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最新中考数学总复习真题探究与变式训练（讲义） 专题04 方程（组）及其应用（8大考点）
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这是一份最新中考数学总复习真题探究与变式训练（讲义） 专题04 方程（组）及其应用（8大考点），文件包含专题04方程组及其应用8大考点原卷版docx、专题04方程组及其应用8大考点解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共107页， 欢迎下载使用。
一、复习方法
1.以专题复习为主。 2.重视方法思维的训练。
3.拓宽思维的广度，培养多角度、多维度思考问题的习惯。
二、复习难点
1.专题的选择要准，安排时间要合理。 2.专项复习要以题带知识。
3.在复习的过程中要兼顾基础，在此基础上适当增加变式和难度，提高能力。
第二部分 方程（组）与不等式（组）
专题04 方程（组）及其应用 （8大考点）
核心考点一 等式的基本性质
例1 （2022·青海·中考真题）下列说法中，正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】C
【分析】直接利用等式的基本性质以及结合绝对值的性质分析得出答案．
【详解】解：A、若ac=bc，当c≠0，则a=b，故此选项错误；
B、若，则，故此选项错误；
C、若，则，故此选项正确；
D、若，则，故此选项错误；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了等式的基本性质，正确把握等式的基本性质是解题关键．
例2 （2021·安徽·中考真题）设a，b，c为互不相等的实数，且，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】举反例可判断A和B，将式子整理可判断C和D．
【详解】解：A．当，，时，，故A错误；
B．当，，时，，故B错误；
C．整理可得，故C错误；
D．整理可得，故D正确；
故选：D．
【点睛】本题考查等式的性质，掌握等式的性质是解题的关键．
例3 （2022·福建·中考真题）推理是数学的基本思维方式、若推理过程不严谨，则推理结果可能产生错误．
例如，有人声称可以证明“任意一个实数都等于0”，并证明如下：
设任意一个实数为x，令，
等式两边都乘以x，得．①
等式两边都减，得．②
等式两边分别分解因式，得．③
等式两边都除以，得．④
等式两边都减m，得x＝0.⑤
所以任意一个实数都等于0.
以上推理过程中，开始出现错误的那一步对应的序号是______．
【答案】④
【分析】根据等式的性质2即可得到结论．
【详解】等式的性质2为：等式两边同乘或除以同一个不为0的整式，等式不变，
∴第④步等式两边都除以，得，前提必须为，因此错误；
故答案为：④．
【点睛】本题考查等式的性质，熟知等式的性质是解题的关键．
知识点、等式的基本性质（注意:等式的基本性质是解方程的依据）
基本性质1：等式两边同时加上(或减去)同一个数(或式子),所得结果仍是等式.
基本性质2：等式两边同时乘同一个数(或除以同一个不为零的数),所得结果仍是等式.
性质3：如果，那么（对称性）
性质4：如果，，那么（传递性）
【变式1】（2022·安徽·合肥市五十中学西校三模）已知实数a，b，c满足，．则下列结论正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．a，b，c不可能同时相等D．若，则
【答案】B
【分析】A.根据，则，根据，得出；
B.根据，得出，把代入得：，即可得出答案；
C.当时，可以使，，即可判断出答案；
D.根据解析B可知，，即可判断．
【详解】A.∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故A错误；
B.∵，即，
∴，
把代入得：，
，
解得：，故B正确；
C.当时，可以使，，
∴a，b，c可能同时相等，故C错误；
D.根据解析B可知，，把代入得：，故D错误．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了分式的化简，等式基本性质和不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质和等式的性质，是解题的关键．
【变式2】（2022·安徽芜湖·二模）已知三个实数a，b，c满足，则下列结论不成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】将等式整理得，，①+②可求值，进而可判断B的正误，将代入①式得，可判断C的正误，由，，，计算求解可判断A，D的正误．
【详解】解：∵，
∴，
①+②得，即
解得
∴B正确，故不符合题意；
将代入①式得
∴C正确，故不符合题意；
∵
∴
∴，
∴
∴D正确，故不符合题意；A错误，故符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查了等式的性质．解题的关键在于对等式性质的熟练掌握与灵活运用．
【变式3】（2022·贵州黔西·二模）已知，则______.
【答案】
【分析】根据可得到，将代入求解即可得到答案．
【详解】解：，
，
将代入得
，
故答案为：．
【点睛】本题考查代数式求值，根据条件用一个未知数表示另一个未知数代入求值是解决问题的关键．
【变式4】（2021·江苏·正衡中学一模）设实数a、b、c满足，，则=_______．
【答案】3
【分析】将变形，分别代入原式的分子中，得到，化为最简后，代入即可.
【详解】解：∵，，
∴===2-c+2-a+2-b=6-=3.
故答案为：3.
【点睛】本题考查了分式中的条件求值，需注意观察条件与结论区别与联系，整体代入是解题的关键.
【变式5】（2022·江西·石城县教育局教研室二模）已知，且，求证： ．
【答案】见解析
【分析】将和两边都同时乘abc，整理，再相加，最后再除，即可证明．
【详解】解：，
，
将①，②两边同时乘abc，得，
，
整理，得：
③+④，得：，
整理，得：．
由题意可知abc都不为0，
∴可将⑤两边同时除，
得：．
【点睛】本题考查等式的性质，整式的混合运算，分式的混合运算，分式有意义的条件．熟练掌握等式的性质是解题关键．
核心考点二 一元一次方程的解法及其应用
例1 （2022·贵州黔西·中考真题）小明解方程的步骤如下：
解：方程两边同乘6，得①
去括号，得②
移项，得③
合并同类项，得④
以上解题步骤中，开始出错的一步是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【答案】A
【分析】按照解一元一次方程的一般步骤进行检查，即可得出答案．
【详解】解：方程两边同乘6，得①
∴开始出错的一步是①，
故选：A．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤以及注意事项是解决问题的关键．
例2 （2022·黑龙江牡丹江·中考真题）某商品的进价为每件10元，若按标价打八折售出后，每件可获利2元，则该商品的标价为每件______元．
【答案】15
【分析】设该商品的标价为每件x元，根据八折出售可获利2元，可得出方程：80%x-10=2，再解答即可．
【详解】解：设该商品的标价为每件x元，
由题意得：80%x-10=2，
解得：x=15．
所以该商品的标价为每件15元．
故答案为：15．
【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，关键是仔细审题，得出等量关系，列出方程，难度一般．
例3 （2022·江苏镇江·中考真题）某地交警在一个路口对某个时段来往的车辆的车速进行监测，统计数据如下表：
其中车速为40、43（单位：）的车辆数分别占监测的车辆总数的12%、32%．
(1)求出表格中的值；
(2)如果一辆汽车行驶的车速不超过的10%，就认定这辆车是安全行驶．若一年内在该时段通过此路口的车辆有20000辆，试估计其中安全行驶的车辆数．
【答案】(1)16
(2)19200辆
【分析】（1）由车速的占比求得总的车辆数，然后相乘可得
（2）先计算安全行驶的占比，再用该占比估算即可
（1）
方法一：由题意得，
；
方法二：由题意得，
解得：；
（2）
由题意知，安全行驶速度小于等于．
因为该时段监测车辆样本中安全行驶的车辆占总监测车辆的占比为，
所以估计其中安全行驶的车辆数约为：（辆）
【点睛】本题考查了频数的计算，掌握频率的计算公式是解题关键，频率=频数÷总数．本题的占比就是频率．
知识点一、一元一次方程及其解法
一元一次方程:只含有1个未知数(元)，并且未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程。任何一个一元一次方程都可
以化成ax+b=0（a，b是常数，且a≠0）的形式。
温馨提示
形如(其中，为常数，且)的方程为一元一次方程，判断时应抓住以下两点：(i)原方程必是整式方程；(ii)化成一般形式后只含有一个未知数，且未知数的次数为1。
知识点二、一次方程（组）的实际应用
1、列一次方程(组)解应用题的步骤
审：审清题意，分清题中的已知量、未知量，搞清题中的等量关系；
设：设关键未知数；
列：根据题中的等量关系，列方程(组)；
解：解方程(组)；
验：检验所解答案是否符合题意；
答：规范作答，注意单位名称。
2、常见的关系式
【变式1】（2022·湖南·长沙市南雅中学二模）在风凰山教育共同体数学学科节中，为展现数学的魅力，M老师组织了一个数学沉浸式互动游戏：随机请A，B，C，D，E五位同学依次围成一个圆圈，每个人心里先想好一个实数，并把这个数悄悄的告诉相邻的两个人，然后每个人把与自己相邻的两个人告诉自己的数的平均数报出来．若A，B，C，D，E五位同学报出来的数恰好分别是1，2，3，4，5，则D同学心里想的那个数是（ ）
A．B．C．5D．9
【答案】D
【分析】设报D的人心里想的数是x，则再分别表示报A，C，E，B的人心里想的数，最后通过平均数列出方程，解方程即可．
【详解】解：设D同学心里想的那个数是x，报A的人心里想的数是10-x，报C的人心里想的数是x-6，报E的人心里想的数是14-x，报B的人心里想的数是x-12，
所以有x-12+x=2×3，
解得：x=9．
故选：D．
【点睛】本题考查的知识点有平均数的相关计算及方程思想的运用，把题中的等量关系全部展示出来，再结合题意进行整合，问题即可解决．
【变式2】（2022·浙江金华·二模）一条数轴上有点A、B，点C在线段AB上，其中点A、B表示的数分别是－8，6，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A'落在射线CB上，并且A'B=4，则C点表示的数是（ ）
A．1B．－1C．1或－2D．1或－3
【答案】D
【分析】设出点C所表示的数，根据点A、B所表示的数，表示出AC的距离，在根据A′B=4，表示出A′C，由折叠得，AC=A′C，列方程即可求解．
【详解】解：设点C所表示的数为x，AC=x-（-8）=x+8，
∵A′B=4，B点所表示的数为6，
∴A′表示的数为4+6=10或6-4=2，
∴AA′=10-（-8）=18，或AA′=2-（-8）=10，
根据折叠得，AC=AA′，
∴x+8=×18或x+8=×10，
解得：x=1或-3，
故选：D．
【点睛】本题考查了数轴表示数的意义，掌握数轴上两点之间的距离公式是解决问题的关键，点A、B在数轴上表示的数分别为a、b，则AB=|a-b|．
【变式3】（2020·浙江·模拟预测）一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是﹣16、9，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A对应的点落在点B的右边，并且，则C点表示的数是______．
【答案】
【分析】设点C所表示的数为x，则AC＝x+16，BC＝9﹣x，根据AC＝A′C，列出关于x的方程，解出方程即可．
【详解】解：设点C所表示的数为x，则AC＝x+16，BC＝9﹣x，
∵A′B＝3，B点表示的数为9，
∴点A′表示的数为9+3＝12，
根据折叠得，AC＝A′C
∴x+16＝12﹣x，
解得，x＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点睛】本题考查数轴上两点之间的距离问题，能用两点间的坐标正确地表示出两点间的距离是解题的关键．
【变式4】（2022·北京四中模拟预测）“格子乘法”作为两个数相乘的一种计算方法，最早在15世纪由意大利数学家帕乔利提出，在明代数学家程大位著的《算法统宗》一书中被称为“铺地锦”．例如：如图1，计算，将乘数46写在方格上边，乘数71写在方格右边，然后用乘数46的每位数字乘以乘数71的每位数字，将结果记入相应的方格中，最后沿斜线方向相加，得3266．如图2，用“格子乘法”计算两个两位数相乘，则______．
【答案】6
【分析】根据“格子乘法”可得10（10+6-k-k）+(k-3-1)=7k，解方程可得．
【详解】解：根据题意可得
10（10+6-k-k）+(k-3-1)=7k
解得k=6
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，根据“格子乘法”分析图示，列出方程是关键．
【变式5】（2022·辽宁朝阳·模拟预测）根据小王在两个超市看到的商品促销信息解决下列问题：
(1)当一次性购物标价总额是元时，甲、乙两超市实付款分别是多少？
(2)当一次性购物标价总额是多少时，甲、乙两超市实付款一样？
【答案】(1)甲超市实付款340元，乙超市实付款360元；
(2)当一次性购物标价总额为1000元时，甲、乙两超市实付款一样．
【分析】（1）根据两家超市的优惠方案，可知当一次性购物标价总额是400元时，甲超市实付款=购物标价，乙超市实付款，分别计算即可；
（2）设当标价总额是x元时，甲、乙超市实付款一样．根据甲超市实付款=乙超市实付款列出方程，求解即可．
【详解】（1）当一次性购物标价总额是400元时，
甲超市实付款为（元），
乙超市实付款为（元），
答：甲超市实付款340元，乙超市实付款360元；
（2）由题意可知：当一次性购物标价总额不超过500元时，
乙超市实付款一定比甲超市多，
设一次性购物标价总额为x元时，甲、乙两超市实付款一样，
由题意可得：，
解得：，
答：当一次性购物标价总额为1000元时，甲、乙两超市实付款一样．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，理解两家超市的优惠方案，进行分类讨论是解题的关键．
核心考点三 二元一次方程的解法及其应用
例1 （2022·湖北武汉·中考真题）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图（1）就是一个幻方．图（2）是一个未完成的幻方，则与的和是（ ）
A．9B．10C．11D．12
【答案】D
【分析】根据题意设出相应未知数，然后列出等式化简求值即可．
【详解】解：设如图表所示：
根据题意可得：x+6+20=22+z+y，
整理得：x-y=-4+z，
x+22+n=20+z+n，20+y+m=x+z+m，
整理得：x=-2+z，y=2z-22，
∴x-y=-2+z-(2z-22)=-4+z，
解得：z=12，
∴x+y
=3z-24
=12
故选：D．
【点睛】题目主要考查方程的应用及有理数加法的应用，理解题意，列出相应方程等式然后化简求值是解题关键．
例2 （2020·甘肃天水·中考真题）已知，，则的值为_________．
【答案】1
【分析】观察已知条件可得两式中a与b的系数的差相等，因此把两式相减即可得解．
【详解】解：①，②，
②-①得，2a+2b=2，
解得：a+b=1,
故答案为：1．
【点睛】此题主顾考查了二元一次方程组的特殊解法，观察条件的结构特征得出2a+2b=2是解答此题的关键．
例3 （2022·贵州黔西·中考真题）某乡镇新打造的“田园风光”景区今年计划改造一片绿化地，种植A、B两种花卉，已知3盆A种花卉和4盆B种花卉的种植费用为330元，4盆A种花卉和3盆B种花卉的种植费用为300元．
(1)每盆A种花卉和每盆B种花卉的种植费用各是多少元？
(2)若该景区今年计划种植A、B两种花卉共400盆，相关资料表明：A、B两种花卉的成活率分别为70%和90%，景区明年要将枯死的花卉补上相同的新花卉，但这两种花卉在明年共补的盆数不多于80盆，应如何安排这两种花卉的种植数量，才能使今年该项的种植费用最低？并求出最低费用．
【答案】(1)每盆A种花卉种植费用为30元，每盆B种花卉种植费用为60元
(2)种植A、B两种花卉各200盆，能使今年该项的种植费用最低，最低费用为18000元
【分析】（1）设每盆A种花卉种植费用为x元，每盆B种花卉种植费用为y元，根据“3盆A种花卉和4盆B种花卉的种植费用为330元，4盆A种花卉和3盆B种花卉的种植费用为300元”列二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）设种植A种花卉的数量为m盆，种植两种花卉的总费用为w元，根据“两种花卉在明年共补的盆数不多于80盆”列不等式求得m的范围，再求得w与m的关系式，利用一次函数的性质求解．
（1）解：设每盆A种花卉种植费用为x元，每盆B种花卉种植费用为y元，根据题意，得，解这个方程组，得答：每盆A种花卉种植费用为30元，每盆B种花卉种植费用为60元；
（2）解：设种植A种花卉的数量为m盆，则种植B种花卉的数量为盆，种植两种花卉的总费用为w元，根据题意，得，解得，，∵，∴w随m增大而减小，当时，．答：种植A、B两种花卉各200盆，能使今年该项的种植费用最低，最低费用为18000元．
【点睛】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的二元一次方程组，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
知识点一、二元一次方程（组）及其解法
1、二元一次方程（组）定义
二元一次方程（组）的解法（基本思想是“消元”）
（1）代入消元法：将一个方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程。
（2）加减消元法：两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等(或通过适当变形后可以使同一个未知数的系数相反或相等)时，把这两个方程的两边分别相加或相减，消去这个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程。
消元法使用技巧（解题时依据方程自身特点，灵活运用消元思想）
一般地，当二元一次方程组中的一个方程的某个未知数的系数是1或-1时，选择代入消元法较简单。
当二元一次方程组中两个方程的某个未知数的系数的绝对值相等或成倍数关
系时，选择加减消元法较简单。
注：还可以用整体代入消元或换元法化繁为简，快速解题。
知识点二、三元一次方程组
1.三元一次方程组:一个方程组中含有三个未知数,每个方程中含未知数的项的
次数都是1,并且一共有三个方程,像这样的方程组叫做三元一次方程组.
2.解三元一次方程组的基本思路
三元一次方程组 二元一次方程组 一元一次方程
【变式1】（2022·广东·华南师大附中三模）如果|x+y-1|和2（2x+y-3）²互为相反数，那么x,y的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据非负数的性质，判断两个非负数必定都是0，列方程组解答即可．
【详解】解：∵，
∴，
解得：，
故选：C．
【点睛】本题考查了绝对值和偶次方的非负性，|x+y-1|和2（2x+y-3）2都是非负数，所以这个数都是0．
【变式2】（2022·广东·揭阳市实验中学模拟预测）如果关于，的方程组的解是整数，那么整数的值为（ ）
A．，，，B．，，，
C．，，，D．，，，
【答案】B
【分析】先将看作已知量，解二元一次方程组，用表示出，再结合，为整数，得出的整数解，然后把的整数解代入，得出的解，再把方程组的整数解代入，即可得出的值．
【详解】解：，
由，可得：，
∵，为整数，
∴当为时，为整数，
∴把的值代入，可得：，，，，，，，，
∴把的整数解代入，可得：，，，，，，，，
∴方程组的整数解为，，，，
把方程组的整数解代入，可得：，，，．
故选：B
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解、解二元一次方程组，解本题的关键是用含m的代数式表示y．
【变式3】（2021·四川成都·三模）已知三个非负实数a，b，c满足：3a+2b+c＝5和2a+b﹣3c＝1，若m＝3a+b﹣7c，则m的最小值为_________________．
【答案】－
【详解】解方程组，用含m的式子表示出a，b，c的值，根据a≥0，b≥0，c≥0，求得m的取值范围从而求得m的最小值．
【解答】解：由题意可得，
解得，，c＝，
由于a，b，c是三个非负实数，
∴a≥0，b≥0，c≥0，
∴﹣≥m≥．
所以m最小值＝．
故本题答案为：．
【点睛】本题考查了三元一次方程组和一元一次不等式组的解法，难点是部分同学不会解含参数m的三元一次方程组．
【变式4】（2022·甘肃庆阳·二模）已知，关于x，y的二元一次方程组的解为，则2a－b＝______．
【答案】4
【分析】把 代入方程组，得出关于a、b的方程组，求出方程组的解即可．
【详解】解：把代入得：
，
解得：，
∴2a－b=2×1-（-2）=2+2=4，
故答案为：4．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，解题的关键是得出关于a、b的方程组．
【变式5】（2022·河南洛阳·二模）已知实数，满足①，②，求和的值．
本题常规的解题思路是将①②两式联立组成方程组，解得，的值．再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量较大．其实，仔细观察两个方程未知数，的系数与所求代数式中，的系数之间的关系，本题还可以通过适当的变形整体求得代数式的值．由①②得：，由①②得，这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
问题解决：
(1)已知二元一次方程组，则值为 ，的值为 ．
(2)某班组织活动购买奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元；买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元．则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？
(3)对于实数，，定义新运算：，其中，，是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，则的值为 ．
【答案】(1)5，
(2)30元
(3)
【分析】（1）根据方程组中两个方程的特点，由即可求出的值，即可求出的值；
（2）设1支铅笔元、1块橡皮元、1本日记本元，列出方程组，先求出，再求出，即可得出答案；
（3）根据题意得出方程组，求出，即可求出的值．
【详解】（1）解：由，可得 ，
∴，
由，可得 ．
故答案为：5，；
（2）（2）设1支铅笔元、1块橡皮元、1本日记本元，
由题意，可得，
由，可得 ，
∴（元，
答：购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元；
（3）∵，，
∴，
由，可得 ，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组及三元一次方程组的整体求法，理解题意，熟练掌握整体计算方法是解题关键．
核心考点四 分式方程的解法及其应用
例1 （2022·黑龙江牡丹江·中考真题）若关于x的方程无解，则m的值为（ ）
A．1B．1或3C．1或2D．2或3
【答案】B
【分析】先将分式方程化成整式方程，再分①整式方程无解，②关于的方程有增根两种情况，分别求解即可得．
【详解】解：将方程化成整式方程为，即，
因为关于的方程无解，
所以分以下两种情况：
①整式方程无解，
则，解得；
②关于的方程有增根，
则，即，
将代入得：，解得；
综上，的值为1或3，
故选：B．
【点睛】本题考查了分式方程无解，正确分两种情况讨论是解题关键．
例2 （2022·湖北黄石·中考真题）已知关于x的方程的解为负数，则a的取值范围是__________．
【答案】且
【分析】把看作常数，去分母得到一元一次方程，求出的表达式，再根据方程的解是负数及分母不为列不等式并求解即可．
【详解】解：由得，
关于x的方程的解为负数，
，即，解得，即且，
故答案为：且．
【点睛】本题考查解分式方程，根据题意及分式的分母不等于零列出不等式组是解决问题的关键．
例3 （2020·新疆·中考真题）某超市销售A、B两款保温杯，已知B款保温杯的销售单价比A款保温杯多10元，用480元购买B款保温杯的数量与用360元购买A款保温杯的数量相同．
(1)A、B两款保温杯的销售单价各是多少元？
(2)由于需求量大， A、B两款保温杯很快售完，该超市计划再次购进这两款保温杯共120个，且A款保温杯的数量不少于B款保温杯数量的两倍．若A款保温杯的销售单价不变，B款保温杯的销售单价降低10%，两款保温杯的进价每个均为20元，应如何进货才能使这批保温杯的销售利润最大，最大利润是多少元？
【答案】(1)A款保温杯的销售单价是30元，B款保温杯的销售单价是40元
(2)进货方式为购进B款保温杯数量为40个，A款保温杯数量为80个，最大利润是1440元
【分析】（1）设A款保温杯的销售单价是x元，B款保温杯的销售单价是（x+10）元，根据用480元购买B款保温杯的数量与用360元购买A款保温杯的数量相同列分式方程解答即可；
（2）设购进B款保温杯数量为y个，则A款保温杯数量为（120-y）个，根据题意求出0< y≤40，设总销售利润为W元，列出一次函数，根据一次函数的性质求解即可．
（1）
解：设A款保温杯的销售单价是x元，B款保温杯的销售单价是（x+10）元，
，
解答x=30，
经检验，x=30是原方程的解，
∴x+10=40，
答：A款保温杯的销售单价是30元，B款保温杯的销售单价是40元；
（2）
B款保温杯销售单价为40×（1-10%）=36元，
设购进B款保温杯数量为y个，则A款保温杯数量为（120-y）个，
120-y≥2y，
解得y≤40，
∴0< y≤40，
设总销售利润为W元，
W=（30-20）（120-y）+（36-20）y=6y+1200，
∵W随y的增大而增大，
∴当y=40时，利润W最大，最大为6×40+1200=1440元，
进货方式为购进B款保温杯数量为40个，A款保温杯数量为80个，最大利润是1440元．
【点睛】此题考查了分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
知识点一、分式方程的相关概念
定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别。
增根：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，使方程中的分母为0，这样的根叫方程的增根。
知识点二、解分式方程
例：
解：最简公分母：
检验：当时，
所以原分式方程的解为
知识点三、分式方程的实际应用
列分式方程解应用题的一般步骤
审：审清题意，分清题中的已知量、未知量，搞清等量关系。
设：设出未知数。
列：根据题中的等量关系，列出分式方程。
解：解分式方程
验：既要检验所得的解是否适合分式方程，又要检验是否符合实际问题。
答：完整作答（包括单位）
常见模型及关系式
【变式1】（2022·河南·嵩县教育局基础教育教学研究室一模）方程的解为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】直接利用解分式方程的一般步骤解分式方程即可求解．
【详解】
解：去分母，得，
∴，
解得，
检验：当时，，
∴是原分式方程的解，
故选：D
【点睛】本题考查了分式方程的解法，注意：解分式方程时，一定不能漏掉检验．
【变式2】（2022·重庆市第三十七中学校二模）若数a既使得关于x的不等式组无解，又使得关于y的分式方程的解不小于1，则满足条件的所有整数a的和为( )
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先根据关于的不等式组无解求出数的范围，再根据关于的分式方程的解不小于1求出数的范围，然后再取数的范围的公共部分，从而即可求解．
【详解】解：解不等式，得，
解不等式，得，
于x的不等式组无解，
，
；
又解分式方程，得且，
关于y的分式方程的解不小于1，
且，
且；
综上可知：，
满足条件的所有整数a的和为：，
故选：C．
【点睛】此题考查了一元一次不等式组、分式方程，熟练掌握已知一元一次不等式组的解集求参数的范围、已知分式方程的解的范围求参数的取值范围的解题方法是解答此题的关键．
【变式3】（2022·山东省淄博第六中学模拟预测）关于x的分式方程有增根，则m的值为______ ．
【答案】2
【分析】分式方程有增根，说明增根一定是分母为0时未知数的值，即可求出增根，再代入去分母后的方程中即可求出参数的值．
【详解】解：∵关于x的分式方程有增根
∴，即
去分母，得：
把代入，得
故答案是：2
【点睛】本题考查分式方程的增根和参数的求法，正确理解增根的概念是解题的关键．
【变式4】（2022·黑龙江黑龙江·三模）关于x的分式方程有解，则a的取值范围是________．
【答案】且
【分析】先求出使分式方程无意义时，a的取值范围，再用逆向思维求出当分式方程有解时a的取值范围．
【详解】解：∵，
∴，
∵有解，
则或，
∴，
当时，，
故a的取值是1，
当时，，
两边同乘，，
∴，
当2-a=0时，方程无解，此时a=2，
故答案为：且．
【点睛】本题考查分式方程的解，以及分式方程无意义的解，能够熟练掌握解分式方程的方法是解决本题的关键．
【变式5】（2022·广东·深圳市宝安中学（集团）三模）2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆，三名航天员平安归来，神舟十三号任务取得圆满成功．飞箭航模店看准商机，推出了“神舟”和“天宫”模型．已知每个“神舟”模型的成本比“天宫”模型多10元，同样花费100元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多5个．
(1)“神舟”和“天宫”模型的成本各多少元？
(2)飞箭航模店计划购买两种模型共200个，且每个“神舟”模型的售价为30元，“天宫”模型的售价为15元．设购买“神舟”模型个，销售这批模型的利润为元．
①求与的函数关系式（不要求写出的取值范围）；
②若购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的，则购进“神舟”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？
【答案】(1)“天宫”模型成本为每个10元，“神舟”模型每个20元
(2)①②购进“神舟”模型50个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润为1250元
【分析】（1）根据总数，设立未知数，建立分式方程，即可求解.
（2）①设“神舟”模型个，则“天宫”模型为个，根据利润关系即可表示w与a的关系式.
②根据购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的，即可找到a的取值范围，利用一次函数性质即可求解.
（1）
解：设“天宫”模型成本为每个元，则“神舟”模型成本为每个元.
依题意得.
解得.
经检验，是原方程的解.
答：“天宫”模型成本为每个10元，“神舟”模型每个20元；
（2）
解：①“神舟”模型个，则“天宫”模型为个.
.
②购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的.
.
解得：.
.
.
.
即：购进“神舟”模型50个时，销售这批模型可以获得利润.最大利润为1250元.
【点睛】本题考查了分式方程、一次函数的性质，关键在于找到等量关系，建立方程，不等式，函数模型.
核心考点五 一元二次方程及其解法
例1 （2022·四川雅安·中考真题）若关于x的一元二次方程x2+6x+c＝0配方后得到方程（x+3）2＝2c，则c的值为（ ）
A．﹣3B．0C．3D．9
【答案】C
【分析】先移项把方程化为再配方可得结合已知条件构建关于c的一元一次方程，从而可得答案．
【详解】解：x2+6x+c＝0，
移项得：
配方得： 而（x+3）2＝2c，
解得：
故选C
【点睛】本题考查的是配方法，掌握“配方法解一元二次方程的步骤”是解本题的关键．
例2 （2020·山东枣庄·中考真题）已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x＋a2﹣1＝0有一个根为x＝0，则a＝___．
【答案】−1
【分析】根据一元二次方程的解把x＝0代入原方程得到关于a的一元二次方程，解得a＝±1，然后根据一元二次方程的定义确定a的值．
【详解】解：把x＝0代入（a−1）x2−2x＋a2−1＝0得a2−1＝0，
解得a＝±1，
∵a−1≠0，
∴a＝−1．
故答案为：−1．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．也考查了一元二次方程的定义．
例3 （2022·贵州贵阳·中考真题）（1）a，b两个实数在数轴上的对应点如图所示．
用“<”或“>”填空：a_______b，ab_______0；
（2）在初中阶段我们已经学习了一元二次方程的三种解法，他们分别是配方法、公式法和因式分解法，请从下列一元二次方程中任选两个，并解这两个方程．
①x2+2x−1=0；②x2−3x=0；③x2−4x=4；④x2−4=0．
【答案】（1）＜，＜；（2）①x1=-1+，x2=-1-；②x1=0，x2=3；③x1=2+，x2=2-；④x1=-2，x2=2．
【分析】（1）由题意可知：a＜0，b＞0，据此求解即可；
（2）找出适当的方法解一元二次方程即可．
【详解】解：（1）由题意可知：a＜0，b＞0，
∴a＜b，ab＜0；
故答案为：＜，＜；
（2）①x2+2x−1=0；
移项得x2+2x=1，
配方得x2+2x+1=1+1，即(x+1)2=2，
则x+1=±，
∴x1=-1+，x2=-1-；
②x2−3x=0；
因式分解得x(x-3)=0，
则x=0或x-3=0，
解得x1=0，x2=3；
③x2−4x=4；
配方得x2-4x+4=4+4，即(x-2)2=8，
则x-2=±，
∴x1=2+，x2=2-；
④x2−4=0．
因式分解得(x+2) (x-2)=0，
则x+2=0或x-2=0，
解得x1=-2，x2=2．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．还考查了实数与数轴．
知识点、一元二次方程及其解法
定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次是2的整式方程，叫做一元二次方程。
一元二次方程的一般形式（又叫标准形式）
，其中叫做二次项 ，是二次项的系数；叫做一次项，是一次项的系数；叫常数项。，，是任意实数，且。
一元二次方程的解法
对于一元二次方程的四种解法，要结合方程中的具体数据进行选择，一般地，直接开平方法、因式分解法只能在特殊方程中使用，配方法、公式法通用。
【变式1】（2021·山东·潍坊市寒亭区教学研究室一模）已知（为任意实数），则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．不能确定
【答案】B
【分析】利用作差法比较即可．
【详解】根据题意，得
＝，
∵
∴
∴，
故选B．
【点睛】本题考查了代数式的大小比较，熟练作差法，灵活运用完全平方公式，配方法的应用，使用实数的非负性是解题的关键．
【变式2】（2021·山东滨州·三模）新定义：关于x的一元二次方程a1(x﹣m)2+k＝0与a2(x﹣m)2+k＝0称为“同族二次方程”．如2(x﹣3)2+4＝0与3(x﹣3)2+4＝0是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程2(x﹣1)2+1＝0与(a+2)x2+(b﹣4)x+8＝0是“同族二次方程”，那么代数式ax2+bx+2026能取的最小值是（ ）
A．2020B．2021C．2023D．2018
【答案】B
【分析】根据同族二次方程，可得出a和b的值，从而解得代数式的最小值．
【详解】解：∵2（x﹣1）2+1＝0与（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝0是“同族二次方程”，
∴（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝（a+2）（x﹣1）2+1，
即（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝（a+2）x2﹣2（a+2）x+a+3，
∴，
解得：，
∴ax2+bx+2026＝5x2﹣10x+2026＝5（x﹣1）2+2021，
则代数式ax2+bx+2026能取的最小值是2021．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了配方法的应用，解二元一次方程组的方法，理解同族二次方程的规律是解答本题的关键．
【变式3】（2022·广东深圳·模拟预测）阅读并回答问题：小亮是一位刻苦学习的同学．一天他在解方程x=-1时，突发奇想：x=-1在实数范围内无解，如果存在一个数i，使i2=-1，那么当x2=-1时，有x=±i，从而x=±i是方程x2=-1的两个根．据此可知：方程x2-4x+5=0的两根为 __．(根用i表示)
【答案】，
【分析】方程利用配方法，结合阅读材料中的方法求出解即可．
【详解】解：方程整理，得x2-4x＝－5，
配方得x2－4x＋4＝－1，即(x-2)2＝－1，
开方，得x-2＝±i，
解得，，
故答案为：，．
【点睛】题考查了解一元二次方程-直接开平方法，以及配方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键．
【变式4】（2022·广西南宁·一模）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为，，，记，则其面积．这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．若，，则此三角形面积的最大值是_________．
【答案】
【分析】根据公式算出a+b的值，代入公式，根据完全平方公式的变形即可求出解．
【详解】解：∵，p=3，c=2，
∴，
∴a+b=4，
∴a=4−b，
∴
∴当b=2时，S有最大值为．
【点睛】本题考查了二次根式与完全平方公式的应用，解答本题的关键是明确题意，表示出相应的三角形的面积．
【变式5】（2022·云南昆明·一模）我们可以用以下方法求代数式的最小值．
∵
∴
∴当时，有最小值．
请根据上述方法，解答下列问题：
(1)求代数式的最小值；
(2)求代数式的最大或最小值，并指出它取得最大值或最小值时x的值；
(3)求证：无论x和y取任何实数，代数式的值都是正数．
【答案】(1)-2
(2)当时，有最大值
(3)证明见详解
【分析】（1）根据题中所给方法进行求解即可；
（2）由题中所给方法可得，然后问题可求解；
（3）由题意可得，进而问题可求解．
(1)
解：由题意得：
，
∵
∴
∴当时，有最小值．
(2)
解：由题意得：，
∵
∴
∴当时，有最大值．
(3)
解：由题意得：
=
=；
∵
∴，
∴无论x和y取任何实数，代数式的值都是正数．
【点睛】本题主要考查配方法的应用及完全平方公式，熟练掌握配方法及完全平方公式是解题的关键．
核心考点六 一元二次方程根的判别式
例1 （2022·四川·巴中市教育科学研究所中考真题）对于实数，定义新运算：，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围（ ）
A．B．C．且D．且
【答案】A
【分析】根据新定义运算法则列方程，然后根据一元二次方程的概念和一元二次方程的根的判别式列不等式组求解．
【详解】解：∵，
∴，
即，
∵关于的方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题属于新定义题目，考查一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0方程没有实数根．
例2 （2022·山东日照·中考真题）关于x的一元二次方程2x2+4mx+m=0有两个不同的实数根x1，x2，且，则m=__________．
【答案】##-0.125
【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2=-2m，x1x2=，再由x12+x22=变形得到（x1+x2）2-2x1x2=，即可得到4m2-m=，然后解此方程即可．
【详解】解：根据题意得x1+x2=-2m，x1x2=，
∵x12+x22=，
∴（x1+x2）2-2x1x2=，
∴4m2-m=，
∴m1=-，m2=，
∵Δ=16m2-8m＞0，
∴m＞或m＜0时，
∴m=不合题意，
故答案为：．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，，．
例3 （2021·湖北荆门·中考真题）已知关于x的一元二次方程有，两实数根．
（1）若，求及的值；
（2）是否存在实数，满足？若存在，求出求实数的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），；（2）存在，
【分析】（1）根据题意可得△＞0，再代入相应数值解不等式即可，再利用根与系数的关系求解即可；
（2）根据根与系数的关系可得关于m的方程，整理后可即可解出m的值．
【详解】解：（1）由题意：Δ=(−6)2−4×1×(2m−1)>0，
∴m<5，
将x1=1代入原方程得：m=3，
又∵x1•x2=2m−1=5，
∴x2=5，m=3；
（2）设存在实数m，满足，那么
有，
即，
整理得：，
解得或．
由（1）可知，
∴舍去，从而，
综上所述：存在符合题意．
【点睛】本题主要考查了根的判别式，以及根与系数的关系，关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．以及根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，，．
知识点、一元二次方程根的判别式
易错点：因忽视一元二次方程二次项系数不为零的隐含条件，导致失分。
如：已知关于的一元二次方程有两个实数根,求的取值范围.
【变式1】（2022·河南安阳·二模）将4个数a，b，c，d排成2行，2列，两边各加一条竖线，记成，并规定，例如，则的根的情况为（ ）
A．只有一个实数根B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根D．没有实数根
【答案】C
【分析】据题意，可以将方程转化为一元二次方程，然后根据Δ的值，即可判断根的情况．
【详解】解：∵方程，
∴x2﹣4x＝﹣3，
∴x2﹣4x+3＝0，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4×3×1=4＞0，
∴方程两个不相等的实数根，
故选：C．
【点睛】本题考查根的判别式，解答本题的关键是明确题意，会用根的判别式判断根的情况．
【变式2】（2022·宁夏·吴忠市第三中学一模）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围（ ）
A． B．C．D．且
【答案】D
【分析】根据一元二次方程的定义和△的意义得到 且，即，然后解不等式即可得到k的取值范围．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴ 且，即，
解得且．
∴k的取值范围为且．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
【变式3】（2022·四川成都·二模）已知关于的一元二次方程有两个实数根和．若之间关系满足，则的值为__________．
【答案】
【分析】把x12-x22=0分解因式，确定两个根之间的关系后，根据根的判别式计算即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2+(2m-1)x+m2=0有两个实数根x1和x2，
∴b2-4ac=(2m-1)2−4m2≥0，
解得：m≤ ，
∵x12-x22=0，
∴（x1+x2）（x1-x2）=0，
∴x1-x2=0 或x1+x2=0，
当x1+x2=0时，-（2m-1）=0，解得：m=（舍去），
当x1-x2=0时，b2-4ac=(2m-1)2−4m2=0，解得：m=，
综上所述，m的值为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与判别式的关系，根与系数的关系定理，解题的关键是熟记根的判别式和根与系数关系定理．
【变式4】（2022·安徽·模拟预测）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为________．
【答案】4
【分析】根据一元二次方程根的判别式得出△=0，即b2＝4a，将该式代入后进一步变形即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0有两个相等的实数根，
∴a≠0且△＝0，即b2﹣4a＝0，即b2＝4a，
把b2＝4a代入得：
原式＝
=
＝4
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式的实际运用，熟练掌握一元二次方程根的判别式，是解题关键．
【变式5】（2022·湖北黄石·一模）已知关于的一元二次方程有两个实数根，．
(1)求实数的取值范围；
(2)若，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）若一元二次方程有两实数根，则根的判别式，建立关于m的不等式，求出m的取值范围；
（2）由根与系数的关系，得出，，根据题意，建立关于m的一元二次方程，解出即可求得m的值．
（1）
解：
，
∵，
∴，
∴；
（2）
解：由根与系数的关系，可得：，，
又∵，
∴，
∴，
解得：，，
又∵，
∴．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的根的判别式，解本题的关键在于掌握若，是一元二次方程的两根时，则，．
核心考点七 一元二次方程根与系数的关系
例1 （2022·内蒙古包头·中考真题）若是方程的两个实数根，则的值为（ ）
A．3或B．或9C．3或D．或6
【答案】A
【分析】结合根与系数的关系以及解出方程进行分类讨论即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
,则两根为：3或-1，
当时，，
当时，，
故选：A．
【点睛】此题考查了根与系数的关系以及解二元一次方程，正确解出方程进行分类讨论是解题的关键．
例2 （2022·四川内江·中考真题）已知x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，且＝x12+2x2﹣1，则k的值为 _____．
【答案】2
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系以及解的定义得到x1+x2＝2，x1•x2＝k﹣1，x12﹣2x1+k﹣1＝0，再根据＝x12+2x2﹣1，推出＝4﹣k，据此求解即可．
【详解】解：∵x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，
∴x1+x2＝2，x1•x2＝k﹣1，x12﹣2x1+k﹣1＝0，
∴x12＝2x1﹣k+1，
∵＝x12+2x2﹣1，
∴＝2（x1+x2）﹣k，
∴＝4﹣k，
解得k＝2或k＝5，
当k＝2时，关于x的方程为x2﹣2x+1＝0，Δ≥0，符合题意；
当k＝5时，关于x的方程为x2﹣2x+4＝0，Δ＜0，方程无实数解，不符合题意；
∴k＝2，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程解的定义，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
例3 （2022·湖北黄石·中考真题）阅读材料，解答问题：
材料1
为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法．
材料2
已知实数m，n满足，，且，显然m，n是方程的两个不相等的实数根，由书达定理可知，．
根据上述材料，解决以下问题：
(1)直接应用：
方程的解为_______________________；
(2)间接应用：
已知实数a，b满足：，且，求的值；
(3)拓展应用：
已知实数x，y满足：，且，求的值．
【答案】(1)，，，
(2)或
(3)15
【分析】（1）利用换元法降次解决问题；
（2）模仿例题解决问题即可；
（3）令=a，-n=b，则+a-7=0， +b=0，再模仿例题解决问题．
（1）
解：令y=，则有-5y+6=0，
∴（y-2）（y-3）=0，
∴=2，=3，
∴=2或3，
∴，，，，
故答案为：，，，；
（2）
解：∵，
∴或
①当时，令，，
∴则，，
∴，是方程的两个不相等的实数根，
∴，
此时；
②当时，，
此时；
综上：或
（3）
解：令，，则，，
∵，
∴即，
∴，是方程的两个不相等的实数根，
∴，
故．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，幂的乘方与积的乘方，换元法，解一元二次方程等知识，解题的关键是理解题意，学会模仿例题解决问题．
知识点、一元二次方程的根与系数关系（韦达定理）
若，是一元二次方程的两个实数根，那么，
【变式1】（2022·广东·深圳市龙华区丹堤实验学校模拟预测）关于x的方程有两个解，则k的取值范围是（ ）
A．k＞﹣9B．k≤3C．﹣9＜k＜6D．k
【答案】A
【分析】设，再把原方程化为，结合根的判别式可得，再由原方程有两个实数根，可得从而可得答案．
【详解】解：∵
∴
∴
设t＝|x﹣3|，
则原方程变形为，
所以Δ＝1﹣4（﹣k﹣9）＞0，解得，
∵原方程有两个解，
∴方程有一正根和负根，
∴
解得k＞﹣9，
∴k的取值范围是k＞﹣9．
故选：A．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的根的判别式，根与系数的关系，由原方程有两个解得到方程有一个正根与一个负根是解本题的关键．
【变式2】（2022·重庆巴蜀中学三模）已知：，（其中为a整数，且）；有下列结论，其中正确的结论个数有（ ）
①若M·N中不含项，则；②若为整式，则；③若a是的一个根，则．
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】B
【分析】根据要求，逐个结论进行求解即可．
【详解】解：①∵，，
∴，
∵M∙N中不含项，
∴，即，故①正确；
∵是整式，
∴设，
∴，
∴，
∴，
∴，故②错误；
∵
∴，
设方程的另一个根为
∵a是的一个根，
∴，
∴，
∴，
∴，
两边平方整理得，，故③错误，
所以，正确的结论是①，
故选：A
【点睛】本题主要考查了整式的乘除法，一元二次方程根与系数的关系，正确掌握各知识点是解答本题的关键．
【变式3】（2022·四川眉山·模拟预测）若实数，满足的值为______．
【答案】2或-11
【分析】分和两种情况，分别利用分式的性质结合一元二次方程根与系数的关系解答即可．
【详解】解：，满足，，
当时，
，是方程的两根，
，，
；
当时，
原式．
综上所述：或．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值、一元二次方程根与系数的关系等知识点，正确将原式变形是解答本题的关键．
【变式4】（2022·湖北·鄂州市鄂城区教学研究室三模）已知实数a、b满足，若关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，则的值为______．
【答案】##﹣1.5##
【分析】根据非负性求得a、b的值，再根据一元二次方程根与系数关系求得、，代入求解即可．
【详解】解：∵实数、满足，
∴a﹣3=0，b+2=0，
解得：a=3，b=﹣2，
∴，
∵一元二次方程的两个实数根分别为、，
∴，，
∴=，
故答案为：．
【点睛】本题考查代数式求值、二次根式被开方数的非负性、绝对值的非负性、一元二次方程根与系数关系，熟练掌握非负性和一元二次方程根与系数关系是解答的关键．
【变式5】（2022·湖北·黄石十四中模拟预测）x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根，若满足|x1﹣x2|＝1，则此类方程称为“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题：
(1)通过计算，判断下列方程是否是“差根方程”：
①x2﹣4x﹣5＝0；
②2x2﹣2x+1＝0；
(2)已知关于x的方程x2+2ax＝0是“差根方程”，求a的值；
(3)若关于x的方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）是“差根方程”，请探索a与b之间的数量关系式．
【答案】(1)①不是；②是
(2)
(3)b2＝a2+4a
【分析】（1）根据“差根方程”定义判断即可．
（2）根据x2+2ax＝0是“差根方程”，且x1＝0，x2＝﹣2a得到2a＝±1，从而得到a＝±；
（3）设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）的两个实数根，根据根与系数的关系得到，整理即可得到b2＝a2+4a．
（1）
解：①设x1，x2是一元二次方程x2﹣4x﹣5＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝4，x1•x2＝﹣5，
∴|x1﹣x2|＝，
∴方程x2﹣4x﹣5＝0不是差根方程；
②设x1，x2是一元二次方程2x2﹣2+1＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝，x1•x2＝，
∴|x1﹣x2|＝，
∴方程2x2﹣2+1＝0是差根方程；
（2）
x2+2ax＝0，
因式分解得：x（x+2a）＝0，
解得：x1＝0，x2＝﹣2a，
∵关于x的方程x2+2ax＝0是“差根方程”，
∴2a＝±1，即a＝±；
（3）
设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）的两个实数根，
∴x1+x2＝，x1•x2＝，
∵关于x的方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）是“差根方程”，
∴|x1﹣x2|＝1，
∴|x1﹣x2|＝＝1，即，
∴b2＝a2+4a．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，根的判别式，一次函数图象上点的坐标特征，正确的理解“差根方程”的定义是解题的关键．
核心考点八 一元二次方程的实际应用
例1 （2021·四川巴中·中考真题）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点P是线段AB上一点（AP＞BP），若满足，则称点P是AB的黄金分割点．黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是（ ）
A．（20﹣x）2＝20xB．x2＝20（20﹣x）
C．x（20﹣x）＝202D．以上都不对
【答案】A
【分析】点P是AB的黄金分割点，且PB＜PA，PB＝x，则PA＝20−x，则，即可求解．
【详解】解：由题意知，点P是AB的黄金分割点，
且PB＜PA，PB＝x，则PA＝20−x，
∴，
∴（20−x）2＝20x，
故选：A．
【点睛】本题考查了黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．
例2 （2022·四川成都·中考真题）若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是_________．
【答案】
【分析】由题意解一元二次方程得到或，再根据勾股定理得到直角三角形斜边的长是．
【详解】解：一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根，
由公式法解一元二次方程可得，
根据勾股定理可得直角三角形斜边的长是，
故答案为：．
【点睛】本题考查勾股定理求线段长，根据题意解出一元二次方程的两根是解决问题的关键．
例3 （2022·贵州毕节·中考真题）2022北京冬奥会期间，某网店直接从工厂购进A、B两款冰墩墩钥匙扣，进货价和销售价如下表：（注：利润=销售价-进货价）
(1)网店第一次用850元购进A、B两款钥匙扣共30件，求两款钥匙扣分别购进的件数；
(2)第一次购进的冰墩嫩钥匙扣售完后，该网店计划再次购进A、B两款冰墩墩钥匙扣共80件（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于2200元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？
(3)冬奥会临近结束时，网店打算把B款钥匙扣调价销售．如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元？
【答案】(1)A、B两款钥匙扣分别购进20件和10件
(2)购进A款冰墩墩钥匙扣40件，购进B款冰墩墩钥匙扣40件时利润最大，最大为1080元
(3)销售价定为每件30元或34元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元
【分析】(1)设A、B两款钥匙扣分别购进x和y件，根据“用850元购进A、B两款钥匙扣共30件”列出二元一次方程组即可求解；
(2)设购进A款冰墩墩钥匙扣m件，则购进B款冰墩墩钥匙扣(80-m)件，根据“进货总价不高于2200元”列出不等式求出；设销售利润为元，得到，随着m的增大而增大，结合m的范围由此即可求出最大利润；
(3)设B款冰墩墩钥匙扣降价a元销售，则平均每天多销售2a件，每天能销售(4+2a)件，每件的利润为(12-a)元，由“平均每天销售利润为90元”得到(4+2a)(12-a)=90，求解即可．
【详解】（1）解：设A、B两款钥匙扣分别购进x和y件，
由题意可知： ，
解出：，
故A、B两款钥匙扣分别购进20和10件．
（2）解：设购进A款冰墩墩钥匙扣m件，则购进B款冰墩墩钥匙扣(80-m)件，
由题意可知：，
解出：，
设销售利润为元，则，
∴是关于m的一次函数，且3＞0，
∴随着m的增大而增大，
当时，销售利润最大，最大为元，
故购进A款冰墩墩钥匙扣40件，购进B款冰墩墩钥匙扣40件时利润最大，最大为1080元．
（3）解：设B款冰墩墩钥匙扣降价a元销售，则平均每天多销售2a件，每天能销售(4+2a)件，每件的利润为(12-a)元，
由题意可知：(4+2a)(12-a)=90，
解出：a1=3，a2=7，
故B款冰墩墩钥匙扣售价为34元或30元一件时，平均每天销售利润为90元．
【点睛】本题考察了二元一次方程组、一元一次不等式的应用、一次函数增减性求利润最大问题及一元二次方程的应用，属于综合题，读懂题意是解决本题的关键．
知识点、一元二次方程的应用
【变式1】（2022·河北保定·一模）某超市销售一种饮料，每瓶进价为6元．当每瓶售价为10元时，日均销售量为160瓶，经市场调查表明，每瓶售价每增加1元，日均销售量减少20瓶．若超市计划该饮料日均总利润为700元，且尽快减少库存，则每瓶该饮料售价为（ ）
A．11B．12C．13D．14
【答案】A
【分析】根据“总利润=每瓶利润日均销售量”列方程求解可得．
【详解】解：设每瓶售价x元时，所得日均总利润为700元，根据题意的，
，
解得x1=11， x2=13，
当x1=11时， ，当x2=13时， ，且，
尽快减少库存，
每瓶该饮料售价为11元．
故选：A．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等关系，并据此列出方程．
【变式2】（2022·甘肃武威·模拟预测）如图1，在矩形ABCD中，动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿折线AB－BC向终点C运动．设点P的运动时间为ts，△APC的面积为，图2是点P运动过程中S与t之间函数关系的图象，则AC的长为（ ）
A．10cmB．8cmC．14cmD．12cm
【答案】A
【分析】设AB=xcm，BC=ycm，由题意可得AB+BC=14，，列方程组求出AB、BC的长，再用勾股定理求出AC的长．
【详解】解：设AB=xcm，BC=ycm，
由图1结合图2可得：当点P与点C重合时，t=7，即点P经过的路程为：7×2=14（cm），
∴AB+BC=14，
即x+y=14①，
当点P与点B重合时，△APC的面积最大，为24（cm2），
∴，
即②，
由①②列方程组，
解得或（根据图形，舍去）
所以，
∴（cm），
故选：A
【点睛】本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
【变式3】（2022·吉林·长春市第四十八中学模拟预测）某水果批发商经销一种高档水果，如果每千克盈利元，平均每天可售出千克，经市场调查发现，若每千克每涨价一元，平均日销量将减少千克，要使商场每天获利最多，那么每千克应涨价______ 元．
【答案】7.5
【分析】设每千克应涨价x元，商场每天的利润为y元，再根据利润=每千克盈利×日销售量，列出y与x的函数关系式，然后配方求最值即可．
【详解】解：设每千克应涨价x元，商场每天的利润为y元，
根据题意得：
当时，y取得最大值，最大值为6 125．
所以要使商场每天获利最多，每千克应涨价7.5元．
故答案为：7.5．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，属于销售利润问题，明确利润=每千克盈利×日销售量是本题的关键，重点理解“每千克涨价一元，日销售量将减少20千克”根据所设的未知数表示此时的销售量，与二次函数的最值结合，求出结论．
【变式4】（2022·福建·厦门市湖里中学模拟预测）已知与中，，，，且点、、在同一直线上，连接，则的面积为______．
【答案】2
【分析】根据题意证明可得，根据，即，可得是直角三角形，根据勾股定理求得，进而根据三角形面积公式即可求解．
【详解】解：设交于点，如图，
，，，
，，
，
，
，
即，
是直角三角形，
，
即，
解得或（舍去），
，
的面积为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质与判定，解一元二次方程，证明是直角三角形是解题的关键．
【变式5】（2022·江苏宿迁·一模）2022年2月4日，第24届冬季奥林匹克运动会在北京胜利召开，在冬奥会期间，北京某校打算组织部分师生利用周日时间到现场观看比赛，经了解在离学校最近的比赛场馆当日共有A、B两场比赛，两场比赛的票价如下图所示，其中x轴表示一次性购票人数，y轴表示每张票的价格，如：一次性购买A场比赛门票10张，票价为400元/张，若一次性购买A场比赛门票80张，则每张票价为200元．
(1)若一次性购买B场比赛门票10张，则每张票价为___________元（直接写出结果）．
(2)若一次性购买A场比赛门票张，需支付门票费用多少元？（用a的代数式表示）
(3)该校共组织120人（每人购买一张门票）分两组分别观看A、B两场比赛，共花费32160元，若观看A场比赛的人数不足50人，则有多少人观看了B场比赛？
【答案】(1)
(2)
(3)99或72
【分析】(1) 对于B场门票，求得当时，票价与购票人数之间的函数关系式，把代入即可；
(2) 对于A场门票，求得时，票价与购票人数之间的函数关系式，把代入即可求解；
(3) 设观看A场比赛的人数为人，，则观看B场比赛的人数为人，根据题意应分两种情况：第一种情况：当；第二种情况：当时分别列出方程进行求解即可．
(1)
解：对于B场门票，当时，票价与购票人数之间的函数关系式为，
∵该直线过点(70，240)，(0，450)，
∴可得 ，解得，
∴，
∴当时，，
∴一次性购买B场比赛门票10张，则每张票价为元，
故答案为：；
(2)
解：对于A场门票，当时，票价与购票人数之间的函数关系式为，
∵该直线过点(30，400)，(70，200)，
∴可得 ，解得，
∴，
∴当时，，
∴若一次性购买A场比赛门票张，需支付门票费用元；
(3)
解：设观看A场比赛的人数为人，，则观看B场比赛的人数为人，根据题意应分两种情况：
第一种情况：当，
由题意得，
解得，
∴观看了B场比赛的有人；
第二种情况：
当时，由题意得，
解得(不合题意舍去)，
∴观看B场比赛的人数有人，
综上可得，观看A场比赛的人数不足50人，则有人或72人观看了B场比赛．
【点睛】本题考查了函数的图象、待定系数法求一次函数的解析式及一次方程的应用，分类讨论分段求解是解题的关键．
【新题速递】
1．（河南省驻马店市2022-2023学年九年级上学期期中数学试题）关于x的方程：①，②，③，④，其中一元二次方程的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【详解】解：①，当时，该方程不是一元二次方程；
②属于分式方程；
③符合一元二次方程的定义；
④是一元二次方程，
综上所述，其中一元二次方程的个数是2个．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的概念是解题的关键．只有一个未知数且未知数最高次数为的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（）．特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
2．（2022·全国·七年级专题练习）某冷饮店中的A种可乐比B种可乐每杯贵3元，小霖买了2杯A种可乐、3杯B种可乐，一共花了31元，问A种可乐、B种可乐每杯分别是多少元？若设A种可乐x元，则下列方程中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】设A种可乐x元，则B种可乐元，根据小霖买了2杯A种可乐、3杯B种可乐，一共花了31元，即可列出对应方程．
【详解】解：设A种可乐x元，则B种可乐元，根据题意可得：
．
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，读懂题意，找出等量关系列方程是解答本题的关键．
3．（2022·山东·泰安市泰山区大津口中学八年级阶段练习）若关于x的分式方程无解，则m的值为（ ）
A．2B．1C．0D．﹣1
【答案】B
【分析】先把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，然后根据分式方程无解，可得，再代入整式方程，即可求解．
【详解】解：去分母得：，
解得∶
因为分式方程无解，
所以，即，
把代入整式方程得：，
解得：．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了分式方程无解的问题，熟练掌握解分式方程的基本步骤是解题的关键．
4．（2022·湖北·武汉二中广雅中学九年级阶段练习）用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则b的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用系数化1，移项，配方将一元二次方程转化为，即可得解．
【详解】解：，
系数化1，得：，
移项，得：，
配方，得：，
即：；
∴；
故选B．
【点睛】本题考查一元二次方程的配方法．熟练掌握配方法的步骤，是解题的关键．
5．（2022·湖北·武汉市第六初级中学七年级阶段练习）如图所示的是年月份的月历，月历中，用以下形状的四个阴影图形依次分别覆盖其中四个数字，若覆盖的四个数字之和为，则不可能是哪一个形状覆盖的结果（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据各正方形中数字的数量关系列方程求解，逐项判断即可；
【详解】解：A、设左上角的正方形中的数是，则，解得：，覆盖，，，这四个数字之和为；不符合题意；
B、设左上角的正方形中的数是，则，解得：，覆盖，，，这四个数字之和为；不符合题意；
C、设左上角的正方形中的数是，则，解得：，覆盖，，，这四个数字之和为；不符合题意；
D、设上面的正方形中的数是，则，解得：（不是整数，舍去）；故该形状不能覆盖四个数，使它们的和为；符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用；根据题意列出相对应的方程是解题的关键．
6．（2022·广东·东莞市伊顿海逸外国语学校七年级期中）小亮求得方程组的解为，由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和★，请你帮他找回这两个数，“●”“★”表示的数分别为（ ）
A．5，2B．，2C．8，D．5，4
【答案】C
【分析】根据方程的解的定义，把代入，求得的值，进而求出●的值，即可得到答案．
【详解】解：把代入，可得 ，
解得 ，
把，代入可得 ，
则“●”“★”表示的数分别为8，．
故选：C．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组的解能够满足各个方程是解题的关键．
7．（2022·重庆实验外国语学校八年级阶段练习）已知两个分式：，；将这两个分式进行如下操作：
第一次操作：将这两个分式作和，结果记为；作差，结果记为；
（即，）
第二次操作：将，作和，结果记为；作差，结果记为；（即，）
第三次操作；将，作和，结果记为；作差，结果记为；（即，）
…（依此类推）
将每一次操作的结果再作和，作差，继续依次操作下去，通过实际操作，有以下结论：
①；②当时，；③若，则；
④在第2n（n为正整数）次操作的结果中：，．
以上结论正确的个数有（ ）个．
A．4B．3C．2D．1
【答案】B
【分析】设，，分别求出，，，，…，，，得到规律，即可一一判断．
【详解】设，，则，；，；，；，；
，；
，；
，；
…
一般地：，，则④正确；
∴，故①正确；
当时，，而，
∴，故②正确；
若，即，解得：，故③错误；
故正确的有3个；
故选：B．
【点睛】本题是规律探索问题，考查了分式的运算，解分式方程等知识，关键是由特殊出发得到一般规律．
8．（2022·重庆八中模拟预测）关于x，y的二次三项式（m为常数），下列结论正确的有（ ）
①当时，若，则
②无论x取任何实数，等式都恒成立，则
③若，则
④满足的正整数解共有25个
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【分析】①将代入代数式，计算即可；②又可得，再根据题意求解即可；③两方程相加，令，可化为，求解即可；④根据题意可得，列出正整数解，即可．
【详解】解：将代入可得，，即
解得或，即或，①错误；
由可得，
∵无论x取任何实数，等式都恒成立，
∴，②正确；
两式相加可得：
即
令，则，解得，
即或，③错误；
由可得
正整数解为：
，总共有个，④错误
正确的个数为1，
故选：A
【点睛】本题主要考查了整式加减，二元一次不等式的解，完全平方公式，一元二次方程的解，解题的关键是熟练掌握相关运算法则以及灵活运用完全平方公式．
9．（2022·江苏·南京市竹山中学七年级阶段练习）如果关于的方程的解是，则______．
【答案】
【分析】将代入中即可得出答案．
【详解】解：将代入中，
得：，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解的定义，熟知一元一次方程的解即为能使方程成立的未知数的值是解本题的关键．
10．（2022·全国·八年级专题练习）一个两位数的数字和为14，若调换个位数字与十位数字，新数比原数大36，则这个两位数是______．
【答案】59
【分析】设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y，根据题意可以得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再将其代入中即可．
【详解】解：设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y，
依题意得：，
解得：，
∴．
故答案为：59．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
11．（2022·吉林省第二实验学校八年级阶段练习）若关于x的分式方程有负数解，则m的取值范围为______．
【答案】且
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出，根据方程有负数解，分式有意义的条件，列出关于的不等式，求出不等式的解集即可得到的范围．
【详解】解：去分母得：，
解得：，
根据题意得：，且，
解得：且．
故答案为：且．
【点睛】此题考查了分式方程的解，解题的关键是用的代数式表示．
12．（2022·江苏·苏州工业园区星汇学校九年级期中）已知实数、、满足，则实数的最大值为 __．
【答案】2022
【分析】仔细观察等式左侧，先将多项式进行分组，再利用配方法化简其形式，最后根据平方的非负性确定的最大值.
【详解】解：，
，
，
，
，
，
当时，的值最大，
，
，
实数的最大值为2022，
故答案为：2022．
【点睛】本题考查了配方法与平方的非负性，能够识别多种情况下的配方条件，正确的配方是解题关键.
13．（2022·上海嘉定·八年级期末）阅读材料：设一元二次方程的两根为，，则两根与方程系数之间有如下关系：，根据该材料填空：已知、是方程的两实数根，则的值为______．
【答案】
【分析】、是方程的两实数根，根据，，即可求出答案．
【详解】解：、是方程的两实数根，根据，，
，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，难度一般，关键掌握，是一元二次方程的两根时，，．
14．（2022·江苏·沭阳县怀文中学九年级期中）对于实数a、b，定义运算“*”； ，关于的方程恰好有三个不相等的实数根，则的取值范围是___________．
【答案】##
【分析】根据新定义的运算，分两种情况得出两个关于的一元二次方程，再由关于的方程恰好有三个实数根，得到关于的两个一元二次方程的根的情况，然后分情况讨论，确定t的取值范围．
【详解】解：由新定义的运算可得关于的方程为：
当时，即时，有，
即：，其根为：是负数，
当时，即，时，有，
即：，
要使关于的方程恰好有三个不相等的实数根，则和都必须有解，
∴，
∴，
（1）当时，即时，方程只有一个根，
∵当时，，
∴，，
∴此时方程只有一个根符合题意，
∴不符合题意；
（2）当时，方程的两个根都符合题题意，
∵当时，，
∴，，
∴方程只有一个根符合题意，
∴当时，恰好有三个不相等的实数根；
（3）∵当时，方程的一个根，另外一个根，
∴此时方程只有一个根符合题意，
∵，，
∴当时，方程最多有一个根符合题意，
∴当时不可能有三个不相等的实根；
综上分析可知，的取值范围是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了新运算及利用一元二次方程根的情况求字母的取值范围，读懂题意，进行分类讨论，是解题的关键．
15．（2022·江苏·苏州高新区第二中学七年级阶段练习）解方程：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：
去分母得，
去括号得，
移项得，
合并同类项得，
系数化为1得，；
（2）解：
去分母得，
去括号得，
移项得，
合并同类项得，
系数化为1得，．
【点睛】本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
16．（2022·福建省福州第十四中学七年级期中）解下列方程组：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用代入消元法解答，即可求解；
（2）利用加减消元法解答，即可求解．
【详解】（1），
把①代入②得，，
解得，
把代入①得，
所以方程组的解为；
（2），
①得，③，
②③得，，
解得，
把代入①得，，
解得，
所以方程组的解为．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法——加减消元法，代入消元法是解题的关键．
17．（2022·福建福州·八年级期末）已知，．
(1)当时，求x的取值范围；
(2)设．
①当时，求x的值；
②若x为整数时，求y的正整数值．
【答案】(1)且；
(2)①1；②1或7．
【分析】（1）根据，可得，再根据分式有意义的条件，即可求解；
（2）先代入，可得，①根据，可得到关于x的方程，即可求解；②先变形为，再由x为整数，y为正整数，即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵为分式，
∴，
∴，
∴x的取值范围为且；
（2）解：根据题意，得，
①当时，，
解得，
经检验，是原分式方程的解，
∴当时，x的值为1；
②，
∵x为整数，y为正整数，
∴或1或或，
当，即时，；
当时，，不合题意，舍去；
当，即时，；
当，即时，不合题意，舍去；
综上所述，当x为整数时，y的正整数值为1或7．
【点睛】本题主要考查了解分式方程，分式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
18．（2022·四川省南充市第九中学九年级阶段练习）已知关于x的一元二次方程为有实数根．
(1)求的取值范围；
(2)设为此方程的两根，且满足，求的值．
【答案】(1)
(2)-1
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式列出关于m的一元一次不等式求解即可；
（2）根据根与系数的关系可得出，再结合可得出关于m的一元二次方程，取其小于等于的值即可．
【详解】（1）解：由题意得：，解得：．
（2）解：由根与系数关系得：
∵
∴
∴即，解得或
∵
∴．
【点睛】本题主要考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是牢记“当△≥0时，方程有实数根”并据此列出关于m的一元二次方程．
19．（2022·山东·泰安市泰山区大津口中学八年级阶段练习）某书店在图书批发中心选购A，B两种科普书，A种科普书每本进价比B种科普书每本进价多20元，若用2400元购进A种科普书的数量是用950元购进B种科普书数量的2倍．
(1)求A，B两种科普书每本进价各是多少元；
(2)该书店计划A种科普书每本售价为126元，B种科普书每本售价为86元，购进A种科普书的数量比购进B种科普书的数量的还多4本，若A，B两种科普书全部售出，使总获利超过1560元，则至少购进B种科普书多少本？
【答案】(1)A种科普书每本的进价为96元，B种科普书每本的进价为76元；
(2)至少购进B种科普书75本
【分析】（1）设B种科普书的进价为x元/本，则A种的进价为元/本，根据用2400元购进A种科普书的数量是用950元购进B种科普书数量的2倍列分式方程解答；
（2）设购进B种科普书m本，则购进A种科普书本，根据总获利超过1560元列不等式解答．
【详解】（1）解：设B种科普书的进价为x元/本，则A种的进价为元/本，
根据题意得：，
解得：，
经检验：是所列分式方程的解，且符合题意，
∴，
答：A种科普书每本的进价为96元，B种科普书每本的进价为76元；
（2）设购进B种科普书m本，则购进A种科普书本，
根据题意得：，
解得：，
∵m为正整数，且为正整数，
∴m为3的倍数，
∴m的最小值为75，
答：至少购进B种科普书75本．
【点睛】此题考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列得方程或不等式是解题的关键．
20．（2022·江苏江苏·九年级期中）阅读理解以下内容，解决问题：
解方程：．
解：，
方程即为：，
设，原方程转化为：
解得，，，
当时，即，，；
当时，即，不成立．
综上所述，原方程的解是，．
以上解方程的过程中，将其中作为一个整体设成一个新未知数，从而将原方程化为关于的一元二次方程，像这样解决问题的方法叫做“换元法”（“元”即未知数）．
(1)已知方程：，若设，则利用“换元法”可将原方程化为关于的方程是______；
(2)仿照上述方法，解方程：．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据完全平方公式由，得，再变形原方程便可；
（2）设，则，得，再解一元二次方程，最后代入所设代数式解方程便可．
【详解】（1）设，
则，
可化为：，
即，
故答案为：；
（2）设，则，
原方程可化为：，
整理得，
，
或，
或，
当时，，
解得，
当时，无解，
检验，当时，左边右边，
是原方程的解，
故原方程的解为：．
【点睛】本题主要考查了换元法，无理方程，关键掌握换元法的思想方法．
核心考点
核心考点一 等式的基本性质
核心考点二 一元一次方程的解法及其应用
核心考点三 二元一次方程组的解法及其应用
核心考点四 分式方程的解法及其应用
核心考点五 一元二次方程及其解法
核心考点六 一元二次方程根的判别式
核心考点七 一元二次方程根与系数的关系
核心考点八 一元二次方程的实际应用
新题速递
车速（）
40
41
42
43
44
45
频数
6
8
15
3
2
去分母
若未知数的系数有分母，则要去分母。注意要在方程的两边都乘以各分母的最小公倍数。
去括号
若方程含有括号，则先去小括号，再去中括号，最后去大括号。若去括号时括号前是负号，去掉括号后，括号内的各项均要 。
移项
把含有未知数的项移到等式的一边，其他项移到另一边。一般把含 的项移到等式左边。移项要改变符号。
合并同类项
把方程化成 （）的形式。
系数化为1
方程两边同 未知数的系数，得到方程的解。
行程问题
基本关系式:路程=速度×时间.
相遇问题:甲走的路程+乙走的路程=总路程.
追及问题:同地不同时出发:前者走的路程=后者走的路程;同时不同地出发:慢者走的路程+两地间距离=快者走的路程.
储蓄问题
本金×利率×期数=利息,本金+利息=本息和.
销售问题
总价=单价×数量,利润率=×100%,利润=售价-成本(或进价)=利润率×成本.
分配问题
总量=甲的数量+乙的数量,总金额=甲的金额+乙的金额.
工程问题
工作总量=工作效率×工作时间,甲、乙合作的工作效率=甲的工作效率+乙的工作效率.
增长率问题
已知基础量为a,增长后为b,若设增长率为x,则可得a(1+x)=b.
数字问题
十位a，个位b，表示为10a+b；百位a，十位b，个位c，表示为100a+10b+c
甲超市促销信息栏
乙超市促销信息栏
全场折
不超过元不优惠；
超过元而不超过元，打折；
超过元，元部分优惠，超过元部分打折．
定义
方程的解
解的情况
二元一次方程
含有 个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程。
使二元一次方程两边的值 的两个未知数的值。
有无数组解
二元一次方程组
把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起。
一般地，二元一次方程组的两个方程的 叫做二元一次方程组的解。
只有一组公共解
基本
思路
去分母，化分式方程为整式方程。
一般
步骤
①方程两边同时乘以各分式的 ，化为整式方程；
②解整式方程；
③检验，把整式方程的解代入最简公分母，看计算结果是否为0，若结果不为0，说明此解是原分式方程的解；若为0，则为增根，原分式方程无解。
验根
方法
方法一：利用方程解的定义，直接代回原方程检验；
方法二：把整式方程的解代入最简公分母，看计算结果是否为0。
行程问题
基本关系式：
常用关系式：（注意统一单位）
；
工程问题
基本关系式：
常用关系式：
销售问题
基本关系式：
常用关系式：
解法
适用情况
方程的根
直接开平方
，
，
配方法
（，）→
公式法
（，）
因式分解法
→
，
一元二次方程（）的判别式
方程 实数根
方程 实数根
方程 实数根
类别
价格
A款钥匙扣
B款钥匙扣
进货价（元/件）
30
25
销售价（元/件）
45
37
变化率问题
设为原来的量,为平均增长率,为增长次数,为增长后的量,则；当为平均下降率,为下降后的量时,
利率问题
本息和=本金+利息
利息=本金×利率×期数
销售利润问题
毛利润=销售总额-进货总额
纯利润=销售总额-进货总额-其他费用
利润率=利润÷成本×100%
销售总额=售价×销量
进货总额=进价×进货数量
单循环问题
若共有个队，每个队都与其他队比赛一场，则一共比赛场
一、复习方法
1.以专题复习为主。 2.重视方法思维的训练。
3.拓宽思维的广度，培养多角度、多维度思考问题的习惯。
二、复习难点
1.专题的选择要准，安排时间要合理。 2.专项复习要以题带知识。
3.在复习的过程中要兼顾基础，在此基础上适当增加变式和难度，提高能力。
第二部分 方程（组）与不等式（组）
专题04 方程（组）及其应用 （8大考点）
核心考点一 等式的基本性质
例1 （2022·青海·中考真题）下列说法中，正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】C
【分析】直接利用等式的基本性质以及结合绝对值的性质分析得出答案．
【详解】解：A、若ac=bc，当c≠0，则a=b，故此选项错误；
B、若，则，故此选项错误；
C、若，则，故此选项正确；
D、若，则，故此选项错误；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了等式的基本性质，正确把握等式的基本性质是解题关键．
例2 （2021·安徽·中考真题）设a，b，c为互不相等的实数，且，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】举反例可判断A和B，将式子整理可判断C和D．
【详解】解：A．当，，时，，故A错误；
B．当，，时，，故B错误；
C．整理可得，故C错误；
D．整理可得，故D正确；
故选：D．
【点睛】本题考查等式的性质，掌握等式的性质是解题的关键．
例3 （2022·福建·中考真题）推理是数学的基本思维方式、若推理过程不严谨，则推理结果可能产生错误．
例如，有人声称可以证明“任意一个实数都等于0”，并证明如下：
设任意一个实数为x，令，
等式两边都乘以x，得．①
等式两边都减，得．②
等式两边分别分解因式，得．③
等式两边都除以，得．④
等式两边都减m，得x＝0.⑤
所以任意一个实数都等于0.
以上推理过程中，开始出现错误的那一步对应的序号是______．
【答案】④
【分析】根据等式的性质2即可得到结论．
【详解】等式的性质2为：等式两边同乘或除以同一个不为0的整式，等式不变，
∴第④步等式两边都除以，得，前提必须为，因此错误；
故答案为：④．
【点睛】本题考查等式的性质，熟知等式的性质是解题的关键．
知识点、等式的基本性质（注意:等式的基本性质是解方程的依据）
基本性质1：等式两边同时加上(或减去)同一个数(或式子),所得结果仍是等式.
基本性质2：等式两边同时乘同一个数(或除以同一个不为零的数),所得结果仍是等式.
性质3：如果，那么（对称性）
性质4：如果，，那么（传递性）
【变式1】（2022·安徽·合肥市五十中学西校三模）已知实数a，b，c满足，．则下列结论正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．a，b，c不可能同时相等D．若，则
【答案】B
【分析】A.根据，则，根据，得出；
B.根据，得出，把代入得：，即可得出答案；
C.当时，可以使，，即可判断出答案；
D.根据解析B可知，，即可判断．
【详解】A.∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故A错误；
B.∵，即，
∴，
把代入得：，
，
解得：，故B正确；
C.当时，可以使，，
∴a，b，c可能同时相等，故C错误；
D.根据解析B可知，，把代入得：，故D错误．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了分式的化简，等式基本性质和不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质和等式的性质，是解题的关键．
【变式2】（2022·安徽芜湖·二模）已知三个实数a，b，c满足，则下列结论不成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】将等式整理得，，①+②可求值，进而可判断B的正误，将代入①式得，可判断C的正误，由，，，计算求解可判断A，D的正误．
【详解】解：∵，
∴，
①+②得，即
解得
∴B正确，故不符合题意；
将代入①式得
∴C正确，故不符合题意；
∵
∴
∴，
∴
∴D正确，故不符合题意；A错误，故符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查了等式的性质．解题的关键在于对等式性质的熟练掌握与灵活运用．
【变式3】（2022·贵州黔西·二模）已知，则______.
【答案】
【分析】根据可得到，将代入求解即可得到答案．
【详解】解：，
，
将代入得
，
故答案为：．
【点睛】本题考查代数式求值，根据条件用一个未知数表示另一个未知数代入求值是解决问题的关键．
【变式4】（2021·江苏·正衡中学一模）设实数a、b、c满足，，则=_______．
【答案】3
【分析】将变形，分别代入原式的分子中，得到，化为最简后，代入即可.
【详解】解：∵，，
∴===2-c+2-a+2-b=6-=3.
故答案为：3.
【点睛】本题考查了分式中的条件求值，需注意观察条件与结论区别与联系，整体代入是解题的关键.
【变式5】（2022·江西·石城县教育局教研室二模）已知，且，求证： ．
【答案】见解析
【分析】将和两边都同时乘abc，整理，再相加，最后再除，即可证明．
【详解】解：，
，
将①，②两边同时乘abc，得，
，
整理，得：
③+④，得：，
整理，得：．
由题意可知abc都不为0，
∴可将⑤两边同时除，
得：．
【点睛】本题考查等式的性质，整式的混合运算，分式的混合运算，分式有意义的条件．熟练掌握等式的性质是解题关键．
核心考点二 一元一次方程的解法及其应用
例1 （2022·贵州黔西·中考真题）小明解方程的步骤如下：
解：方程两边同乘6，得①
去括号，得②
移项，得③
合并同类项，得④
以上解题步骤中，开始出错的一步是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【答案】A
【分析】按照解一元一次方程的一般步骤进行检查，即可得出答案．
【详解】解：方程两边同乘6，得①
∴开始出错的一步是①，
故选：A．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤以及注意事项是解决问题的关键．
例2 （2022·黑龙江牡丹江·中考真题）某商品的进价为每件10元，若按标价打八折售出后，每件可获利2元，则该商品的标价为每件______元．
【答案】15
【分析】设该商品的标价为每件x元，根据八折出售可获利2元，可得出方程：80%x-10=2，再解答即可．
【详解】解：设该商品的标价为每件x元，
由题意得：80%x-10=2，
解得：x=15．
所以该商品的标价为每件15元．
故答案为：15．
【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，关键是仔细审题，得出等量关系，列出方程，难度一般．
例3 （2022·江苏镇江·中考真题）某地交警在一个路口对某个时段来往的车辆的车速进行监测，统计数据如下表：
其中车速为40、43（单位：）的车辆数分别占监测的车辆总数的12%、32%．
(1)求出表格中的值；
(2)如果一辆汽车行驶的车速不超过的10%，就认定这辆车是安全行驶．若一年内在该时段通过此路口的车辆有20000辆，试估计其中安全行驶的车辆数．
【答案】(1)16
(2)19200辆
【分析】（1）由车速的占比求得总的车辆数，然后相乘可得
（2）先计算安全行驶的占比，再用该占比估算即可
（1）
方法一：由题意得，
；
方法二：由题意得，
解得：；
（2）
由题意知，安全行驶速度小于等于．
因为该时段监测车辆样本中安全行驶的车辆占总监测车辆的占比为，
所以估计其中安全行驶的车辆数约为：（辆）
【点睛】本题考查了频数的计算，掌握频率的计算公式是解题关键，频率=频数÷总数．本题的占比就是频率．
知识点一、一元一次方程及其解法
一元一次方程:只含有1个未知数(元)，并且未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程。任何一个一元一次方程都可
以化成ax+b=0（a，b是常数，且a≠0）的形式。
温馨提示
形如(其中，为常数，且)的方程为一元一次方程，判断时应抓住以下两点：(i)原方程必是整式方程；(ii)化成一般形式后只含有一个未知数，且未知数的次数为1。
知识点二、一次方程（组）的实际应用
1、列一次方程(组)解应用题的步骤
审：审清题意，分清题中的已知量、未知量，搞清题中的等量关系；
设：设关键未知数；
列：根据题中的等量关系，列方程(组)；
解：解方程(组)；
验：检验所解答案是否符合题意；
答：规范作答，注意单位名称。
2、常见的关系式
【变式1】（2022·湖南·长沙市南雅中学二模）在风凰山教育共同体数学学科节中，为展现数学的魅力，M老师组织了一个数学沉浸式互动游戏：随机请A，B，C，D，E五位同学依次围成一个圆圈，每个人心里先想好一个实数，并把这个数悄悄的告诉相邻的两个人，然后每个人把与自己相邻的两个人告诉自己的数的平均数报出来．若A，B，C，D，E五位同学报出来的数恰好分别是1，2，3，4，5，则D同学心里想的那个数是（ ）
A．B．C．5D．9
【答案】D
【分析】设报D的人心里想的数是x，则再分别表示报A，C，E，B的人心里想的数，最后通过平均数列出方程，解方程即可．
【详解】解：设D同学心里想的那个数是x，报A的人心里想的数是10-x，报C的人心里想的数是x-6，报E的人心里想的数是14-x，报B的人心里想的数是x-12，
所以有x-12+x=2×3，
解得：x=9．
故选：D．
【点睛】本题考查的知识点有平均数的相关计算及方程思想的运用，把题中的等量关系全部展示出来，再结合题意进行整合，问题即可解决．
【变式2】（2022·浙江金华·二模）一条数轴上有点A、B，点C在线段AB上，其中点A、B表示的数分别是－8，6，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A'落在射线CB上，并且A'B=4，则C点表示的数是（ ）
A．1B．－1C．1或－2D．1或－3
【答案】D
【分析】设出点C所表示的数，根据点A、B所表示的数，表示出AC的距离，在根据A′B=4，表示出A′C，由折叠得，AC=A′C，列方程即可求解．
【详解】解：设点C所表示的数为x，AC=x-（-8）=x+8，
∵A′B=4，B点所表示的数为6，
∴A′表示的数为4+6=10或6-4=2，
∴AA′=10-（-8）=18，或AA′=2-（-8）=10，
根据折叠得，AC=AA′，
∴x+8=×18或x+8=×10，
解得：x=1或-3，
故选：D．
【点睛】本题考查了数轴表示数的意义，掌握数轴上两点之间的距离公式是解决问题的关键，点A、B在数轴上表示的数分别为a、b，则AB=|a-b|．
【变式3】（2020·浙江·模拟预测）一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是﹣16、9，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A对应的点落在点B的右边，并且，则C点表示的数是______．
【答案】
【分析】设点C所表示的数为x，则AC＝x+16，BC＝9﹣x，根据AC＝A′C，列出关于x的方程，解出方程即可．
【详解】解：设点C所表示的数为x，则AC＝x+16，BC＝9﹣x，
∵A′B＝3，B点表示的数为9，
∴点A′表示的数为9+3＝12，
根据折叠得，AC＝A′C
∴x+16＝12﹣x，
解得，x＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点睛】本题考查数轴上两点之间的距离问题，能用两点间的坐标正确地表示出两点间的距离是解题的关键．
【变式4】（2022·北京四中模拟预测）“格子乘法”作为两个数相乘的一种计算方法，最早在15世纪由意大利数学家帕乔利提出，在明代数学家程大位著的《算法统宗》一书中被称为“铺地锦”．例如：如图1，计算，将乘数46写在方格上边，乘数71写在方格右边，然后用乘数46的每位数字乘以乘数71的每位数字，将结果记入相应的方格中，最后沿斜线方向相加，得3266．如图2，用“格子乘法”计算两个两位数相乘，则______．
【答案】6
【分析】根据“格子乘法”可得10（10+6-k-k）+(k-3-1)=7k，解方程可得．
【详解】解：根据题意可得
10（10+6-k-k）+(k-3-1)=7k
解得k=6
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，根据“格子乘法”分析图示，列出方程是关键．
【变式5】（2022·辽宁朝阳·模拟预测）根据小王在两个超市看到的商品促销信息解决下列问题：
(1)当一次性购物标价总额是元时，甲、乙两超市实付款分别是多少？
(2)当一次性购物标价总额是多少时，甲、乙两超市实付款一样？
【答案】(1)甲超市实付款340元，乙超市实付款360元；
(2)当一次性购物标价总额为1000元时，甲、乙两超市实付款一样．
【分析】（1）根据两家超市的优惠方案，可知当一次性购物标价总额是400元时，甲超市实付款=购物标价，乙超市实付款，分别计算即可；
（2）设当标价总额是x元时，甲、乙超市实付款一样．根据甲超市实付款=乙超市实付款列出方程，求解即可．
【详解】（1）当一次性购物标价总额是400元时，
甲超市实付款为（元），
乙超市实付款为（元），
答：甲超市实付款340元，乙超市实付款360元；
（2）由题意可知：当一次性购物标价总额不超过500元时，
乙超市实付款一定比甲超市多，
设一次性购物标价总额为x元时，甲、乙两超市实付款一样，
由题意可得：，
解得：，
答：当一次性购物标价总额为1000元时，甲、乙两超市实付款一样．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，理解两家超市的优惠方案，进行分类讨论是解题的关键．
核心考点三 二元一次方程的解法及其应用
例1 （2022·湖北武汉·中考真题）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图（1）就是一个幻方．图（2）是一个未完成的幻方，则与的和是（ ）
A．9B．10C．11D．12
【答案】D
【分析】根据题意设出相应未知数，然后列出等式化简求值即可．
【详解】解：设如图表所示：
根据题意可得：x+6+20=22+z+y，
整理得：x-y=-4+z，
x+22+n=20+z+n，20+y+m=x+z+m，
整理得：x=-2+z，y=2z-22，
∴x-y=-2+z-(2z-22)=-4+z，
解得：z=12，
∴x+y
=3z-24
=12
故选：D．
【点睛】题目主要考查方程的应用及有理数加法的应用，理解题意，列出相应方程等式然后化简求值是解题关键．
例2 （2020·甘肃天水·中考真题）已知，，则的值为_________．
【答案】1
【分析】观察已知条件可得两式中a与b的系数的差相等，因此把两式相减即可得解．
【详解】解：①，②，
②-①得，2a+2b=2，
解得：a+b=1,
故答案为：1．
【点睛】此题主顾考查了二元一次方程组的特殊解法，观察条件的结构特征得出2a+2b=2是解答此题的关键．
例3 （2022·贵州黔西·中考真题）某乡镇新打造的“田园风光”景区今年计划改造一片绿化地，种植A、B两种花卉，已知3盆A种花卉和4盆B种花卉的种植费用为330元，4盆A种花卉和3盆B种花卉的种植费用为300元．
(1)每盆A种花卉和每盆B种花卉的种植费用各是多少元？
(2)若该景区今年计划种植A、B两种花卉共400盆，相关资料表明：A、B两种花卉的成活率分别为70%和90%，景区明年要将枯死的花卉补上相同的新花卉，但这两种花卉在明年共补的盆数不多于80盆，应如何安排这两种花卉的种植数量，才能使今年该项的种植费用最低？并求出最低费用．
【答案】(1)每盆A种花卉种植费用为30元，每盆B种花卉种植费用为60元
(2)种植A、B两种花卉各200盆，能使今年该项的种植费用最低，最低费用为18000元
【分析】（1）设每盆A种花卉种植费用为x元，每盆B种花卉种植费用为y元，根据“3盆A种花卉和4盆B种花卉的种植费用为330元，4盆A种花卉和3盆B种花卉的种植费用为300元”列二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）设种植A种花卉的数量为m盆，种植两种花卉的总费用为w元，根据“两种花卉在明年共补的盆数不多于80盆”列不等式求得m的范围，再求得w与m的关系式，利用一次函数的性质求解．
（1）解：设每盆A种花卉种植费用为x元，每盆B种花卉种植费用为y元，根据题意，得，解这个方程组，得答：每盆A种花卉种植费用为30元，每盆B种花卉种植费用为60元；
（2）解：设种植A种花卉的数量为m盆，则种植B种花卉的数量为盆，种植两种花卉的总费用为w元，根据题意，得，解得，，∵，∴w随m增大而减小，当时，．答：种植A、B两种花卉各200盆，能使今年该项的种植费用最低，最低费用为18000元．
【点睛】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的二元一次方程组，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
知识点一、二元一次方程（组）及其解法
1、二元一次方程（组）定义
二元一次方程（组）的解法（基本思想是“消元”）
（1）代入消元法：将一个方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程。
（2）加减消元法：两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等(或通过适当变形后可以使同一个未知数的系数相反或相等)时，把这两个方程的两边分别相加或相减，消去这个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程。
消元法使用技巧（解题时依据方程自身特点，灵活运用消元思想）
一般地，当二元一次方程组中的一个方程的某个未知数的系数是1或-1时，选择代入消元法较简单。
当二元一次方程组中两个方程的某个未知数的系数的绝对值相等或成倍数关
系时，选择加减消元法较简单。
注：还可以用整体代入消元或换元法化繁为简，快速解题。
知识点二、三元一次方程组
1.三元一次方程组:一个方程组中含有三个未知数,每个方程中含未知数的项的
次数都是1,并且一共有三个方程,像这样的方程组叫做三元一次方程组.
2.解三元一次方程组的基本思路
三元一次方程组 二元一次方程组 一元一次方程
【变式1】（2022·广东·华南师大附中三模）如果|x+y-1|和2（2x+y-3）²互为相反数，那么x,y的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据非负数的性质，判断两个非负数必定都是0，列方程组解答即可．
【详解】解：∵，
∴，
解得：，
故选：C．
【点睛】本题考查了绝对值和偶次方的非负性，|x+y-1|和2（2x+y-3）2都是非负数，所以这个数都是0．
【变式2】（2022·广东·揭阳市实验中学模拟预测）如果关于，的方程组的解是整数，那么整数的值为（ ）
A．，，，B．，，，
C．，，，D．，，，
【答案】B
【分析】先将看作已知量，解二元一次方程组，用表示出，再结合，为整数，得出的整数解，然后把的整数解代入，得出的解，再把方程组的整数解代入，即可得出的值．
【详解】解：，
由，可得：，
∵，为整数，
∴当为时，为整数，
∴把的值代入，可得：，，，，，，，，
∴把的整数解代入，可得：，，，，，，，，
∴方程组的整数解为，，，，
把方程组的整数解代入，可得：，，，．
故选：B
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解、解二元一次方程组，解本题的关键是用含m的代数式表示y．
【变式3】（2021·四川成都·三模）已知三个非负实数a，b，c满足：3a+2b+c＝5和2a+b﹣3c＝1，若m＝3a+b﹣7c，则m的最小值为_________________．
【答案】－
【详解】解方程组，用含m的式子表示出a，b，c的值，根据a≥0，b≥0，c≥0，求得m的取值范围从而求得m的最小值．
【解答】解：由题意可得，
解得，，c＝，
由于a，b，c是三个非负实数，
∴a≥0，b≥0，c≥0，
∴﹣≥m≥．
所以m最小值＝．
故本题答案为：．
【点睛】本题考查了三元一次方程组和一元一次不等式组的解法，难点是部分同学不会解含参数m的三元一次方程组．
【变式4】（2022·甘肃庆阳·二模）已知，关于x，y的二元一次方程组的解为，则2a－b＝______．
【答案】4
【分析】把 代入方程组，得出关于a、b的方程组，求出方程组的解即可．
【详解】解：把代入得：
，
解得：，
∴2a－b=2×1-（-2）=2+2=4，
故答案为：4．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，解题的关键是得出关于a、b的方程组．
【变式5】（2022·河南洛阳·二模）已知实数，满足①，②，求和的值．
本题常规的解题思路是将①②两式联立组成方程组，解得，的值．再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量较大．其实，仔细观察两个方程未知数，的系数与所求代数式中，的系数之间的关系，本题还可以通过适当的变形整体求得代数式的值．由①②得：，由①②得，这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
问题解决：
(1)已知二元一次方程组，则值为 ，的值为 ．
(2)某班组织活动购买奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元；买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元．则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？
(3)对于实数，，定义新运算：，其中，，是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，则的值为 ．
【答案】(1)5，
(2)30元
(3)
【分析】（1）根据方程组中两个方程的特点，由即可求出的值，即可求出的值；
（2）设1支铅笔元、1块橡皮元、1本日记本元，列出方程组，先求出，再求出，即可得出答案；
（3）根据题意得出方程组，求出，即可求出的值．
【详解】（1）解：由，可得 ，
∴，
由，可得 ．
故答案为：5，；
（2）（2）设1支铅笔元、1块橡皮元、1本日记本元，
由题意，可得，
由，可得 ，
∴（元，
答：购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元；
（3）∵，，
∴，
由，可得 ，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组及三元一次方程组的整体求法，理解题意，熟练掌握整体计算方法是解题关键．
核心考点四 分式方程的解法及其应用
例1 （2022·黑龙江牡丹江·中考真题）若关于x的方程无解，则m的值为（ ）
A．1B．1或3C．1或2D．2或3
【答案】B
【分析】先将分式方程化成整式方程，再分①整式方程无解，②关于的方程有增根两种情况，分别求解即可得．
【详解】解：将方程化成整式方程为，即，
因为关于的方程无解，
所以分以下两种情况：
①整式方程无解，
则，解得；
②关于的方程有增根，
则，即，
将代入得：，解得；
综上，的值为1或3，
故选：B．
【点睛】本题考查了分式方程无解，正确分两种情况讨论是解题关键．
例2 （2022·湖北黄石·中考真题）已知关于x的方程的解为负数，则a的取值范围是__________．
【答案】且
【分析】把看作常数，去分母得到一元一次方程，求出的表达式，再根据方程的解是负数及分母不为列不等式并求解即可．
【详解】解：由得，
关于x的方程的解为负数，
，即，解得，即且，
故答案为：且．
【点睛】本题考查解分式方程，根据题意及分式的分母不等于零列出不等式组是解决问题的关键．
例3 （2020·新疆·中考真题）某超市销售A、B两款保温杯，已知B款保温杯的销售单价比A款保温杯多10元，用480元购买B款保温杯的数量与用360元购买A款保温杯的数量相同．
(1)A、B两款保温杯的销售单价各是多少元？
(2)由于需求量大， A、B两款保温杯很快售完，该超市计划再次购进这两款保温杯共120个，且A款保温杯的数量不少于B款保温杯数量的两倍．若A款保温杯的销售单价不变，B款保温杯的销售单价降低10%，两款保温杯的进价每个均为20元，应如何进货才能使这批保温杯的销售利润最大，最大利润是多少元？
【答案】(1)A款保温杯的销售单价是30元，B款保温杯的销售单价是40元
(2)进货方式为购进B款保温杯数量为40个，A款保温杯数量为80个，最大利润是1440元
【分析】（1）设A款保温杯的销售单价是x元，B款保温杯的销售单价是（x+10）元，根据用480元购买B款保温杯的数量与用360元购买A款保温杯的数量相同列分式方程解答即可；
（2）设购进B款保温杯数量为y个，则A款保温杯数量为（120-y）个，根据题意求出0< y≤40，设总销售利润为W元，列出一次函数，根据一次函数的性质求解即可．
（1）
解：设A款保温杯的销售单价是x元，B款保温杯的销售单价是（x+10）元，
，
解答x=30，
经检验，x=30是原方程的解，
∴x+10=40，
答：A款保温杯的销售单价是30元，B款保温杯的销售单价是40元；
（2）
B款保温杯销售单价为40×（1-10%）=36元，
设购进B款保温杯数量为y个，则A款保温杯数量为（120-y）个，
120-y≥2y，
解得y≤40，
∴0< y≤40，
设总销售利润为W元，
W=（30-20）（120-y）+（36-20）y=6y+1200，
∵W随y的增大而增大，
∴当y=40时，利润W最大，最大为6×40+1200=1440元，
进货方式为购进B款保温杯数量为40个，A款保温杯数量为80个，最大利润是1440元．
【点睛】此题考查了分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
知识点一、分式方程的相关概念
定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别。
增根：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，使方程中的分母为0，这样的根叫方程的增根。
知识点二、解分式方程
例：
解：最简公分母：
检验：当时，
所以原分式方程的解为
知识点三、分式方程的实际应用
列分式方程解应用题的一般步骤
审：审清题意，分清题中的已知量、未知量，搞清等量关系。
设：设出未知数。
列：根据题中的等量关系，列出分式方程。
解：解分式方程
验：既要检验所得的解是否适合分式方程，又要检验是否符合实际问题。
答：完整作答（包括单位）
常见模型及关系式
【变式1】（2022·河南·嵩县教育局基础教育教学研究室一模）方程的解为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】直接利用解分式方程的一般步骤解分式方程即可求解．
【详解】
解：去分母，得，
∴，
解得，
检验：当时，，
∴是原分式方程的解，
故选：D
【点睛】本题考查了分式方程的解法，注意：解分式方程时，一定不能漏掉检验．
【变式2】（2022·重庆市第三十七中学校二模）若数a既使得关于x的不等式组无解，又使得关于y的分式方程的解不小于1，则满足条件的所有整数a的和为( )
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先根据关于的不等式组无解求出数的范围，再根据关于的分式方程的解不小于1求出数的范围，然后再取数的范围的公共部分，从而即可求解．
【详解】解：解不等式，得，
解不等式，得，
于x的不等式组无解，
，
；
又解分式方程，得且，
关于y的分式方程的解不小于1，
且，
且；
综上可知：，
满足条件的所有整数a的和为：，
故选：C．
【点睛】此题考查了一元一次不等式组、分式方程，熟练掌握已知一元一次不等式组的解集求参数的范围、已知分式方程的解的范围求参数的取值范围的解题方法是解答此题的关键．
【变式3】（2022·山东省淄博第六中学模拟预测）关于x的分式方程有增根，则m的值为______ ．
【答案】2
【分析】分式方程有增根，说明增根一定是分母为0时未知数的值，即可求出增根，再代入去分母后的方程中即可求出参数的值．
【详解】解：∵关于x的分式方程有增根
∴，即
去分母，得：
把代入，得
故答案是：2
【点睛】本题考查分式方程的增根和参数的求法，正确理解增根的概念是解题的关键．
【变式4】（2022·黑龙江黑龙江·三模）关于x的分式方程有解，则a的取值范围是________．
【答案】且
【分析】先求出使分式方程无意义时，a的取值范围，再用逆向思维求出当分式方程有解时a的取值范围．
【详解】解：∵，
∴，
∵有解，
则或，
∴，
当时，，
故a的取值是1，
当时，，
两边同乘，，
∴，
当2-a=0时，方程无解，此时a=2，
故答案为：且．
【点睛】本题考查分式方程的解，以及分式方程无意义的解，能够熟练掌握解分式方程的方法是解决本题的关键．
【变式5】（2022·广东·深圳市宝安中学（集团）三模）2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆，三名航天员平安归来，神舟十三号任务取得圆满成功．飞箭航模店看准商机，推出了“神舟”和“天宫”模型．已知每个“神舟”模型的成本比“天宫”模型多10元，同样花费100元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多5个．
(1)“神舟”和“天宫”模型的成本各多少元？
(2)飞箭航模店计划购买两种模型共200个，且每个“神舟”模型的售价为30元，“天宫”模型的售价为15元．设购买“神舟”模型个，销售这批模型的利润为元．
①求与的函数关系式（不要求写出的取值范围）；
②若购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的，则购进“神舟”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？
【答案】(1)“天宫”模型成本为每个10元，“神舟”模型每个20元
(2)①②购进“神舟”模型50个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润为1250元
【分析】（1）根据总数，设立未知数，建立分式方程，即可求解.
（2）①设“神舟”模型个，则“天宫”模型为个，根据利润关系即可表示w与a的关系式.
②根据购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的，即可找到a的取值范围，利用一次函数性质即可求解.
（1）
解：设“天宫”模型成本为每个元，则“神舟”模型成本为每个元.
依题意得.
解得.
经检验，是原方程的解.
答：“天宫”模型成本为每个10元，“神舟”模型每个20元；
（2）
解：①“神舟”模型个，则“天宫”模型为个.
.
②购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的.
.
解得：.
.
.
.
即：购进“神舟”模型50个时，销售这批模型可以获得利润.最大利润为1250元.
【点睛】本题考查了分式方程、一次函数的性质，关键在于找到等量关系，建立方程，不等式，函数模型.
核心考点五 一元二次方程及其解法
例1 （2022·四川雅安·中考真题）若关于x的一元二次方程x2+6x+c＝0配方后得到方程（x+3）2＝2c，则c的值为（ ）
A．﹣3B．0C．3D．9
【答案】C
【分析】先移项把方程化为再配方可得结合已知条件构建关于c的一元一次方程，从而可得答案．
【详解】解：x2+6x+c＝0，
移项得：
配方得： 而（x+3）2＝2c，
解得：
故选C
【点睛】本题考查的是配方法，掌握“配方法解一元二次方程的步骤”是解本题的关键．
例2 （2020·山东枣庄·中考真题）已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x＋a2﹣1＝0有一个根为x＝0，则a＝___．
【答案】−1
【分析】根据一元二次方程的解把x＝0代入原方程得到关于a的一元二次方程，解得a＝±1，然后根据一元二次方程的定义确定a的值．
【详解】解：把x＝0代入（a−1）x2−2x＋a2−1＝0得a2−1＝0，
解得a＝±1，
∵a−1≠0，
∴a＝−1．
故答案为：−1．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．也考查了一元二次方程的定义．
例3 （2022·贵州贵阳·中考真题）（1）a，b两个实数在数轴上的对应点如图所示．
用“<”或“>”填空：a_______b，ab_______0；
（2）在初中阶段我们已经学习了一元二次方程的三种解法，他们分别是配方法、公式法和因式分解法，请从下列一元二次方程中任选两个，并解这两个方程．
①x2+2x−1=0；②x2−3x=0；③x2−4x=4；④x2−4=0．
【答案】（1）＜，＜；（2）①x1=-1+，x2=-1-；②x1=0，x2=3；③x1=2+，x2=2-；④x1=-2，x2=2．
【分析】（1）由题意可知：a＜0，b＞0，据此求解即可；
（2）找出适当的方法解一元二次方程即可．
【详解】解：（1）由题意可知：a＜0，b＞0，
∴a＜b，ab＜0；
故答案为：＜，＜；
（2）①x2+2x−1=0；
移项得x2+2x=1，
配方得x2+2x+1=1+1，即(x+1)2=2，
则x+1=±，
∴x1=-1+，x2=-1-；
②x2−3x=0；
因式分解得x(x-3)=0，
则x=0或x-3=0，
解得x1=0，x2=3；
③x2−4x=4；
配方得x2-4x+4=4+4，即(x-2)2=8，
则x-2=±，
∴x1=2+，x2=2-；
④x2−4=0．
因式分解得(x+2) (x-2)=0，
则x+2=0或x-2=0，
解得x1=-2，x2=2．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．还考查了实数与数轴．
知识点、一元二次方程及其解法
定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次是2的整式方程，叫做一元二次方程。
一元二次方程的一般形式（又叫标准形式）
，其中叫做二次项 ，是二次项的系数；叫做一次项，是一次项的系数；叫常数项。，，是任意实数，且。
一元二次方程的解法
对于一元二次方程的四种解法，要结合方程中的具体数据进行选择，一般地，直接开平方法、因式分解法只能在特殊方程中使用，配方法、公式法通用。
【变式1】（2021·山东·潍坊市寒亭区教学研究室一模）已知（为任意实数），则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．不能确定
【答案】B
【分析】利用作差法比较即可．
【详解】根据题意，得
＝，
∵
∴
∴，
故选B．
【点睛】本题考查了代数式的大小比较，熟练作差法，灵活运用完全平方公式，配方法的应用，使用实数的非负性是解题的关键．
【变式2】（2021·山东滨州·三模）新定义：关于x的一元二次方程a1(x﹣m)2+k＝0与a2(x﹣m)2+k＝0称为“同族二次方程”．如2(x﹣3)2+4＝0与3(x﹣3)2+4＝0是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程2(x﹣1)2+1＝0与(a+2)x2+(b﹣4)x+8＝0是“同族二次方程”，那么代数式ax2+bx+2026能取的最小值是（ ）
A．2020B．2021C．2023D．2018
【答案】B
【分析】根据同族二次方程，可得出a和b的值，从而解得代数式的最小值．
【详解】解：∵2（x﹣1）2+1＝0与（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝0是“同族二次方程”，
∴（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝（a+2）（x﹣1）2+1，
即（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝（a+2）x2﹣2（a+2）x+a+3，
∴，
解得：，
∴ax2+bx+2026＝5x2﹣10x+2026＝5（x﹣1）2+2021，
则代数式ax2+bx+2026能取的最小值是2021．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了配方法的应用，解二元一次方程组的方法，理解同族二次方程的规律是解答本题的关键．
【变式3】（2022·广东深圳·模拟预测）阅读并回答问题：小亮是一位刻苦学习的同学．一天他在解方程x=-1时，突发奇想：x=-1在实数范围内无解，如果存在一个数i，使i2=-1，那么当x2=-1时，有x=±i，从而x=±i是方程x2=-1的两个根．据此可知：方程x2-4x+5=0的两根为 __．(根用i表示)
【答案】，
【分析】方程利用配方法，结合阅读材料中的方法求出解即可．
【详解】解：方程整理，得x2-4x＝－5，
配方得x2－4x＋4＝－1，即(x-2)2＝－1，
开方，得x-2＝±i，
解得，，
故答案为：，．
【点睛】题考查了解一元二次方程-直接开平方法，以及配方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键．
【变式4】（2022·广西南宁·一模）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为，，，记，则其面积．这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．若，，则此三角形面积的最大值是_________．
【答案】
【分析】根据公式算出a+b的值，代入公式，根据完全平方公式的变形即可求出解．
【详解】解：∵，p=3，c=2，
∴，
∴a+b=4，
∴a=4−b，
∴
∴当b=2时，S有最大值为．
【点睛】本题考查了二次根式与完全平方公式的应用，解答本题的关键是明确题意，表示出相应的三角形的面积．
【变式5】（2022·云南昆明·一模）我们可以用以下方法求代数式的最小值．
∵
∴
∴当时，有最小值．
请根据上述方法，解答下列问题：
(1)求代数式的最小值；
(2)求代数式的最大或最小值，并指出它取得最大值或最小值时x的值；
(3)求证：无论x和y取任何实数，代数式的值都是正数．
【答案】(1)-2
(2)当时，有最大值
(3)证明见详解
【分析】（1）根据题中所给方法进行求解即可；
（2）由题中所给方法可得，然后问题可求解；
（3）由题意可得，进而问题可求解．
(1)
解：由题意得：
，
∵
∴
∴当时，有最小值．
(2)
解：由题意得：，
∵
∴
∴当时，有最大值．
(3)
解：由题意得：
=
=；
∵
∴，
∴无论x和y取任何实数，代数式的值都是正数．
【点睛】本题主要考查配方法的应用及完全平方公式，熟练掌握配方法及完全平方公式是解题的关键．
核心考点六 一元二次方程根的判别式
例1 （2022·四川·巴中市教育科学研究所中考真题）对于实数，定义新运算：，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围（ ）
A．B．C．且D．且
【答案】A
【分析】根据新定义运算法则列方程，然后根据一元二次方程的概念和一元二次方程的根的判别式列不等式组求解．
【详解】解：∵，
∴，
即，
∵关于的方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题属于新定义题目，考查一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0方程没有实数根．
例2 （2022·山东日照·中考真题）关于x的一元二次方程2x2+4mx+m=0有两个不同的实数根x1，x2，且，则m=__________．
【答案】##-0.125
【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2=-2m，x1x2=，再由x12+x22=变形得到（x1+x2）2-2x1x2=，即可得到4m2-m=，然后解此方程即可．
【详解】解：根据题意得x1+x2=-2m，x1x2=，
∵x12+x22=，
∴（x1+x2）2-2x1x2=，
∴4m2-m=，
∴m1=-，m2=，
∵Δ=16m2-8m＞0，
∴m＞或m＜0时，
∴m=不合题意，
故答案为：．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，，．
例3 （2021·湖北荆门·中考真题）已知关于x的一元二次方程有，两实数根．
（1）若，求及的值；
（2）是否存在实数，满足？若存在，求出求实数的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），；（2）存在，
【分析】（1）根据题意可得△＞0，再代入相应数值解不等式即可，再利用根与系数的关系求解即可；
（2）根据根与系数的关系可得关于m的方程，整理后可即可解出m的值．
【详解】解：（1）由题意：Δ=(−6)2−4×1×(2m−1)>0，
∴m<5，
将x1=1代入原方程得：m=3，
又∵x1•x2=2m−1=5，
∴x2=5，m=3；
（2）设存在实数m，满足，那么
有，
即，
整理得：，
解得或．
由（1）可知，
∴舍去，从而，
综上所述：存在符合题意．
【点睛】本题主要考查了根的判别式，以及根与系数的关系，关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．以及根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，，．
知识点、一元二次方程根的判别式
易错点：因忽视一元二次方程二次项系数不为零的隐含条件，导致失分。
如：已知关于的一元二次方程有两个实数根,求的取值范围.
【变式1】（2022·河南安阳·二模）将4个数a，b，c，d排成2行，2列，两边各加一条竖线，记成，并规定，例如，则的根的情况为（ ）
A．只有一个实数根B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根D．没有实数根
【答案】C
【分析】据题意，可以将方程转化为一元二次方程，然后根据Δ的值，即可判断根的情况．
【详解】解：∵方程，
∴x2﹣4x＝﹣3，
∴x2﹣4x+3＝0，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4×3×1=4＞0，
∴方程两个不相等的实数根，
故选：C．
【点睛】本题考查根的判别式，解答本题的关键是明确题意，会用根的判别式判断根的情况．
【变式2】（2022·宁夏·吴忠市第三中学一模）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围（ ）
A． B．C．D．且
【答案】D
【分析】根据一元二次方程的定义和△的意义得到 且，即，然后解不等式即可得到k的取值范围．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴ 且，即，
解得且．
∴k的取值范围为且．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
【变式3】（2022·四川成都·二模）已知关于的一元二次方程有两个实数根和．若之间关系满足，则的值为__________．
【答案】
【分析】把x12-x22=0分解因式，确定两个根之间的关系后，根据根的判别式计算即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2+(2m-1)x+m2=0有两个实数根x1和x2，
∴b2-4ac=(2m-1)2−4m2≥0，
解得：m≤ ，
∵x12-x22=0，
∴（x1+x2）（x1-x2）=0，
∴x1-x2=0 或x1+x2=0，
当x1+x2=0时，-（2m-1）=0，解得：m=（舍去），
当x1-x2=0时，b2-4ac=(2m-1)2−4m2=0，解得：m=，
综上所述，m的值为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与判别式的关系，根与系数的关系定理，解题的关键是熟记根的判别式和根与系数关系定理．
【变式4】（2022·安徽·模拟预测）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为________．
【答案】4
【分析】根据一元二次方程根的判别式得出△=0，即b2＝4a，将该式代入后进一步变形即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0有两个相等的实数根，
∴a≠0且△＝0，即b2﹣4a＝0，即b2＝4a，
把b2＝4a代入得：
原式＝
=
＝4
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式的实际运用，熟练掌握一元二次方程根的判别式，是解题关键．
【变式5】（2022·湖北黄石·一模）已知关于的一元二次方程有两个实数根，．
(1)求实数的取值范围；
(2)若，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）若一元二次方程有两实数根，则根的判别式，建立关于m的不等式，求出m的取值范围；
（2）由根与系数的关系，得出，，根据题意，建立关于m的一元二次方程，解出即可求得m的值．
（1）
解：
，
∵，
∴，
∴；
（2）
解：由根与系数的关系，可得：，，
又∵，
∴，
∴，
解得：，，
又∵，
∴．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的根的判别式，解本题的关键在于掌握若，是一元二次方程的两根时，则，．
核心考点七 一元二次方程根与系数的关系
例1 （2022·内蒙古包头·中考真题）若是方程的两个实数根，则的值为（ ）
A．3或B．或9C．3或D．或6
【答案】A
【分析】结合根与系数的关系以及解出方程进行分类讨论即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
,则两根为：3或-1，
当时，，
当时，，
故选：A．
【点睛】此题考查了根与系数的关系以及解二元一次方程，正确解出方程进行分类讨论是解题的关键．
例2 （2022·四川内江·中考真题）已知x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，且＝x12+2x2﹣1，则k的值为 _____．
【答案】2
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系以及解的定义得到x1+x2＝2，x1•x2＝k﹣1，x12﹣2x1+k﹣1＝0，再根据＝x12+2x2﹣1，推出＝4﹣k，据此求解即可．
【详解】解：∵x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，
∴x1+x2＝2，x1•x2＝k﹣1，x12﹣2x1+k﹣1＝0，
∴x12＝2x1﹣k+1，
∵＝x12+2x2﹣1，
∴＝2（x1+x2）﹣k，
∴＝4﹣k，
解得k＝2或k＝5，
当k＝2时，关于x的方程为x2﹣2x+1＝0，Δ≥0，符合题意；
当k＝5时，关于x的方程为x2﹣2x+4＝0，Δ＜0，方程无实数解，不符合题意；
∴k＝2，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程解的定义，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
例3 （2022·湖北黄石·中考真题）阅读材料，解答问题：
材料1
为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法．
材料2
已知实数m，n满足，，且，显然m，n是方程的两个不相等的实数根，由书达定理可知，．
根据上述材料，解决以下问题：
(1)直接应用：
方程的解为_______________________；
(2)间接应用：
已知实数a，b满足：，且，求的值；
(3)拓展应用：
已知实数x，y满足：，且，求的值．
【答案】(1)，，，
(2)或
(3)15
【分析】（1）利用换元法降次解决问题；
（2）模仿例题解决问题即可；
（3）令=a，-n=b，则+a-7=0， +b=0，再模仿例题解决问题．
（1）
解：令y=，则有-5y+6=0，
∴（y-2）（y-3）=0，
∴=2，=3，
∴=2或3，
∴，，，，
故答案为：，，，；
（2）
解：∵，
∴或
①当时，令，，
∴则，，
∴，是方程的两个不相等的实数根，
∴，
此时；
②当时，，
此时；
综上：或
（3）
解：令，，则，，
∵，
∴即，
∴，是方程的两个不相等的实数根，
∴，
故．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，幂的乘方与积的乘方，换元法，解一元二次方程等知识，解题的关键是理解题意，学会模仿例题解决问题．
知识点、一元二次方程的根与系数关系（韦达定理）
若，是一元二次方程的两个实数根，那么，
【变式1】（2022·广东·深圳市龙华区丹堤实验学校模拟预测）关于x的方程有两个解，则k的取值范围是（ ）
A．k＞﹣9B．k≤3C．﹣9＜k＜6D．k
【答案】A
【分析】设，再把原方程化为，结合根的判别式可得，再由原方程有两个实数根，可得从而可得答案．
【详解】解：∵
∴
∴
设t＝|x﹣3|，
则原方程变形为，
所以Δ＝1﹣4（﹣k﹣9）＞0，解得，
∵原方程有两个解，
∴方程有一正根和负根，
∴
解得k＞﹣9，
∴k的取值范围是k＞﹣9．
故选：A．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的根的判别式，根与系数的关系，由原方程有两个解得到方程有一个正根与一个负根是解本题的关键．
【变式2】（2022·重庆巴蜀中学三模）已知：，（其中为a整数，且）；有下列结论，其中正确的结论个数有（ ）
①若M·N中不含项，则；②若为整式，则；③若a是的一个根，则．
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】B
【分析】根据要求，逐个结论进行求解即可．
【详解】解：①∵，，
∴，
∵M∙N中不含项，
∴，即，故①正确；
∵是整式，
∴设，
∴，
∴，
∴，
∴，故②错误；
∵
∴，
设方程的另一个根为
∵a是的一个根，
∴，
∴，
∴，
∴，
两边平方整理得，，故③错误，
所以，正确的结论是①，
故选：A
【点睛】本题主要考查了整式的乘除法，一元二次方程根与系数的关系，正确掌握各知识点是解答本题的关键．
【变式3】（2022·四川眉山·模拟预测）若实数，满足的值为______．
【答案】2或-11
【分析】分和两种情况，分别利用分式的性质结合一元二次方程根与系数的关系解答即可．
【详解】解：，满足，，
当时，
，是方程的两根，
，，
；
当时，
原式．
综上所述：或．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值、一元二次方程根与系数的关系等知识点，正确将原式变形是解答本题的关键．
【变式4】（2022·湖北·鄂州市鄂城区教学研究室三模）已知实数a、b满足，若关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，则的值为______．
【答案】##﹣1.5##
【分析】根据非负性求得a、b的值，再根据一元二次方程根与系数关系求得、，代入求解即可．
【详解】解：∵实数、满足，
∴a﹣3=0，b+2=0，
解得：a=3，b=﹣2，
∴，
∵一元二次方程的两个实数根分别为、，
∴，，
∴=，
故答案为：．
【点睛】本题考查代数式求值、二次根式被开方数的非负性、绝对值的非负性、一元二次方程根与系数关系，熟练掌握非负性和一元二次方程根与系数关系是解答的关键．
【变式5】（2022·湖北·黄石十四中模拟预测）x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根，若满足|x1﹣x2|＝1，则此类方程称为“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题：
(1)通过计算，判断下列方程是否是“差根方程”：
①x2﹣4x﹣5＝0；
②2x2﹣2x+1＝0；
(2)已知关于x的方程x2+2ax＝0是“差根方程”，求a的值；
(3)若关于x的方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）是“差根方程”，请探索a与b之间的数量关系式．
【答案】(1)①不是；②是
(2)
(3)b2＝a2+4a
【分析】（1）根据“差根方程”定义判断即可．
（2）根据x2+2ax＝0是“差根方程”，且x1＝0，x2＝﹣2a得到2a＝±1，从而得到a＝±；
（3）设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）的两个实数根，根据根与系数的关系得到，整理即可得到b2＝a2+4a．
（1）
解：①设x1，x2是一元二次方程x2﹣4x﹣5＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝4，x1•x2＝﹣5，
∴|x1﹣x2|＝，
∴方程x2﹣4x﹣5＝0不是差根方程；
②设x1，x2是一元二次方程2x2﹣2+1＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝，x1•x2＝，
∴|x1﹣x2|＝，
∴方程2x2﹣2+1＝0是差根方程；
（2）
x2+2ax＝0，
因式分解得：x（x+2a）＝0，
解得：x1＝0，x2＝﹣2a，
∵关于x的方程x2+2ax＝0是“差根方程”，
∴2a＝±1，即a＝±；
（3）
设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）的两个实数根，
∴x1+x2＝，x1•x2＝，
∵关于x的方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）是“差根方程”，
∴|x1﹣x2|＝1，
∴|x1﹣x2|＝＝1，即，
∴b2＝a2+4a．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，根的判别式，一次函数图象上点的坐标特征，正确的理解“差根方程”的定义是解题的关键．
核心考点八 一元二次方程的实际应用
例1 （2021·四川巴中·中考真题）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点P是线段AB上一点（AP＞BP），若满足，则称点P是AB的黄金分割点．黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是（ ）
A．（20﹣x）2＝20xB．x2＝20（20﹣x）
C．x（20﹣x）＝202D．以上都不对
【答案】A
【分析】点P是AB的黄金分割点，且PB＜PA，PB＝x，则PA＝20−x，则，即可求解．
【详解】解：由题意知，点P是AB的黄金分割点，
且PB＜PA，PB＝x，则PA＝20−x，
∴，
∴（20−x）2＝20x，
故选：A．
【点睛】本题考查了黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．
例2 （2022·四川成都·中考真题）若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是_________．
【答案】
【分析】由题意解一元二次方程得到或，再根据勾股定理得到直角三角形斜边的长是．
【详解】解：一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根，
由公式法解一元二次方程可得，
根据勾股定理可得直角三角形斜边的长是，
故答案为：．
【点睛】本题考查勾股定理求线段长，根据题意解出一元二次方程的两根是解决问题的关键．
例3 （2022·贵州毕节·中考真题）2022北京冬奥会期间，某网店直接从工厂购进A、B两款冰墩墩钥匙扣，进货价和销售价如下表：（注：利润=销售价-进货价）
(1)网店第一次用850元购进A、B两款钥匙扣共30件，求两款钥匙扣分别购进的件数；
(2)第一次购进的冰墩嫩钥匙扣售完后，该网店计划再次购进A、B两款冰墩墩钥匙扣共80件（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于2200元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？
(3)冬奥会临近结束时，网店打算把B款钥匙扣调价销售．如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元？
【答案】(1)A、B两款钥匙扣分别购进20件和10件
(2)购进A款冰墩墩钥匙扣40件，购进B款冰墩墩钥匙扣40件时利润最大，最大为1080元
(3)销售价定为每件30元或34元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元
【分析】(1)设A、B两款钥匙扣分别购进x和y件，根据“用850元购进A、B两款钥匙扣共30件”列出二元一次方程组即可求解；
(2)设购进A款冰墩墩钥匙扣m件，则购进B款冰墩墩钥匙扣(80-m)件，根据“进货总价不高于2200元”列出不等式求出；设销售利润为元，得到，随着m的增大而增大，结合m的范围由此即可求出最大利润；
(3)设B款冰墩墩钥匙扣降价a元销售，则平均每天多销售2a件，每天能销售(4+2a)件，每件的利润为(12-a)元，由“平均每天销售利润为90元”得到(4+2a)(12-a)=90，求解即可．
【详解】（1）解：设A、B两款钥匙扣分别购进x和y件，
由题意可知： ，
解出：，
故A、B两款钥匙扣分别购进20和10件．
（2）解：设购进A款冰墩墩钥匙扣m件，则购进B款冰墩墩钥匙扣(80-m)件，
由题意可知：，
解出：，
设销售利润为元，则，
∴是关于m的一次函数，且3＞0，
∴随着m的增大而增大，
当时，销售利润最大，最大为元，
故购进A款冰墩墩钥匙扣40件，购进B款冰墩墩钥匙扣40件时利润最大，最大为1080元．
（3）解：设B款冰墩墩钥匙扣降价a元销售，则平均每天多销售2a件，每天能销售(4+2a)件，每件的利润为(12-a)元，
由题意可知：(4+2a)(12-a)=90，
解出：a1=3，a2=7，
故B款冰墩墩钥匙扣售价为34元或30元一件时，平均每天销售利润为90元．
【点睛】本题考察了二元一次方程组、一元一次不等式的应用、一次函数增减性求利润最大问题及一元二次方程的应用，属于综合题，读懂题意是解决本题的关键．
知识点、一元二次方程的应用
【变式1】（2022·河北保定·一模）某超市销售一种饮料，每瓶进价为6元．当每瓶售价为10元时，日均销售量为160瓶，经市场调查表明，每瓶售价每增加1元，日均销售量减少20瓶．若超市计划该饮料日均总利润为700元，且尽快减少库存，则每瓶该饮料售价为（ ）
A．11B．12C．13D．14
【答案】A
【分析】根据“总利润=每瓶利润日均销售量”列方程求解可得．
【详解】解：设每瓶售价x元时，所得日均总利润为700元，根据题意的，
，
解得x1=11， x2=13，
当x1=11时， ，当x2=13时， ，且，
尽快减少库存，
每瓶该饮料售价为11元．
故选：A．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等关系，并据此列出方程．
【变式2】（2022·甘肃武威·模拟预测）如图1，在矩形ABCD中，动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿折线AB－BC向终点C运动．设点P的运动时间为ts，△APC的面积为，图2是点P运动过程中S与t之间函数关系的图象，则AC的长为（ ）
A．10cmB．8cmC．14cmD．12cm
【答案】A
【分析】设AB=xcm，BC=ycm，由题意可得AB+BC=14，，列方程组求出AB、BC的长，再用勾股定理求出AC的长．
【详解】解：设AB=xcm，BC=ycm，
由图1结合图2可得：当点P与点C重合时，t=7，即点P经过的路程为：7×2=14（cm），
∴AB+BC=14，
即x+y=14①，
当点P与点B重合时，△APC的面积最大，为24（cm2），
∴，
即②，
由①②列方程组，
解得或（根据图形，舍去）
所以，
∴（cm），
故选：A
【点睛】本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
【变式3】（2022·吉林·长春市第四十八中学模拟预测）某水果批发商经销一种高档水果，如果每千克盈利元，平均每天可售出千克，经市场调查发现，若每千克每涨价一元，平均日销量将减少千克，要使商场每天获利最多，那么每千克应涨价______ 元．
【答案】7.5
【分析】设每千克应涨价x元，商场每天的利润为y元，再根据利润=每千克盈利×日销售量，列出y与x的函数关系式，然后配方求最值即可．
【详解】解：设每千克应涨价x元，商场每天的利润为y元，
根据题意得：
当时，y取得最大值，最大值为6 125．
所以要使商场每天获利最多，每千克应涨价7.5元．
故答案为：7.5．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，属于销售利润问题，明确利润=每千克盈利×日销售量是本题的关键，重点理解“每千克涨价一元，日销售量将减少20千克”根据所设的未知数表示此时的销售量，与二次函数的最值结合，求出结论．
【变式4】（2022·福建·厦门市湖里中学模拟预测）已知与中，，，，且点、、在同一直线上，连接，则的面积为______．
【答案】2
【分析】根据题意证明可得，根据，即，可得是直角三角形，根据勾股定理求得，进而根据三角形面积公式即可求解．
【详解】解：设交于点，如图，
，，，
，，
，
，
，
即，
是直角三角形，
，
即，
解得或（舍去），
，
的面积为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质与判定，解一元二次方程，证明是直角三角形是解题的关键．
【变式5】（2022·江苏宿迁·一模）2022年2月4日，第24届冬季奥林匹克运动会在北京胜利召开，在冬奥会期间，北京某校打算组织部分师生利用周日时间到现场观看比赛，经了解在离学校最近的比赛场馆当日共有A、B两场比赛，两场比赛的票价如下图所示，其中x轴表示一次性购票人数，y轴表示每张票的价格，如：一次性购买A场比赛门票10张，票价为400元/张，若一次性购买A场比赛门票80张，则每张票价为200元．
(1)若一次性购买B场比赛门票10张，则每张票价为___________元（直接写出结果）．
(2)若一次性购买A场比赛门票张，需支付门票费用多少元？（用a的代数式表示）
(3)该校共组织120人（每人购买一张门票）分两组分别观看A、B两场比赛，共花费32160元，若观看A场比赛的人数不足50人，则有多少人观看了B场比赛？
【答案】(1)
(2)
(3)99或72
【分析】(1) 对于B场门票，求得当时，票价与购票人数之间的函数关系式，把代入即可；
(2) 对于A场门票，求得时，票价与购票人数之间的函数关系式，把代入即可求解；
(3) 设观看A场比赛的人数为人，，则观看B场比赛的人数为人，根据题意应分两种情况：第一种情况：当；第二种情况：当时分别列出方程进行求解即可．
(1)
解：对于B场门票，当时，票价与购票人数之间的函数关系式为，
∵该直线过点(70，240)，(0，450)，
∴可得 ，解得，
∴，
∴当时，，
∴一次性购买B场比赛门票10张，则每张票价为元，
故答案为：；
(2)
解：对于A场门票，当时，票价与购票人数之间的函数关系式为，
∵该直线过点(30，400)，(70，200)，
∴可得 ，解得，
∴，
∴当时，，
∴若一次性购买A场比赛门票张，需支付门票费用元；
(3)
解：设观看A场比赛的人数为人，，则观看B场比赛的人数为人，根据题意应分两种情况：
第一种情况：当，
由题意得，
解得，
∴观看了B场比赛的有人；
第二种情况：
当时，由题意得，
解得(不合题意舍去)，
∴观看B场比赛的人数有人，
综上可得，观看A场比赛的人数不足50人，则有人或72人观看了B场比赛．
【点睛】本题考查了函数的图象、待定系数法求一次函数的解析式及一次方程的应用，分类讨论分段求解是解题的关键．
【新题速递】
1．（河南省驻马店市2022-2023学年九年级上学期期中数学试题）关于x的方程：①，②，③，④，其中一元二次方程的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【详解】解：①，当时，该方程不是一元二次方程；
②属于分式方程；
③符合一元二次方程的定义；
④是一元二次方程，
综上所述，其中一元二次方程的个数是2个．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的概念是解题的关键．只有一个未知数且未知数最高次数为的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（）．特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
2．（2022·全国·七年级专题练习）某冷饮店中的A种可乐比B种可乐每杯贵3元，小霖买了2杯A种可乐、3杯B种可乐，一共花了31元，问A种可乐、B种可乐每杯分别是多少元？若设A种可乐x元，则下列方程中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】设A种可乐x元，则B种可乐元，根据小霖买了2杯A种可乐、3杯B种可乐，一共花了31元，即可列出对应方程．
【详解】解：设A种可乐x元，则B种可乐元，根据题意可得：
．
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，读懂题意，找出等量关系列方程是解答本题的关键．
3．（2022·山东·泰安市泰山区大津口中学八年级阶段练习）若关于x的分式方程无解，则m的值为（ ）
A．2B．1C．0D．﹣1
【答案】B
【分析】先把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，然后根据分式方程无解，可得，再代入整式方程，即可求解．
【详解】解：去分母得：，
解得∶
因为分式方程无解，
所以，即，
把代入整式方程得：，
解得：．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了分式方程无解的问题，熟练掌握解分式方程的基本步骤是解题的关键．
4．（2022·湖北·武汉二中广雅中学九年级阶段练习）用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则b的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用系数化1，移项，配方将一元二次方程转化为，即可得解．
【详解】解：，
系数化1，得：，
移项，得：，
配方，得：，
即：；
∴；
故选B．
【点睛】本题考查一元二次方程的配方法．熟练掌握配方法的步骤，是解题的关键．
5．（2022·湖北·武汉市第六初级中学七年级阶段练习）如图所示的是年月份的月历，月历中，用以下形状的四个阴影图形依次分别覆盖其中四个数字，若覆盖的四个数字之和为，则不可能是哪一个形状覆盖的结果（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据各正方形中数字的数量关系列方程求解，逐项判断即可；
【详解】解：A、设左上角的正方形中的数是，则，解得：，覆盖，，，这四个数字之和为；不符合题意；
B、设左上角的正方形中的数是，则，解得：，覆盖，，，这四个数字之和为；不符合题意；
C、设左上角的正方形中的数是，则，解得：，覆盖，，，这四个数字之和为；不符合题意；
D、设上面的正方形中的数是，则，解得：（不是整数，舍去）；故该形状不能覆盖四个数，使它们的和为；符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用；根据题意列出相对应的方程是解题的关键．
6．（2022·广东·东莞市伊顿海逸外国语学校七年级期中）小亮求得方程组的解为，由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和★，请你帮他找回这两个数，“●”“★”表示的数分别为（ ）
A．5，2B．，2C．8，D．5，4
【答案】C
【分析】根据方程的解的定义，把代入，求得的值，进而求出●的值，即可得到答案．
【详解】解：把代入，可得 ，
解得 ，
把，代入可得 ，
则“●”“★”表示的数分别为8，．
故选：C．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组的解能够满足各个方程是解题的关键．
7．（2022·重庆实验外国语学校八年级阶段练习）已知两个分式：，；将这两个分式进行如下操作：
第一次操作：将这两个分式作和，结果记为；作差，结果记为；
（即，）
第二次操作：将，作和，结果记为；作差，结果记为；（即，）
第三次操作；将，作和，结果记为；作差，结果记为；（即，）
…（依此类推）
将每一次操作的结果再作和，作差，继续依次操作下去，通过实际操作，有以下结论：
①；②当时，；③若，则；
④在第2n（n为正整数）次操作的结果中：，．
以上结论正确的个数有（ ）个．
A．4B．3C．2D．1
【答案】B
【分析】设，，分别求出，，，，…，，，得到规律，即可一一判断．
【详解】设，，则，；，；，；，；
，；
，；
，；
…
一般地：，，则④正确；
∴，故①正确；
当时，，而，
∴，故②正确；
若，即，解得：，故③错误；
故正确的有3个；
故选：B．
【点睛】本题是规律探索问题，考查了分式的运算，解分式方程等知识，关键是由特殊出发得到一般规律．
8．（2022·重庆八中模拟预测）关于x，y的二次三项式（m为常数），下列结论正确的有（ ）
①当时，若，则
②无论x取任何实数，等式都恒成立，则
③若，则
④满足的正整数解共有25个
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【分析】①将代入代数式，计算即可；②又可得，再根据题意求解即可；③两方程相加，令，可化为，求解即可；④根据题意可得，列出正整数解，即可．
【详解】解：将代入可得，，即
解得或，即或，①错误；
由可得，
∵无论x取任何实数，等式都恒成立，
∴，②正确；
两式相加可得：
即
令，则，解得，
即或，③错误；
由可得
正整数解为：
，总共有个，④错误
正确的个数为1，
故选：A
【点睛】本题主要考查了整式加减，二元一次不等式的解，完全平方公式，一元二次方程的解，解题的关键是熟练掌握相关运算法则以及灵活运用完全平方公式．
9．（2022·江苏·南京市竹山中学七年级阶段练习）如果关于的方程的解是，则______．
【答案】
【分析】将代入中即可得出答案．
【详解】解：将代入中，
得：，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解的定义，熟知一元一次方程的解即为能使方程成立的未知数的值是解本题的关键．
10．（2022·全国·八年级专题练习）一个两位数的数字和为14，若调换个位数字与十位数字，新数比原数大36，则这个两位数是______．
【答案】59
【分析】设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y，根据题意可以得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再将其代入中即可．
【详解】解：设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y，
依题意得：，
解得：，
∴．
故答案为：59．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
11．（2022·吉林省第二实验学校八年级阶段练习）若关于x的分式方程有负数解，则m的取值范围为______．
【答案】且
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出，根据方程有负数解，分式有意义的条件，列出关于的不等式，求出不等式的解集即可得到的范围．
【详解】解：去分母得：，
解得：，
根据题意得：，且，
解得：且．
故答案为：且．
【点睛】此题考查了分式方程的解，解题的关键是用的代数式表示．
12．（2022·江苏·苏州工业园区星汇学校九年级期中）已知实数、、满足，则实数的最大值为 __．
【答案】2022
【分析】仔细观察等式左侧，先将多项式进行分组，再利用配方法化简其形式，最后根据平方的非负性确定的最大值.
【详解】解：，
，
，
，
，
，
当时，的值最大，
，
，
实数的最大值为2022，
故答案为：2022．
【点睛】本题考查了配方法与平方的非负性，能够识别多种情况下的配方条件，正确的配方是解题关键.
13．（2022·上海嘉定·八年级期末）阅读材料：设一元二次方程的两根为，，则两根与方程系数之间有如下关系：，根据该材料填空：已知、是方程的两实数根，则的值为______．
【答案】
【分析】、是方程的两实数根，根据，，即可求出答案．
【详解】解：、是方程的两实数根，根据，，
，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，难度一般，关键掌握，是一元二次方程的两根时，，．
14．（2022·江苏·沭阳县怀文中学九年级期中）对于实数a、b，定义运算“*”； ，关于的方程恰好有三个不相等的实数根，则的取值范围是___________．
【答案】##
【分析】根据新定义的运算，分两种情况得出两个关于的一元二次方程，再由关于的方程恰好有三个实数根，得到关于的两个一元二次方程的根的情况，然后分情况讨论，确定t的取值范围．
【详解】解：由新定义的运算可得关于的方程为：
当时，即时，有，
即：，其根为：是负数，
当时，即，时，有，
即：，
要使关于的方程恰好有三个不相等的实数根，则和都必须有解，
∴，
∴，
（1）当时，即时，方程只有一个根，
∵当时，，
∴，，
∴此时方程只有一个根符合题意，
∴不符合题意；
（2）当时，方程的两个根都符合题题意，
∵当时，，
∴，，
∴方程只有一个根符合题意，
∴当时，恰好有三个不相等的实数根；
（3）∵当时，方程的一个根，另外一个根，
∴此时方程只有一个根符合题意，
∵，，
∴当时，方程最多有一个根符合题意，
∴当时不可能有三个不相等的实根；
综上分析可知，的取值范围是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了新运算及利用一元二次方程根的情况求字母的取值范围，读懂题意，进行分类讨论，是解题的关键．
15．（2022·江苏·苏州高新区第二中学七年级阶段练习）解方程：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：
去分母得，
去括号得，
移项得，
合并同类项得，
系数化为1得，；
（2）解：
去分母得，
去括号得，
移项得，
合并同类项得，
系数化为1得，．
【点睛】本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
16．（2022·福建省福州第十四中学七年级期中）解下列方程组：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用代入消元法解答，即可求解；
（2）利用加减消元法解答，即可求解．
【详解】（1），
把①代入②得，，
解得，
把代入①得，
所以方程组的解为；
（2），
①得，③，
②③得，，
解得，
把代入①得，，
解得，
所以方程组的解为．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法——加减消元法，代入消元法是解题的关键．
17．（2022·福建福州·八年级期末）已知，．
(1)当时，求x的取值范围；
(2)设．
①当时，求x的值；
②若x为整数时，求y的正整数值．
【答案】(1)且；
(2)①1；②1或7．
【分析】（1）根据，可得，再根据分式有意义的条件，即可求解；
（2）先代入，可得，①根据，可得到关于x的方程，即可求解；②先变形为，再由x为整数，y为正整数，即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵为分式，
∴，
∴，
∴x的取值范围为且；
（2）解：根据题意，得，
①当时，，
解得，
经检验，是原分式方程的解，
∴当时，x的值为1；
②，
∵x为整数，y为正整数，
∴或1或或，
当，即时，；
当时，，不合题意，舍去；
当，即时，；
当，即时，不合题意，舍去；
综上所述，当x为整数时，y的正整数值为1或7．
【点睛】本题主要考查了解分式方程，分式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
18．（2022·四川省南充市第九中学九年级阶段练习）已知关于x的一元二次方程为有实数根．
(1)求的取值范围；
(2)设为此方程的两根，且满足，求的值．
【答案】(1)
(2)-1
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式列出关于m的一元一次不等式求解即可；
（2）根据根与系数的关系可得出，再结合可得出关于m的一元二次方程，取其小于等于的值即可．
【详解】（1）解：由题意得：，解得：．
（2）解：由根与系数关系得：
∵
∴
∴即，解得或
∵
∴．
【点睛】本题主要考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是牢记“当△≥0时，方程有实数根”并据此列出关于m的一元二次方程．
19．（2022·山东·泰安市泰山区大津口中学八年级阶段练习）某书店在图书批发中心选购A，B两种科普书，A种科普书每本进价比B种科普书每本进价多20元，若用2400元购进A种科普书的数量是用950元购进B种科普书数量的2倍．
(1)求A，B两种科普书每本进价各是多少元；
(2)该书店计划A种科普书每本售价为126元，B种科普书每本售价为86元，购进A种科普书的数量比购进B种科普书的数量的还多4本，若A，B两种科普书全部售出，使总获利超过1560元，则至少购进B种科普书多少本？
【答案】(1)A种科普书每本的进价为96元，B种科普书每本的进价为76元；
(2)至少购进B种科普书75本
【分析】（1）设B种科普书的进价为x元/本，则A种的进价为元/本，根据用2400元购进A种科普书的数量是用950元购进B种科普书数量的2倍列分式方程解答；
（2）设购进B种科普书m本，则购进A种科普书本，根据总获利超过1560元列不等式解答．
【详解】（1）解：设B种科普书的进价为x元/本，则A种的进价为元/本，
根据题意得：，
解得：，
经检验：是所列分式方程的解，且符合题意，
∴，
答：A种科普书每本的进价为96元，B种科普书每本的进价为76元；
（2）设购进B种科普书m本，则购进A种科普书本，
根据题意得：，
解得：，
∵m为正整数，且为正整数，
∴m为3的倍数，
∴m的最小值为75，
答：至少购进B种科普书75本．
【点睛】此题考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列得方程或不等式是解题的关键．
20．（2022·江苏江苏·九年级期中）阅读理解以下内容，解决问题：
解方程：．
解：，
方程即为：，
设，原方程转化为：
解得，，，
当时，即，，；
当时，即，不成立．
综上所述，原方程的解是，．
以上解方程的过程中，将其中作为一个整体设成一个新未知数，从而将原方程化为关于的一元二次方程，像这样解决问题的方法叫做“换元法”（“元”即未知数）．
(1)已知方程：，若设，则利用“换元法”可将原方程化为关于的方程是______；
(2)仿照上述方法，解方程：．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据完全平方公式由，得，再变形原方程便可；
（2）设，则，得，再解一元二次方程，最后代入所设代数式解方程便可．
【详解】（1）设，
则，
可化为：，
即，
故答案为：；
（2）设，则，
原方程可化为：，
整理得，
，
或，
或，
当时，，
解得，
当时，无解，
检验，当时，左边右边，
是原方程的解，
故原方程的解为：．
【点睛】本题主要考查了换元法，无理方程，关键掌握换元法的思想方法．
核心考点
核心考点一 等式的基本性质
核心考点二 一元一次方程的解法及其应用
核心考点三 二元一次方程组的解法及其应用
核心考点四 分式方程的解法及其应用
核心考点五 一元二次方程及其解法
核心考点六 一元二次方程根的判别式
核心考点七 一元二次方程根与系数的关系
核心考点八 一元二次方程的实际应用
新题速递
车速（）
40
41
42
43
44
45
频数
6
8
15
3
2
去分母
若未知数的系数有分母，则要去分母。注意要在方程的两边都乘以各分母的最小公倍数。
去括号
若方程含有括号，则先去小括号，再去中括号，最后去大括号。若去括号时括号前是负号，去掉括号后，括号内的各项均要 。
移项
把含有未知数的项移到等式的一边，其他项移到另一边。一般把含 的项移到等式左边。移项要改变符号。
合并同类项
把方程化成 （）的形式。
系数化为1
方程两边同 未知数的系数，得到方程的解。
行程问题
基本关系式:路程=速度×时间.
相遇问题:甲走的路程+乙走的路程=总路程.
追及问题:同地不同时出发:前者走的路程=后者走的路程;同时不同地出发:慢者走的路程+两地间距离=快者走的路程.
储蓄问题
本金×利率×期数=利息,本金+利息=本息和.
销售问题
总价=单价×数量,利润率=×100%,利润=售价-成本(或进价)=利润率×成本.
分配问题
总量=甲的数量+乙的数量,总金额=甲的金额+乙的金额.
工程问题
工作总量=工作效率×工作时间,甲、乙合作的工作效率=甲的工作效率+乙的工作效率.
增长率问题
已知基础量为a,增长后为b,若设增长率为x,则可得a(1+x)=b.
数字问题
十位a，个位b，表示为10a+b；百位a，十位b，个位c，表示为100a+10b+c
甲超市促销信息栏
乙超市促销信息栏
全场折
不超过元不优惠；
超过元而不超过元，打折；
超过元，元部分优惠，超过元部分打折．
定义
方程的解
解的情况
二元一次方程
含有 个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程。
使二元一次方程两边的值 的两个未知数的值。
有无数组解
二元一次方程组
把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起。
一般地，二元一次方程组的两个方程的 叫做二元一次方程组的解。
只有一组公共解
基本
思路
去分母，化分式方程为整式方程。
一般
步骤
①方程两边同时乘以各分式的 ，化为整式方程；
②解整式方程；
③检验，把整式方程的解代入最简公分母，看计算结果是否为0，若结果不为0，说明此解是原分式方程的解；若为0，则为增根，原分式方程无解。
验根
方法
方法一：利用方程解的定义，直接代回原方程检验；
方法二：把整式方程的解代入最简公分母，看计算结果是否为0。
行程问题
基本关系式：
常用关系式：（注意统一单位）
；
工程问题
基本关系式：
常用关系式：
销售问题
基本关系式：
常用关系式：
解法
适用情况
方程的根
直接开平方
，
，
配方法
（，）→
公式法
（，）
因式分解法
→
，
一元二次方程（）的判别式
方程 实数根
方程 实数根
方程 实数根
类别
价格
A款钥匙扣
B款钥匙扣
进货价（元/件）
30
25
销售价（元/件）
45
37
变化率问题
设为原来的量,为平均增长率,为增长次数,为增长后的量,则；当为平均下降率,为下降后的量时,
利率问题
本息和=本金+利息
利息=本金×利率×期数
销售利润问题
毛利润=销售总额-进货总额
纯利润=销售总额-进货总额-其他费用
利润率=利润÷成本×100%
销售总额=售价×销量
进货总额=进价×进货数量
单循环问题
若共有个队，每个队都与其他队比赛一场，则一共比赛场
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