2023-2024学年吉林省延边州八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)

这是一份2023-2024学年吉林省延边州八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.计算4−1的结果为( )
A. −4B. −14C. 4D. 14
2.下列图形是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.下列式子①a6÷a2=a3，②(a−2b)2=a2−4b2，③a2−9b2a−3b=a+3b，④a2−a+14=(a+12)2中，正确的是( )
A. ③B. ①④C. ②③D. ③④
4.等腰三角形的三边长分别为m，4，9，则m的值是( )
A. 4B. 9C. 4或9D. 17
5.如图，45∘三角板的直角顶点放在30∘三角板的斜边上，若两个三角板的斜边互相平行，则∠1的度数为( )
A. 60∘B. 65∘C. 75∘D. 80∘
6.有一张长为2dm，宽为1.5dm的长方形纸片，在它的四角各切去一个同样大小的正方形，然后将剩下部分折起，制成一个无盖的纸盒(如图)，已知纸盒的高度为xdm(0A. −4x2−7x+3B. x2−3.5x+3C. 4x2+7x+3D. 4x2−7x+3
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
7.如图，在△ABC中，点D在CA的延长线上，若∠DAB=115∘，∠C=80∘，则∠B的度数为______.
8.计算：(a3)2⋅2a=______.
9.计算：5b−b3÷b29=______.
10.在平面直角坐标系中，点P(m,1)和点Q(3,n)关于y轴对称，则m+n=______.
11.计算：3a(a+1)(a−1)=______.
12.若x−y=2，xy=32，则2x2y−2xy2的值为______.
13.如图，在平面直角坐标系中，点A(3,0)，点B(0,2)，连接AB并延长使BC=AB，则点C的坐标为______.
14.如图，在△ABC中，AC=BC，BD是角平分线，BC的垂直平分线EF交BD于点F，交BC于点E.若∠FCA=25∘，则∠A的度数为______.
三、解答题：本题共12小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题4分)
计算：(x−2)(x+5)−2x⋅12x.
16.(本小题4分)
计算：1a+3a2−3a.
17.(本小题4分)
一个多边形的内角和的23等于360∘，求这个多边形的边数.
18.(本小题4分)
如图，点B、C、D在同一条直线上，DE//AC，BC=ED，∠A=∠EBD.求证：AB=BE.
19.(本小题8分)
先化简，再求值：(2x+y)(2x−y)−4x(x−y)，其中x=−34，y=−2.
20.(本小题8分)
如图，在3×3网格中，△ABC的顶点都在格点上.在下列3个网格里分别画出△ABC的轴对称图形并涂黑，画出图形的顶点都在格点上，每个网格中的阴影部分不能相同.
21.(本小题8分)
数学老师批改作业时发现了一位同学分式计算错了，该同学解答过程如下：
(1)这位同学的解答从第______步开始出现错误；
(2)请写出正确解答过程.
22.(本小题8分)
如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，∠A=30∘，AB=8.点E在边AB上，点D是边BC的中点，将△ABC沿DE折叠使点B落在点F处，连接CF.
(1)若DF//AB，则△DFC的周长为______；
(2)若∠DFC=65∘，求∠EDF的度数.
23.(本小题8分)
如图，小明在十字路口要过宽为18m的斑马线.他匀速行走到正中间时，看到指示灯要变红灯，于是他以原来速度的1.5倍匀速行走，全过程共用时30秒.设小明的原来速度为x(m/s)，解答下列问题：
(1)小明到了正中间时，所需的时间为______s(用含x的式子表示)；
(2)求小明的原来速度.
24.(本小题8分)
【数学知识】等腰三角形的“三线合一”性质非常重要.如图①，在△ABC中，AB=AC，AD是中线，若∠C=58∘，则∠BAD的度数为______；
【数学应用】如图②，在△ABC和△AEF中，AB=AC，AE=AF，AD、AG分别为△ABC和△AEF的中线，若∠BAF=110∘，∠CAE=24∘，求∠DAG的度数；
【拓展】如图③，在△ABC和△ABE中，AB=AC，AB=AE，AD、AF分别为△ABC和△ABE的中线，AD与BE交于点O，若∠AOF=69∘，则∠CAE的度数为______.
25.(本小题10分)
完全平方公式是同学们比较熟悉的公式.例如：(a+b)2=a2+2ab+b2，(a−b)2=a2−2ab+b2.
(1)若a+b=6，ab=6，则a2+b2的值为______；
(2)如图①，在正方形ABCD中，点E在边AB上，AE=a，EB=b.以AE、EB为一边在上方分别作正方形AEFG和正方形EBMN，连接AN.若S△AEN=4，则阴影部分的面积为______；
(3)如图②，在长方形空地里铺了地砖，地砖有三种，一种是5个相同的黑色小长方形，另两种是两个白色大正方形和两个白色小正方形.已知长方形空地的周长为8.4米，每个小长方形地砖的面积为0.36平方米.设每个小长方形地砖的长为m米，宽为n米.
①m+n=______；
②求空地中白色地砖的总面积.
26.(本小题10分)
在△ABC中，∠C=90∘，直线l过点A，且l⊥AC.△ABC与△ADE关于直线l对称，点B的对称点是点D，△ADE与△ABC的三边围成的图形记作图形“M”.
(1)如图①，若∠BAC=35∘，则∠D的度数为______；
(2)如图②，点P在直线l上，且AP=AB，过点P作PF⊥AB，垂足为点F.求证：PF=12EC；
(3)若AC=BC=3，将直线l沿着AC方向向右平移1个单位长度，与AC、AB分别交于点F、G.点H在AC上方的直线l上，且FH=4.动点P从点H出发以每秒2个单位长度的速度沿射线HF向下匀速运动，运动时间为t(s)，点P关于直线AB的对称点为点P′.
①如图③，若点P′恰好在边BC上，连接GP′，则线段GP′的长度为______，t=______ s；
②当点P′落在图形“M”的内部(不包括边界)时，直接写出t的取值范围.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：4−1=14.
故选：D.
根据负整数指数幂计算公式直接进行计算即可．
此题主要考查了负整数指数幂，关键是掌握a−p=1ap(a≠0).
2.【答案】D
【解析】解：选项A、B、C中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项D中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：D.
根据轴对称的定义如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，那么这样的图形就叫做轴对称图形，这时，我们也说这个图形关于这条直线对称．选出答案即可．
此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
3.【答案】A
【解析】解：①中，a6÷a2=a6−2=a4，故①不符合题意；
②中，(a−2b)2=a2−4ab+4b2，故②不符合题意；
③中，a2−9b2a−3b=(a+3b)(a−3b)a−3b=a+3b，故③符合题意；
④中，a2−a+14=(a−12)2，故④不符合题意，
故选：A.
运用完全平方公式、平方差公式和同底数幂的除法的计算方法来进行判断．
本题考查了公式法和同底数幂的除法，关键运用公式和计算方法来解答．
4.【答案】B
【解析】解：分两种情况：
当等腰三角形的腰长为4时，
∴等腰三角形的三边长分别为4，4，9，
∵4+4=8<9，
∴不能组成三角形；
当等腰三角形的腰长为9时，
∴等腰三角形的三边长分别为4，9，9，
∴m=9；
综上所述：m的值是9，
故选：B.
分两种情况：当等腰三角形的腰长为4时；当等腰三角形的腰长为9时；然后分别进行计算即可解答．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，分两种情况讨论是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：∵AB//CD，
∴∠AEF=∠C=45∘，
∴∠1=180∘−∠A−∠AEF=180∘−60∘−45∘=75∘.
故选：C.
先根据平行线的性质求出∠AEF的度数，再由三角形内角和定理即可得出结论．
本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：纸盒的底面的长=(2−2x)dm，宽=(1.5−2x)dm，
∴纸盒的底面积=(2−2x)(1.5−2x)=4x2−7x+3.
故选：D.
由题意得：纸盒的底面的长=(2−2x)dm，宽=(1.5−2x)dm，即可计算纸盒的底面积．
本题考查矩形的面积，多项式乘多项式，关键是用x表示出纸盒底面的长和宽．
7.【答案】35∘
【解析】解：∵∠DAB=115∘，∠C=80∘，
∴∠B=∠DAB−∠C=115∘−80∘=35∘.
故答案为：35∘.
直接根据三角形外角的性质解答即可．
本题考查的是三角形外角的性质，熟知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
8.【答案】2a7
【解析】解：(a3)2⋅2a=a6⋅a=2a7.
故答案为：2a7.
根据同底数幂的乘法，幂的乘方运算法则计算得出答案．
本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，掌握(am)n=amn是解题的关键．
9.【答案】2b
【解析】解：原式=5b−b3⋅9b2
=5b−3b
=2b，
故答案为：2b.
利用分式的运算法则计算即可．
本题考查分式的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
10.【答案】−2
【解析】解：∵点P(m,1)和点Q(3,n)关于y轴对称，
∴m=−3，n=1，
∴m+n=−3+1=−2.
故答案为：−2.
根据关于y轴的对称点的坐标特点：纵坐标不变，横坐标互为相反数可得m、n的值，进而可得答案．
此题主要考查了关于y轴对称点的性质，掌握关于y轴对称点的纵坐标不变，横坐标互为相反数是解题关键．
11.【答案】3a3−3a.
【解析】解：原式=3a(a2−1)
=3a3−3a.
故答案为：3a3−3a.
先利用平方差公式计算，这个款单项式乘多项式法则计算
本题考查平方差公式，单项式次多项式等知识，解题的关键是掌握整式的乘法法则．
12.【答案】6
【解析】解：2x2y−2xy2=2xy(x−y)，
∵x−y=2，xy=32，
∴2xy(x−y)=2×32×2=6，
∴2x2y−2xy2的值为6.
故答案为：6.
因式分解：2x2y−2xy2=2xy(x−y)，再代入求值即可．
本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键，难度一般，仔细运算即可．
13.【答案】(−3,4)
【解析】解：在x轴的负半轴上取一点H，使得OH=OA，连接CH.
∵AB=BC，OA=OH，
∴CH//OB，CH=2OB，
∴∠CHO=∠AOB=90∘，
∵A(3,0)，B(0,2)，
∴OA=OH=3，OB=2，
∴CH=4，
∴C(−3,4).
故答案为：(−3,4).
在x轴的负半轴上取一点H，使得OH=OA，连接CH.利用三角形中位线定理解决问题．
本题考查坐标与图形性质，三角形中位线定理等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题．
14.【答案】62∘
【解析】解：设∠A=x∘，
∵AC=BC，
∴∠A=∠ABC=x∘，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD=12∠ABC=12x∘，
∵EF是BC的垂直平分线，
∴FB=FC，
∴∠CBD=∠BCF=12x∘，
∵∠FCA=25∘，
∴∠A+∠ABC+∠ACF+∠BCF=180∘，
∴x+x+12x+25=180，
解得：x=62，
∴∠A=62∘，
故答案为：62∘.
设∠A=x∘，根据等腰三角形的性质可得∠A=∠ABC=x∘，然后利用角平分线的定义可得∠CBD=12x∘，再利用线段垂直平分线的性质可得FB=FC，从而可得∠CBD=∠BCF=12x∘，最后利用三角形内角和定理列出关于x的方程，进行计算即可解答．
本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质，以及线段垂直平分线的性质是解题的关键．
15.【答案】解：(x−2)(x+5)−2x⋅12x
=x2+3x−10−x2
=3x−10.
【解析】先计算多项式乘多项式和单项式乘单项式，再计算整式的加减．
此题考查了整式的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序和方法，并能进行正确地计算．
16.【答案】解：原式=1a+3a(a−3)
=a−3a(a−3)+3a(a−3)
=a−3+3a(a−3)
=aa(a−3)
=1a−3.
【解析】利用分式的加减法则计算即可．
本题考查分式的加减运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
17.【答案】解：设多边形的边数为n，根据题意得，
23(n−2)×180∘=360∘，
解得n=5，
答：这个多边形的边数为5.
【解析】根据多边形内角和公式列出关于n的方程，解答即可．
本题主要考查了多边形的内角和外角，解题关键是熟练掌握多边形的外角和是360∘和多边形内角和公式．
18.【答案】证明：∵DE//AC，
∴∠D=∠ACB，
在△BED和△ABC中，
∠ACB=∠D∠A=∠EBDBC=ED，
∴△BED≌△ABC(AAS)，
∴AB=BE.
【解析】由平行线的性质得∠ACB=∠D，再证△ABC≌△BED(AAS)，即可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
19.【答案】解：(2x+y)(2x−y)−4x(x−y)
=4x2−y2−4x2+4xy
=−y2+4xy，
当x=−34，y=−2时，原式=−(−2)2+4×(−34)×(−2)=2.
【解析】先根据平方差公式和单项式乘多项式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可．
本题考查了整式的化简求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．
20.【答案】解：图形如图所示(答案不唯一).

【解析】根据轴对称图形的定义画出图形(答案不唯一).
本题考查利用轴对称设计图案，解题的关键是理解轴对称图形的性质，正确作出图形．
21.【答案】一
【解析】解：(1)这位同学的解答从第一步开始出现错误，
故答案为：一；
(2)原式=[m2m+2−(m−2)]⋅2(m+2)m+1
=m2−(m2−4)m+2⋅2(m+2)m+1
=4m+2⋅2(m+2)m+1
=8m+1.
(1)根据添括号法则求解即可．
(2)根据分式的混合运算顺序和运算法则计算即可．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
22.【答案】6
【解析】解：(1)∵∠ACB=90∘，∠A=30∘，AB=8.
∴BC=4，
∵点D是边BC的中点，将△ABC沿DE折叠使点B落在点F处，
∴DF=DC=2，
∵DF//AB，
∴∠FDC=60∘，
∴△DCF是等边三角形，
∴△DFC的周长为6，
故答案为：6.
(2)根据折叠的性质，BD=DF，
∵D是BC的中点，
∴BD=DC，
∴DF=DC，
∴∠DCF=∠DFC=65∘，
∴∠BDF=∠DFC+∠DCF=65∘+65∘=130∘，
∴∠EDF=12∠BDF=12×130∘=65∘.
(1)先求出BC，根据折叠的性质得出DF=DC=2，即可得出△DCF等边三角形，进而可求出周长；
(2)根据折叠的性质，BD=DF，DF=DC，进而可求出∠BDF即可解答．
本题考查折叠的性质，等边三角形的性质，熟练掌握折叠的性质是解题关键．
23.【答案】9x
【解析】解：(1)因为路宽为18米，
所以走到中间时路宽为9米，
所以所需要的时间为：9x，
故答案为：9x，
(2)根据题意，
9x+91.5x=30，
解得，x=0.5，
经检验，x=0.5是原分式方程的解，并符合题意．
答：小明的原来速度为0.5m/s.
(1)根据路的宽度得出中间的路程为9米，原来的速度为x(m/s)，得出运动时间．
(2)根据题意得出方程，解出来即可．
本题考查了列代数式，分式方程的应用，解题关键是找出等量关系列出方程．
24.【答案】32∘42∘
【解析】解：【数学知识】∵AB=AC，AD是中线，∠C=58∘，
∴∠B=∠C=58∘，AD⊥BC，
∴∠B+∠BAD=90∘，
∴∠BAD=32∘，
故答案为：32∘；
【数学应用】∵AB=AC，AE=AF，AD、AG分别为△ABC和△AEF的中线，
∴∠DAC=12∠BAC，∠EAG=12∠EAF，
∴∠DAG=∠DAC+∠CAE+∠EAG=12∠BAC+∠CAE+12∠EAF=12∠BAF+12∠CAE，
∵∠BAF=110∘，∠CAE=24∘，
∴∠DAG=55∘+12∘=67∘；
【拓展】∵AB=AC，AB=AE，AD、AF分别为△ABC和△ABE的中线，
∴AF⊥BE，∠BAF=12BAE，∠BAD=12BAC，
∴∠AOF+∠OAF=90∘，
∵∠AOF=69∘，
∴∠OAF=21∘，
∴∠BAF−∠BAD=12∠BAE−12∠BAC=21∘，
∴∠BAE−∠BAC=42∘，
∵∠CAE=∠BAE−∠BAC=42∘，
故答案为：42∘.
【数学知识】根据等腰三角形的性质得出∠B=58∘，AD⊥BC，根据直角三角形的性质即可得解；
【数学应用】根据等腰三角形的性质得出∠DAC=12∠BAC，∠EAG=12∠EAF，再根据角的和差求解即可；
【拓展】根据等腰三角形的性质及角的和差求解即可．
此题考查了等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键．
25.【答案】24161.4
【解析】解：(1)∵a+b=6，ab=6，
∴(a+b)2=a2+2ab+b2=a2+b2+12=36，
∴a2+b2=24，
故答案为：24.
(2)∵S△AEN=4，即12ab=4，
∴ab=8，
∴S阴影=S正方形ABCD−S正方形AEFG−S正方形BMNE
=(a+b)2−a2−b2
=2ab
=16，
故答案为：16.
(3)①由图②可知，长方形空地的长为(2m+n)米，宽为(m+2n)米，
∵长方形空地的周长为8.4米，
∴2(2m+n+m+2n)=8.4，
∴m+n=1.4，
故答案为：1.4；
②S空地中白色地砖=S长方形空地−S5个黑色小长方形
=(2m+n)(m+2n)−5mn
=2(m2+n2).
∵每个小长方形地砖的面积为0.36平方米，
∴mn=0.36，
∵m+n=1.4，
∴(m+n)2=m2+2mn+n2=m2+0.72+n2=1.96，
∴m2+n2=1.24，
∴空地中白色地砖的总面积为2×1.24=2.48(平方米).
(1)将a+b=6等号两边平方，根据例题中的关系式计算即可；
(2)根据S阴影=S正方形ABCD−S正方形AEFG−S正方形BMNE，分别将这几个正方形的面积用a和b表示出来并求解即可；
(3)①用m和n分别表示出长方形空地的长和宽，利用周长可求出m+n的值；
②根据S空地中白色地砖=S长方形空地−S5个黑色小长方形，分别将S长方形空地和S5个黑色小长方形用m和n表示出来，再利用例题中的公式求解即可．
本题考查完全平方公式的几何背景，熟练掌握并灵活运用完全平方公式是解题的关键．
26.【答案】55∘212
【解析】解：(1)∵∠BAC=35∘，∠C=90∘，
∴∠B=55∘，
由△ABC与△ADE关于直线l对称，
∴∠D=∠B=55∘，
故答案为：55∘；
证明：(2)∵PF⊥AB，
∴∠PFA=∠C=90∘，
∵l⊥AC，BC⊥AC，
∴l//BC，
∴∠PAF=∠B，
∵∠PFA=∠C，AP=AB，
∴△PAF≌△ABC(AAS)，
∴PF=AC，
∵△ABC与△ADE关于直线l对称，
∴AE=AC=PF，
∴PF=12EC；
解：(3)①由题意得AF=1，
∴CF=AC−AF=2，
∵△AGF是等腰直角三角形，
∴∠AGF=∠PGB=45∘，AF=GF=1，
∵点P、P′关于直线AB对称，
∴∠PGB=∠P′GB=45∘，PG=P′G，
∴△PGP′是等腰直角三角形，
∵∠GFC=∠FCP′=∠CP′G=90∘，
∴四边形GFCP′是长方形，
∴CP′=GF=1，CF=P′G=PG=2，
∴PH=FH−GF−PG=1，
∴t=PH2=12，
故答案为：2，12；
②有题意知点P′落在图形“M”的内部(不包括边界)，
1)当P′在△ABC内部时，
由①可得，当PH=1时，t=PH2=12，
得点P′恰好在边BC上，
当PH=3时，t=PH2=32，
得点P′恰好在边AB上，
得122)当P′在△DEA内部时，
延长DA，交直线l于点O，
同理可得OF=AF=1，
当点P′落在点O时，即PH=5时，t=PH2=52，
得点P′恰好在边DA上，
同理可得，当点P′恰好在边DE上时，t=PH2=72，
得52综上所述，当12(1)根据△ABC与△ADE关于直线l对称，先求出∠B的度数，即可求解；
(2)根据全等三角形与图形对称，证明△PAF≌△ABC(AAS)和AE=AC即可解出；
(3)根据条件判断出△PGP′为等腰直角三角形，在分情况讨论即可求出结果．
本题主要考查了解直角三角形，轴对称的性质，全等三角形的判定等，解题的关键在于能够正确作出辅助线，利用分类讨论和数学结合的思想求解．(m2m+2−m+2)÷m+12m+4
解：原式=[m2m+2−(m+2)]⋅2(m+2)m+1……(第一步)
=m2−(m+2)2m+2⋅2(m+2)m+1……(第二步)
=−4m−4m+2⋅2(m+2)m+1……(第三步)
=−4(m+1)m+2⋅2(m+2)m+1……(第四步)
=−8……(第五步)