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最新中考数学总复习真题探究与变式训练（讲义） 专题03 分式及其运算（4大考点）
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这是一份最新中考数学总复习真题探究与变式训练（讲义） 专题03 分式及其运算（4大考点），文件包含专题03分式及其运算4大考点原卷版docx、专题03分式及其运算4大考点解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共60页， 欢迎下载使用。
一、复习方法
1.以专题复习为主。 2.重视方法思维的训练。
3.拓宽思维的广度，培养多角度、多维度思考问题的习惯。
二、复习难点
1.专题的选择要准，安排时间要合理。 2.专项复习要以题带知识。
3.在复习的过程中要兼顾基础，在此基础上适当增加变式和难度，提高能力。
第一部分 数与式
专题03 分式及其运算
核心考点一 分式的概念
例1 （2022·湖南怀化·中考真题）代数式x，，，x2﹣，，中，属于分式的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
例2 （2022·内蒙古包头·中考真题）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是___________．
例3 （2022·湖北黄石·中考真题）先化简，再求值：，从-3，-1，2中选择合适的a的值代入求值．
知识点：分式的概念
注意
1.分式可以表示两个整式相除，其中分子为被除式，分母为除式，分数线起除号和括号的作用。
2.分式的分子中可以含有字母，也可以不含字母，但分母中必须含有字母，这是区别分式和整式的重要依据。
3.在任何情况下，分式的分母的值都不为0，否则分式无意义。
一般地,如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母,那么式子叫做分式，其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。
分式有意义的条件:分母不为零，即
分式值为零：分子为零，且分母不为零。即（且）
【变式1】（2022·河北石家庄·一模）关于代数式M=，下列说法正确的是（ ）
A．当x=1时，M的值为0B．当x=﹣1时，M的值为﹣
C．当M=1时，x的值为0D．当M=﹣1时，x的值为0
【变式2】（2022·广东珠海·模拟预测）若（m为正整数），且、互为相反数，、互为倒数，则的值为（ ）
A．B．C．D．或
【变式3】（2022·广东·华南师大附中三模）把代数式分解因式，结果正确的是___________；若分式的值为零，则x的值为___________；若代数式可化为，则的值是___________．
【变式4】（2022·广东·华南师大附中三模）把代数式分解因式，结果正确的是___________；若分式的值为零，则x的值为___________；若代数式可化为，则的值是___________．
【变式5】（2022·广东佛山·二模）平面直角坐标系中有两个一次函数，，其中的图象与轴交点的横坐标为2且经过点，．
(1)求函数的关系式；
(2)当的图象经过两点和时，求的值；
(3)当时，对于的每一个值，都有，求的取值范围．
核心考点二 分式的基本性质
例1 （2020·河北·中考真题）若，则下列分式化简正确的是（ ）
A．B．C．D．
例2 （2020·内蒙古呼和浩特·中考真题）分式与的最简公分母是_______，方程的解是____________．
例3 （2021·广西梧州·中考真题）计算：（x﹣2）2﹣x（x﹣1）．
知识点：分式的基本性质
分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。,（），其中A、B、C是整式。利用分式的基本性质可以进行约分、通分。
根据分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的 约去，叫做分式的约分，约分通常是把分式化成最简分式或整式。
利用分式的基本性质，把异分母分式化成 分式，叫做分式的通分。
符号法则：改变分子、分母及整个分式三者中任意两个的符号，分式的值不变，即
【变式1】（2022·河北·石家庄市第四十一中学模拟预测）实数．则下列各式中比的值大的是（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2022·河北·一模）如果要使分式的值保持不变，那么分式应（ ）
A．a扩大2倍，b扩大3倍B．a，b同时扩大3倍
C．a扩大2倍，b缩小3倍D．a缩小2倍，b缩小3倍
【变式3】（2022·湖北襄阳·一模）已知，则分式的值为______．
【变式4】（2021·湖南·一模）已知实数a，b，c满足a＋b＝ab＝c，有下列结论：
①若c≠0，则＝1；
②若a＝3，则b＋c＝9；
③若a＝b＝c，则abc＝0；
④若a，b，c中只有两个数相等，则a＋b＋c＝8.
其中正确的是____．(把所有正确结论的序号都选上)
【变式5】（2020·浙江杭州·模拟预测）（1）不改变分式的值，把下列分子和分母的最高次的系数都化为正数________．
（2）不改变分式的值，把下列分子和分母的中各项系数都化为整数_______．
（3）若分式的值是整数，求整数x的值．
（4）已知，求的值．
核心考点三 分式的运算
例1 （2022·山东济南·中考真题）若m－n＝2，则代数式的值是（ ）
A．－2B．2C．－4D．4
例2 （2022·山东菏泽·中考真题）若，则代数式的值是________．
例3 （2022·内蒙古通辽·中考真题）先化简，再求值：，请从不等式组 的整数解中选择一个合适的数求值．
知识点：分式的运算
1、分式的运算法则
分式的混合运算：
分式的混合运算，有多项式的，一般先因式分解，能约分的进行约分；有括号的先算括号，有乘方的先算乘方；先乘除后加减。异分母相加减，先通分，化为同分母，再加减。
分式化简中的误区
1.注意分式混合运算顺序
2.分式化简不同于解分式方程,化简过程中不能去分母.
3.分数线有除号和括号两重作用,同分母分式相加减(分子是多项式),分子应整体加括号.
4.分式运算中含有整式，应视其分母为1的式子，然后按分式四则运算法则计算。
【变式1】（2022·云南·开远市教育科学研究所二模）化简的正确结果是（ ）
A．m－nB．m+nC．D．
【变式2】（2022·河北保定·一模）已知分式：的某一项被污染，但化简的结果等于，被污染的项应为（ ）
A．0B．1C．D．
【变式3】（2022·贵州遵义·模拟预测）已知a为范围的整数，则的值是______．
【变式4】（2022·山东·临清市教育和体育局教科研中心一模）已知，则______．
【变式5】（2022·浙江舟山·二模）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简，过程如图所示：
(1)接力中，自己负责的一步出现错误的是
A．只有乙B．甲和丁C．乙和丙D．乙和丁
(2)请你书写正确的化简过程，并在“1,0,2，-2”中选择一个合适的数求值．
核心考点四 分式的化简求值
例1 （2020·湖北孝感·中考真题）已知，，那么代数式的值是（ ）
A．2B．C．4D．
例2 （2022·浙江丽水·中考真题）如图，标号为①，②，③，④的矩形不重叠地围成矩形，已知①和②能够重合，③和④能够重合，这四个矩形的面积都是5.，且．
（1）若a，b是整数，则的长是___________；
（2）若代数式的值为零，则的值是___________．
例3 （2022·山东潍坊·中考真题）（1）在计算时，小亮的计算过程如下：
解：
小莹发现小亮的计算有误，帮助小亮找出了3个错误．请你找出其他错误，参照①～③的格式写在横线上，并依次标注序号：
①；②；③；
____________________________________________________________________________．
请写出正确的计算过程．
（2）先化简，再求值：，其中x是方程的根．
知识点：分式化简求值的一般步骤
(1)按运算顺序对所给分式进行化简，化为最简分式或整式；
(2)代入求值(代入求值时要注意使原分式及化简过程中出现的分式均有意义)。
【变式1】（2022·内蒙古·科尔沁左翼中旗教研室模拟预测）若，则代数式的值为（ ）
A．B．C．2D．－2
【变式2】（2022·山东·昌乐县教学研究室一模）如果，那么代数式的值是（ ）
A．B．C．D．
【变式3】（2023·福建莆田·二模）已知非零实数a，b满足，则的值等于__________．
【变式4】（2022·湖北黄冈·模拟预测）我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三角”，它具有一定规律性，从图中取一列数：1，3，6，10，…，分别记为，，，，…，那么的值是______．
【变式5】．（2022·广东·深圳市龙华区丹堤实验学校模拟预测）某同学在解分式的化简求值题时，发现所得答案与参考答案不同．下面是他所解的题目和解答过程：
先化简（1），再将x＝5代入求值．
解：原式1……第1步
第2步
第3步
第4步
第5步
第6步
当x＝5时，原式第7步
(1)以上步骤中，第 步出现了错误，导致结果与答案不同，错误的原因是 ；
(2)请你把正确的解答过程写出来；
(3)请你提出一条解答这类题目的建议．
【新题速递】
1．（2022·山东·济南市历城区教育教学研究中心一模）化简的结果是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·北京市三帆中学模拟预测）如果，且，那么代数式的值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·北京昌平·二模）若，则代数式的值为（ ）
A．B．C．1D．2
4．（2022·广东深圳·二模）化简的结果是（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·河北·育华中学三模）要比较与中的大小（x是正数），知道的正负就可以判断，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．（2021·云南普洱·一模）若x＜0，，则的值为（ ）
A．﹣3B．﹣1C．1D．3
7．（2022·山东济南·一模）若，则，的值分别为（ ）
A．，B．，C．，D．，
8．（2021·河南周口·二模）已知函数，其中表示时的函数值，则的值为（ ）
A．2020B．2021C．4040D．4041
9．（2022·贵州黔西·二模）已知，则______.
10．（2022·湖北黄石·模拟预测）关于x的方程的解是负数，则m的取值范围是______．
11．（2022·江苏镇江·二模）已知：a与b互为相反数，且，则______．
12．（2022·北京密云·二模）已知，则代数式的值为______．
13．（2022·湖北·广水市教学研究室二模）对于实数，规定，例如，，那么计算的结果是______．
14．（2022·重庆市育才中学二模）临近端午，某粽子销售商向市场推出白粽、豆沙粽和蛋黄粽三种粽子套餐．推出市场的第一周，白粽套餐的销量等于蛋黄粽套餐的销量，豆沙粽套餐的销量占白粽套餐销量的，三种粽子套餐的销量之和不少于380份，不多于475份．每份蛋黄粽套餐的成本是每份白粽套餐与每份豆沙粽套餐的成本之和，粽子销售商准备这三种套餐成本一共6132元，且准备的套餐全部售出三种粽子套餐在第一周推出后，广受大众欢迎，在第一周销量的基础上第二周三种粽子套餐销量都有所增加，其中豆沙粽套餐增加的销量占总增加销量的，豆沙粽套餐的总销量达到三种粽子套餐总量的，此时白粽与豆沙粽总销量之比为5：2，已知第二周每份白粽套餐的成本不变，白粽套餐每份售价为10元，而每份豆沙粽套餐的成本下降了3元，每份蛋黄粽套餐的成本是第一周的倍，且准备的套餐全部卖完，最后三种粽子套餐的总利润率为20%．则第二周销售时豆沙粽套餐销售额与蛋黄粽套餐的销售额之和为_________元．（三种粽子套餐的成本和售价均为正整数，售价大于成本）
15．（2022·福建省泉州实验中学三模）先化简后求值，其中．
16．（2022·山东·济南育英中学模拟预测）先化简，再求值：，其中
17．（2022·河北廊坊·二模）数学课上，李老师和同学们做一个游戏：他在三张硬纸片上分别写出一个代数式，背面分别标上序号①、②、③，摆成如图所示的一个等式，然后翻开纸片②是，翻开纸片③是．
(1)求纸片①上的代数式．
(2)李老师说，他心里想着一个数，能使①与相等，请求出李老师心中的数．
18．（2022·湖北恩施·二模）已知，，求的值．
19．（2022·湖北·鄂州市教学研究室一模）若三个实数x，y，z满足，且，则有：（结论不需要证明）
例如：
根据以上阅读，请解决下列问题：
【基础训练】
(1)求的值；
【能力提升】
(2)设，求S的整数部分．
【拓展升华】
(3)已知，其中，且．当取得最小值时，求x的取值范围．
20．（2022·重庆·模拟预测）一个自然数能分解成，其中A，B均为两位数，A的十位数字比B的十位数字大1，且A，B的个位数字之和为10，则称这个自然数为“分解数”．
例如：∵，7比6大1，，∴4819是“分解数”；
又如：∵，4比3大1，，∴1496不是“分解数”．
(1)判断325，851是否是“分解数”，并说明理由；
(2)自然数为“分解数”，若A的十位数字与B的个位数字的和为，A的个位数字与B的十位数字的和，令，当为整数时，则称M为“整分解数”．若B的十位数字能被2整除，求所有满足条件的“整分解数”M．
核心考点
核心考点一 分式的概念
核心考点二 分式的基本性质
核心考点三 分式的运算
核心考点四 分式的化简求值
新题速递
分式乘法
分子的积作积的 ，用分母的积作积的分母
分式除法
将除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式
分式乘方
分子、分母分别
同分母分式加减
分母不变,分子
异分母分式加减
先 ，变为同分母的分式后再相加减。
一、复习方法
1.以专题复习为主。 2.重视方法思维的训练。
3.拓宽思维的广度，培养多角度、多维度思考问题的习惯。
二、复习难点
1.专题的选择要准，安排时间要合理。 2.专项复习要以题带知识。
3.在复习的过程中要兼顾基础，在此基础上适当增加变式和难度，提高能力。
第一部分 数与式
专题03 分式及其运算
核心考点一 分式的概念
例1 （2022·湖南怀化·中考真题）代数式x，，，x2﹣，，中，属于分式的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
例2 （2022·内蒙古包头·中考真题）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是___________．
例3 （2022·湖北黄石·中考真题）先化简，再求值：，从-3，-1，2中选择合适的a的值代入求值．
知识点：分式的概念
注意
1.分式可以表示两个整式相除，其中分子为被除式，分母为除式，分数线起除号和括号的作用。
2.分式的分子中可以含有字母，也可以不含字母，但分母中必须含有字母，这是区别分式和整式的重要依据。
3.在任何情况下，分式的分母的值都不为0，否则分式无意义。
一般地,如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母,那么式子叫做分式，其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。
分式有意义的条件:分母不为零，即
分式值为零：分子为零，且分母不为零。即（且）
【变式1】（2022·河北石家庄·一模）关于代数式M=，下列说法正确的是（ ）
A．当x=1时，M的值为0B．当x=﹣1时，M的值为﹣
C．当M=1时，x的值为0D．当M=﹣1时，x的值为0
【变式2】（2022·广东珠海·模拟预测）若（m为正整数），且、互为相反数，、互为倒数，则的值为（ ）
A．B．C．D．或
【变式3】（2022·广东·华南师大附中三模）把代数式分解因式，结果正确的是___________；若分式的值为零，则x的值为___________；若代数式可化为，则的值是___________．
【变式4】（2022·广东·华南师大附中三模）把代数式分解因式，结果正确的是___________；若分式的值为零，则x的值为___________；若代数式可化为，则的值是___________．
【变式5】（2022·广东佛山·二模）平面直角坐标系中有两个一次函数，，其中的图象与轴交点的横坐标为2且经过点，．
(1)求函数的关系式；
(2)当的图象经过两点和时，求的值；
(3)当时，对于的每一个值，都有，求的取值范围．
核心考点二 分式的基本性质
例1 （2020·河北·中考真题）若，则下列分式化简正确的是（ ）
A．B．C．D．
例2 （2020·内蒙古呼和浩特·中考真题）分式与的最简公分母是_______，方程的解是____________．
例3 （2021·广西梧州·中考真题）计算：（x﹣2）2﹣x（x﹣1）．
知识点：分式的基本性质
分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。,（），其中A、B、C是整式。利用分式的基本性质可以进行约分、通分。
根据分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的 约去，叫做分式的约分，约分通常是把分式化成最简分式或整式。
利用分式的基本性质，把异分母分式化成 分式，叫做分式的通分。
符号法则：改变分子、分母及整个分式三者中任意两个的符号，分式的值不变，即
【变式1】（2022·河北·石家庄市第四十一中学模拟预测）实数．则下列各式中比的值大的是（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2022·河北·一模）如果要使分式的值保持不变，那么分式应（ ）
A．a扩大2倍，b扩大3倍B．a，b同时扩大3倍
C．a扩大2倍，b缩小3倍D．a缩小2倍，b缩小3倍
【变式3】（2022·湖北襄阳·一模）已知，则分式的值为______．
【变式4】（2021·湖南·一模）已知实数a，b，c满足a＋b＝ab＝c，有下列结论：
①若c≠0，则＝1；
②若a＝3，则b＋c＝9；
③若a＝b＝c，则abc＝0；
④若a，b，c中只有两个数相等，则a＋b＋c＝8.
其中正确的是____．(把所有正确结论的序号都选上)
【变式5】（2020·浙江杭州·模拟预测）（1）不改变分式的值，把下列分子和分母的最高次的系数都化为正数________．
（2）不改变分式的值，把下列分子和分母的中各项系数都化为整数_______．
（3）若分式的值是整数，求整数x的值．
（4）已知，求的值．
核心考点三 分式的运算
例1 （2022·山东济南·中考真题）若m－n＝2，则代数式的值是（ ）
A．－2B．2C．－4D．4
例2 （2022·山东菏泽·中考真题）若，则代数式的值是________．
例3 （2022·内蒙古通辽·中考真题）先化简，再求值：，请从不等式组 的整数解中选择一个合适的数求值．
知识点：分式的运算
1、分式的运算法则
分式的混合运算：
分式的混合运算，有多项式的，一般先因式分解，能约分的进行约分；有括号的先算括号，有乘方的先算乘方；先乘除后加减。异分母相加减，先通分，化为同分母，再加减。
分式化简中的误区
1.注意分式混合运算顺序
2.分式化简不同于解分式方程,化简过程中不能去分母.
3.分数线有除号和括号两重作用,同分母分式相加减(分子是多项式),分子应整体加括号.
4.分式运算中含有整式，应视其分母为1的式子，然后按分式四则运算法则计算。
【变式1】（2022·云南·开远市教育科学研究所二模）化简的正确结果是（ ）
A．m－nB．m+nC．D．
【变式2】（2022·河北保定·一模）已知分式：的某一项被污染，但化简的结果等于，被污染的项应为（ ）
A．0B．1C．D．
【变式3】（2022·贵州遵义·模拟预测）已知a为范围的整数，则的值是______．
【变式4】（2022·山东·临清市教育和体育局教科研中心一模）已知，则______．
【变式5】（2022·浙江舟山·二模）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简，过程如图所示：
(1)接力中，自己负责的一步出现错误的是
A．只有乙B．甲和丁C．乙和丙D．乙和丁
(2)请你书写正确的化简过程，并在“1,0,2，-2”中选择一个合适的数求值．
核心考点四 分式的化简求值
例1 （2020·湖北孝感·中考真题）已知，，那么代数式的值是（ ）
A．2B．C．4D．
例2 （2022·浙江丽水·中考真题）如图，标号为①，②，③，④的矩形不重叠地围成矩形，已知①和②能够重合，③和④能够重合，这四个矩形的面积都是5.，且．
（1）若a，b是整数，则的长是___________；
（2）若代数式的值为零，则的值是___________．
例3 （2022·山东潍坊·中考真题）（1）在计算时，小亮的计算过程如下：
解：
小莹发现小亮的计算有误，帮助小亮找出了3个错误．请你找出其他错误，参照①～③的格式写在横线上，并依次标注序号：
①；②；③；
____________________________________________________________________________．
请写出正确的计算过程．
（2）先化简，再求值：，其中x是方程的根．
知识点：分式化简求值的一般步骤
(1)按运算顺序对所给分式进行化简，化为最简分式或整式；
(2)代入求值(代入求值时要注意使原分式及化简过程中出现的分式均有意义)。
【变式1】（2022·内蒙古·科尔沁左翼中旗教研室模拟预测）若，则代数式的值为（ ）
A．B．C．2D．－2
【变式2】（2022·山东·昌乐县教学研究室一模）如果，那么代数式的值是（ ）
A．B．C．D．
【变式3】（2023·福建莆田·二模）已知非零实数a，b满足，则的值等于__________．
【变式4】（2022·湖北黄冈·模拟预测）我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三角”，它具有一定规律性，从图中取一列数：1，3，6，10，…，分别记为，，，，…，那么的值是______．
【变式5】．（2022·广东·深圳市龙华区丹堤实验学校模拟预测）某同学在解分式的化简求值题时，发现所得答案与参考答案不同．下面是他所解的题目和解答过程：
先化简（1），再将x＝5代入求值．
解：原式1……第1步
第2步
第3步
第4步
第5步
第6步
当x＝5时，原式第7步
(1)以上步骤中，第 步出现了错误，导致结果与答案不同，错误的原因是 ；
(2)请你把正确的解答过程写出来；
(3)请你提出一条解答这类题目的建议．
【新题速递】
1．（2022·山东·济南市历城区教育教学研究中心一模）化简的结果是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·北京市三帆中学模拟预测）如果，且，那么代数式的值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·北京昌平·二模）若，则代数式的值为（ ）
A．B．C．1D．2
4．（2022·广东深圳·二模）化简的结果是（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·河北·育华中学三模）要比较与中的大小（x是正数），知道的正负就可以判断，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．（2021·云南普洱·一模）若x＜0，，则的值为（ ）
A．﹣3B．﹣1C．1D．3
7．（2022·山东济南·一模）若，则，的值分别为（ ）
A．，B．，C．，D．，
8．（2021·河南周口·二模）已知函数，其中表示时的函数值，则的值为（ ）
A．2020B．2021C．4040D．4041
9．（2022·贵州黔西·二模）已知，则______.
10．（2022·湖北黄石·模拟预测）关于x的方程的解是负数，则m的取值范围是______．
11．（2022·江苏镇江·二模）已知：a与b互为相反数，且，则______．
12．（2022·北京密云·二模）已知，则代数式的值为______．
13．（2022·湖北·广水市教学研究室二模）对于实数，规定，例如，，那么计算的结果是______．
14．（2022·重庆市育才中学二模）临近端午，某粽子销售商向市场推出白粽、豆沙粽和蛋黄粽三种粽子套餐．推出市场的第一周，白粽套餐的销量等于蛋黄粽套餐的销量，豆沙粽套餐的销量占白粽套餐销量的，三种粽子套餐的销量之和不少于380份，不多于475份．每份蛋黄粽套餐的成本是每份白粽套餐与每份豆沙粽套餐的成本之和，粽子销售商准备这三种套餐成本一共6132元，且准备的套餐全部售出三种粽子套餐在第一周推出后，广受大众欢迎，在第一周销量的基础上第二周三种粽子套餐销量都有所增加，其中豆沙粽套餐增加的销量占总增加销量的，豆沙粽套餐的总销量达到三种粽子套餐总量的，此时白粽与豆沙粽总销量之比为5：2，已知第二周每份白粽套餐的成本不变，白粽套餐每份售价为10元，而每份豆沙粽套餐的成本下降了3元，每份蛋黄粽套餐的成本是第一周的倍，且准备的套餐全部卖完，最后三种粽子套餐的总利润率为20%．则第二周销售时豆沙粽套餐销售额与蛋黄粽套餐的销售额之和为_________元．（三种粽子套餐的成本和售价均为正整数，售价大于成本）
15．（2022·福建省泉州实验中学三模）先化简后求值，其中．
16．（2022·山东·济南育英中学模拟预测）先化简，再求值：，其中
17．（2022·河北廊坊·二模）数学课上，李老师和同学们做一个游戏：他在三张硬纸片上分别写出一个代数式，背面分别标上序号①、②、③，摆成如图所示的一个等式，然后翻开纸片②是，翻开纸片③是．
(1)求纸片①上的代数式．
(2)李老师说，他心里想着一个数，能使①与相等，请求出李老师心中的数．
18．（2022·湖北恩施·二模）已知，，求的值．
19．（2022·湖北·鄂州市教学研究室一模）若三个实数x，y，z满足，且，则有：（结论不需要证明）
例如：
根据以上阅读，请解决下列问题：
【基础训练】
(1)求的值；
【能力提升】
(2)设，求S的整数部分．
【拓展升华】
(3)已知，其中，且．当取得最小值时，求x的取值范围．
20．（2022·重庆·模拟预测）一个自然数能分解成，其中A，B均为两位数，A的十位数字比B的十位数字大1，且A，B的个位数字之和为10，则称这个自然数为“分解数”．
例如：∵，7比6大1，，∴4819是“分解数”；
又如：∵，4比3大1，，∴1496不是“分解数”．
(1)判断325，851是否是“分解数”，并说明理由；
(2)自然数为“分解数”，若A的十位数字与B的个位数字的和为，A的个位数字与B的十位数字的和，令，当为整数时，则称M为“整分解数”．若B的十位数字能被2整除，求所有满足条件的“整分解数”M．
核心考点
核心考点一 分式的概念
核心考点二 分式的基本性质
核心考点三 分式的运算
核心考点四 分式的化简求值
新题速递
分式乘法
分子的积作积的 ，用分母的积作积的分母
分式除法
将除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式
分式乘方
分子、分母分别
同分母分式加减
分母不变,分子
异分母分式加减
先 ，变为同分母的分式后再相加减。
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