2023-2024学年吉林省白城市通榆县八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)

这是一份2023-2024学年吉林省白城市通榆县八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的( )
A. 三条高的交点B. 三条角平分线的交点
C. 三条中线的交点D. 三条边的垂直平分线的交点
2.在平面直角坐标系xOy中，点P(2,1)关于x轴对称的点的坐标是( )
A. (2,−1)B. (2,1)C. (−2,−1)D. (−2,1)
3.已知一个多边形的内角和是900∘，则这个多边形是( )
A. 五边形B. 六边形C. 七边形D. 八边形
4.下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是( )
A. 10x2−5x=5x(2x−1)B. a2−b2−c2=(a−b)(a+b)−c2
C. a(m+n)=am+anD. x2−16+6x=(x+4)(x−4)+6x
5.等腰三角形的一个内角为70∘，则另外两个内角的度数分别是( )
A. 55∘，55∘B. 70∘，40∘或70∘，55∘
C. 70∘，40∘D. 55∘，55∘或70∘，40∘
6.若a2+2a−1=0，则a2a−2(a−4a)的值是( )
A. −3B. −1C. 1D. 3
7.若分式x2−1x+1的值为0，则x的值为( )
A. 0B. 1C. −1D. ±1
8.如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC=5，DE=2，则△BCE的的面积等于( )
A. 4B. 5C. 7D. 10
9.如图，给出下列四组条件：
①AB=DE，BC=EF，AC=DF；
②AB=DE，∠B=∠E.BC=EF；
③∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F；
④AB=DE，AC=DF，∠B=∠E.
其中，能使△ABC≌△DEF的条件共有( )
A. 1组B. 2组C. 3组D. 4组
10.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF//AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE=2BF.给出下列四个结论：①DE=DF；②DB=DC；③AD⊥BC；④AC=3BF，其中正确的结论共有( )
A. 4个
B. 3个
C. 2个
D. 1个
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.已知：x2−y2=4044且y−x=2022，则x+y=______.
12.计算：(−2x)3(−xy2)=______.
13.分解因式：2a(y−z)−3b(z−y)=______.
14.如图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上.若AB=5cm，BC=6cm，则AC=__________，DE=__________.
15.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36∘，BD平分∠ABC，交AC于点D.则∠DBC=__________，∠BDC=__________.
三、计算题：本大题共2小题，共12分。
16.解方程：2x−1=4x2−1.
17.1−x−yx+2y÷x2−y2x2+4xy+4y2.
四、解答题：本题共6小题，共63分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题6分)
先化简，再求值：(2x+y)2−(y−2x)2，其中x=13，y=−14.
19.(本小题10分)
如图，AB⊥BC，AD⊥DC，垂足分别为B，D，∠1=∠2.
(1)求证：AB=AD；
(2)连接BD，求证：AC是BD的垂直平分线.
20.(本小题10分)
用A，B两种型号的机器加工同一种零件.已知A型机器比B型机器每小时多加工20个零件，A型机器加工400个零件所用时间与B型机器加工300个零件所用时间相同.
(1)求A型机器每小时加工零件的个数；
(2)某工厂计划采购A，B两种型号的机器共20台，要求每小时加工零件不少于1450个，则至少购进A型机器多少台？
21.(本小题12分)
如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，∠A=30∘，BC=4.
(1)在题给的图中，按以下作法用直尺和圆规作图，并保留作图痕迹：
①以点C为圆心，CB长为半径作弧，交AB于点D；
②再分别以点B和点D为圆心，大于12BD的长为半径作弧，两弧相交于点E；
③作射线CE交AB于点F.
(2)在你所作的图中，求AF.
22.(本小题12分)
“综合与实践”学习活动准备制作一组三角形，记这些三角形的三边分别为a，b，c，并且这些三角形三边的长度为大于1且小于5的整数个单位长度．
(1)用记号(a,b,c)(a≤b≤c)表示一个满足条件的三角形，如(2,3,3)表示边长分别为2，3，3个单位长度的一个三角形．请列举出所有满足条件的三角形．
(2)用直尺和圆规作出三边满足a23.(本小题13分)
已知：如图，AF平分∠BAC，BC⊥AF，垂足为E，点D与点A关于直线BC对称，PB分别与线段CF，AF相交于P，M.
(1)求证：AB=CD；
(2)若∠BAC=2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
根据线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等解答即可．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
【解答】
解：到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的三条边的垂直平分线的交点，
故选：D.
2.【答案】A
【解析】解：根据平面直角坐标系中对称点的规律可知，点P(2,1)关于x轴的对称点为P1(2,−1).
故选：A.
根据平面直角坐标系中对称点的规律解答．
此题主要考查了平面直角坐标系中对称点的规律．解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
(1)关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
(2)关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
(3)关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
3.【答案】C
【解析】【分析】
设这个多边形是n边形，内角和是(n−2)⋅180∘，这样就得到一个关于n的方程，从而求出边数n的值．
根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决．
【解答】
解：设这个多边形是n边形，
则(n−2)⋅180∘=900∘，
解得：n=7，
即这个多边形为七边形．
故选：C.
4.【答案】A
【解析】解：A、是因式分解，故本选项符合题意；
B、不是因式分解，故本选项不符合题意；
C、不是因式分解，故本选项不符合题意；
D、不是因式分解，故本选项不符合题意；
故选：A.
根据因式分解的定义(把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解)逐个判断即可．
本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．
已知给出了一个内角是70∘，没有明确是顶角还是底角，所以要进行分类讨论，分类后还需用三角形内角和定理去验证每种情况是不是都成立．
【解答】
解：分情况讨论：
(1)若等腰三角形的顶角为70∘时，另外两个内角=(180∘−70∘)÷2=55∘；
(2)若等腰三角形的底角为70∘时，它的另外一个底角为70∘，顶角为180∘−70∘−70∘=40∘.
故选：D.
6.【答案】C
【解析】【分析】
先将分式进行化简，然后将a2+2a=1代入原式即可求出答案．
本题考查分式的化简与求值，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
【解答】
解：原式=a2a−2⋅a2−4a
=a2a−2⋅(a+2)(a−2)a
=a(a+2)
=a2+2a，
因为a2+2a−1=0，
∴a2+2a=1，
当a2+2a=1时，
原式=a2+2a=1.
故选：C.
7.【答案】B
【解析】【分析】
根据分式值为0的条件列出关于x的不等式组，求出x的值即可．
本题考查的是分式的值为0的条件，熟知分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解答此题的关键．
【解答】
解：∵分式x2−1x+1的值为零，
∴x2−1=0x+1≠0，解得x=1.
故选：B.
8.【答案】B
【解析】【分析】
过E作EF⊥BC于点F，由角平分线的性质可求得EF=DE，则可求得△BCE的面积．
本题主要考查角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．
【解答】
解：过E作EF⊥BC于点F，
∵CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，
∴EF=DE=2，
∴S△BCE=12BC⋅EF=12×5×2=5，
故选：B.
9.【答案】C
【解析】【分析】
要使△ABC≌△DEF的条件必须满足SSS、SAS、ASA、AAS，可据此进行判断．
本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．
【解答】
解：第①组满足SSS，能证明△ABC≌△DEF.
第②组满足SAS，能证明△ABC≌△DEF.
第③组满足ASA，能证明△ABC≌△DEF.
第④组只是SSA，不能证明△ABC≌△DEF.
所以有3组能证明△ABC≌△DEF.
故符合条件的有3组．
故选：C.
10.【答案】A
【解析】【分析】
根据等腰三角形的性质三线合一得到BD=CD，AD⊥BC，故②③正确；通过△CDE≌△BDF，得到DE=DF，CE=BF，故①④正确．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．
【解答】
解：因为BF//AC，
所以∠C=∠CBF，
因为BC平分∠ABF，
所以∠ABC=∠CBF，
所以∠C=∠ABC，
所以AB=AC，
因为AD是△ABC的角平分线，
所以BD=CD，AD⊥BC
故②③正确
在△CDE与△BDF中，
∠C=∠CBFCD=BD∠EDC=∠FDB，
所以△CDE≌△BDF(ASA)
所以DE=DF，CE=BF
故①正确
因为AE=2BF，
所以AC=3BF，故
④正确．
故选：A.
11.【答案】−2
【解析】解：∵x2−y2=4044，
∴(x+y)(x−y)=4044，
∵y−x=2022，
∴x−y=−2022，
∴x+y=−2，
故答案为：−2.
利用平方差公式进行计算，即可解答；
本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
12.【答案】8x4y2
【解析】解：(−2x)3(−xy2)
=(−8x3)⋅(−xy2)
=8x4y2.
故答案为：8x4y2.
先计算积的乘方，再根据单项式与单项式相乘，把他们的系数分别相乘，相同字母的幂分别相加，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式，计算即可．
本题考查了单项式与单项式相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键．
13.【答案】(y−z)(2a+3b)
【解析】解：2a(y−z)−3b(z−y)
=2a(y−z)+3b(y−z)
=(y−z)(2a+3b).
利用提公因式法分解即可．
本题考查了因式分解-提公因式法，熟练掌握因式分解-提公因式法是解题的关键．
14.【答案】5cm
8cm

【解析】【分析】
根据线段中点的定义得到BD=DC=3cm，根据线段垂直平分线的性质求出AC，进而求出EC=AC，结合图形计算，得到答案．
本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
【解答】
解：∵BC=6cm，BD=DC，
∴BD=DC=3(cm)，
∵AD⊥BC，BD=DC，AB=5cm，
∴AD垂直平分BC，
∴AC=AB=5(cm)，
∵点C在AE的垂直平分线上，
∴EC=AC=5(cm)，
∴DE=DC+EC=8(cm)，
故答案为：5cm；8cm.
15.【答案】36∘
72∘

【解析】【分析】
根据等腰三角形的性质得到∠ABC=∠C=72∘，根据角平分线的定义得到∠ABD=∠DBC=36∘，∠BDC=72∘，
本题主要考查等腰三角形的性质和判定，掌握等边对等角是解题的关键，注意三角形内角和定理的应用．
【解答】
解：∵AB=AC，∠A=36∘，
∴∠ABC=∠C=72∘，
∵BD平分∠ABC交AC于点D，
∴∠ABD=∠DBC=12∠ABC=36∘，
∴∠ADB=180∘−∠ABD−∠A=108∘，
∴∠BDC=180∘−∠ADB=72∘.
故答案为：36∘，72∘.
16.【答案】解：方程的两边同乘(x−1)(x+1)，得
2(x+1)=4，
解得：x=1.
检验：把x=1代入(x−1)(x+1)=0.
∴x=1是方程的增根，原方程无解．
【解析】本题主要考查了分式方程的解法.
观察可得最简公分母是(x−1)(x+1)，方程两边同乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．结果要检验．
(1)解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．
(2)解分式方程一定注意要验根．
17.【答案】解：原式=1−x−yx+2y⋅(x+2y)2(x+y)(x−y)
=1−x+2yx+y
=x+yx+y−x+2yx+y
=−yx+y.
【解析】首先把除法运算转化成乘法运算，然后进行约分、通分、加减运算即可．
本题主要考查分式的混合运算，通分、因式分解和约分是解答的关键．
18.【答案】解：(2x+y)2−(y−2x)2
=4x2+4xy+y2−(y2+4x2−4xy)
=4x2+4xy+y2−y2−4x2+4xy
=8xy，
当x=13，y=−14时，
原式=8×13×(−14)
=−23.
【解析】直接利用完全平方公式化简再合并同类项，最后把已知数据代入即可得出答案．
此题主要考查了整式的混合运算与求值，正确掌握相关运算法则是解题关键．
19.【答案】证明：(1)∵AB⊥BC，AD⊥DC，
∴∠B=∠D=90∘.
在△ABC和△ADC中，
∠1=∠2∠B=∠DAC=AC，
∴△ABC≌△ADC(AAS)
∴AB=AD.
(2)连接BD，如图所示：
∵△ABC≌△ADC，
∴AB=AD，BC=DC.
∴点A，C分别在线段BC的垂直平分线上，
∴AC是BD的垂直平分线．
【解析】(1)首先根据AB⊥BC，AD⊥DC得∠B=∠D=90∘，然后可依据“AAS”判定△ABC和△ADC全等，进而根据全等三角形的性质可得出结论；
(2)先根据△ABC和△ADC全等得AB=AD，BC=DC，由此根据线段垂直平分线的性质定理即可得出结论．
此题主要考查了全等三角形的判定和性质，据线段垂直平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，理解据线段垂直平分线的性质是解决问题的关键．
20.【答案】解：(1)设B型机器每小时加工零件x个，则A型机器每小时加工零件(x+20)个．
由题意得：400x+20=300x，
解得：x=60，
经检验，x=60是原方程的解，且符合题意，
∴x+20=60+20=80，
答：A型机器每小时加工零件80个；
(2)设购进A型机器a台，则购进B型机器(20−a)台，
由题意得：80a+60(20−a)≥1450，
解得：a≥12.5，
∵a为正整数，
∴a至少为13，
答：至少购进A型机器13台．
【解析】(1)设B型机器每小时加工零件x个，则A型机器每小时加工零件(x+20)个，根据“A型机器加工400个零件所用时间与B型机器加工300个零件所用时间相同”，列出分式方程，解分式方程即可；
(2)设购进A型机器a台，则购进B型机器(20−a)台，根据“要求每小时加工零件不少于1450个”，列出一元一次不等式，解不等式即可．
本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用等知识，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)找准数量关系，正确列出一元一次不等式．
21.【答案】解：(1)如图，图形如图所示．
(2)在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，∠A=30∘，BC=4，
所以AB=2BC=8，
由作图可知，CF⊥AB，
所以∠CFB=90∘，
因为∠B=90∘−30∘=60∘，
所以∠BCF=30∘，
所以BF=12BC=2，
所以AF=AB−BF=8−2=6.
【解析】(1)根据要求画出图形即可解决问题．
(2)在直角三角形中分别求出AB，BF，即可解决问题．
本题考查作图-复杂作图，直角三角形30∘角的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
22.【答案】解：(1)根据三角形的三边关系可知符合条件的共9种：(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,3)，(2,3,4)，(2,4,4)，(3,3,3)，(3,3,4)，(3,4,4)，(4,4,4).
(2)由(1)可知，只有(2,3,4)，即a=2，b=3，c=4时满足a如图的△ABC即为满足条件的三角形．

【解析】本题考查了三角形的三边关系，作图-应用与设计作图．首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．
(1)应用列举法，根据三角形三边关系列举出所有满足条件的三角形．
(2)首先判断满足条件的三角形只有一个：a=2，b=3，c=4，再作图：
①作射线AB，且取AB=4；
②以点A为圆心，3为半径画弧；以点B为圆心，2为半径画弧，两弧交于点C；
③连接AC、BC.则△ABC即为满足条件的三角形．
23.【答案】(1)证明：∵AF平分∠BAC，
∴∠CAD=∠DAB=12∠BAC，
∵D与A关于E对称，
∴E为AD中点，
∵BC⊥AD，
∴BC为AD的中垂线，
∴AC=CD.
在Rt△ACE和Rt△ABE中，
∠CAD+∠ACE=∠DAB+∠ABE=90∘，∠CAD=∠DAB，
∴∠ACE=∠ABE，
∴AC=AB，
∴AB=CD.
(2)解：∠F=∠MCD，理由如下：
∵∠BAC=2∠MPC，∠BAC=2∠CAD，
∴∠MPC=∠CAD，
∵AC=CD，
∴∠CAD=∠CDA，
∴∠MPC=∠CDA，
∴∠MPF=∠CDM，
∵AC=AB，AE⊥BC，
∴CE=BE，
∴AM为BC的中垂线，
∴CM=BM.
∵EM⊥BC，
∴EM平分∠CMB(等腰三角形三线合一).
∴∠CME=∠BME，
∵∠BME=∠PMF，
∴∠PMF=∠CME，
∴∠MCD=∠F.
【解析】本题考查了等腰三角形的性质、轴对称的性质及线段垂直平分线的性质；解题时需注意充分利用两点关于某条直线对称，对应点的连线被对称轴垂直平分，进而得到相应的线段相等，角相等．
(1)由点D与点A关于点E对称易证AC=CD，再根据角平分线，及垂直得到AC=AB，可得答案AB=CD；
(2)根据题意可推出∠CAD=∠CDA=∠MPC，∠CME=∠BME=∠PMF，可得到∠MCD=∠F.