2022-2023学年上海市杨浦高级中学高一（下）开学数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年上海市杨浦高级中学高一（下）开学数学试卷（含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若[x]表示不大于x的最大整数，则函数f(x)=x−[x]−12的零点个数是( )
A. 0个B. 1个C. 2个D. 无数个
2.用数学归纳法证明：12+22+⋯+n2+⋯+22+12=n(2n2+1)3(n为正整数)从k到k+1时，等式左边需增加的代数式是( )
A. k2+(k+1)2B. k2+(k+1)2+k2
C. (k+1)2D. 2k+1
3.已知y=f(x)是定义在[3,4]上的严格减函数，若f(3)=2，f(4)=0，那么其反函数y=f−1(x)是( )
A. 定义在[0,2]上的严格增函数B. 定义在[0,2]上的严格减函数
C. 定义在[3,4]上的严格增函数D. 定义在[3,4]上的严格减函数
4.定义在正整数集上的函数f(x)=|x−1|+2|x−2|+⋯+100|x−100|，其最小值是( )
A. 99010B. 99050C. 99080D. 99160
二、填空题：本题共10小题，每小题4分，共40分。
5.已知1，G，9成等比数列，则等比中项G= ______．
6.函数f(x)=1x2+1,x∈[−1,1]的值域为______.(结果用区间表示)
7.已知等差数列{an}的前n项和Sn=n2，则数列{an}的公差d= ______．
8.已知等腰三角形的周长为1，把该三角形腰长y表示为底边长x的函数，则该函数为y= ______.(要求：写出解析式和自变量的取值范围)
9.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若an=(12)n，则n→∞limSn= ______．
10.利用二分法计算函数f(x)=lnx−x+7在区间(9,10)的零点，第一次操作后确认在(9,9.5)内有零点，那么第二次操作后确认在区间______内有零点．
11.已知函数y=f(x)是在定义域[−2,2]上严格增的奇函数，若f(a2+2a−3)+f(2−2a2)<0，则实数a的取值范围是______．
12.等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3=9，S9=36，则当Sn取到最大值时n= ______．
13.已知函数f(x)=−x2+2x,x≤0ln(x+1),x>0若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是______．
14.已知数列{an}满足：a1=1，an=an2+1,n=2,4,6,8,⋯1an−1,n=3,5,7,9,⋯，若ak=3019，则k= ______．
三、解答题：本题共5小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
已知函数f(x)=||x−1|−1|，x∈[0,2]．
(1)请用分段表示法把该函数写为f(x)=▫,0≤x≤1▫,1(2)画出f(x)的大致图象并写出f(x)的单调区间．
16.(本小题8分)
已知数列{an}满足：a1=72,an=3an−1−1(n≥2)．
(1)求证：数列{an−12}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式及其前n项和Sn的表达式．
17.(本小题8分)
已知a∈R，函数f(x)=ax2+1x，x∈(−∞,0)∪(0,+∞)．
(1)判断f(x)的奇偶性，并证明你的判断；
(2)当a≥12时，判断f(x)在区间[1,+∞)上的单调性并证明你的判定．
18.(本小题10分)
某市环保部门对市中心每天的环境污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合污染指数f(x)与时刻x(时)的关系为f(x)=|xx2+1−a|+2a+34，x∈[0,24)，其中a是与气象有关的参数，且a∈[0 , 12].若用每天f(x)的最大值为当天的综合污染指数，并记作M(a)．
(1)令t=xx2+1，x∈[0,24)，求t的取值范围；
(2)求M(a)的表达式，并规定当M(a)≤2时为综合污染指数不超标，求当a在什么范围内时，该市市中心的综合污染指数不超标．
19.(本小题14分)
数列{an}中，已知a1=1，a2=a，an+1=k(an+an+2)对任意n∈N*都成立，数列{an}的前n项和为Sn．
(1)若a=5,k=12，求数列{an}的通项公式；
(2)若a=1,k=−12，求S2023的值；
(3)是否存在实数a和k，使数列{an}是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项am，am+1，am+2按某顺序排列后成等差数列？若存在，求出所有实数a和k的值；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：取x=k+12，k∈Z，则[x]=k，
此时f(x)=x−[x]−12=k+12−k−12=0，
即函数f(x)=x−[x]−12的零点是k+12，k∈Z，有无数个．
故选：D．
取x=k+12，k∈Z，[x]=k，此时f(x)=k+12−k−12=0，得到答案．
本题主要考查了函数的零点与方程根的关系，属于中档题．
2.【答案】A
【解析】解：等式左边需增加的代数式是：[12+22+⋯+k2+(k+1)2+k2+⋯+22+12]−(12+22+⋯+k2+⋯+22+12)=k2+(k+1)2．
故选：A．
取n=k+1和n=k代入左式相减得到答案．
本题主要考查数学归纳法的应用，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：因为y=f(x)是定义在[3,4]上的严格减函数，若f(3)=2，f(4)=0，
则当3≤x≤4时，0≤f(x)≤2，
因为函数y=f(x)在定义域[3,4]上的单调性与其反函数y=f−1(x)在定义域[0,2]上的单调性相同，
故函数y=f−1(x)是定义在[0,2]上的严格减函数．
故选：B．
求出函数y=f−1(x)的定义域，利用函数与其反函数单调性相同可得出结论．
本题主要考查反函数的应用，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：因为函数f(x)的解析式中绝对值的个数为1+2+3+⋯+100=100(1+100)2=5050，
设a≥b，则|x−a|+|x−b|≥|(x−a)−(x−b)|=a−b，当且仅当b≤x≤a时，等号成立，
f(x)=|x−1|+2|x−2|+⋯+100|x−100|，①
f(x)=100|x−100|+99|x−99|⋯+|x−1|，②
①+②可得：2f(x)=[|x−1|+|x−100|]+[|x−2|+|x−100|]+⋯+[|x−100|+|x−1|]，
因为1+2+⋯+70=(1+70)×702=2485<2525=50502，
1+2+⋯+71=(1+71)×712=2556>2525=50502，
所以在2f(x)中，最中间的两项为|x−71|+|x−71|和|x−71|+|x−71|，
所以由绝对值三角不等式可得2f(x)≥(100−1)+(100−2)+(100−2)+⋯+(100−1)，
当且仅当x=71时，等号成立，
所以f(x)min=f(71)=1×(71−1)+2×(71−2)+⋯+71×(71−71)+⋯+100(100−71)
=(1+2+⋯+70)×71−(12+22+⋯+702)+(722+732+⋯+1002)−(72+73+⋯+100)×71
=17649035−116795+216514−177074
=99080．
故选：C．
计算出f(x)的解析式中绝对值的个数，利用倒序相加法可知在2f(x)中，最中间的两项为|x−71|+|x−71|和|x−71|+|x−71|，利用绝对值三角不等式可知，当x=71时，f(x)取最小值，然后计算出f(71)即可．
本题考查了绝对值三角不等式的应用，考查了倒序相加法的应用，属于中档题．
5.【答案】±3
【解析】解：已知1，G，9成等比数列，
则G2=1×9，G=±3．
故答案为：±3．
根据等比中项得到G2=1×9，解得答案．
本题主要考查等比数列的性质，属于基础题．
6.【答案】[12,1]
【解析】解：x∈[−1,1]，则x2+1∈[1,2]，
故f(x)=1x2+1,x∈[−1,1]的值域为[12,1]．
故答案为：[12,1]．
x∈[−1,1]，则x2+1∈[1,2]，得到f(x)=1x2+1,x∈[−1,1]的值域．
本题主要考查了二次函数及反比例函数的性质在函数值域求解中的应用，属于基础题．
7.【答案】2
【解析】解：∵等差数列{an}的前n项和Sn=n2，
∴a1=S1=1，a2=S2−S1=4−1=3，
∴公差d=a2−a1=3−1=2．
故答案为：2．
由等差数列的前n项和求得等差数列的前2项，由d=a2−a1求得公差．
本题考查等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和，是基础的计算题．
8.【答案】y=1−x2(0【解析】解：根据题意：x+2y=1，2y>x，
故0则函数为y=1−x2(0故答案为：y=1−x2(0据题意x+2y=1，0本题考查函数解析式的求法，属于中档题．
9.【答案】1
【解析】解：由题意可知，a1=12,q=12，Sn=12(1−(12)n)1−12=1−12n．n→∞limSn=n→∞lim(1−12n)=1．
故答案为：1．
由等比数列求和公式得出Sn，再求极限．
本题主要考查数列的极限，属于基础题．
10.【答案】(9,9.25)
【解析】解：由题意可知，取区间(9,9.5)的中点x1=9+9.52=9.25，
f(9)=ln9−9+7=ln9−2≈0.20>0，f(9.25)=ln9.25−9.25+7=ln9.25−2.25≈−0.03<0，
所以f(9)×f(9.25)<0，
所以第二次操作后确认在区间(9,9.25)内有零点．
故答案为：(9,9.25)．
利用二分法的定义即可求解．
本题主要考查二分法的应用，考查计算能力，属于基础题．
11.【答案】[ 2−1,1)∪(1, 2]
【解析】解：根据题意，函数y=f(x)，x∈[−2,2]是在定义域[−2,2]上严格递增的奇函数，
若f(a2+2a−3)+f(2−2a2)<0，则有f(a2+2a−3)所以−2≤a2+2a−3≤2−2≤2−2a2≤2a2+2a−3<−2+2a2，解得x∈[ 2−1,1)∪(1, 2]．
故答案为：[ 2−1,1)∪(1, 2]．
根据题意，根据函数的定义域、奇偶性和单调性得到−2≤a2+2a−3≤2−2≤2−2a2≤2a2+2a−3<−2+2a2，解不等式组即可得到a的取值范围．
本题考查函数奇偶性、单调性的性质以及应用，涉及不等式的解法，属于基础题．
12.【答案】6
【解析】解：由a1+2d=99a1+36d=36，解得d=−52,a1=14．
即Sn=na1+n(n−1)2d=−54n2+614n．
因为函数y=−54x2+614x的对称轴为x=−614−2×54=6.1．
故当n=6时，Sn取到最大值．
故答案为：6．
由a3=9，S9=36得出d=−52,a1=14，再由求和公式结合二次函数的性质求解即可．
本题主要考查等差数列的前n项和公式，属于基础题．
13.【答案】[−2,0]
【解析】解：当x>0时，根据ln(x+1)>0恒成立，则此时a≤0．
当x≤0时，根据−x2+2x的取值为(−∞,0]，|f(x)|=x2−2x≥ax，
x=0时左边=右边，a取任意值．
x<0时，有a≥x−2，即a≥−2．
综上可得，a的取值为[−2,0]，
故答案为[−2,0]．
①当x>0时，根据ln(x+1)>0恒成立，求得a≤0.②当x≤0时，可得x2−2x≥ax，求得a的范围．再把这两个a的取值范围取交集，可得答案．
本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．
14.【答案】238
【解析】解：∵a1=1，an=an2+1,n=2,4,6,8,⋯1an−1,n=3,5,7,9,⋯，
∴an>0(n∈N*)，当n为偶数时，an>1，
当n(n>1)为奇数时，an=1an−1∈(0,1)，
又ak=3019>1，
∴k为偶数，
由ak=3019往回推可得，3019→1119→1911→811→118→38→83→53→23→32→12→2→1，
即a1=1⇒a2=2⇒a3=12⇒a6=32⇒a7=23⇒a14=53⇒a28=83⇒a29=38⇒a58=118⇒a59=811⇒a118=1911⇒a119=1119⇒a238=3019．
∴k=238．
故答案为：238．
根据数列{an}的递推公式，分析可知，当n为偶数时，an>1，当n(n>1)为奇数时，an=1an−1∈(0,1)，则k为偶数，由ak=3019往回推，然后根据a1=1以及{an}的递推公式逐项递推可得出k的值．
本题考查了数列的递推式，属于中档题．
15.【答案】(1)解：当0≤x≤1时，f(x)=||x−1|−1|=|(1−x)−1|=|−x|=x，
当1所以，f(x)=x,0≤x≤12−x,1(2)解：作出函数f(x)的图象如下图所示：

由图可知，函数f(x)的增区间为[0,1]，减区间为[1,2]．
【解析】(1)分0≤x≤1、1(2)根据(1)中函数f(x)的解析式可作出函数f(x)的图象，利用函数f(x)的图象可写出函数f(x)的增区间和减区间．
本题考查绝对值函数的性质，属于基础题．
16.【答案】(1)证明：由题意可知an+1=3an−1，
当n≥1时，an+1−12an−12=3an−1−12an−12=3(an−12)an−12=3，
所以数列{an−12}是以3为首项，公比为3的等比数列；
(2)解：由(1)可知，an−12=3n，即an=3n+12
前n项和Sn=3(1−3n)1−3+n2=3n+1−3+n2．
【解析】(1)由等比数列的定义证明即可；
(2)由(1)得出数列{an}的通项公式，再由等差和等比的求和公式计算Sn．
本题主要考查了等比数列的定义及通项公式，求和公式的应用，属于中档题．
17.【答案】解：(1)当a=0时f(x)为奇函数；当a≠0时f(x)为非奇非偶函数，
证明如下：
当a=0时，f(x)=1x，x∈(−∞,0)∪(0,+∞)，f(−x)=−1x=−f(x)，此时函数f(x)为奇函数；
当a≠0时，f(x)=ax2+1x，x∈(−∞,0)∪(0,+∞)，
对任意的x≠0，f(−x)=ax2−1x，则f(−x)≠f(x)，f(−x)≠−f(x)，
此时函数f(x)为非奇非偶函数．
综上所述，当a=0时f(x)为奇函数；当a≠0时f(x)为非奇非偶函数，
(2)当a≥12时，f(x)在区间[1,+∞)上为增函数，证明如下：
任取x1、x2∈[1,+∞)且x1>x2，
f(x1)−f(x2)=(ax12+1x1)−(ax22+1x2)=a(x1−x2)(x1+x2)−x1−x2x1x2=[ax1x2(x1+x2)−1](x1−x2)x1x2，
因为x1>x2≥1，a≥12，则x1x2>1，x1+x2>2，所以，x1−x2>0，
所以，ax1x2(x1+x2)>1，则f(x1)−f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
所以，当a≥12时，函数f(x)在[1,+∞)上为增函数．
【解析】(1)判断出当a=0时f(x)为奇函数；当a≠0时f(x)为非奇非偶函数，然后利用函数奇偶性的定义可证得结论成立；
(2)判断出当a≥12时，f(x)在区间[1,+∞)上为增函数，然后任取x1、x2∈[1,+∞)且x1>x2，作差f(x1)−f(x2)，因式分解并判断f(x1)−f(x2)的符号，结合函数单调性的定义可得出结论．
本题考查函数的性质应用，属于中档题．
18.【答案】(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分(5分)，第2小题满分(9分)．
解：(1)当x=0时，t=0； …(2分)
当00，所以0即t的取值范围是[0 , 12]. …(5分)
(2)当a∈[0 , 12]时，由(1)，令t=xx2+1，则t∈[0 , 12]，…(1分)
所以f(x)=g(t)=|t−a|+2a+34=3a−t+34 , 0≤t≤a t+a+34 , a于是，g(t)在t∈[0,a]时是关于t的减函数，在t∈(a , 12]时是增函数，
因为g(0)=3a+34，g(12)=a+54，由g(0)−g(12)=2a−12，
所以，当0≤a≤14时，M(a)=g(12)=a+54；
当14即M(a)=a+54 , 0≤a≤14 3a+34 , 14由M(a)≤2，解得0≤a≤512. …(8分)
所以，当a∈[0 , 512]时，综合污染指数不超标． …(9分)
【解析】(1)利用取倒数，求导数，确定函数的单调性，可得t的取值范围；
(2)分段求出每天的综合放射性污染指数不超过2时a的范围，即可得到结论．
本题主要考查了函数模型的选择与应用及分类讨论的思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
19.【答案】解：(1)k=12,an+1=12(an+an+2)，即2an+1=an+an+2，所以{an}是等差数列，
又a1=1，公差d=a2−a1=5−1=4，所以an=4n−3；
(2)当a=1,k=−12时，an+1=−12(an+an+2)，即2an+1=−an−an+2，
所以an+2+an+1=−(an+1+an)，所以an+3+an+2=−(an+2+an+1)=an+1+an，
又2a2=−a1−a3，所以a3=−3，
所以S2023=a1+a2+a3+⋯a2023=a1+1011(a2+a3)=1−2022=−2021．
(3)数列{an}是等比数列，则{an}公比q=a2a1=a≠1,am=am−1,am+1=am,am+2=am+1，
若am+1为等差中项，则2am+1=am+am+2，2am=am+1+am−1，
即2a=a2+1，解得a=1(舍去)；
若am为等差中项，则2am=am+1+am+2，2am−1=am+1+am，
即2=a2+a，解得a=−2(a=1舍去)，
此时k=am+1am+am+2=amam−1+am+1=a1+a2=−25；
若am+2为等差中项，则2am+2=am+am+1，2am+1=am−1+am，
即2a2=1+a，解得a=−12(a=1舍去)，
此时k=am+1am+am+2=amam−1+am+1=a1+a2=−25，
综上所述，a=−12或a=−2,k=−25．
【解析】(1)确定{an}是等差数列，得到a1=1，d=a2−a1=4，再求出通项公式；
(2)求出a3=−3，确定an+3+an+2=an+1+an，S2023=a1+1011(a2+a3)，计算得到答案；
(3)根据条件，可得am=am−1,am+1=am,am+2=am+1，考虑am+1，am，am+2分别为等差中项三种情况，计算得到答案．
本题主要考查数列递推关系式的应用，考查计算能力，属于中档题．