专题59 二次函数背景下的等腰三角形、直角三角形存在性问题（讲+练）-备战2023年中考数学解题大招复习讲义（全国通用）

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【几何法】“两圆一线”得坐标
（1）以点A为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有AB=AC；
（2）以点B为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有BA=BC；
（3）作AB的垂直平分线，与x轴的交点即为满足条件的点C，有CA=CB．
【注意】若有三点共线的情况，则需排除．
作图并不难，问题是还需要把各个点坐标算出来，可通过勾股或者三角函数来求．
同理可求，下求．
显然垂直平分线这个条件并不太适合这个题目，如果A、B均往下移一个单位，当点A坐标为（1,0），点B坐标为（4,2）时，可构造直角三角形勾股解：
而对于本题的，或许代数法更好用一些．
【代数法】表示线段构相等
（1）表示点：设点坐标为（m，0），又A点坐标（1,1）、B点坐标（4,3），
（2）表示线段：，
（3）分类讨论：根据，可得：，
（4）求解得答案：解得：，故坐标为．
小结
几何法：（1）“两圆一线”作出点；
（2）利用勾股、相似、三角函数等求线段长，由线段长得点坐标．
代数法：（1）表示出三个点坐标A、B、C； （2）由点坐标表示出三条线段：AB、AC、BC；
（3）根据题意要求取①AB=AC、②AB=BC、③AC=BC； （4）列出方程求解．
问题总结：
（1）两定一动：动点可在直线上、抛物线上；
（2）一定两动：两动点必有关联，可表示线段长度列方程求解；
（3）三动点：分析可能存在的特殊边、角，以此为突破口．
二、【问题描述】如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（1,1），点B坐标为（5,3），在x轴上找一点C使得△ABC是直角三角形，求点C坐标．
【几何法】两线一圆得坐标
（1）若∠A为直角，过点A作AB的垂线，与x轴的交点即为所求点C；
（2）若∠B为直角，过点B作AB的垂线，与x轴的交点即为所求点C；
（3）若∠C为直角，以AB为直径作圆，与x轴的交点即为所求点C．（直径所对的圆周角为直角）
重点还是如何求得点坐标，求法相同，以为例：
【构造三垂直】
求法相同，以为例：
构造三垂直步骤：
第一步：过直角顶点作一条水平或竖直的直线；
第二步：过另外两端点向该直线作垂线，即可得三垂直相似．
例题精讲
考点一：二次函数中的直角三角形存在性问题
【例1】．如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且A（﹣1，0），对称轴为直线x＝2．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）直线l过点A与抛物线交于点P，当∠PAB＝45°时，求点P的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得△BCQ是直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
变式训练
【变1-1】．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4经过点A（4，0），B（﹣1，0），交y轴于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D是直线AC上一动点，过点D作DE垂直于y轴于点E，过点D作DF⊥x轴，垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点D的坐标；
（3）在AC上方的抛物线上是否存在点P，使得△ACP是直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．
考点二：二次函数中的等腰三角形存在性问题
【例2】．如图，抛物线y＝﹣x2+5x+n经过点A（1，0），与y轴交于点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求抛物线的对称轴和顶点坐标．
（3）P是y轴正半轴上一点，且△PAB是以AB为腰的等腰三角形，试求点P的坐标．
变式训练
【变2-1】．如图．已知二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象与x轴的一个交点为A（4，0），与y轴交于点B．
（1）求此二次函数关系式和点B的坐标；
（2）在x轴的正半轴上是否存在点P．使得△PAB是以AB为底边的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【变2-2】．如图，抛物线y＝ax2+4x+c经过A（﹣3，﹣4），B（0，﹣1）两点，点P是y轴左侧且位于x轴下方抛物线上一动点，设其横坐标为m．
（1）直接写出抛物线的解析式；
（2）将线段AB绕点B顺时针旋转90°得线段BD（点D是点A的对应点），求点D的坐标，并判断点D是否在抛物线上；
（3）过点P作PM⊥x轴交直线BD于点M，试探究是否存在点P，使△PBM是等腰三角形？若存在，求出点m的值；若不存在，说明理由．

1．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），连接AC，点P为第二象限抛物线上的动点．
（1）求a、b、c的值；
（2）连接PA、PC、AC，求△PAC面积的最大值；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得△QAC为直角三角形，若存在，请求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
2．已知抛物线y＝﹣x2﹣x的图象如图所示：
（1）将该抛物线向上平移2个单位，分别交x轴于A、B两点，交y轴于点C，则平移后的解析式为 ．
（2）判断△ABC的形状，并说明理由．
（3）在抛物线对称轴上是否存在一点P，使得以A、C、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
3．如图，抛物线y＝﹣x2+x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D，抛物线的对称轴与x轴交于点E，连接AC，BD．
（1）求点A，B，C，D的坐标；
（2）点F为抛物线对称轴上的动点，且△BEF与△AOC相似，请直接写出符合条件的点F的坐标；
（3）点P为抛物线上的动点，是否存在这样的点P，使△BDP是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
4．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A（﹣1，0），C（0，3）．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）抛物线与直线y＝﹣x﹣1交于A、E两点，P是x轴上点B左侧一动点，当以P、B、C为顶点的三角形与△ABE相似时，求点P的坐标；
（3）若F是直线BC上一动点，在抛物线上是否存在动点M，使△MBF为等腰直角三角形，若存在，请直接写出点M的坐标；否则说明理由．
5．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，且BO＝OC＝3AO．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PBC是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的点P坐标；若不存在，请说明理由．
6．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象交x轴于点A、B，交y轴于点C，其顶点为D，已知AB＝4，∠ABC＝45°，OA：OB＝1：3．
（1）求二次函数的表达式及其顶点D的坐标；
（2）点M是线段BC上方抛物线上的一个动点，点N是线段BC上一点，当△MBC的面积最大时，求：
①点M的坐标，说明理由；
②MN+BN的最小值 ；
（3）在二次函数的图象上是否存在点P，使得以点P、A、C为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．
7．如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．M为线段OB上的一个动点，过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC于点Q．
（1）求抛物线的表达式；
（2）试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
8．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，且与y轴相交于点C，直线l是抛物线的对称轴．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）设点P是直线l上的一个动点，当点P到点A、点C的距离之和最短时，求点P的坐标；
（3）点M也是直线l上的动点，且△MAC为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．
9．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D．
（1）求抛物线及直线AC的函数表达式；
（2）在抛物线对称轴上是否存在一点M，使以A，N，M为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出M点的坐标．若不存在，请说明理由．
10．抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），顶点为D．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）求此抛物线顶点D的坐标和对称轴．
（3）探究对称轴上是否存在一点P，使得以P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的P点的坐标，若不存在，请说明理由．
11．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若M为抛物线对称轴上一动点，使得△MBC为直角三角形，请求出点M的坐标．
（3）如图1，P为直线BC上方的抛物线上一点，PD∥y轴交BC于D点，过点D作DE⊥AC于E点．设m＝PD+DE，求m的最大值及此时P点坐标．
12．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A和B（5，0），与y轴交于点C（0，5）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴与x轴交于点M，与BC交于点F，点D是对称轴上一点，当点D关于直线BC的对称点E在抛物线上时，求点E的坐标；
（3）点P在抛物线的对称轴上，点Q在直线BC上方的抛物线上，是否存在以O，P，Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
13．已知如图1，在以O为原点的平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，﹣1），连接AC，AO＝2CO，直线l过点G（0，t）且平行于x轴，t＜﹣1．
（1）求抛物线对应的二次函数的解析式；
（2）若D（﹣4，m）为抛物线y＝x2+bx+c上一定点，点D到直线l的距离记为d，当d＝DO时，求t的值．
（3）如图2，若E（﹣4，m）为上述抛物线上一点，在抛物线上是否存在点F，使得△BEF是直角三角形，若存在求出点F的坐标，若不存在说明理由．
14．如图①，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于O、A两点，直线y＝﹣x+3与y轴交于B点，与该抛物线交于A，D两点，已知点D横坐标为﹣1．（1）求这条抛物线的解析式；
（2）如图①，在线段OA上有一动点H（不与O、A重合），过H作x轴的垂线分别交AB于P点，交抛物线于Q点，若x轴把△POQ分成两部分的面积之比为1：2，请求出H点的坐标；
（3）如图②，在抛物线上是否存在点C，使△ABC为直角三角形？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
15．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA＝OC＝3，顶点为D．
（1）求此函数的关系式；
（2））在AC下方的抛物线上有一点N，过点N作直线l∥y轴，交AC与点M，当点N坐标为多少时，线段MN的长度最大？最大是多少？
（3）在对称轴上有一点K，在抛物线上有一点L，若使A，B，K，L为顶点形成平行四边形，求出K，L点的坐标．
（4）在y轴上是否存在一点E，使△ADE为直角三角形，若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，说明理由．
16．如图1，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M，请问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
17．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，点A在x轴上，点B在y轴上，点C（3，1），二次函数y＝x2+bx﹣的图象经过点C．
（1）求二次函数的解析式，并把解析式化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）把△ABC沿x轴正方向平移，当点B落在抛物线上时，求△ABC扫过区域的面积；
（3）在抛物线上是否存在异于点C的点P，使△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形？如果存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
18．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ，当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状并说明理由；
（3）点N坐标为（0，2），点M在抛物线上，且∠NBM＝45°，直接写出点M坐标；
（4）如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且∠DQE＝2∠ODQ．在y轴上是否存在点F，使得△BEF为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．
19．如图，已知直线y＝3x﹣3分别交x轴，y轴于A、B两点，抛物线y＝x2+bx+c经过A、B两点，点C是抛物线与x轴的另一个交点（与A点不重合）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上求一点P，使△ABP的周长最小，并求出最小周长和P点的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使△ABM为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求出点M的坐标．
20．如图，已知直线y＝3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，过A，B两点的抛物线交x轴于另一点C（3，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△ABP是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．
（3）在抛物线上求一点Q，使得△ACQ为以AC为底边的等腰三角形，并写出Q点的坐标；
（4）除（3）中所求的Q点外，在抛物线上是否还存在其它的点Q使得△ACQ为等腰三角形？若存在，请求出一共有几个满足条件的点Q（要求简要说明理由，但不证明）；若不存在这样的点Q，请说明理由．
21．如图，抛物线交x轴于A（﹣2，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），连接AC，BC．M为线段OB上的一个动点，过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC于点Q．
（1）求抛物线的表达式；
（2）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．设M点的坐标为M（m，0），请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？
（3）试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
22．如图，抛物线y＝ax2+x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y＝﹣x﹣2经过点A，C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交直线AC于点M，设点P的横坐标为m．
①当△PCM是直角三角形时，求点P的坐标；
②作点B关于点C的对称点B'，则平面内存在直线l，使点M，B，B′到该直线的距离都相等．当点P在y轴右侧的抛物线上，且与点B不重合时，请直接写出直线l：y＝kx+b的解析式．（k，b可用含m的式子表示）
23．如图，直线y＝x+3与x轴交于点A，与y 轴交于点C，抛物线y＝﹣x2﹣2x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．
（1）如图①，连接BC，在y轴上存在一点D，使得△BCD是以BC为底的等腰三角形，求点D的坐标；
（2）如图②，在抛物线上是否存在点E，使△EAC是以AC为底的等腰三角形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图③，连接BC，在直线AC上是否存在点F，使△BCF是以BC为腰的等腰三角形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）如图④，若抛物线的顶点为H，连接AH，在x轴上是否存在一点K，使△AHK是等腰三角形？若存在，求出点K的坐标；若不存在，请说明理由；
（5）如图⑤，在抛物线的对称轴上是否存在点G，使△ACG是等腰三角形？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．