2023-2024学年吉林省松原市宁江区八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)

这是一份2023-2024学年吉林省松原市宁江区八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.红细胞系统分为原始红细胞、早幼红细胞、中幼红细胞、晚幼红细胞、网织红细胞和成熟红细胞.某原始红细胞胞体直径0.000015m，呈圆形或椭圆形，边缘常有钝角状或瘤状突起.将0.000015用科学记数法表示为( )
A. 1.5×10−5B. 15×10−6C. 0.15×10−4D. 1.5×105
2.化简m2⋅(−m)3的结果是( )
A. m5B. −m5C. m6D. −m6
3.如图，在△ABC中，AB=15，BC=9，BD是AC边上的中线，若△ABD的周长为30，则△BCD的周长是( )
A. 20B. 24C. 26D. 28
4.如图，AD是等边△ABC的一条中线，若在边AC上取一点E，使得AE=AD，则∠EDC的度数为( )
A. 30∘
B. 20∘
C. 25∘
D. 15∘
5.如图，△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD交BE于点F，若BF=AC，则∠ABC等于( )
A. 45∘
B. 48∘
C. 50∘
D. 60∘
6.《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天，如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x天，则可列方程为( )
A. 900x+1×2=900x−3B. 900x+1=900x−3×2
C. 900x−1×2=900x+3D. 900x+1=900x+3×2
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
7.已知(x−3)2=x2+2mx+9，则m的值是______.
8.如图，AC=AD，要使△ACB≌△ADB，还需添加一个条件，这个条件可以是______.(写出一个即可)
9.计算：x2x−1−xx−1=______.
10.如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为______cm.
11.若3x+2y−3=0，则8x⋅4y等于______.
12.小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在∠AOB上，两把直尺的接触点为P，边OA与其中一把直尺边缘的交点为C，点C、P在这把直尺上的刻度读数分别是2、5，则OC的长度是______.
13.定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”.若等腰三角形ABC是“倍长三角形”，底边BC长为5，则等腰三角形ABC的周长为______.
14.对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号Min{a,b}表示a、b中的较小的值，如Min{2,4}=2，按照这个规定，方程Min{11−x,21−x}=4x−1−3的解为__________.
三、解答题：本题共12小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题5分)
分解因式：x2(m−n)+9(n−m).
16.(本小题5分)
解方程：15x=24x+3.
17.(本小题5分)
如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求∠ABD的度数.
18.(本小题5分)
已知：如图，∠A=∠D=90∘，AC=BD.求证：AB=CD.
19.(本小题7分)
先化简，再求值：(1−2x−1)⋅x2−xx2−6x+9，其中x=13.
20.(本小题7分)
如图，在△ABC中，点M，N分别是AB和AC上的点，MN//BC，且BC=2MN，点E是CN的中点，连接ME并延长交BC的延长线于点D.若CD=4，求BC的长.
21.(本小题7分)
习近平总书记指出，中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”，是最深厚的文化软实力，是中国特色社会主义植根的沃土，是我们在世界文化激荡中站稳脚跟的根基．为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校决定开展名著读书活动，用3600元购买“四大名著”若干套后，发现这批图书满足不了学生的阅读需求，图书管理员在购买第二批时正赶上图书城8折销售该套书，于是用2400元购买的套数只比第一批少4套．
(1)求第一批购进的“四大名著”每套的价格是多少元；
(2)该校共购进“四大名著”多少套？
22.(本小题7分)
如图，有两个7×4的网格，网格中每个小正方形的边长均为1，每个网格中各画有一个梯形．请在图1、图2中分别画出一条线段，同时满足以下要求：
(1)线段的一端点为梯形的顶点，另一个端点在梯形一边的格点上；
(2)将梯形分成两个图形，其中一个是轴对称图形；
(3)图1、图2中分成的轴对称图形不全等．
23.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AB=AC，点D在BC边上，点E在AC边上，连接AD、DE，若AD=DE，AC=CD.
(1)求证：△ABD≌△DCE；
(2)若BD=3，CD=5，求AE的长．
24.(本小题8分)
探索：
(x−1)(x+1)=x2−1
(x−1)(x2+x+1)=x3−1
(x−1)(x3+x2+x+1)=x4−1
(x−1)(x4+x3+x2+x+1)=x5−1
…
(1)试求26+25+24+23+22+2+1的值．
(2)判断22008+22007+22006+…+22+2+1的值的个位数是几？
25.(本小题10分)
如图，在ABC中，AB=AC=2，∠B=40∘，点D在线段BC上运动(点D不与点B、C重合)，连接AD，作∠ADE=40∘，DE交线段AC于点E.
(1)当∠BDA=115∘时，∠EDC=______ ∘，∠AED=______ ∘；
(2)线段DC的长度为何值时，△ABD≌△DCE，请说明理由；
(3)在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求∠BDA的度数；若不可以，请说明理由．
26.(本小题10分)
如图，在△ABC中，∠ACB=60∘，D为△ABC边AC上一点，BC=CD，点M在BC的延长线上，CE平分∠ACM，且AC=CE.连接BE交AC于F，G为边CE上一点，满足CG=CF，连接DG交BE于H.
(1)△ABC≌△EDC吗？为什么？
(2)求∠DHF的度数；
(3)若EB平分∠DEC，则BE平分∠ABC吗？请说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：0.000015=1.5×10−5.
故选：A.
用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂．
本题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
2.【答案】B
【解析】解：原式=−m2⋅m3=−m5.
故选：B.
根据互为相反数的偶次幂相等，可化成同底数幂的乘法，根据同底数幂的乘法，底数不变指数相加，可得答案．
本题考查了同底数幂的乘法，先化成同底数幂的乘法，再进行同底数幂的乘法运算．
3.【答案】B
【解析】解：∵BD是AC边上的中线，
∴CD=AD，
∵△ABD的周长为30，
∴AB+AD+BD=30，
∴15+CD+BD=30，
∴CD+BD=15，
∴△BCD的周长=BC+CD+BD=15+9=24，
故选：B.
根据三角形的中线的概念得到CD=AD，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
本题考查的是三角形的中线的概念，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
4.【答案】D
【解析】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=60∘，
∵AD是等边△ABC的一条中线，
∴AD⊥BC，∠CAD=12∠BAC=30∘，
∵AE=AD，
∴∠ADE=∠AED，
∵∠ADE+∠AED+∠CAD=180∘，
∴∠ADE=75∘，
∴∠EDC=90∘−75∘=15∘，
故选：D.
由等边三角形的性质可得AD⊥BC，∠CAD=1230∘，结合等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可求解∠ADE的度数，进而可求解．
本题主要考查等边三角形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，求解∠ADE的度数是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠ADB=∠BEC=90∘，
∴∠FBD=∠CAD，
在△FDB和△CAD中，
∠FBD=∠CAD∠BDF=∠ADCBF=AC，
∴△FDB≌△CDA(AAS)，
∴DA=DB，
∴∠ABC=∠BAD=45∘，
故选：A.
根据垂直的定义得到∠ADB=∠BEC=90∘，得到∠FBD=∠CAD，由“AAS”可证△FDB≌△CAD，根据全等三角形的性质解答即可．
本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】【分析】
此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．首先设规定时间为x天，则快马所需的时间为(x−3)天，慢马所需的时间为(x+1)天，根据等量关系：路程÷时间=速度，由题意得等量关系：慢马速度×2=快马速度，根据等量关系，可得方程．
【解答】
解：设规定时间为x天，则快马所需的时间为(x−3)天，慢马所需的时间为(x+1)天，由题意得：
900x+1×2=900x−3，
故选A.
7.【答案】−3
【解析】解：∵(x−3)2=x2−6x+9=x2+2mx+9，
∴2m=−6，
∴m=−3.
故答案为：−3.
先计算等号左侧的式子，再根据对应位置系数相等可得答案．
此题考查的是完全平方公式，掌握其公式结构正确解答是解决此题关键．
8.【答案】BC=BD(答案不唯一)
【解析】解：条件是BC=BD，
理由是：在△ACB和△ADB中，
AC=ADAB=ABBC=BD，
∴△ACB≌△ADB(SSS)，
故答案为：BC=BD(答案不唯一).
此题是一道开放型的题目，答案不唯一，只要符合全等三角形的判定定理即可．
本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL.
9.【答案】x
【解析】【分析】
本题考查了分式加减运算，题比容易．
进行同分母分式加减运算最后要注意将结果为最简分式．
【解答】
解：x2x−1−xx−1=x2−xx−1=x(x−1)x−1=x，
故答案x.
10.【答案】19
【解析】解：∵DE是AC的垂直平分线，AE=3cm，
∴AC=2AE=6(cm)，DA=DC，
∵△ABD的周长为13cm，
∴AB+BD+AD=13cm，
∴AD+BD+DC=13cm，
∴AB+BC=13cm，
∴△ABC的周长=AB+BC+AC
=13+6
=19(cm)，
故答案为：19.
利用线段垂直平分线的性质可得AC=2AE=6cm，DA=DC，然后利用等量代换可得△ABD的周长=AB+BC=13cm，从而利用三角形的周长公式进行计算即可解答．
本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
11.【答案】8
【解析】解：∵3x+2y−3=0，
∴3x+2y=3，
∴8x⋅4y
=23x⋅22y
=23x+2y
=23
=8.
故答案为：8.
把8x⋅4y都改为底数为2的乘方，再利用同底数幂的乘法计算，由3x+2y−3=0得出3x+2y=3整体代入即可．
此题考查幂的乘方和同底数幂的乘法，掌握幂的乘方和同底数幂的乘法的运算法则是解题的关键．
12.【答案】3cm
【解析】解：过P作PN⊥OB于N，
由题意得：PM=PN，
∵PM⊥OA，
∴PO平分∠AOB，
∴∠COP=∠NOP，
∵PC//OB，
∴∠CPO=∠NOP，
∴∠COP=∠CPO，
∴OC=PC，
∵C、P在这把直尺上的刻度读数分别是2、5，
∴PC=5−2=3(cm)，
∴OC的长度是3cm.
故答案为：3cm.
过P作PN⊥OB于N，由角平分线性质定理的逆定理推出PO平分∠AOB，得到∠COP=∠NOP，由平行线的性质推出∠CPO=∠NOP，得到∠COP=∠CPO，因此OC=PC，由PC=5−2=3(cm)，即可得到OC的长度是3cm.
本题考查角平分线性质定理的逆定理，平行线的性质，关键是角平分线性质定理的逆定理证明PO平分∠AOB.
13.【答案】25
【解析】解：∵等腰△ABC是“倍长三角形”，
∴AB=2BC或BC=2AB，
若AB=2BC=10，则△ABC三边分别是10、10、5，符合题意，
等腰三角形ABC的周长为10+10+5=25；
若BC=2AB=5，则AB=2.5，△ABC三边分别是2.5、2.5、5，
∵2.5+2.5=5，
∴此时不能构成三角形，这种情况不存在；
综上所述，等腰三角形ABC的周长为25，
故答案为：25.
由等腰△ABC是“倍长三角形”，可知AB=2BC或BC=2AB，若AB=2BC=10，可得AB的长为10；若BC=2AB=5，因2.5+2.5=5，故此时不能构成三角形，这种情况不存在；即可得答案．
本题考查了等腰三角形的定义以及三角形三边关系，读懂题意，理解“倍长三角形”是解本题的关键．
14.【答案】x=3
【解析】解：当x>1时，21−x=4x−1−3，
去分母得：2=−4−3(1−x)，
解得：x=3，
经检验x=3是分式方程的解，
当x<1时，11−x=4x−1−3，
去分母得：1=−4−3(1−x)，
解得：x=83，不符合题意，舍去，
∴方程的解为x=3，
故答案为：x=3.
根据新定义化简已知等式，求出解即可．
本题考查了新定义，分式方程等知识，根据新定义分类讨论是解决本题的关键．
15.【答案】解：x2(m−n)+9(n−m)
=x2(m−n)−9(m−n)
=(m−n)(x2−9)
=(m−n)(x+3)(x−3).
【解析】先提公因式(m−n)，然后根据平方差公式因式分解即可求解．
本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．
16.【答案】解：15x=24x+3，
方程两边都乘x(x+3)，得15(x+3)=24x，
解得：x=5，
检验：当x=5时，x(x+3)≠0，
所以分式方程的解是x=5.
【解析】方程两边都乘x(x+3)得出15(x+3)=24x，求出方程的解，再进行检验即可．
本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
17.【答案】解：设∠A=x∘.
∵AD=BD，
∴∠ABD=∠A=x∘；
∵BD=BC，
∴∠BCD=∠BDC=∠ABD+∠A=2x∘；
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠BCD=2x∘，
∴∠DBC=x∘；
∵x+2x+2x=180，
∴x=36.
【解析】设∠A=x∘，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求得各角的度数．
本题考查等腰三角形的性质；利用了三角形的内角和定理得到相等关系，通过列方程求解是正确解答本题的关键．
18.【答案】证明：∵∠A=∠D=90∘，
∴△ABC和△DCB都是直角三角形．
在Rt△ABC和Rt△DCB中，
BC=CBAC=DB，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB(HL).
∴AB=CD.
【解析】本题考查了运用HL判定两直角三角形全等及全等三角形的性质的运用，解答时证明△ABC≌△DCB是关键．
根据直角三角形的判定方法，直接运用HL就可以得出△ABC≌△DCB，就可以得出结论．
19.【答案】解：原式=(x−1x−1−2x−1)⋅x(x−1)(x−3)2
=x−3x−1⋅x(x−1)(x−3)2
=xx−3，
当x=13时，
原式=1313−3
=1310.
【解析】先将括号内的式子进行通分计算，然后再算括号外面的，最后代入求值．
本题考查了分式的化简求值，掌握分式混合运算的运算顺序和计算法则是解题关键．
20.【答案】解：∵MN//BC，
∴∠NME=∠D，
∵点E是CN的中点，
∴EN=EC，
在△EMN和△EDC中，
∠NME=∠D∠MEN=∠DECEN=EC，
∴△EMN≌△EDC(AAS)，
∴MN=CD=4，
∴BC=2MN=2×4=8.
【解析】先根据平行线的性质得到∠NME=∠D，则利用点E是CN的中点得到EN=EC，于是可根据“AAS”判断△EMN≌△EDC，所以MN=CD=4，从而可计算BC的长．
本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
21.【答案】解：设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x元，则第二批购买的“四大名著”每套的价格为0.8x元，
依题意得：，3600x−24000.8x=4，
解得：x=150，
经检验，x=150是原方程的解，
答：第一批购进的“四大名著”每套的价格是150元；
(2)由(1)得：3600150=24(套)，
∴24+(24−4)=44(套)，
答：该校共购进“四大名著”44套．
【解析】设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x元，则第二批购买的“四大名著”每套的价格为0.8x元，利用数量=总价÷单价，结合第二批购买的套数比第一批少4套，列出分式方程，解方程即可；
(2)由(1)得：3600150=24(套)，即可求解．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
22.【答案】解：如图所示．
(答案不唯一)
【解析】本题考查轴对称图形的特点：沿某条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合．
应分给为常见的轴对称图形，如等腰梯形，等腰三角形等．
23.【答案】证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵AD=DE，AC=CD，
∴∠AED=∠DAE=∠ADC，
∴∠C+∠2=∠B+∠1，
∴∠1=∠2，
在△ABD与△DCE中，
∠B=∠C∠1=∠2AD=DE，
∴△ABD≌△DCE(AAS)；
(2)解：∵△ABD≌△DCE，
∴AB=DC=5，CE=BD=3，
∵AC=AB，
∴AC=5，
∴AE=AB−EC=5−3=2.
【解析】(1)根据AAS可证明△ABD≌△DCE；
(2)得出AB=DC=5，CE=BD=3，求出AC=5，则AE可求出．
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
24.【答案】解：(1)26+25+24+23+22+2+1，
=1×(26+25+24+23+22+2+1)，
=(2−1)(26+25+24+23+22+2+1)，
=27−1；
(2)由(1)可得，22008+22007+22006+…+22+2+1=22009−1，
分析可得：2的1次方个位是2，2的2次方个位是4，2的3次方个位是8，2的4次方个位是6，
2的5次方个位是2，2的6次方个位是4，2的7次方个位是8，2的8次方个位是6，
…，四个一组，依次循环，故可得22009的个位数字是2，
则22008+22007+22006+…+22+2+1即22009−1的值的个位数是1.
【解析】(1)根据题目中的方法，可将1恒等变形为(2−1)，套入方法可得答案．
(2)由(1)易得，22008+22007+22006+…+22+2+1=22009−1，依次分析2的次方的个位数字可得规律，运用规律可得22009的个位数字是2，进而可得答案．
本题考查发现规律并运用规律解题的能力，有一定难度，但认真观察，细心分析也可以求解．
25.【答案】解：(1)25，65 ；
(2)当DC=2时，△ABD≌△DCE，
理由：∵AB=2，DC=2，
∴AB=DC，
∵∠C=40∘，
∴∠DEC+∠EDC=140∘，
∵∠ADE=40∘，
∴∠ADB+∠EDC=140∘，
∴∠ADB=∠DEC，
在△ABD和△DCE中，
∠ADB=∠DEC∠B=∠CAB=DC，
∴△ABD≌△DCE(AAS)；
(3)当∠BDA的度数为110∘或80∘时，△ADE的形状是等腰三角形，
①当DA=DE时，∠DAE=∠DEA=70∘，
∴∠BDA=∠DAE+∠C=70∘+40∘=110∘；
②当AD=AE时，∠AED=∠ADE=40∘，
∴∠DAE=100∘，
此时，点D与点B重合，不合题意；
③当EA=ED时，∠EAD=∠ADE=40∘，
∴∠BDA=∠EAD+∠C=40∘+40∘=80∘；
综上所述，当∠BDA的度数为110∘或80∘时，△ADE的形状是等腰三角形．
【解析】解：(1)∵AB=AC，
∴∠C=∠B=40∘，
∵∠ADE=40∘，∠BDA=115∘，
∵∠EDC=180∘−∠ADB−∠ADE=25∘，
∴∠AED=∠EDC+∠C=25∘+40∘=65∘，
故答案为：25，65；
(2)(3)见答案.
(1)根据三角形内角和定理得到∠BAD=25∘，根据等腰三角形的性质得到∠C=∠B=40∘，根据三角形内角和定理计算，得到答案；
(2)当DC=2时，利用∠DEC+∠EDC=140∘，∠ADB+∠EDC=140∘，得到∠ADB=∠DEC，根据AB=DC=2，证明△ABD≌△DCE；
(3)分DA=DE、AE=AD、EA=ED三种情况，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算．
本题考查的是等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
26.【答案】解：(1)△ABC≌△EDC.
理由：
∵CA平分∠BCE，
∴∠ACB=∠ACE，
∵AC=CE，BC=CD，
∴△ABC≌△EDC(SAS)；
(2)在△CDG和△CBF中，
CF=CG∠ACB=∠ACE=60∘BC=CD，
∴△CDG≌△CBF(SAS)，
∴∠CBF=∠CDG，
∵∠DFH=∠BFC，
∴∠DHF=∠BCF=60∘；
(3)BE平分∠ABC.
理由：由(1)得△ABC≌△EDC，
∴∠ABC=∠EDC，
∵∠ACB=∠DCE=60∘，
∴∠BEC+∠CBE=60∘，
又∵∠DFH=∠A+∠ABE=∠BEC+∠FCG，
∵∠A=∠DEC=2∠DEB=2∠BEC，
∴2∠DEB+∠ABE=∠BEC+60∘，
∴∠DEB+∠ABE=60∘，
∴∠ABE=∠CBE，
即BE平分∠ABC.
【解析】(1)由“SAS”可证△ABC≌△EDC；
(2)由“SAS”可证△CDG≌△CBF，可得∠CBF=∠CDG，再利用三角形的内角和定理，得∠CBF+∠BCF=∠CDG+∠DHF，又∠ACB=60∘，即可出∠DHF=∠ACB=60∘，从而问题得以解决；
(3)由三角形的内角和可得∠DEB+∠EBC=60∘，因为∠DEB=∠BEC，只要证出∠DEB+∠ABE=60∘，用三角形的外角以及等量代换可以证出，进而得到BE平分∠ABC.
本题考查了全等三角形的性质和判定、三角形内角和定理、以及角平分线的定义等知识，证明△ABC≌△EDC是解决问题的关键．