2023-2024学年河北省邯郸市武安市八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)

这是一份2023-2024学年河北省邯郸市武安市八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列图形中，是轴对称图形的是≡( )
A. B. C. D.
2.使分式2x−3有意义的x的取值范围是( )
A. x≠3B. x>3C. x<3D. x=3
3.若等腰三角形的两边长分别为4cm和10cm，则该等腰三角形的周长为cm.( )
A. 18B. 24C. 26D. 18或24
4.下列计算正确的是( )
A. (a2)3=a8B. (ab)3=ab3C. a3+a3=a6D. a3⋅a2=a5
5.“中国天眼”是目前世界上唯一能观测深空的射电望远镜，其中心位置是一个正五边形，这个正五边形的内角和是( )
A. 1260∘B. 900∘C. 540∘D. 360∘
6.纳米是长度单位，纳米技术已广泛应用于各个领域，已知1纳米=0.000000001米，某原子的直径大约是2纳米，用科学记数法表示该原子的直径约为( )
A. 0.2×10−9米B. 2×10−8米C. 2×10−9米D. 2×10−10米
7.下列从左到右的变形，属于因式分解的是( )
A. a2−4+a=(a+2)(a−2)+aB. a2+4a−4=(a−2)2
C. a2+b=a(a+b)D. a2+4a+3=(a+1)(a+3)
8.八年级学生去距学校10km的科技馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了15min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍．设骑车学生的速度为xkm/h，则所列方程正确的是( )
A. 10x−102x=15B. 102x−10x=15C. 10x−102x=14D. 102x−10x=14
9.已知：如图，△ABC≌△CED，若AB=5，AC=8，则AE=( )
A. 3
B. 4
C. 5
D. 8
10.若 27×27×⋯×27m个= 3×3×⋯×3n个，则m、n之间的关系式是( )
A. m=3+nB. n=m3C. m=3nD. n=3m
11.若关于x的分式方程xx−2−x−a2−x=1有增根，则a的值为( )
A. 2B. −2C. 4D. −4
12.如图，依据尺规作图的痕迹，计算∠α=( )
A. 28∘
B. 56∘
C. 68∘
D. 34∘
13.如图，竖直放置一等腰直角三角板，直角顶点C紧靠在桌面，AD⊥DE，BE⊥DE，垂足分别为D、E.下列结论正确的是( )
A. DE=AD+BE
B. DE=AC+BE
C. DE=BC+BE
D. DE=AB⋅BE
14.如图，在△ABC中，BD是△ABC的角平分线，DE⊥BC于点E.若AB=8，DE=4，则△ABD的面积为( )
A. 8
B. 16
C. 24
D. 32
15.按如图所示的方式分割的正方形，拼接成长方形方案中，可以验证的等式是( )
A. (a+b)2=a2+2ab+b2B. (a−b)2=a2−2ab+b2
C. (a−b)2=(a+b)2−4abD. a2−b2=(a+b)(a−b)
16.如图，在△ABC中，AB=AC=11，∠BAC=120∘，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF//AB交AE的延长线于点E，则DF的长( )
A. 4.5
B. 5
C. 5.5
D. 6
二、填空题：本题共3小题，每小题3分，共9分。
17.在△ABC中，∠A=80∘，∠B=60∘，则∠C=______度．
18.若x+3y−3=0，则2x+6y=______.
19.如图，在△ABC中，BA=BC，BD平分∠ABC，交AC于点D，点M、N分别为BD、BC上的动点，若BC=4，△ABC的面积为6，则CM+MN的最小值为______.
三、解答题：本题共7小题，共69分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题8分)
计算：
(1)−42−(12)−2+(2023−π)0；
(2)(3m2n−1)−3⋅(m−2n)2.
21.(本小题9分)
先化简，再求值：(x2−2x+1x−x+2)÷x−2x，再从0，1，2三个数中选择一个你认为合适的数作为x的值代入求值.
22.(本小题10分)
在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(−3,4)，B(−1,3)，C(−1,0).
(1)在图中作△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
(2)△A1B1C1的面积为______；
(3)如果要使以B，C，D为顶点的三角形与△ABC全等，直接写出所有符合条件的点D的坐标.(点D与点A不重合)
23.(本小题10分)
为了进一步落实国务院《关于强化学校体育促进学生身心健康全面发展的意见》的精神，提高学生的身体素质，某校计划购买篮球和排球，为学生课间体育锻炼提供充足的器材．已知篮球的单价是排球的1.5倍，用3600元单独购买篮球或排球，所购篮球的数量比排球少20个．
(1)篮球和排球的单价各是多少元？
(2)若该校计划购买篮球和排球共200个，筹备资金不多于15700元，那么该校最多购买篮球多少个？
24.(本小题10分)
如图，在△ABC中，AD是中线，CE⊥AD于点E，BF⊥AD，交AD的延长线于点F，求证：BF=CE.
25.(本小题10分)
探索
(1)如果2x−3x−1=2+nx−1；则n=______；
(2)如果5x+3x+2=5−nx+2，则n=______；
总结
(3)如果ax+bx+c=a+nx+c(其中a，b，c为常数)；则n=______；
应用
(4)若代数式4x−3x−1的值为整数；求满足条件的整数x的值.
26.(本小题12分)
如图，共顶点的两个三角形△ABC，△ADE，若AB=AD，AC=AE，且∠BAC+∠DAE=180∘，已知AF是△ABC的中线．
(Ⅰ)如图1，若△ADE为等边三角形，直接写出DE与AF的数量关系______；
(Ⅱ)如图2，若△ADE为任意三角形时，上述结论是否仍然成立？请说明理由．
(Ⅲ)如图2，若△ADE为任意三角形时，且S△ABC=10，则S△ADE=______.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：B，C，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
A选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：A.
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【答案】A
【解析】解：由分式2x−3有意义，得
x−3≠0，
解得x≠3，
故选：A.
根据分式的分母不为零分式有意义，可得答案．
本题考查了分式有意义的条件，利用分式的分母不为零得出不等式是解题关键．
3.【答案】B
【解析】解：当4cm是腰时，4+4<10cm，不符合三角形三边关系，故舍去；
当10cm是腰时，周长=10+10+4=24cm，
故该三角形的周长为24cm，
故选：B.
题中没有指出哪个底哪个是腰，故应该分情况进行分析，注意应用三角形三边关系进行验证能否组成三角形．
此题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系的运用；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：A、(a2)3=a6，故A不符合题意；
B、(ab)3=a3b3，故B不符合题意；
C、a3+a3=2a3，故C不符合题意；
D、a3⋅a2=a5，故D符合题意；
故选：D.
利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
5.【答案】C
【解析】解：正五边形的内角和是：(5−2)×180∘=540∘.
故选：C.
根据多边形的内角和公式：(n−2)⋅180∘可求出内角和，即可得出答案．
本题考查了多边形内角与外角，掌握多边形的内角和公式：(n−2)⋅180∘是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：∵1纳米=0.000000001米=10−9米，
∴2纳米=2×10−9米．
故选：C.
小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
此题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
7.【答案】D
【解析】解：a2−4+a=(a+2)(a−2)+a中，等号右边不是积的形式，则A不符合题意；
a2+4a−4=(a−2)2中，左右两边不相等，则B不符合题意；
a2+b=a(a+b)中，左右两边不相等，则C不符合题意；
a2+4a+3=(a+1)(a+3)符合因式分解的定义，则D符合题意；
故选：D.
将一个多项式化为几个整式的积的形式即为因式分解，据此逐项判断即可．
本题考查因式分解，熟练掌握其定义是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：设骑车学生的速度为xkm/h，则乘车学生的速度为2xkm/h，
依题意，得：10x−102x=14.
故选：C.
设骑车学生的速度为xkm/h，则乘车学生的速度为2xkm/h，根据时间=路程÷速度结合骑车的学生比乘车的学生多用15min(即14h)，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
此题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是弄懂题意，表示出骑自行车走10km所用时间与乘汽车10km所用时间．
9.【答案】A
【解析】解：∵△ABC≌△CED，AB=5，
∴AB=CE=5，
又AC=8，
∴AE=AC−EC=3.
故选：A.
根据全等三角形对应边相等解答即可．
本题考查了全等三角形对应边相等的性质，根据全等三角形对应顶点的字母写在对应位置上准确找出CE的对应边是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：∵ 27×27×⋯×27m个= 3×3×⋯×3n个
∴(33)m=3n，
即33m=3n，
∴n=3m，
故选：D.
先把已知条件中的乘法写成乘方的形式，然后把等号左右两边写成同底数幂的形式，最后解答即可．
本题主要考查了有理数的乘方，解题关键是熟练掌握乘方的意义．
11.【答案】C
【解析】解：去分母得：x+x−a=x−2，
∴x=a−2，
∵分式方程有增根，
∴x=2，
∴a−2=2，
∴a=4，
故选：C.
先求出分式方程的解，根据分式方程有增根，得到x=2，从而得到a的值．
本题考查了分式方程的增根，掌握在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根是解题的关键．
12.【答案】B
【解析】解：如图，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD//BC，
∴∠DAC=∠ACB=68∘，
由作法得AE平分∠DAC，
∴∠EAC=12∠DAC=12×68∘=34∘，
由作法得EH垂直平分AC，
∴∠AHE=90∘，
∴∠AEH=90∘−34∘=56∘，
∴∠α=∠AEH=56∘.
故选：B.
如图，先利用矩形的性质和平行线的性质得到∠DAC=68∘，再利用基本作图得到AE平分∠DAC，则∠EAC=34∘，利用基本作图得到EH垂直平分AC，则∠AHE=90∘，然后利用互余计算出∠AEH，最后根据对顶角相等得到∠α的度数．
本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线).也考查了线段垂直平分线的性质．
13.【答案】A
【解析】解：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ACB=90∘，AC=BC，
∴∠ACD+∠BCE=90∘，
∵AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC=∠CEB=90∘，
∴∠ACD+∠DAC=90∘，
∴∠BCE=∠DAC，
在△ADC和△CEB中，
∠ADC=∠CEB∠DAC=∠ECBAC=CB，
∴△ADC≌△CEB(AAS)，
∴DC=EB，
∴DE=DC+CE=BE+AD，
故选：A.
根据△ABC是等腰直角三角形，可得∠ACB=90∘，AC=BC，然后证明△ADC≌△CEB，进而可得结论．
本题考查了全等三角形的应用、等腰直角三角形，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．
14.【答案】B
【解析】解：过D作DH⊥AB于H，
∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥BC于点E，
∴DH=DE=4，
∵AB=8，
∴△ABD的面积=12AB⋅DH=12×8×4=16.
故选：B.
过D作DH⊥AB于H，由角平分线的性质推出DH=DE=4，而AB=8，由三角形面积甘肃省即可求出△ABD的面积=12AB⋅DH=16.
本题考查角平分线的性质，关键是由角平分线的性质推出DH=DE.
15.【答案】D
【解析】解：左边一幅图阴影部分面积为a2−b2，右边一幅图阴影部分面积为(a+b)(a−b)，
∵两幅图阴影部分面积相等，
∴a2−b2=(a+b)(a−b)，
故选：D.
分别表示出两幅图中阴影部分的面积，再根据两幅图阴影部分面积相等即可得到答案．
本题主要考查了平方差公式在几何图形中的应用，解题的关键是掌握面积法解决问题．
16.【答案】C
【解析】解：∵AB=AC=11，∠BAC=120∘，
∴∠B=∠C=12(180∘−∠BAC)=30∘，
∵AD是△ABC的中线，
∴∠BAD=12∠BAC=60∘，AD⊥BC，
∴∠ADB=90∘，
∴AD=12AB=5.5，
∵AE是∠BAD的角平分线，
∴∠BAE=∠DAE=12∠BAD=30∘，
∵AB//DF，
∴∠F=∠BAE=30∘，
∴∠DAE=∠F=30∘，
∴DA=DF=5.5，
故选：C.
根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得∠B=∠C=30∘，再利用等腰三角形的三线合一性质可得∠BAD=12∠BAC=60∘，AD⊥BC，从而可得∠ADB=90∘，然后利用含30度角的直角三角形的性质可得AD=12AB=5.5，最后利用角平分线的定义和平行线的性质可得△ADF是等腰三角形，即可解答．
本题考查了等腰三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，以及含30度角的直角三角形的性质是解题的关键．
17.【答案】40
【解析】解：由于三角形内角和为180∘，故∠A+∠B+∠C=180∘，所以∠C=180∘−(80∘+60∘)=40∘.
根据三角形内角和直接解答即可．
本题考查三角形的内角和定理，是一个需要熟记的内容．
18.【答案】6
【解析】解：∵x+3y−3=0，
∴x+3y=3，
∴2x+6y=2(x+y)=2×3=6.
故答案为：6.
根据已知条件求得x+3y=3，然后根据等量代换进行解答．
本题考查代数式求值，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
19.【答案】3
【解析】解：连接AM，过点A作AD⊥BC于点D，如图：
∵BA=BC，BD平分∠ABC，
∴BD⊥AC且平分AC，
∴BD是线段AC的垂直平分线，
∴CM=AM，
∴CM+MN=AM+MN，
根据“垂线段最短”得：AM+M≥AD，
即当点M在线段AD上时，AM+M为最小，最小值为线段AD的长，
∵△ABC的面积为6，BC=4，
∴S△ABC=1/2BC⋅AD=6，
∴AD=2×6/4=3，
∴CM+MN的最小值为3.
故答案为：3.
首先连接AM，过点A作AD⊥BC于点D，再根据等腰三角形的性质得BD是线段AC的垂直平分线，从而得CM=AM，则CM+MN=AM+MN，然后根据“垂线段最短”得AM+M≥AD，据此可得出当点M在线段AD上时，AM+M为最小，最小值为线段AD的长，最后根据三角形的面积求出AD即可．
此题主要考查了轴对称，最短路线，垂线段的性质，等腰三角形的性质熟练掌握等腰三角形的性质，理解“垂线段最短”是解答此题的关键．
20.【答案】解：(1)−42−(12)−2+(2023−π)0
=−16−4+1
=−19；
(2)(3m2n−1)−3⋅(m−2n)2
=3−3⋅m−6⋅n3⋅m−4⋅n2
=127⋅m−10⋅n5
=n527m10.
【解析】(1)首先计算有理数的乘方，负整数指数幂，零指数幂，然后计算加减；
(2)首先计算积的乘方和幂的乘方，然后根据同底数的乘方运算法则求解．
本题主要考查了实数的混合计算，零指数幂和负整数指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键．
21.【答案】解：(x2−2x+1x−x+2)÷x−2x
=(x2−2x+1x−x2−2xx)⋅xx−2
=(x2−2x+1)−(x2−2x)x⋅xx−2
=1x⋅xx−2
=1x−2，
要使分式有意义，必须x≠0且x−2≠0，
解得：x不能为0和2，
取x=1，
所以原式=11−2=−1.
【解析】先根据分式的加减法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，根据分式有意义的条件求出x不能为0和2，取x=1，最后代入求出答案即可．
本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
22.【答案】3
【解析】解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求；
(2)S△A1B1C1=12B1C1⋅h=12×3×2=3；
故答案为：3；
(3)如图，共有3个以B，C，D为顶点的三角形与△ABC全等，
由图可知：D1(1,4)，D2(1,−1)，D3(−3,−1)；
∴以B，C，D为顶点的三角形与△ABC全等时，D点坐标为：(1,4)或(1,−1)或(−3,−1).
(1)找到A，B，C关于y轴的对称点，再进行连线，即可得到△A1B1C1；
(2)利用面积公式直接进行计算即可；
(3)画出与△ABC全等的以B，C，D为顶点的三角形，根据图形确定点D的坐标即可．
本题考查坐标与图形．熟练掌握轴对称的画法，全等三角形的性质，是解题的关键．
23.【答案】解：(1)设排球的单价为x元，则篮球的单价为1.5x元，
由题意得：3600x−36001.5x=20，
解得：x=60，
经检验，x=60是原方程的解，
则1.5x=90，
答：篮球的单价为90元，排球的单价为60元；
(2)设购买篮球m个，则购买排球(200−x)个，
由题意得：90m+60(200−m)≤15700，
解得：m≤12313，
答：该校最多购买篮球123个．
【解析】(1)设排球的单价为x元，则篮球的单价为1.5x元，由题意：用3600元单独购买篮球或排球，所购篮球的数量比排球少20个．列出分式方程，解方程即可；
(2)设购买篮球m个，则购买排球(200−x)个，由题意：筹备资金不多于15700元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
24.【答案】解：∵CE⊥AD，BF⊥AD，
∴∠CED=∠BFD=90∘，
∵AD是中线，
∴BD=CD，
在△CED和△BFD中，
∠CED=∠BFD∠CDE=∠BDFCD=BD，
∴△CED≌△BFD(AAS)，
∴BF=CE.
【解析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的中线的定义等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
根据AAS证明△CED≌△BFD即可解决问题．
25.【答案】−1−7b−ac
【解析】解：(1)∵2x−3x−1=2x−2−1x−1=2−1x−1，
∴n=−1，
故答案为：−1；
(2)∵5x+3x+2=5(x+2)−7x+2=5−7x+2，
∴n=−7，
故答案为：−7；
(3)∵ax+bx+c=a+b−acx+c=a+nx+c.
∴n=b−ac；
(4)∵4x−3x−1=4+1x−1，
又∵结果为整数，
∴x−1=1或x−1=−1，
∴当x=2或0，代数式的值为整数．
(1)把原式进行转化2x−3x−1=2x−2−1x−1=2−1x−1，可得n的值；
(2)把式子5x+3x+2转化为5(x+2)−7x+2=5−7x+2，可得n的值；
(3)根据(1)(2)的思路进行转化可得n的值；
(4)根据4x−3x−1=4+1x−1为整数，可得x的值．
本题考查了将分式变形为整式加上分式的求值问题，可以根据对应项相等的原则解答．
26.【答案】解：(Ⅰ)DE=2AF：
(Ⅱ)成立，理由如下：
如图2，延长AF到G，使AF=FG，连接BG，CG，
∵AF=FG，BF=FC，
∴四边形ABGC是平行四边形，
∴BG=AC=AE，AC//BG，
∴∠BAC+∠ABG=180∘，
∵∠BAC+∠DAE=180∘，
∴∠ABG=∠DAE，
在△ABG和△DAE中，
AB=AD∠ABG=∠DAEBG=AE，
∴△ABG≌△DAE(SAS)，
∴DE=AG=2AF；
(Ⅲ)10.
【解析】【分析】
本题考查的是平行四边形的判定和性质、三角形全等的判定和性质、等边三角形的性质、等腰三角形的三线合一，正确作出辅助线是解题的关键．
(Ⅰ)根据等边三角形的性质得到AD=AE，∠DAE=60∘，根据等腰三角形的性质得到AF⊥BC，根据含30∘的直角三角形的性质解答即可；
(Ⅱ)延长AF到G，使AF=FG，连接BG，CG，证明△ABG≌△DAE，根据全等三角形的性质证明即可；
(Ⅲ)根据(Ⅱ)的结论解答．
【解答】
解：(Ⅰ)∵△ADE为等边三角形，
∴AD=AE，∠DAE=60∘，
∵AB=AD，AC=AE，∠BAC+∠DAE=180∘，
∴AB=AC，∠BAC=120∘，
∴∠ABC=∠ACB=30∘，
∵AB=AC，AF是△ABC的中线，
∴AF⊥BC，
∴AB=2AF，
∴DE=2AF；
故答案为：DE=2AF；
(Ⅱ)见答案
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知：四边形ABGC是平行四边形，△ABG≌△DAE，
∴S△ABG=S△ABC，S△ABG=S△DAE，
∴S△DAE=S△ABC，
∵S△ABC=10，
∴S△DAE=10，
故答案为：10.