为相反数的两数和为0,和为0的两数互为相反数,即a,b互为相反数,则a+b=0
3.相反数的几何意义
在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数,是互为相反数;互为相反数的两个数,在数轴上的对应点(0除外)在原点两旁,并且与原点的距离相等。0的相反数对应原点;原点表示0的相反数。
说明:在数轴上,表示互为相反数的两个点关于原点对称。
4.相反数的求法
⑴求一个数的相反数,只要在它的前面添上负号“-”即可求得(如:5的相反数是-5);
⑵求多个数的和或差的相反数时,要用括号括起来再添“-”,然后化简(如;5a+b的相反数是-(5a+b)。化简得-5a-b);
⑶求前面带“-”的单个数,也应先用括号括起来再添“-”,然后化简(如:-5的相反数是-(-5),化简得5)
5.相反数的表示方法
⑴一般地,数a 的相反数是-a ,其中a是任意有理数,可以是正数、负数或0。
当a>0时,-a<0(正数的相反数是负数)
当a<0时,-a>0(负数的相反数是正数)
当a=0时,-a=0,(0的相反数是0)
考点五.绝对值
⒈绝对值的几何定义
一般地,数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值,记作|a|。
2.绝对值的代数定义
⑴一个正数的绝对值是它本身; ⑵一个负数的绝对值是它的相反数; ⑶0的绝对值是0.
可用字母表示为:
①如果a>0,那么|a|=a; ②如果a<0,那么|a|=-a; ③如果a=0,那么|a|=0。
可归纳为①:a≥0,<═> |a|=a (非负数的绝对值等于本身;绝对值等于本身的数是非负数。)
②a≤0,<═> |a|=-a (非正数的绝对值等于其相反数;绝对值等于其相反数的数是非正数。)
经典考题
如数轴所示,化简下列各数
|a|, |b| , |c| , |a-b|, |a-c| , |b+c|
解:由题知道,因为a>0 ,b<0,c<0, a-b>0, a-c>0, b+c<0,
所以|a|=a ,|b|=-b, |c|=-c ,|a-b|=a-b , |a-c|=a-c ,|b+c|=-(b+c)=-b-c
3.绝对值的性质
任何一个有理数的绝对值都是非负数,也就是说绝对值具有非负性。所以,a取任何有理数,都有|a|≥0。
即⑴0的绝对值是0;绝对值是0的数是0.即:a=0 <═> |a|=0;
⑵一个数的绝对值是非负数,绝对值最小的数是0.即:|a|≥0;
⑶任何数的绝对值都不小于原数。即:|a|≥a;
⑷绝对值是相同正数的数有两个,它们互为相反数。即:若|x|=a(a>0),则x=±a;
⑸互为相反数的两数的绝对值相等。即:|-a|=|a|或若a+b=0,则|a|=|b|;
⑹绝对值相等的两数相等或互为相反数。即:|a|=|b|,则a=b或a=-b;
⑺若几个数的绝对值的和等于0,则这几个数就同时为0。即|a|+|b|=0,则a=0且b=0。
(非负数的常用性质:若几个非负数的和为0,则有且只有这几个非负数同时为0)
经典考题
已知|a+3|+|2b-2|+|c-1|=0,求a+b+c的值
解:因为|a+3|≥0,|2b-2|≥0,|c-1|≥0,且|a+3|+|2b-2|+|c-1|=0
所以|a+3|=0 ,|2b-2|=0 ,|c-1|=0
即a=-3 ,b=1 ,c=1
所以a+b+c=-3+1+1=-1
4.有理数大小的比较
⑴利用数轴比较两个数的大小:数轴上的两个数相比较,左边的总比右边的小;
⑵利用绝对值比较两个负数的大小:两个负数比较大小,绝对值大的反而小;异号两数比较大小,正数大于负数。
5.绝对值的化简
①当a≥0时, |a|=a ; ②当a≤0时, |a|=-a
6.已知一个数的绝对值,求这个数
一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点到原点的距离,一般地,绝对值为同一个正数的有理数有两个,它们互为相反数,绝对值为0的数是0,没有绝对值为负数的数。如:|a|=5,则a=土5
题型一:有理数的概念
1.(2021·全国·七年级)这些数:,,,,,, 中,有理数有( )个
A.B.C.D.
2.(2021·湖南·花垣县华鑫学校七年级期中)在,﹣2,,3.14,,0.020020002中,有理数的个数是 ( )
A.2B.3C.4D.5
3.(2021·甘肃·白银市平川区第二中学七年级期中)在-3.5,227,0,π,0.6161161116…(相邻两个6之间1的个数逐次加1)中,有理数的个数为( )
A.1B.2C.3D.4
题型二:0的意义
4.(2022·全国·七年级课时练习)下列说法正确的是( )
A.0的倒数是0B.0大于所有正数C.0既不是正数也不是负数D.0没有绝对值
5.(2022·全国·七年级课时练习)下列关于“0”的叙述,正确的有( )
①0是正数与负数的分界; ②0是整数;③0只是表示没有;④0常用来表示某些量的基准.
A.1个B.2个C.3个D.4个
6.(2022·全国·七年级课时练习)下列说法错误的是( )
A.0是最小的自然数B.0既不是正数,也不是负数
C.是零上温度和零下温度的分界线D.海拔高度是0米表示没有高度
题型三:有理数的分类
7.(2022·江苏·泰州市姜堰区南苑学校七年级)下列说法正确的是( )
A.整数包括正整数和负整数B.零是整数,但它既不是正数,也不是负数
C.分数包括正分数、负分数和零D.一个数不是正数就是负数
8.(2021·黑龙江·肇源县第二中学七年级期中)下列说法正确的是( )
A.整数分为正整数和负整数B.有理数不包括小数
C.正分数和负分数统称为分数D.不带“”号的数就是正数
9.(2022·全国·七年级课时练习)下列说法不正确的是( )
A.既是正数、分数,也是有理数
B.0既不是正数,也不是负数,但是整数
C.-100既是负数,也是整数,同时是有理数
D.0既是非负数,也是非正数
题型四:数轴的三要素和表示
10.(2022·河北·张家口市桥西区东窑子中学七年级期末)下列四个选项中,所画数轴正确的是( )
A.B.
C.D.
11.(2022·河北秦皇岛·七年级期末)已知点A和点B在同一条数轴上,点A表示的数是-2,又知点B和点A相距3个单位,则点B表示的数是( )
A.-1或5B.-5C.1或-5D.1
12.(2022·河南信阳·七年级期末)在数轴上,一只蚂蚁从原点出发,它第一次向右爬行了1个单位长度,第二次接着向左爬行了2个单位长度,第三次接着向右爬行了3个单位长度,第四次接着向左爬行了4个单位长度,如此进行了2021次,蚂蚁最后在数轴上对应的数是( )
A.1011B.C.505D.
题型五:利用数轴比较大小
13.(2022·甘肃定西·七年级阶段练习)、两数在数轴上的位置如图,设,,,,则下列各式中正确的是( )
A.B.
C.D.
14.(2022·新疆塔城·七年级期末)有理数a,b在数轴上对应的位置如图所示,则下列各式①;②;③;④;⑤;一定成立的有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
15.(2021·福建三明·七年级期末)已知有理数,在数轴上表示的点如图所示,则下列结论中正确的是( )
A.B.
C.小于D.
题型六:数轴上的距离问题
16.(2022·全国·七年级课时练习)如图,点A在数轴上对应的数为-3,点B对应的数为2,点P在数轴上对应的是整数,点P不与A、B重合,且PA+PB=5,则满足条件的P点对应的整数有( )
A.2个B.3个C.4个D.5个
17.(2022·河南商丘·七年级阶段练习)数轴上表示1,的点分别为A,B,点A是BC的中点,则点C所表示的数是( )
A.B.C.D.
18.(2022·江苏·七年级专题练习)如图,数轴上点D对应的数为d,则数轴上与数﹣3d对应的点可能是( )
A.点AB.点BC.点DD.点E
题型七:数轴上的动点问题
19.(2022·全国·七年级)如图,直线l上有三点A,B,C,,,点P,Q分别从点A,B同时出发,向点C移动,点P的速度是m个单位长/秒,点Q的速度是n个单位长/秒,,那么( )
A.点P先到B.点Q先到
C.点P,Q同时到D.无法确定哪点先到
20.(2022·全国·七年级单元测试)如图,已知A,B(B在A的左侧)是数轴上的两点,点A对应的数为8,且AB=12,动点P从点A出发,以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动,在点P的运动过程中,M,N始终为AP,BP的中点,设运动时间为t(t>0)秒,则下列结论中正确的有( )
①B对应的数是-4;②点P到达点B时,t=6;③BP=2时,t=5;④在点P的运动过程中,线段MN的长度不变
A.1个B.2个C.3个D.4个
21.(2022·全国·七年级)如图,数轴上的点O和点A分别表示0和10,点P是线段上一动点.点P从点O出发沿的方向以每秒2个单位的速度向A运动,B是线段的中点,设点P运动时间为t秒(t不超过5秒).若点P在运动过程中,当时,则运动时间t的值为______.
A.秒B.秒C.3秒或7秒D.秒或秒
题型八:相反数问题
22.(2022·甘肃·永昌县第六中学七年级期末)﹣的相反数是( )
A.3B.﹣3C.D.﹣
23.(2022·全国·七年级专题练习)下列各组数中,互为相反数的是( )
A.-2020与+(-2020)B.-(-2020)与2020
C.-(+2020)与+(-2020)D.-2020与-(-2020)
24.(2020·河南南阳·七年级阶段练习)下列各组数中,互为相反数的是( )
A.与B.与
C.与D.与
题型九:相反数的应用
25.(2022·全国·七年级单元测试)如图,在不完整的数轴上,点A,B分别表示数a,b,且a与b互为相反数,若AB=8,则点A表示的数为( )
A.-4B.0C.4D.8
26.(2022·全国·七年级课时练习)如图是一个正方体的展开图,该正方体的相对两面上的数互为相反数,下列判断正确的是( )
A.A代表-4B.B代表2C.C代表2D.B代表-3
27.(2021·江苏淮安·七年级期中)如图,若代数式2a的相反数是-1,则表示a的值的点落在( )
A.段①B.段②C.段③D.段④
题型十:绝对值的概念和求法
28.(2022·甘肃·民勤县第六中学七年级期末)下列说法正确的是( )
A.互为相反数的两个数的绝对值相等B.有理数的绝对值一定比0大
C.若两个数的绝对值相等,则这两个数相等D.有理数的相反数一定比0小
29.(2022·云南红河·七年级期末)在,2,0.5,0这四个数中,绝对值最小的数是( )
A.B.2C.0.5D.0
30.(2022·全国·七年级专题练习)若a是最大的负整数,b是相反数等于它本身的数,c的绝对值是1,则a+b﹣c=( )
A.﹣1或0B.0或﹣2C.﹣2D.﹣1
题型十一:化简绝对值
31.(2022·江苏扬州·七年级期末)已知a,b的位置如图,则的值为( )
A.0B.-2bC.-2aD.2b-2a
32.(2022·四川广元·七年级期末)已知有理数a、b在数轴上表示的点如图所示,化简|b﹣a|﹣|a+2b|+|﹣a﹣b|=( )
A.aB.﹣a﹣4bC.3a+2bD.a﹣2b
33.(2022·全国·七年级课时练习)有理数a、b、c在数轴上位置如图,则的值为( ).
A.B.C.0D.
一、单选题
34.(2022·浙江·七年级开学考试)在﹣5,3,0,﹣,100,0.4中非负整数有( )
A.4个B.3个C.2个D.1个
35.(2022·全国·七年级专题练习)有理数a,b在数轴上的对应点的位置如图所示,则正确的结论是( )
A.|a|>|b|B.a+b>0C.a﹣b>0D.ab>0
36.(2022·河北·石家庄市长安区阳光未来实验学校七年级期末)下列各组数中,互为相反数的是( )
A.2和B.2和−C.1和−1D.2和2
37.(2021·全国·七年级)将下列各数填入相应的圈内:
,,,,,,,.
38.(2022·全国·七年级课时练习)有理数a、b、c在数轴上的位置如图.
(1)用“>”或“<”填空:b﹣c 0,a+b+3 0, 0.
(2)化简:.
一:选择题
39.(2022·河南·延津县清华园学校七年级阶段练习)正方形纸板ABCD在数轴上的位置如图所示,点A,D对应的数分别为1和0,若正方形纸板ABCD绕着顶点顺时针方向在数轴上连续无滑动翻转,则在数轴上与2022对应的点是( )
A.DB.CC.BD.A
40.(2022·全国·七年级课时练习)如图,,是有理数,它们在数轴上的对应点的位置如图所示,把,,,按照从大到小的顺序排列,正确的是( )
A.B.
C.D.
41.(2022·河南郑州·七年级期末)已知有理数a,b,c在数轴上对应的点的位置如图所示,化简( )
A.B.C.D.
42.(2022·全国·七年级课时练习)课堂上老师要求就数“”发表自己的意见,四位同学共说了下列四句话:
①是整数,但不是自然数;②既不是正数,也不是负数;
③不是整数,是自然数;④没有实际意义.
其中正确的个数是( )
A.B.C.D.
43.(2021·全国·七年级课时练习)在数 ,,,,,,(每两个 中依次多一个 )中,有理数有( )
A. 个B. 个C. 个D. 个
44.(2022·全国·七年级课时练习)如果,则a的值为 ( )
A.正数B.负数C.非正数D.非负数
45.(2022·全国·七年级课时练习)下列说法:①如果一个数的绝对值是它的相反数,那么这个数一定是负数;②任何有理数的绝对值都不小于它本身;③一个数的绝对值越大,在数轴上表示这个数的点离原点越远;④如果与的绝对值相等,那么与相等.正确的个数有( )个
A.1个B.2个C.3个D.4个
46.(2022·广西百色·七年级期末)如图,根据有理数a,b,c在数轴上的位置,下列关系正确的是( )
A.B.
C.D.
47.(2022·全国·七年级课时练习)如图,数轴上点M,P,N分别表示数m,m+n,n,那么原点的位置是( )
A.在线段MP上B.在线段PN上
C.在点M的左侧D.在点N的右侧
二、填空题
48.(2022·江苏·泰州市姜堰区南苑学校七年级)如图所示数轴,则数a,b,,中最小的是_______.
49.(2022·全国·七年级专题)已知a、m、n均为有理数,且满足|a+m|=6,|n﹣a|=3,那么|m+n|的值为 _________.
50.(2022·陕西·西安铁一中分校七年级期末)实数a,b满足|a+1|+|2﹣a|=8﹣|b+3|﹣|b+8|,则a2+b2的最小值为_____.
51.(2022·全国·七年级课时练习)在数轴上从左到右有,,三点,其中,,如图所示.设点,,所对应数的和是.
(1)若以点为原点,则表示的数是______;
(2)若以的中点为原点,则的值是______.
52.(2022·四川广安·七年级期末)如图,在数轴上,点,点表示的数分别是,10,点以1.2个单位/秒的速度从出发沿数轴向右运动,同时点以3个单位/秒的速度从点出发沿数轴在,之间往返运动.当点到达点时,点表示的数是________.
53.(2022·全国·七年级)式子|x-1|+|x﹣2|+|x-3|+|x﹣4|+|x-5|+|x﹣6|+|x-7|+|x﹣8|+|x-9|+|x﹣10|的最小值是_________.
三、解答题
54.(2022·广西·柳州二十一中七年级期中)在数轴上表示下列各数,并用“<”把它们连接起来
1.5 ,0 ,4 , , ―3
55.(2022·全国·七年级课时练习)把下列各数分类,并填在表示相应集合的大括号里:
-2,,0.8,12,0,-2.1,,17%,0.4.
(1)正数集合:{ }
(2)整数集合:{ }
(3)分数集合:{ }
(4)负数集合:{ }
(5)正整数集合:{ }
(6)负分数集合:{ }
56.(2022·安徽·定远县第一初级中学七年级期末)如图,已知A,B两点在数轴上,点A表示的数为-10,,点M以每秒3个单位长度的速度从点A向右运动.点N以每秒2个单位长度的速度从点O向右运动(点M、点N同时出发)
(1)数轴上点B对应的数是______.
(2)经过几秒,点M、点N重合?
57.(2022·黑龙江·哈尔滨市第十七中学校七年级)下面的材料:
如图,若线段在数轴上,A,B点表示的数分别为a,b(),则线段的长(点A到点B的距离)可表示为.
请用上面材料中的知识解答下面的问题:
如图,一个点从数轴上的原点开始,先向左移动到达A点,再向左移动到达B点,然后向右移动到达C点,用1个单位长度表示.
(1)求出线段的长度;
(2)若数轴上有一点D,且,则点D表示的数是 ;
(3)若将点A向右移动,请用代数式表示移动后的点表示的数.
(4)若点B以每秒的速度向左移动至点,同时点A,点C分别以每秒和的速度向右移动至点,点,设移动时间为t秒,试探索:的值是否会随着t的变化而变化?请说明理由.
58.(2022·湖南湘西·七年级期末)在数轴上点表示数,点表示数,表示点和点之间的距离,且,满足,是数轴上的一个动点.表示原点.
(1)求,的值,并求出,之间的距离;
(2)已知线段上有点且,当数轴上有点满足时,求点对应的数.
(3)动点从原点开始第一次向左移动个单位长度,第二次向右移动个单位长度,第三次向左移动个单位长度,第四次向右移动个单位长度,… 点能移动到与或重合的位置吗?若都不能,请直接回答,若能,请求出第几次移动与哪一个点重合?
1.B【分析】根据有理数的定义,数出有理数的个数即可求解.
【详解】解:在,,,,,,中,有理数有,,,,,共5个,
故选B.
【点睛】本题考查了有理数的定义,掌握有理数的定义是解题的关键.有理数是整数(正整数、0、负整数)和分数的统称.
2.D【分析】根据有理数的定义判断即可.
【详解】解:是无理数,,,-2, 3.14,0.020020002都是有理数
故选:D.
【点睛】本题考查有理数的定义:整数和分数统称为有理数,准确理解定义是解题关键.
3.C【分析】有理数是整数与分数的统称,即有限小数和无限循环小数是有理数,而无限不循环小数是无理数.由此即可判定选择项.
【详解】解:在-3.5,227,0,π,0.6161161116…(相邻两个6之间1的个数逐次加1)中,
有理数的个数为-3.5,227,0,共3个,
故选:C.
【点睛】本题考查了有理数,掌握有理数的定义是解题的关键.
4.C【分析】根据0的特殊性质,依次判断各项后即可解答.
【详解】A、0没有倒数,故选项错误,不符合题意;
B、0小于所以正数,故选项错误,不符合题意;
C、0既不是正数也不是负数,故选项正确,符合题意;
D、0的绝对值是0,故选项错误,不符合题意;
故选:C.
【点睛】本题考查了0的特殊性质,熟知0的特殊性质是解决问题的关键.
5.C【分析】根据0不是正数也不是负数,是自然数,是整数,是有理数的知识点找到正确选项即可
【详解】①0是正数与负数的分界,正确,
②0是整数,正确,
③在有理数中,0的意义不仅表示没有,在进行运算时,0还有表示占位的意义,0还表示正整数与负整数的分界等,故错误,
④0还常用来表示某种量的基准,正确,
正确的有3个
故选C
【点睛】本题考查了0的意义;掌握0的相关知识点是解决本题的关键.
6.D【分析】根据有理数0的特殊性质解答.
【详解】解:A、0是最小的自然数,正确,故本选项不符合题意,
B、0既不是正数,也不是负数,正确,故不符合题意;
C、0℃是零上温度和零下温度的分界线,正确,故本选项不符合题意,
D、海拔高度为0米表示高度和参考高度相等,故本选项符合题意,
故选:D.
【点睛】本题主要考查0这个数的知识点,①既不是正数,也还是负数;②是整数;③是最小的自然数;④是正数和负数分界.
7.B【分析】根据有理数的分类依据即可判断.
【详解】A.整数包括正整数、负整数和零,故该选项说法错误,不符合题意;
B.零是整数,但不是正数,也不是负数,故该选项说法正确,符合题意;
C.分数包括正分数、负分数,故该选项说法错误,不符合题意;
D.一个数不是正数就是负数,还有零,故该选项说法错误,不符合题意.
故选:B.
【点睛】此题主要考查有理数的分类,解题的关键是熟知有理数的分类特点.
8.C【分析】直接利用有理数的相关概念分析得出答案.
【详解】解:A.整数分为正整数和负整数和零,故此选项错误;
B.有理数包括整数和分数,故此选项错误;
C.正分数和负分数统称为分数,正确;
D.不带“”号的数就是正数或零,故此选项错误;
故选:C.
【点睛】此题主要考查了有理数的分类,正确把握相关定义是解题关键.
9.A【分析】根据有理数的分类,逐项分析判断即可
【详解】A. 是正数、但不是分数,也不是有理数,故该选项不正确,符合题意;
B. 0既不是正数,也不是负数,但是整数,故该选项正确,不符合题意;
C. -100既是负数,也是整数,同时是有理数,故该选项正确,不符合题意;
D. 0既是非负数,也是非正数,故该选项正确,不符合题意;
故选A
【点睛】本题考查了有理数的分类,掌握有理数的分类是解题的关键.
10.D【分析】把有原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴,根据数轴的定义即可判断.
【详解】A.没有原点,故A错误;
B.单位长度不统一,故B错误;
C.原点左边的数大小标注错误,故C错误;
D.具备数轴的三个要素,故D正确;
故选:D.
【点睛】本题考查数轴的概念,把握数轴的三个要素是正确判断的前提.
11.C【分析】分两种情况讨论:当点B在点A的右侧时;当点B在点A的左侧时,即可求解.
【详解】解:当点B在点A的右侧时,点B表示的数是-2+3=1;
当点B在点A的左侧时,点B表示的数是-2-3=-5;
综上所述,点B表示的数是1或-5.
故选:C.
【点睛】本题主要考查了数轴上两点间的距离,利用分类讨论思想解答是解题的关键.
12.A【分析】先得到前四次蚂蚁到达的位置,依此类推得到一般性规律,即可得到结果.
【详解】解:蚂蚁第一次到达的位置为1,
蚂蚁第二次到达的位置为-1,
蚂蚁第三次到达的位置为2,
蚂蚁第四次到达的位置为-2,
……
依此类推,第2n-1次到达n,
第2n次到达-n,
故第2021次到达1011.
故选:A.
【点睛】本题考查了数轴,数轴上两点间的距离,弄清题中的规律是解本题的关键.
13.B【分析】先对数轴上,两点的位置估算其取值范围,再利用实数运算法则求,,,的值就可以比较其大小.
【详解】解:由数轴上,两点的位置可知,,
设,,
则;
;
;
;
,
,
故选:.
【点睛】此题主要考查了实数与数轴之间的对应关系.解答此题的关键是根据数轴上未知数的位置估算其大小,再设出符合条件的数值进行计算即可比较数的大小.
14.C【分析】先根据a、b在数轴上的位置判断a、b的符号及绝对值的大小,再对各个选项进行判断即可.
【详解】由图知,
,故①正确;
,故②错误;
,故③错误;
,故④正确;
,故⑤正确.
综上所述:正确的结论有①④⑤,共3个,
故选:C.
【点睛】本题考查数轴及绝对值的性质,熟知数轴上右边总比左边大是解题关键.
15.A【分析】由数轴上,右边的数总是大于左边的数,得到a>0>b,且,再根据有理数的运算法则解答.
【详解】解:根据数轴可知a>0>b,且,
,,故A正确,B错误,
,故C错误,
,故D错误,
故选:A.
【点睛】本题考查数轴上两数比较大小及有理数的运算法则,是基础考点,掌握数形结合的思想是解题关键.
16.C【分析】由图可知,到的距离恰好为,故点在点与点之间,找出与之间的整数即可.
【详解】解:点表示的数是,点表示的数是,且,
点在线段上,不与、重合,
点对应的整数有,,,,共个.
故选:C.
【点睛】本题考查了数轴的应用,熟练掌握数轴上两点间距离的计算方法是解题的关键.
17.C【分析】首先根据数轴上,的对应点分别是点和点,可以求出线段的长度,然后根据中点的性质即可解答.
【详解】解:数轴上,的对应点分别是点和点,
,
是线段的中点,
,
点的坐标为:.
故选:C.
【点睛】本题考查了数轴上两点之间的距离,关键是由为中点得到是解题的关键.
18.B【分析】根据d<1,得到﹣3d在原点的左侧,且到原点的距离小于3而大于2,对照数轴即可得出答案.
【详解】解:∵d<1,
∴﹣3d在原点的左侧,且到原点的距离小于3而大于2,
则观察数轴可知:数轴上与数﹣3d对应的点可能是B;
故选:B.
【点睛】本题考查了数轴,数轴上点与原点的距离,数形结合是解题的关键.
19.B【分析】根据题意表示出P运动所需的时间为,Q运动所需的时间为,再根据,并利用不等式的基本性质进行判断即可.
【详解】由题意得,P运动所需的时间为,Q运动所需的时间为,
,
,
,
即Q运动所需的时间短,
所以,点Q先到,
故选:B.
【点睛】本题考查了不等式的基本性质和数轴,正确理解题意,熟练掌握知识点是解题的关键.
20.C【分析】①根据两点间距离进行计算即可;
②利用路程除以速度即可;
③分两种情况,点P在点B的右侧,点P在点B的左侧,由题意求出AP的长,再利用路程除以速度即可;
④分两种情况,点P在点B的右侧,点P在点B的左侧,利用线段的中点性质进行计算即可.
【详解】解:设点B对应的数是x,
∵点A对应的数为8,且AB=12,
∴8-x=12,
∴x=-4,
∴点B对应的数是-4,
故①正确;
由题意得:
12÷2=6(秒),
∴点P到达点B时,t=6,
故②正确;
分两种情况:
当点P在点B的右侧时,
∵AB=12,BP=2,
∴AP=AB-BP=12-2=10,
∴10÷2=5(秒),
∴BP=2时,t=5,
当点P在点B的左侧时,
∵AB=12,BP=2,
∴AP=AB+BP=12+2=14,
∴14÷2=7(秒),
∴BP=2时,t=7,
综上所述,BP=2时,t=5或7,
故③错误;
分两种情况:
当点P在点B的右侧时,
∵M,N分别为AP,BP的中点,
∴MP=AP,NP=BP,
∴MN=MP+NP
=AP+BP
=AB
=×12
=6,
当点P在点B的左侧时,
∵M,N分别为AP,BP的中点,
∴MP=AP,NP=BP,
∴MN=MP-NP
=AP-BP
=AB
=×12
=6,
∴在点P的运动过程中,线段MN的长度不变,
故④正确;
所以,上列结论中正确的有3个,
故选:C.
【点睛】本题考查了数轴,根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键.
21.D【分析】先求出点B和动点P所表示的数,再根据PB=2列方程求解即可.
【详解】解:∵B是线段OA的中点,
∴点B表示的数是5,
∵动点P所表示的数是2t,PB=2,
∴|2t−5|=2,
∴2t−5=−2或2t−5=2,
解得t=或.
故选:D.
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用以及数轴上点的位置关系,找出等量关系列出方程是解题的关键.
22.C【分析】根据相反数的定义即可求解,相反数的定义是:如果两个数只有符号不同,我们称其中一个数为另一个数的相反数,特别地,0的相反数还是0.
【详解】解:的相反数是.
故选C.
【点睛】本题考查了求一个数的相反数,掌握相反数的定义是解题的关键.
23.D【分析】根据相反数的定义依次进行判断即可.
【详解】解:A.根据去括号法则以及相反数的定义,+(-2020)=-2020,不符合题意;
B.根据去括号法则以及相反数的定义,-(-2020)=2020,不符合题意;
C.根据去括号法则以及相反数的定义,-(+2020)=-2020,+(-2020)=-2020,不符合题意;
D.根据去括号法则以及相反数的定义,-(-2020)=2020,故-2020与-(-2020)互为相反数,符合题意.
故选:D.
【点睛】本题考查相反数的定义,熟练地掌握相关知识是解决问题的关键.
24.C【分析】直接利用相反数的定义分析得出答案.
【详解】解:A.-[+(-4.9)]=4.9与4.9,两数相等,故此选项不符合题意;
B.2.3与2.31两数相加不为零,故此选项不符合题意;
C.-(-3.2)=3.2与-3.2,互为相反数,故此选项符合题意;
D.-(+1)=-1与+(-1)=-1,两数相等,故此选项不符合题意;
故选:C.
【点睛】此题主要考查了相反数,正确掌握相关定义是解题关键.
25.A【分析】根据AB=8,且点A,B分别表示数a, b互为相反数,可知A,B两点到原点的距离相等,进而可求出B点表示的数,进而可求出A点表示的数.
【详解】解:因为AB=8,且点A,B分别表示数a, b互为相反数,
所以A,B两点到原点的距离相等,
则B点表示的数为:8÷2=4,
则A点表示的数为:﹣4,
故选:A.
【点睛】本题考查相反数的几何意义,数轴上两点之间的距离,能够熟练掌握数形结合思想是解决本题的关键.
26.C【分析】根据该正方体的相对两面上的数互为相反数,可求出A、C的值,再代入解答.
【详解】解:由正方形的平面展开图可知,
A的对面是3,A为-3,B的对面是4,B为-4,C的对面是-2,C为2
故选项A、B、D均错误,选项C正确,
故选:C.
【点睛】本题考查正方体相对面上的字、正方形的平面展开图、相反数的定义等知识,是基础考点,掌握相关知识是解题关键.
27.B【分析】根据相反数的定义求得的值,进而结合数轴即可求解.
【详解】解:∵代数式2a的相反数是-1,
∴,
,
,
则表示a的值的点落在段②,
故选B.
【点睛】本题考查了相反数的定义,数轴上的点表示数,数形结合是解题的关键.
28.A【分析】根据绝对值和相反数的定义逐项判断即可.
【详解】解:A、互为相反数的两个数的绝对值相等,正确,符合题意;
B、因为有理数0的绝对值等于0,所以有理数的绝对值一定比0大错误,不符合题意;
C、若两个数的绝对值相等,则这两个数相等或互为相反数,所以此选项说法错误,不符合题意;
D、因为小于0的有理数的相反数大于0,所以此选项说法错误,不符合题意,
故选:A.
【点睛】本题考查相反数和绝对值,属于基础题型,注意对基础概念的理解是解此类题的关键.
29.D【分析】先求出各个数的绝对值,再比较即可.
【详解】解:∵||=,|2|=2,|0.5|=0.5,|0|=0,
∴在,2,0.5,0这四个数中,绝对值最小的数是0,
故选:D.
【点睛】本题考查了绝对值和有理数的大小比较,能求出每个数的绝对值是解此题的关键.
30.B【分析】根据题意a是最大的负整数,a是-1;b=0;c的绝对值是1,c=±1。
【详解】解:由题意得:a=﹣1,b=0,c=±1,
∴a+b﹣c
=﹣1+0±1
=0或﹣2,
故选:B.
【点睛】此题主要考查了相反数和绝对值等知识,熟记最大负整数是-1,相反数的定义,绝对值的定义是解题的关键。
31.B【分析】结合数轴可知:,进一步可知:,,再去绝对值即可.
【详解】解:由图可知:,
∴,,
∴.
故选:B
【点睛】本题考查根据数轴上的点判断式子的正负,去绝对值,解题的关键是根据数轴得出,得出,.
32.A【分析】结合数轴知b<-1<0 0,再利用绝对值的性质去绝对值符号、合并即可得出答案.
【详解】由数轴知b<-1<0∴b- a< 0,a+2b< 0,-a-b> 0,
则原式= a-b+a+2b-a- b= a,
故选:A.
【点睛】本题主要考查数轴,解题的关键是结合数轴判断出b- a、a+ 2b、-a - b与0的大小.
33.A【分析】根据数轴,确定每个数的属性,每个代数式的属性,后化简即可.
【详解】根据数轴上点的位置得:,且,
则,,,
则.
故选A.
【点睛】本题考查了数轴和有理数的大小比较与绝对值的化简,掌握获取数轴信息,熟练化简是解题的关键.
34.B【分析】根据有理数的分类,非负整数包含正整数或0,可得非负整数的个数.
【详解】解:∵﹣5,﹣,是负数,0.4是分数,3,0,100,是非负整数,
∴非负整数个数有3个,
故选:B.
【点睛】本题考查了有理数的分类,掌握有理数的分类是解题关键.
35.C【分析】由数轴可得:,,再逐一判断即可.
【详解】解:由数轴可得:0<a<1,﹣2<b<﹣1,
A.0<|a|<1,1<|b|<2,所以|a|<|b|,故选项A不符合题意;
B.﹣2<a+b<0,故选项B不符合题意;
C.1<a﹣b<3,则a﹣b>0,故选项C符合题意;
D.ab<0,故选项D不符合题意.
故选:C.
【点睛】本题考查利用数轴比较有理数的大小,绝对值的含义,有理数的加减法,有理数的乘法的结果符号确定,熟练掌握这些基础知识是解题的关键.
36.C【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数,可得答案.
【详解】解:A. 2和互为倒数,不合题意;
B. 2和−互为负倒数,不合题意;
C. 1和−1互为相反数,符合题意;
D. 2和2相等,不合题意,
故选:C.
【点睛】本题考查了相反数,利用了相反数的定义,只有符号不同的两个数互为相反数.
37.见解析【分析】根据有理数的分类填写即可.有理数是整数(正整数、0、负整数)和分数的统称.
【详解】解:如图
【点睛】本题考查了有理数的分类,掌握有理数的定义与分类是解题的关键.
38.(1)<,>,>
(2)
【分析】(1)当数轴方向向右时,右边的数总比左边的数大,据此逐个判断即可;
(2)根据绝对值的含义和求法,化简即可.
(1)
解:由图可得,,,
∴b﹣c<0,a+b+3>0,>0;
(2)
解:由(1)可得,,,
又∵ ,
∴,,,
∴原式
.
【点睛】此题主要考查了有理数比较大小的方法、绝对值的含义和求法,要熟练掌握,解决此题的关键是:当数轴方向向右时,右边的数总比左边的数大.
39.C【分析】分析出前几次点对应的数值,找到规律,即可求解.
【详解】由图可知,
旋转一次:
再旋转一次:
再旋转一次:
再旋转一次:
依次循环
发现:四个点依次循环,
对应的点为
故选:C.
【点睛】此题主要考查数轴上点的规律探索,解题的关键是理解题意并找到点的运动轨迹.
40.A【分析】在数轴上表示出-a,-b,根据数轴上右边的数总比左边的大即可得出答案.
【详解】解:如图,
∴b>-a>a>-b,
故选:A.
【点睛】本题考查了数轴,有理数的大小比较,掌握数轴上右边的数总比左边的大是解题的关键.
41.B【分析】根据数轴,得;,,,根据绝对值的性质,即可.
【详解】∵且,,
∴;;
∴
故选:B.
【点睛】本题考查了绝对值的知识,解题的关键是掌握一个负数的绝对值是它的相反数,绝对值的几何意义.
42.D【分析】分别依据整数的定义、0的性质、和0的意义进行判断即可.
【详解】解:自然数中包括0,当然0也是整数,所以①③都不正确;
0既不是正数也不是负数,所以②正确;
而在实际生活中0具有实际的意义,如0℃,所以④不正确;
故正确的只有②,
故选:D.
【点睛】本题主要考查对0的理解,解题的关键是知道0是整数,也是自然数;0既不是正数也不是负数;0具有实际的意义.
43.C【分析】根据有理数的定义,即可求解.有理数是整数(正整数、0、负整数)和分数的统称.
【详解】解:在数 ,,,,,,(每两个 中依次多一个 )中,有理数有,,,,,,共6个
故选C.
【点睛】本题考查了有理数的定义,掌握有理数的定义是解题的关键.
44.C【分析】根据题意,结合绝对值的性质分析,即可得到答案.
【详解】解:∵,
∴,
∴,即a是非正数.
故选:C.
【点睛】本题主要考查了绝对值的知识,解题的关键是理解并掌握绝对值和不等式的性质.
45.B【分析】根据相反数的定义和绝对值的意义即可解答.
【详解】如果一个数的绝对值是它的相反数,那么这个数一定是负数, 故说法错误,不符合题意;
任何有理数的绝对值都不小于它本身, 故说法正确,符合题意;
一个数的绝对值越大,在数轴上表示这个数的点离原点越远,故说法正确,符合题意;
如果与的绝对值相等,那么与相等,故说法错误,不符合题意.
正确的个数有2个
故选:B.
【点睛】此题考查了绝对值的意义和相反数的定义,解题的关键是熟悉相关概念并且会应用.
46.A【分析】数轴上右边的数大于左边的数,根据数在数轴上对应的点的左右位置可得答案.
【详解】解:根据数轴可得:
故选A
【点睛】本题考查的是利用数轴比较有理数的大小,掌握“数轴上右边的数大于左边的数”是解本题的关键.
47.A【分析】由点M,P,N的位置可知,m和n的符号相反,则m<0<n,且|m|<|n|,结合数轴的定义,可知原点一定在MP上,且靠近点M.
【详解】解:由点M,P,N的位置可知,m<0<n,且PN<PM,
∴n-(m+n)<(m+n)-m,即-m<n,
∴|m|<|n|,
∴m+n>0,
∴原点一定在PM上,且靠近点M.
故选:A.
【点睛】本题主要考查数轴的作用之一,数轴表示数等内容,本题的关键是利用有理数的加法法则得出m+n的符号是解题关键.
48.–b【分析】根据a,b在数轴上的位置确定a,b的符号及它们的绝对值即可得出答案.
【详解】解:由图可知a<0<b,且|b|>|a|,
∴-b<a<-a<b,
∴最小的是-b,
故答案为:-b.
【点睛】本题主要考查实数的大小比较,关键是要能根据a,b在数轴上的位置确定出-a,-b在数轴上的位置.
49.3或9##9或3【分析】根据绝对值的意义,求出m=-a±6,n=a±3,进而得到m+n=±6±3,再分情况讨论即可求解.
【详解】解:∵|a+m|=6,|n﹣a|=3,
∴a+m=±6,n-a=±3,
∴m=-a±6,n=a±3,
∴m+n=±6±3,
∴①,
②;
③,
④,
故答案为:3或9.
【点睛】本题主要考查了绝对值的相关知识,掌握绝对值的意义是解答本题的基础,解答本题需要注意分类讨论的思想以及整体代入的思想.
50.9【分析】利用绝对值的定义:“绝对值代表与原点的距离”可知答案.
【详解】解:,
,
表示到,2的距离与到,的距离之和为8,
时,,
时,,
,,
,
故答案为:9.
【点睛】本题考查了绝对值,解题的关键是理解绝对值的意义在进行求解.
51. 3 -2【分析】根据数轴上两点之间的距离进行解答即可.
【详解】解:(1)∵点为原点,,,
∴,
∴点C表示的数为3,
(2)∵以的中点为原点,,
∴点B表示的数为-1,点C表示的数为1,
又,
∴点A表示的数为-2,
∴x=-2+(-1)+1=-2.
故答案为:3,-2.
【点睛】本题考查数轴上两点之间的距离,理解数轴上两点之间的距离等于两点差的绝对值是解题关键.
52.1【分析】先求出点P到达点B所用时间,从而可知Q运动的路程,即可得到Q表示的数.
【详解】解:∵点A,点B表示的数分别是-8,10,
∴AB=10-(-8)=18,
∴点P到达点B所用时间是18÷1.2=15(秒),
∴Q所运动的路程为15×3=45,
∴Q运动到A后,又返回到了B,又向A运动了45-18×2=9个单位,
∴Q表示的数是10-9=1,
故答案为:1.
【点睛】本题考查数轴上点表示的数,计算出Q运动的路程是解题的关键.
53.25【分析】观察已知条件可以发现,|x−a|表示x到a的距离,要使题中式子取得最小值,则应该找出与最小数和最大数距离相等的x的值,此时式子得出的值则为最小值.
【详解】解:由题意可得:当x位于5、6之间,即时,代数式|x-1|+|x﹣2|+|x-3|+|x﹣4|+|x-5|+|x﹣6|+|x-7|+|x﹣8|+|x-9|+|x﹣10|的值最小,则最小值为:
故答案为:25.
【点睛】本题主要考查了绝对值的性质及数形结合求最值问题,掌握|x−a|表示x到a的距离,要使题中式子取得最小值,则应该找出x的值.
54.数轴上表示见解析,-3<<0<1.5<4【分析】先在数轴上表示出各个数,再比较即可.
【详解】如图所示:
根据“在数轴上表示的数,右边的数总比左边的数大”可得:
-3<<0<1.5<4.
【点睛】考查了数轴和实数的大小比较,解题关键是能正确在数轴上表示出各个数和运用了“在数轴上表示的数,右边的数总比左边的数大”比较数的大小.
55.(1),0.8,12,17%,0.4
(2)-2,12,0
(3),0.8, -2.1,,17%,0.4
(4)-2, -2.1,
(5)12
(6)-2.1,
【分析】根据有理数的定义及分类解答.
(1)
解:正数集合:{ ,0.8,12,17%,0.4 }
(2)
整数集合:{ -2,12,0 }
(3)
分数集合:{ ,0.8, -2.1,,17%,0.4 }
(4)
负数集合:{ -2, -2.1, }
(5)
正整数集合:{ 12 }
(6)
负分数集合:{ -2.1, }
【点睛】本题考查有理数及其分类,是基础考点,掌握相关知识是解题关键.
56.(1)30
(2)10
【分析】(1)根据点A表示的数为-10,OB=3OA,可得点B对应的数;
(2)点M、点N重合时,即点M追上点N,此时两点在数轴上的运动路程之差为10,以此列式即可求出.
(1)
解:OB=3OA=30.
故B点对应的数是30.
(2)
点M、点N重合时,此时两点在数轴上的运动路程之差为10,
设时间为t秒,则有
3t-2t=10
解得:t=10
故经过10秒,点M、点N重合.
【点睛】此题主要考查了一元一方程的应用,解题关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的条件,找出合适的等量关系,列出方程,再求解.
57.(1)5cm
(2)-5或3
(3)
(4)不变,理由见解析
【分析】(1)先确定点A,C表示的数,利用公式计算可得AC的长度;
(2)设点D表示的数是a,由绝对值的意义可得,计算即可;
(3)根据点移动的规律解答即可;
(4)用代数式表示出P2P3和P1P2,再相减即可判断.
(1)
解:A点为0-1=-1,C点为0-1-2+7=4,
∴;
(2)
设点D表示的数是a,由绝对值的意义可得,
∴a=-5或3,
故答案为:-5或3;
(3)
移动后的点表示的数是;
(4)
不变,理由如下:
点B表示的数是0-1-2=-3,
根据题意得,表示的数是,表示的数是,表示的数是,
∴,,
∴,
∴的固定值为3,不会随着t的变化而变化.
【点睛】此题考查了数轴上两点之间的距离,数轴上的动点问题,数轴上点的移动规律,绝对值的意义,正确理解数轴上两点之间的距离是解题的关键.
58.(1),,
(2)点对应的数为或
(3)点在数轴上对应的实数为,点在第次移动时与点重合;点在数轴上对应的实数为,点与点不重合
【分析】(1)先根据非负数的性质求出,的值,在数轴上表示出,的位置,根据数轴上两点间的距离公式,求出,之间的距离即可;
(2)设点对应的数为,当点满足时,分三种情况讨论,根据求出的值即可;
(3)根据第一次点表示,第二次点表示,点表示的数依次为,,,……,找出规律即可得出结论.
(1)解:∵,∴,,∴,,∴.数轴上标出点,点的位置如图:
(2)设点对应的数为,∵且点在线段上,∴,∴,∴点C对应的数为,设点对应的数为,∵点满足,①当点在点左侧时,,此种情况不成立;②当点位于之间时,解得:;③当点位于点右侧时,解得:.∴点P对应的数为或;
(3)第一次点对应的数为,第二次点P对应的数为,第三次点P对应的数为,第四次点P对应的数为,……,则第次点对应的数为,∵点在数轴上对应的数为,∴点在第次移动时与点重合;∵点在数轴上对应的数为,∴点与点不重合.
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