2023-2024学年河北省承德市平泉市八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)

这是一份2023-2024学年河北省承德市平泉市八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.3?=13，则？是( )
A. −1B. 0C. 1D. 3
2.AD是△ABC的中线同时平分∠BAC，则△ABC一定是( )
A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形
3.下列运算正确的是( )
A. (3x+2)(3x−2)=3x2−4B. (a+1)2=a2+1
C. (a−3)2=a6D. 2a2⋅a−1=2a
4.如图，C处在B处的北偏西40∘方向，C处在A处的北偏西75∘方向，则∠ACB的度数为( )
A. 30∘
B. 35∘
C. 40∘
D. 45∘
5.1012等于( )
A. 1002+2×100+1B. 1002−2×100+1
C. 1002+1D. 1002−1
6.若k为任意整数，则(2k+3)2−(2k−2)2的值总能( )
A. 被2整除B. 被3整除C. 被5整除D. 被7整除
7.人体中枢神经系统中含有1千亿个神经元.某个神经元的直径约为52微米，52微米为5.2×10−5米.将5.2×10−5用小数表示为( )
A. 0.0052B. 0.00052C. 0.000052D. 0.0000052
8.下面四幅作品分别代表二十四节气中的“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
9.如图，若△MNP≌△MEQ，则点Q应是图中的( )
A. 点A
B. 点B
C. 点C
D. 点D
10.如图，八边形ABCDEFGH每条边都相等，且∠C=∠E=∠H，若△BDF，四边形ABFG的周长分别为a，b，则下列正确的是( )
A. aB. a=b
C. a>b
D. a，b大小无法比较
11.在△ABC中，高AD=2，CE=4，则边AB：BC是( )
A. 1：2B. 2：1C. 3：1D. 1：3
12.在△ABC和△A′B′C′中，∠B=∠B′=30∘，AB=A′B′=6，AC=A′C′=4，已知∠C=n∘，则∠C′=( )
A. 30∘B. n∘C. n∘或180∘−n∘D. 30∘或150∘
13.在探究证明“三角形的内角和等于180∘”时，飞翔班的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于180∘”的是( )
A. 延长BC至D过C作CE//AB
B. 过A作DE//BC
C. 过D作DE//BC
D. 过P作FG//AB，DE//BC，HI//AC
14.如图，若x为正整数，则表示2x+1x+1的值的点落在( )
A. 段①B. 段②C. 段③D. 段④
15.如图，直线l1//l2，一副三角板放置在l1，l2之间，一三角板直角边在l1上，三角板斜边在同一直线上，则∠α=( )
A. 10∘B. 15∘C. 20∘D. 25∘
16.如图，用一把长方形直尺的一边压住射线OB，再用另一把完全相同的直尺的一边压住射线OA，两把直尺的另一边交于点P.下列判断错误的是( )
A. 射线OP是∠AOB角平分线
B. △POC是等腰三角形
C. OP是∠AOB角平分线依据是角平分线上的点到这个角两边的距离相等
D. OP是∠AOB角平分线依据是在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上
二、填空题：本题共3小题，共9分。
17.若分式2x+1x−1的值为0，则x=______.
18.如图，已知点P是∠AOB角平分线上的一点，∠AOB=60∘，OP=8，PD⊥OA，如果点C是OB上一个动点.
(1)若PC=OC时，PC与OA的位置关系______；
(2)PC最小值为______.
19.如图①，有A、B两个正方形，边长分别为a，b，若将这两个正方形叠放在一起可得到图②，则图中阴影部分面积为1，若将A，B并列放置构造出新的正方形可得到图③，图中阴影部分面积为24.
则：(1)(b−a)2=______；
(2)ab=______；
(3)新构造出的正方形面积为______.
三、解答题：本题共7小题，共73分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题9分)
已知：A=(m−4)(m+1)+3m，B=2m2−4m.
(1)将A分解因式；
(2)比较A、B的大小；(m≠2)
(3)求m=3时BA的值.
21.(本小题9分)
如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D均为格点(网格线的交点).
(1)画出线段AB关于平面镜CD所成像A1B1；
(2)一束光线从A点出发经平面镜上P点反射后经过点B，请在平面镜上确定点P，保留作图痕迹；(提示此时△PAB周长最小)
(3)描出线段AB上的点M及直线CD上的点N，使得直线MN垂直平分AB.
22.(本小题10分)
机器人AD在水平线路BC间(不含B，C)做往返运动，BC=10，D为BC上动点，AD⊥BC，AD=6，连接AB，AC.
(1)机器人在运动中，△ABC周长是否改变？______(填“变”或“不变”)；△ABC面积是否改变？______(填“变”或“不变”).
(2)机器人运动到BC中点时，判断△ABC的形状，并说明理由.
(3)机器人运动中△ABC为等腰三角形，点D的位置有______处.
23.(本小题10分)
已知多项式P=(x+2)2+x(1−x)−9(x为整数).
(1)试说明：多项式P被5整除.
(2)若P=15，求(1−4x+3)÷x2−2x+1x2−9的值.
24.(本小题10分)
甲乙两船从B港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中速度都是30km/h，水流速度时akm/h，6h后两船同时到达A、C两港口；卸装货物后，又同时出发，甲船驶往C港口，乙船驶往A港口.(提示：顺水速度=船速+水速；逆水速度=船速-水速)
(1)AC两港口相距多远？
(2)卸装货物后两船再同时出发，乙船到达A港口时，甲船距C港口120km，求a值.
25.(本小题12分)
已知：AB⊥CD于点O，AB=AC=CD，点I是∠BAC，∠ACD的平分线的交点，连接IB，ID.
(1)∠AIC=______度；
(2)求证：IB=IC且IB⊥IC；
(3)探究：
①∠AIC+∠BID=______度；
②S△IBD______S△AIC.(填“>”“<”“=”)
26.(本小题13分)
图1，Rt△ACB中∠ACB=90∘，在CA上取E，使CE=CB，延长BC至D，使得CD=CA.
(1)求证：AB=DE.
(2)判断AB与DE的位置关系，并说明理由.
(3)若DE的延长线过AB的中点，求∠B的度数.
迁移应用：图2，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90∘，点D在线段BC上，∠EDB=12∠C，BE⊥DE，垂足为E，DE与AB相交于F.
(4)直接写出线段BE与FD的数量关系，并在图2中画出探究时所需要的辅助线.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵3−1=13，3?=13，
∴3−1=3?，
∴？=−1，
故选：A.
根据负整数指数幂的性质：a−P=1aP进行解答即可．
本题主要考查了负整数指数幂的性质，解题关键是熟练掌握负整数指数幂的性质：a−P=1aP.
2.【答案】D
【解析】解：如图，过D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DE=DF，
∵AD是BC边的中线，
∴BD=CD，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
BD=CDDE=DF，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，
∴∠B=∠C.
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，
故选：D.
过D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，由角平分线的性质得DE=DF，再证Rt△BDE≌△CDF(HL)，得∠B=∠C即可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质以及等腰三角形的判定等知识，熟练掌握等腰三角形的判定，证明三角形全等是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：A.(3x+2)(3x−2)=9x2−4，故不正确；
B.(a+1)2=a2+2a+1，故不正确；
C.(a−3)2=a−6，故不正确；
D.2a2⋅a−1=2a，正确．
故选：D.
根据平方差公式，完全平方公式，幂的乘方，单项式与单项式的乘法法则逐项计算即可．
本题考查了平方差公式，完全平方公式，幂的乘方，单项式与单项式的乘法法则，以及负整数指数幂，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：如图：
由题意得：
∠CAD=75∘，∠CBE=40∘，AD//BE，
∴∠EBA+∠BAD=180∘，
∴∠EBA+∠BAC=180∘−∠DAC=105∘，
∴∠ACB=180∘−(∠CBE+∠EBA+∠BAC)=35∘，
故选：B.
根据题意可得：∠CAD=75∘，∠CBE=40∘，AD//BE，然后利用平行线的性质可得∠EBA+∠BAD=180∘，从而可得∠EBA+∠BAC=105∘，最后利用三角形内角和定理进行计算即可解答．
本题考查了方向角，三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质，以及三角形内角和定理是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：1012=(100+1)2=1002+2×100+1；
故选：A.
根据完全平方公式进行展开，即可得到答案．
本题考查了完全平方公式，解题的关键是学会利用完全平方公式计算．
6.【答案】C
【解析】解：(2k+3)2−(2k−2)2
=[(2k+3)+(2k−2)][(2k+3)−(2k−2)]
=(2k+3+2k−2)(2k+3−2k+2)
=5(4k+1)，
∴(2k+3)2−(2k−2)2的值总能被5整除．
故选：C.
利用平方差公式分解因式后可得结论．
本题考查了因式分解的应用，正确进行因式分解是解题关键．
7.【答案】C
【解析】解：5.2×10−5=0.000052，
故选C.
只需将5.2的小数点向左平移5个数位即可．
本题考查求科学记数法的原数，掌握科学记数法法则是求解本题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：A、不是轴对称图形，本选项错误；
B、不是轴对称图形，本选项错误；
C、不是轴对称图形，本选项错误；
D、是轴对称图形，本选项正确．
故选：D.
根据轴对称图形的概念求解即可．
本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
9.【答案】D
【解析】解：∵△MNP≌△MEQ，
∴点Q应是图中的D点，如图，
故选：D.
根据全等三角形的性质和已知图形得出即可．
本题考查了全等三角形的性质，能熟记全等三角形的性质的内容是解此题的关键，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等．
10.【答案】A
【解析】解：在△BCD和△DEF中，
BC=DE∠C=∠ECD=EF，
∴△BCD≌△DEF(SAS)，
∴BD=DF.
同理可得：BD=AG.
∴BD=DF=AG.
∵四边形ABFG的周长=AG+AB+FG+BF=b，AB=FG=DE=EF，
∴四边形ABFG的周长=BD+DE+EF+BF=b.
又△BDF的周长=BD+DF+BF=a，DE+EF>DF，
∴a故选：A.
可先求得BD=DF=AG，再根据四边形ABFG的周长=AG+AB+FG+BF=b，△BDF的周长=BD+DF+BF=a，DE+EF>DF，即可得到a、b的大小关系．
本题主要考查全等三角形的判定及性质、三角形的三边关系，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
11.【答案】A
【解析】解：∵S△ABC=12AB⋅CE=12BC⋅AD，AD=2，CE=4，
∴4AB=2BC，
∴AB：BC=2：4=1：2，
故选：A.
利用三角形的面积公式可得答案．
本题考查的是三角形的高、三角形的面积公式，熟记三角形的面积公式是解题的关键．
12.【答案】C
【解析】解：当BC=B′C′时，△ABC≌△A′B′C′(SSS)，
∴∠C′=∠C=n∘，
当BC≠B′C′时，如图，
∵A′C′=A′C′′，
∴∠A′C′′C′=∠C′=n∘，
∴∠A′C′′B′=180∘−n∘，
∴∠C′=n∘或180∘−n∘，
故选：C.
分两种情况讨论，当BC=B′C′时，则△ABC≌△A′B′C′，得出∠C′=∠C=n∘，当BC≠B′C′时，如图，利用等腰三角形的性质求得∠A′C′′C′=∠C′=n∘，从而求得∠A′C′′B′=180∘−n∘.
本题考查了等腰三角形的性质，三角形全等的性质，熟练掌握等腰三角形两底角相等是解题的关键．
13.【答案】C
【解析】解：A、∵CE//AB，
∴∠BAC=∠ACE，∠B=∠ECD，由∠BCA+∠ACE+∠ECD=180∘，得∠BCA+∠BAC+∠B=180∘，故A不符合题意；
B、∵DE//BC，
∴∠DAB=∠B，∠EAC=∠C，由∠DAB+∠BAC+∠CAE=180∘，得∠B+∠BAC+∠C=180∘，故B不符合题意；
C、∵DE//BC，∠B=∠ADE，∠C=∠AED，无法证得三角形的内角和等于180∘，故C符合题意；
D、如图，
∵DE//BC，
∴∠B=∠AOE=∠BOP，∠C=∠AMP，
∵∠A+∠AMP=∠AOP，
∴∠A+∠C=∠AOP，
∵∠BOP+∠AOP=180∘，
∴∠BOP+∠A+∠C=180∘，
∴∠A+∠B+∠C=180∘，故D不符合题意．
故选：C.
根据平行线性质和三角形内角和定理即可求解．
本题考查了三角形内角和定理和平行线的性质的知识点，熟悉以上知识点是解题关键．
14.【答案】C
【解析】解：∵2x+1x+1=x+x+1x+1=x+1x+1+xx+1=1+xx+1且x为正整数，
取x=1时，11+1=12=0.5，
1+xx+1=1.5，
∴表示2x+1x+1的值的点落在段③，
故选：C.
根据分式的性质进行化简，然后取特殊值即可求解．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
15.【答案】B
【解析】解：如图，
∵直线l1//l2，
∴∠1=∠2=30∘，
∵∠3=∠α+∠2，且∠3=45∘，
∴∠α=45∘−30∘=15∘，
故选：B.
先根据两直线平行，内错角相等得出∠1=∠2=30∘，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和得出∠3=∠α+∠2，从而求出∠α的度数．
本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，一副三角板各角的度数，熟练掌握这两个性质是解题的关键．
16.【答案】C
【解析】解：如图所示：过两把直尺的交点P作PE⊥AO，PF⊥BO，
∵两把完全相同的长方形直尺，
∴PE=PF，
∵PE⊥AO，PF⊥BO，
∴∠PEO=90∘，∠PFO=90∘在△PEO和△PFO中，
PE=PF∠PEO=∠PFO=90∘PO=OP，
∴△PEO≌△PFO(HL)，
∴∠POE=∠POF，
∴OP平分∠AOB，
∴A选项和D选项说法正确．
∵PE=PF，PF=OG，
∴PE=OG，
∵长方形直尺，
∴∠CGO=90∘，
∴∠CGO=CEP，
在△CGO和△CEP中，
∠CGO=∠CEP∠GCO=∠ECPGO=EP，
∴△GCO≌△ECP(AAS)，
∴OC=PC，
∴△POC为等腰三角形，
∴B选项说法正确．
故选：C.
过两把直尺的交点P作PE⊥AO，PF⊥BO，根据题意可得PE=PF，再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上，可得OP平分．
此题主要考查了角平分线的判定和等腰三角形的判定，关键是正确画出辅助线．
17.【答案】−12
【解析】解：∵分式2x+1x−1的值为0，
∴2x+1=0x−1≠0，
解得：x=−12.
故答案为：−12
根据分式的值为零，则分子为零，分母不为零，求解即可．
本题考查了分时值为零的条件，熟知分式的值为零，需同时具备两个条件：(1)分子为0；(2)分母不为0.这两个条件缺一不可是解题的关键．
18.【答案】PC//OA4
【解析】解：(1)∵OP平分∠AOB，
∴∠AOP=∠COP，
∵PC=OC，
∴∠CPO=∠COP，
∴∠CPO=∠AOP，
∴PC//OA，
故答案为：PC//OA；
(2)过点P作PH⊥OB，
∵P是∠AOB角平分线上的一点，∠AOB=60∘，
∴∠AOP=∠COP=12∠AOB=30∘，
∵PD⊥OA，OP=8，
∴PD=12OP=4，
∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，PH⊥OB，
∴PH=PD=4，
∵点C是OB上一个动点，
∴PC的最小值为P到OB距离，即PH的长，
∴PC的最小值=PH=4.
故答案为：4.
(1)根据角平分线的性质、等腰三角形的性质及平行线的判定进行解答即可；
(2)根据角平分线的定义可得∠AOP=12∠AOB=30∘，再根据直角三角形的性质求得PD=12OP=4，然后根据角平分线的性质和垂线段最短得到结果．
本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，直角三角形的性质，熟记性质并作出辅助线构造成直角三角形是解题的关键．
19.【答案】1 12 49
【解析】解：(1)由图可知①中小正方形的边长为b−a，面积为1，
∴(b−a)2=1，
故答案为：1；
(2)∵b>a，
∴b−a=1，
由图可知②中新构造出的正方形边长为a+b，
∴面积=(a+b)2，
∴(a+b)2−a2−b2=24，
∴ab=12，
故答案为：12；
(3)∵b−a=1，ab=12，
∴新构成的正方形面积为(a+b)2=(b−a)2+4ab=12+4×12=49.
故答案为：49.
(1)利用正方形性质，可知叠放在一起后阴影部分的小正方形边长是b−a=1；
(2)由(a+b)2−a2−b2=24，求出ab的值即可；
(3)由b−a=1，ab=12，通过完全平方式的变形，即可得出结果．
本题考查了完全平方公式的应用，掌握完全平方公式及其变形是解题的关键．
20.【答案】解：(1)A=(m−4)(m+1)+3m
=m2−3m−4+3m
=m2−4
=(m+2)(m−2)；
(2)B−A=2m2−4m−(m2−4)
=m2−4m+4
=(m−2)2，
∵m≠2，
∴(m−2)2>0，
∴B>A；
(3)BA=2m2−4mm2−4=2m(m−2)(m+2)(m−2)=2mm+2，
当m=3时，BA=65.
【解析】(1)先化简整理多项式，再根据平方差公式即可分解因式；
(2)利用差值法比较大小；
(3)先分式化简，再求值即可．
此题考查了因式分解和分式化简求值，熟练掌握运算法则和乘法公式是解题的关键．
21.【答案】解：(1)如图，A1B1即为所求．
(2)如图，点P即为所求．
(3)如图，即MN为所求．
如图，取格点E，F，G，由题意，
ME=MF，FB=AE，∠BFM=∠AEM=90∘
∴△BFM≌△∠AEM，
∴AM=BM
同理，△NGM≌△MEA，
∠GMN=∠MAE，
∵∠AME+∠MAE=90∘，
∴∠AME+∠GMN=90∘，
∴AB⊥MN，
∴直线MN垂直平分线段AB.
【解析】(1)找到线段AB的端点关于直线CD的对应点即可完成作图；
(2)连接AB1即可完成作图；
(3)以为AB对角线作出矩形，即可确定其中点M，根据格点三角形全等作出垂线，即可；完成作图．
本题考查了网格作图，掌握轴对称、垂直平分线及线段和最小等相关结论是解题关键．
22.【答案】变 不变 3
【解析】解：(1)设BD为x.
∵BC=10，
∴CD=BC−BD=10−x，
∵AD⊥BC，AD=6，BD=x，CD=10−x，
∴AB= AD2+BD2= 36+x2，
AC= CD2+AD2= (10−x)2+36，
∴△ABC的周长为：AB+AC+BC= x2+36+ (10−x)2+36+10，
∴△ABC的周长在机器人运动的过程中会发生改变．
∵△ABC的面积为：S=12AD×BC,AD=6,BC=10，
∴S=12×6×10=30，
∴△ABC的面积在机器人运动的过程中不会发生改变．
故答案为：变；不变；
(2)当机器人运动到BC中点时，△ABC是等腰三角形．理由如下：
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=∠ADB=90∘，
∵机器人在BC中点，
∴BD=BC，
在△ABD和△ACD中，
AD=AD∠ADB=∠ADCBD=DC
∴△ABD≌△ACD(SAS)，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形；
(3)△ABC为等腰三角形分三种：
当AC=BC=10时，
∵AD=6，∠ADC=90∘，
∴DC= AC2−AD2= 100−36=8，BD=BC−DC=2，
∵∠ADB=90∘，
∴AB= AD2+BD2= 36+4=2 10，
根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可以判断出，此时存在等腰三角形△ABC，
当AB=BC=10时，同理可得：AC=2 10，此时也存在等腰三角形△ABC，
当AB=AC时，根据小题(2)可知，此时△ABC是等腰三角形．
故答案为：3.
(1)根据周长公式和面积公式，将数值代入即可判断；
(2)当机器人运动到中点时，可用全等三角形△ABD≌△ACD得出△ABC的形状；
(3)△ABC为等腰三角形的情况，需要根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边进行判断，注意分情况讨论．
本题考查了三角形的周长、面积、勾股定理、全等三角形的性质与判定以及等腰三角形的判定，解题的关键在于结合图形作答．
23.【答案】解：(1)P=(x+2)2+x(1−x)−9
=x2+4x+4+x−x2−9，
=5x−5，
=5(x−1)，
∴多项式P被5整除；
(2)(1−4x+3)÷x2−2x+1x2−9，
=x−1x+3×(x+3)(x−3)(x−1)2，
=x−3x−1，
∵P=15，
∴5(x−1)=15，解得x=4，
将x=4代入得，原式=4−34−1=13.
【解析】(1)利用完全平方公式、单项式乘多项式去括号、合并同类项，即可证明；
(2)根据P=15，求出x的值，然后代入即可．
本题考查了整式的乘法和分式的化简求值，熟练掌握法则是解题的关键．
24.【答案】解：(1)由题意可得：
AC=6(30+a)+6(30−a)=180+6a+180−6a=360(km)，
故AC两港口相距360km；
(2)由题意得：
36030+a=360−12030−a，
解得：a=6，
经检验a=6是原方程的解且符合题意，
∴a=6.
【解析】(1)根据“甲船行驶路程=乙船行驶路程”列式计算即可；
(2)根据“甲船行驶时间=乙船行驶时间”列分式方程求解即可．
本题考查顺水、逆水速度，分式方程的实际应用；解决题目的关键是找到等量关系．
25.【答案】135180=
【解析】解：(1)∵点I是∠BAC，∠ACD的平分线的交点，
∴∠IAC=12∠BAC，∠ACI=12∠ACD，
∵AB⊥CD，
∴∠AOC=90∘，
∴∠BAC+∠ACD=90∘，
∴∠IAC+∠ACI=12(∠BAC+∠ACD)=45∘，
∵∠IAC+∠ACI+∠AIC=180∘，
∴∠AIC=135∘，
故答案为：135；
(2)∵由点I是∠BAC，∠ACD的平分线的交点，
∴∠BAI=∠CAI，
在△ACI和△ABI中，
AI=AI∠BAI=∠CAIAB=AC，
∴△ABI≌△ACI(SAS)，
∴IB=IC，
∵由点I是∠BAC，∠ACD的平分线的交点，
∴∠CAI+∠ACI=12(∠CAO+∠ACO)=12×90∘=45∘，
∴∠AIC=180∘−45∘=135∘=∠AIB，
∴∠BIC=360∘−135∘−135∘=90∘，
即IB⊥IC；
(3)①同(2)理可证△DCI≌△ACI(SAS)，
∴∠AIC=∠DIC=135∘，
由(2)得：IB⊥IC，
∴∠BIC=90∘，
∴∠BID=∠DIC−∠BIC=135∘−90∘=45∘，
∴∠AIC+∠BID=135∘+45∘=180∘，
故答案为：180；
②如图，连接AD，
由①得：△DCI≌△ACI，
则∠AIC=∠DIC=135∘，AI=DI，
∴∠AID=90∘，
∴∠ADI=∠BID=45∘，
∴AD//BC，
∴S△IBD=S△ABI，
∵△ABI≌△ACI，
∴S△AIC=S△ABI，
∴S△IBD=S△AIC，
故答案为：=.
(1)根据角平分线的定义和三角形内角和即可求解；
(2)证明△ABI≌△ACI(SAS)，然后根据性质即可求解；
(3)①由△DCI≌△ACI(SAS)，通过性质即可求解；
②连接AD，证明△DCI≌△ACI，通过性质即可求解；
本题考查全等三角形的判定与性质、平行线的性质与判定、角平分线的定义等知识，熟练掌握以上知识点的应用及作出正确的辅助线是解题的关键．
26.【答案】(1)证明：在△ACB和△DCE中，
AC=CD∠ACB=∠DCEBC=CE，
∴△ACB≌△DCE(SAS)，
∴AB=DE；
(2)解：AB与DE的位置关系为AB⊥DE，
理由：延长DE交AB于F，
∵△ACB≌△DCE，
∴∠A=∠D，∠ACB=∠DCE，
∴∠ACB+∠DCE=180∘，
∴∠DCE=12×180∘=90∘，
∴∠AED=∠A+∠AFE=∠D+∠DCE，
∴∠AFE=∠DCE=90∘，
∴AB⊥DE.
(3)解：如图，连接AD，
∵CD=CA，
∴∠CAD=∠CDA=45∘，
∵DE⊥AB，DE的延长线过AB的中点，
∴AD=BD，
∴∠B=∠BAD=67.5∘；
(4)解：DF=2BE.理由如下：
如图，作DG//AC，交BE的延长线于点G，
则∠BDG=∠C，
∵∠EDB=12∠C，
∴DE平分∠BDG；
∵DG//AC，
∴∠BHD=∠A=90∘，
而∠HBD=45∘，故∠HDB=45∘，
∴BH=DH；
∵∠GEF+∠GHF=180∘，
同理得∠HFD=∠G；
在△HFD与△HGB中，
∠FHD=∠GHB∠HFD=∠GDH=BH，
∴△HFD≌△HGB(AAS)，
∴DF=BG；
在△EGD与△EBD中，
∠GED=∠BEDDE=DE∠GDE=∠BDE，
∴△EGD≌△EBD(ASA)，
∴EG=BE，
∴DF=2BE.
【解析】(1)证明△ACB≌△DCE(SAS)，得出AB=DE；
(2)由全等三角形的性质得出∠A=∠D，∠ACB=∠DCE，则可得出结论；
(3)连接AD，证出AD=BD，由等腰三角形的性质得出∠B=67.5∘；
(4)作DG//AC，交BE的延长线于点G，证明△HFD≌△HGB，得到DF=BG；证明△EGD≌△EBD，得到BE=GE，即可解决问题．
此题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，正确作出辅助线是解决此题的关键．