专题60 二次函数背景下的特殊平行四边形存在性问题（讲+练）-备战2023年中考数学解题大招复习讲义（全国通用）

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要求证平行四边形的存在，得先了解平行四边形的性质：
（1）对应边平行且相等. （2）对角线互相平分．
这是图形的性质，我们现在需要的是将其性质运用在在坐标系中：
（1）对边平行且相等可转化为：，
可以理解为点B移动到点A，点C移动到点D，移动路径完全相同．
（2）对角线互相平分转化为：，可以理解为AC的中点也是BD的中点．
【小结】虽然由两个性质推得的式子并不一样，但其实可以化为统一：，
→．
当AC和BD为对角线时，结果可简记为：（各个点对应的横纵坐标相加）
以上是对于平行四边形性质的分析，而我们要求证的是平行四边形存在性问题，此处当有一问：若坐标系中的4个点A、B、C、D满足“A+C=B+D”，则四边形ABCD是否一定为平行四边形？
反例如下：
之所以存在反例是因为“四边形ABCD是平行四边形”与“AC、BD中点是同一个点”并不是完全等价的转化，故存在反例．
虽有反例，但并不影响运用此结论解题，另外，还需注意对对角线的讨论：
（1）四边形ABCD是平行四边形：AC、BD一定是对角线．
（2）以A、B、C、D四个点为顶点是四边形是平行四边形：对角线不确定需要分类讨论．
【题型分类】
三定一动
已知A（1，2）B（5，3）C（3，5），在坐标系内确定点D使得以A、B、C、D四个点为顶点的四边形是平行四边形．

思路1：利用对角线互相平分，分类讨论：
设D点坐标为（m，n），又A（1，2）B（5，3）C（3，5），可得：
（1）BC为对角线时，，可得；
（2）AC为对角线时，，解得；
（3）AB为对角线时，，解得．
当然，如果对这个计算过程非常熟悉的话，也不用列方程解，直接列算式即可．
比如：，，．（此处特指点的横纵坐标相加减）
2.两定两动
已知A（1，1）、B（3，2），点C在x轴上，点D在y轴上，且以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求C、D坐标．
【分析】
设C点坐标为（m，0），D点坐标为（0，n），又A（1，1）、B（3，2）．
（1）当AB为对角线时，，解得，故C（4，0）、D（0，3）；
（2）当AC为对角线时，，解得，故C（2，0）、D（0，-1）；
（3）当AD为对角线时，，解得，故C（-2，0）、D（0，1）．
【动点综述】
“三定一动”的动点和“两定两动”的动点性质并不完全一样，“三定一动”中动点是在平面中，横纵坐标都不确定，需要用两个字母表示，这样的我们姑且称为“全动点”，而有一些动点在坐标轴或者直线或者抛物线上，用一个字母即可表示点坐标，称为“半动点”．
从上面例子可以看出，虽然动点数量不同，但本质都是在用两个字母表示出4个点坐标．若把一个字母称为一个“未知量”也可理解为：全动点未知量=半动点未知量×2．
找不同图形的存在性最多可以有几个未知量，都是根据图形决定的，像平行四边形，只能有2个未知量．究其原因，在于平行四边形两大性质：
（1）对边平行且相等；
（2）对角线互相平分．
但此两个性质统一成一个等式： ，
两个等式，只能允许最多存在两个未知数，即我们刚刚所讲的平行四边形存在性问题最多只能存在2个未知量．
由图形性质可知未知量，由未知量可知动点设计，由动点设计可化解问题．
例题精讲
考点一：二次函数背景下的平行四边形存在性问题
【例1】．如图，抛物线y＝ax2+bx+6与x轴交于A（2，0），B（﹣6，0）两点．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点P是抛物线上一点，点Q是抛物线对称轴上一点，是否存在点P，使得以B、Q、C、P为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）将点A（2，0），B（﹣6，0）代入抛物线y＝ax2+bx+6得：
，
解得，
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2﹣2x+6；
（2）存在点P，使得以B、Q、C、P为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
∵y＝﹣x2﹣2x+6＝﹣（x+2）2+8，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣2，
在y＝﹣x2﹣2x+6中，令x＝0得y＝6，
∴C（0，6），
设P（m，﹣m2﹣2m+6），Q（﹣2，t），
又B（﹣6，0），
①以CP，QB为对角线，则CP，QB的中点重合，
∴，
解得，
∴P（﹣8，﹣10）；
②以CQ，PB为对角线，则CQ，PB中点重合，
∴，
解得，
∴P（4，﹣10）；
③以CB，PQ为对角线，则CB，PQ中点重合，
∴，
解得，
∴P（（﹣4，6）；
综上所述，点P的坐标为（﹣4，6）或（﹣8，﹣10）或（4，﹣10）．
变式训练
【变1-1】．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝（m﹣1）x2﹣（3m﹣4）x﹣3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是经过（1，0）且与y轴平行的直线，点P是抛物线上的一点，点Q是y轴上一点；
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）若以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标；
（3）若tan∠PCB＝，求点P的坐标．
解：（1）当y＝0时，（m﹣1）x2﹣（3m﹣4）x﹣3＝0，
解得x1＝，x2＝3，即A（，0）B（3，0），
由A，B关于x＝1对称，得
＝﹣1，解得m＝2，
即A（﹣1，0），
函数解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）由四边形ABPQ是平行四边形，得
PQ∥AB，PQ＝AB＝4，
当PQ＝4，即x＝4时，y＝5，即P（4，5）；
当x＝﹣4时，y＝21，即P（﹣4，21），
AB为对角线，A（﹣1，0），B（3，0），
设P（a，a2﹣2a﹣3），Q（0，n），则
，
解得，
P（2，﹣3）．
综上所述：四边形ABPQ是平行四边形P（4，5），（﹣4，21），（2，﹣3）；
（3）如图
，
过P作PQ⊥x轴于Q，交CB延长线于R，过P作PH⊥BC于H，
设P（m，m2﹣2m﹣3），
∵抛物线y＝x2﹣4x+3与坐标轴交于A，B，C三点，
∴x＝0，则y＝﹣3；
y＝0，则0＝x2﹣4x+3，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
故A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），
设直线BC的解析式为：y＝kx+b，
则，
解得：，
故直线BC解析式：y＝x﹣3，
∴R（m，m﹣3），PR＝m2﹣2m﹣3﹣（m﹣3）＝m2﹣3m，
∵OB＝OC＝3，
∴∠CBQ＝135°，
∴∠HPR＝45°，
∵CO＝OB，
∴∠OCR＝45°，
∴CR＝OQ＝m，
∴PH＝RH＝PR÷＝m（m﹣3），
又∵CR＝OQ＝m，
∴CH＝m+m（m﹣3）＝m（m﹣1）
由tan∠PCB＝＝＝，
解得：m＝5，
则m2﹣2m﹣3＝12，
故P（5，12）．
当点P在直线BC的下方时，同法可得：＝，
解得m＝或0（舍弃），
∴P（，﹣），
综上所述，满足条件点P坐标为（5，12）或（，﹣）．
考点二：二次函数背景下的菱形存在性问题
【例2】．如图，抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于A（3，0），B（﹣1，0）两点，交y轴于点C，动点P在抛物线的对称轴上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当以P，B，C为顶点的三角形周长最小时，求点P的坐标及△PBC的周长；
（3）若点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于A（3，0），B（﹣1，0）两点，
∴，
解得：，
∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）在y＝﹣x2+2x+3中，令x＝0，得y＝3，
∴C（0，3），
∵△PBC的周长为：PB+PC+BC，BC是定值，
∴当PB+PC最小时，△PBC的周长最小．
如图1，点A、B关于对称轴l对称，连接AC交l于点P，则点P为所求的点．
∵AP＝BP，
∴△PBC周长的最小值是AC+BC，
∵A（3，0），B（﹣1，0），C（0，3），
∴AC＝3，BC＝．
∴△PBC周长的最小值是：3+．
抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，
设直线AC的解析式为y＝kx+c，将A（3，0），C（0，3）代入，得：
，
解得：，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3，
∴P（1，2）；
（3）存在．
设P（1，t），Q（m，n）
∵A（3，0），C（0，3），
则AC2＝32+32＝18，
AP2＝（1﹣3）2+t2＝t2+4，
PC2＝12+（t﹣3）2＝t2﹣6t+10，
∵四边形ACPQ是菱形，
∴分三种情况：以AP为对角线或以AC为对角线或以CP为对角线，
①当以AP为对角线时，则CP＝CA，如图2，
∴t2﹣6t+10＝18，
解得：t＝3±，
∴P1（1，3﹣），P2（1，3+），
∵四边形ACPQ是菱形，
∴AP与CQ互相垂直平分，即AP与CQ的中点重合，
当P1（1，3﹣）时，
∴＝，＝，
解得：m＝4，n＝﹣，
∴Q1（4，﹣），
当P2（1，3+）时，
∴＝，＝，
解得：m＝4，n＝，
∴Q2（4，），
②以AC为对角线时，则PC＝AP，如图3，
∴t2﹣6t+10＝t2+4，
解得：t＝1，
∴P3（1，1），
∵四边形APCQ是菱形，
∴AC与PQ互相垂直平分，即AC与CQ中点重合，
∴＝，＝，
解得：m＝2，n＝2，
∴Q3（2，2），
③当以CP为对角线时，则AP＝AC，如图4，
∴t2+4＝18，
解得：t＝±，
∴P4（1，），P5（1，﹣），
∵四边形ACQP是菱形，
∴AQ与CP互相垂直平分，即AQ与CP的中点重合，
∴＝，＝，
解得：m＝﹣2，n＝3，
∴Q4（﹣2，3+），Q5（﹣2，3﹣），
综上所述，符合条件的点Q的坐标为：Q1（4，﹣），Q2（4，），Q3（2，2），Q4（﹣2，3+），Q5（﹣2，3﹣）．
变式训练
【变2-1】．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣1（a≠0）交x轴于A，B（1，0）两点，交y轴于点C，一次函数y＝x+3的图象交坐标轴于A，D两点，E为直线AD上一点，作EF⊥x轴，交抛物线于点F
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点F位于直线AD的下方，请问线段EF是否有最大值？若有，求出最大值并求出点E的坐标；若没有，请说明理由；
（3）在平面直角坐标系内存在点G，使得G，E，D，C为顶点的四边形为菱形，请直接写出点G的坐标．
解：（1）将y＝0代入y＝x+3，得x＝﹣3．
∴点A的坐标为（﹣3，0）．
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣x 1）（x﹣x 2），点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（1，0），
∴y＝a（x+3）（x﹣1）．
∵点C的坐标为（0，﹣1），
∴﹣3a＝﹣1，得a＝，
∴抛物线的解析式为y＝x 2+x﹣1；
（2）设点E的坐标为（m，m+3），线段EF的长度为y，
则点F的坐标为（m，m 2+m﹣1）
∴y＝（m+3）﹣（ m 2+m﹣1）＝﹣ m 2+m+4
即y＝（m﹣） 2+，
此时点E的坐标为（，）；
（3）点G的坐标为（2，1），（﹣2，﹣2﹣1），（2，2﹣1），（﹣4，3）．
理由：①如图1，当四边形CGDE为菱形时．
∴EG垂直平分CD
∴点E的纵坐标y＝＝1，
将y＝1代入y＝x+3，得x＝﹣2．
∵EG关于y轴对称，
∴点G的坐标为（2，1）；
②如图2，当四边形CDEG为菱形时，以点D为圆心，DC的长为半径作圆，交AD于点E，可得DC＝DE，构造菱形CDEG
设点E的坐标为（n，n+3），
点D的坐标为（0，3）
∴DE＝＝∵DE＝DC＝4，
∴＝4，解得n1＝﹣2，n2＝2．
∴点E的坐标为（﹣2，﹣2+3）或（2，2+3）
将点E向下平移4个单位长度可得点G，
点G的坐标为（﹣2，﹣2﹣1）（如图2）或（2，2﹣1）（如图3）
③如图4，“四边形CDGE为菱形时，以点C为圆心，以CD的长为半径作圆，交直线AD于点E，
设点E的坐标为（k，k+3），点C的坐标为（0，﹣1）．
∴EC＝＝．
∵EC＝CD＝4，
∴2k2+8k+16＝16，
解得k1＝0（舍去），k2＝﹣4．
∴点E的坐标为（﹣4，﹣1）
将点E上移4个单位长度得点G．
∴点G的坐标为（﹣4，3）．
综上所述，点G的坐标为（2，1），（﹣2，﹣2﹣1），（2，2﹣1），（﹣4，3）．
考点三：二次函数背景下的矩形存在性问题
【例3】．综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c（a≠0）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接BC，OA＝1，对称轴为直线x＝2，点D为此抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上C、D两点之间的距离是 2 ；
（3）点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE，求△BCE面积的最大值；
（4）点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标．
解：（1）∵OA＝1，
∴A（﹣1，0），
又∵对称轴为x＝2，
∴B（5，0），
将A，B代入解析式得：
，
解得，
∴，自变量x为全体实数；
（2）由（1）得：C（0，），D（2，），
∴CD＝，
故答案为2；
（3）∵B（5，0），C（0，），
∴直线BC的解析式为：，
设E（x，），且0＜x＜5，
作EF∥y轴交BC于点F，
则F（x，），
∴EF＝﹣（）＝，
∴，
当x＝时，S△BCE有最大值为；
（4）设P（2，y），Q（m，n），
由（1）知B（5，0），C（0，），
若BC为矩形的对角线，
由中点坐标公式得：，
解得：，
又∵∠BPC＝90°，
∴PC2+PB2＝BC2，
即：，
解得y＝4或y＝﹣，
∴n＝或n＝4，
∴Q（3，）或Q（3，4），
若BP为矩形的对角线，
由中点坐标公式得，
解得，
又∵∠BCP＝90°，
BC2+CP2＝BP2，
即：，
解得y＝，
∴Q（7，4），
若BQ为矩形的对角线，
由中点坐标公式得，
解得：，
又∵∠BCQ＝90°，
∴BC2+CQ2＝BQ2，
即：，
解得n＝，
∴Q（﹣3，﹣），
综上，点Q的坐标为（3，）或（3，4），或（7，4）或（﹣3，﹣）．
变式训练
【变3-1】．如图1，若二次函数y＝﹣x2+3x+4的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接AC、BC．
（1）求三角形ABC的面积；
（2）若点P是抛物线在一象限内BC上方一动点，连接PB、PC，是否存在点P，使四边形ABPC的面积为18，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；
（3）如图2，若点Q是抛物线上一动点，在平面内是否存在点K，使以点B、C、Q、K为顶点，BC为边的四边形是矩形？若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）令x＝0，则y＝4，
∴C（0，4），
令y＝0，则﹣x2+3x+4＝0，
解得x＝4或x＝﹣1，
∴A（﹣1，0），B（4，0），
∴AB＝5，
∴S△ABC＝×5×4＝10；
（2）存在，理由如下：
∵四边形ABPC的面积为18，S△ABC＝10，
∴△BCP的面积为8，
设直线BC的解析式为y＝kx+4，将点B（4，0）代入，得k＝﹣1，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4，
过P点作PM⊥x轴，交BC于点M，
设P（t，﹣t2+3t+4），则M（t，﹣t+4），
∴S△BCP＝×4×PM＝2（﹣t2+3t+4+t﹣4）＝2（﹣t2+4t）＝8，
∴t＝2，
∴P（2，6）；
（3）存在，理由如下：
设Q（m，﹣m2+3m+4），
当m＞0时，如图1，
∵矩形是以BC为边，
∴QK∥BC，CQ⊥BC，KB⊥BC，
过点Q作QH⊥y轴交H点，过K作KG⊥x轴交G点，
∵CQ＝BK，∠OCB＝∠OBC＝45°，
∴∠HCQ＝∠GBK＝45°，
∴△CHQ≌△BGK（AAS），
∴HC＝HQ＝BG＝GK，
∴m＝﹣m2+3m+4﹣4，
∴m＝2或m＝0（舍），
∴HQ＝2，
∴K（6，2）；
当m＜0时，如图2，
∵矩形是以BC为边，
∴QK∥BC，KC⊥BC，BQ⊥BC，
设KC与x轴的交点为F，BQ与y轴的交点为H，
过点Q作QG⊥y轴交G点，过K作KE⊥x轴交E点，
∵∠OCB＝∠OBC＝45°，
∴∠OBH＝∠OHB＝45°，∠FCO＝∠CFO＝45°，
∴OF＝OC＝OB＝OH＝4，∠HQG＝∠EFK＝45°，
∵KC＝BQ，CF＝HB，
∴FK＝QH，
∴△QHG≌△KFE（AAS），
∴QG＝HG＝EF＝EK，
∴﹣m＝﹣4﹣（﹣m2+3m+4），
∴m＝﹣2或m＝4（舍），
∴GQ＝2，
∴K（﹣6，﹣2）；
综上所述，K点的坐标为（﹣6，﹣2）或（6，2）．
考点四：二次函数背景下的正方形存在性问题
【例4】．已知O为坐标原点，抛物线y＝x2﹣3x﹣4与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），有点C（﹣2，6）．
（1）求A，B两点的坐标．
（2）若点D（1，﹣3），点E在线段OA上，且∠ACB＝∠ADE，延长ED交y轴于点F，求△EFO的面积．
（3）若M在直线AC上，点Q在抛物线上，是否存在点M和点N，使以Q，M，N，A为顶点的四边形是正方形？若存在，直接写出M点的坐标．若不存在，请说明理由．
解：（1）令x2﹣3x﹣4＝0，解得x＝4或x＝﹣1，
∵A（4，0），B（﹣1，0）；
（2）过点B作BG⊥AC，过点E作EH⊥OA，
设E（m，0），
∵C（﹣2，6），D（1，﹣3），
AC＝6，AD＝3，BC＝，
由△ABC的面积可得，5×6＝6BG，
∴BG＝，
由△ADE的面积可得，3|4﹣m|＝3EH，
∴EH＝|4﹣m|，
∵∠ACB＝∠ADE
∴＝，
∴＝，
∴2m2﹣41m+57＝0，
∴m＝或m＝19，
∵点E在线段OA上，
∴E（，0），
则ED的直线解析式为y＝6x﹣9，
∴F（0，﹣9），
∴△EFO的面积＝×OE×OF＝××9＝；
（3）直线AC的解析式为y＝﹣x+4，
∴∠CAO＝45°，
设M（t，﹣t+4），
如图1：当AC为正方形QAMN边时，M点与N点关于x轴对称，
∴N（t，t﹣4），
∴M、N的中点为（t，0），
∴A、Q中点也为（t，0），
∴Q（2t﹣4，0），
∵点Q在抛物线上，
∴2t﹣4＝﹣1，
∴t＝，
∴M（，）；
如图2：当M、Q关于x轴对称时，M（0，4），此时Q（0，﹣4）在抛物线上；
如图3：当Q（0，﹣4）时，M（8，﹣4）；
如图4：当Q（﹣1，0）时，M（﹣1，5）；
综上所述：M（，）或M（0，4）或M（8，﹣4）或M（﹣1，5）．
变式训练
【变4-1】．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，且与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DE交x轴于点E，连接BD．
（1）求经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式；
（2）点Q在该抛物线的对称轴上，若△BCQ是以BC为直角边的直角三角形，求点Q的坐标；
（3）若P为BD的中点，过点P作PF⊥x轴于点F，G为抛物线上一动点，M为x轴上一动点，N为直线PF上一动点，当以F、M、N、G为顶点的四边形是正方形时，请求出点M的坐标．
解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，
∴，
解得，，
∴经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+2x+3．
（2）如图1，连接BC，CD．
由题意，C（0，3），B（3，0），
∴OB＝OC＝3，
∵∠BOC＝90°，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°
∵y＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线顶点D的坐标为（1，4），
∵△BCQ是以BC为直角边的直角三角形，
当∠Q′BC＝90′时，∠ABQ′＝45°，
∴EB＝EQ′＝2，
∴Q′（1，﹣2），
当∠QCB＝90°时，此时点Q与点D重合，Q（1，4），
综上所述，满足条件的点Q的坐标为（1，4）或（1，﹣2）．
（3）如图2中，设点M的坐标为（a，0），则点G的坐标为（a，﹣a2+2a+3），
∵以F、M、N、G为顶点的四边形是正方形，
∴FM＝MG，即|2﹣a|＝|﹣a2+2a+3|，
当2﹣a＝﹣a2+2a+3时，
整理得，a2﹣3a﹣1＝0，
解得，a＝，
当2﹣a＝﹣（﹣a2+2a+3）时，
整理得，a2﹣a﹣5＝0，
解得，a＝，
∴当以F、M、N、G为顶点的四边形是正方形时，点M的坐标为（，0），（，0），（，0），（，0）．

1．综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣4交x轴于A，B两点，交y轴于点C，且OA＝2OC＝8OB，点P是第三象限内抛物线上的一动点，连接AC，过点P作PE∥y轴，与AC交于点E．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）当PC∥AB时，求点P的坐标；
（3）用含x的代数式表示PE的长，并求出当PE的长取最大值时对应的点P的坐标；
（4）在（3）的条件下，平面内是否存在点Q，使以A、P、C、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
解：（1）令x＝0，则y＝﹣4，
∴C（0，﹣4），
∴OC＝4，
∵OA＝2OC＝8OB，
∴OA＝8，OB＝1，
∴A（﹣8，0），B（1，0），
将A、B代入y＝ax2+bx﹣4，得
，
∴，
∴y＝x2+x﹣4；
（2）当PC∥AB时，P点的纵坐标为﹣4，
∴x2+x﹣4＝﹣4，
∴x＝0或x＝﹣7，
∵P点在第三象限，
∴P（﹣7，﹣4）；
（3）设AC的直线解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝﹣x﹣4，
设P（x，x2+x﹣4），则E（x，﹣x﹣4），
∴PE＝﹣x﹣4﹣（x2+x﹣4）＝﹣x2﹣4x＝﹣（x+4）2+8，
∴当x＝﹣4时，PE有最大值8，
此时P（﹣4，﹣10）；
（4）存在点Q，使得以A、P、C、Q为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
设Q（m，n），
①当AC为对角线时，AC的中点为（﹣4，﹣2），PQ的中点为（，），
∴﹣4＝，﹣2＝，
∴m＝﹣4，n＝6，
∴Q（﹣4，6）；
②当AP为对角线时，AP的中点为（﹣6，﹣5），CQ的中点为（，），
∴﹣6＝，﹣5＝，
∴m＝﹣12，n＝﹣6，
∴Q（﹣12，﹣6）；
③当AQ为对角线时，AQ的中点为（，），CP的中点为（﹣2，﹣7），
∴＝﹣2，＝﹣7，
∴m＝4，n＝﹣14，
∴Q（4，﹣14）；
综上所述：以A、P、C、Q为顶点的四边形是平行四边形时，Q点坐标为（﹣4，6）或（﹣12，﹣6）或（4，﹣14）．
2．如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象交x轴于点A（﹣3，0），B（1，0），交y轴于点 C．点P（m，0）是x轴上的一动点，PM⊥x轴，交直线AC于点M，交抛物线于点N．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）①若点P仅在线段AO上运动，如图，求线段MN的最大值；
②若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）把A（﹣3，0），B（1，0）代入y＝x2+bx+c中，得，
解得，
∴y＝x2+2x﹣3．
（2）①设直线AC的表达式为y＝kx+b，把A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入y＝kx+b′．得，
解得，
∴y＝﹣x﹣3，
∵点P（m，0）是x轴上的一动点，且PM⊥x轴．
∴M（m，﹣m﹣3），N（m，m2+2m﹣3），
∴MN＝（﹣m﹣3）﹣（m2+2m﹣3）＝﹣m2﹣3m＝﹣（m+）2+，
∵a＝﹣1＜0，
∴此函数有最大值．
又∵点P在线段OA上运动，且﹣3＜﹣＜0，
∴当m＝﹣时，MN有最大值．
②如图2﹣1中，当点M在线段AC上，MN＝MC，四边形MNQC是菱形时．
∵MN＝﹣m2﹣3m，MC＝﹣m，
∴﹣m2﹣3m＝﹣m，
解得m＝﹣3+或0（舍弃）
∴MN＝3﹣2，
∴CQ＝MN＝3﹣2，
∴OQ＝3+1，
∴Q（0，﹣3﹣1）．
如图2﹣2中，当MC是菱形的对角线时，四边形MNCQ是正方形，此时CN＝MN＝CQ＝2，可得Q（0，﹣1）．
如图2﹣3中，当点M在CA延长线上时，MN＝CM，四边形MNQC是菱形时，
则有，m2+3m＝﹣m，
解得m＝﹣3﹣或0（舍弃），
∴MN＝CQ＝3+2，
∴OQ＝CQ﹣OC＝3﹣1，
∴Q（0，3﹣1）．
当点P在y轴的右侧时，显然MN＞CM，此时满足条件的菱形不存在．
综上所述，满足条件的点Q的坐标为（0，﹣3﹣1）或（0，﹣1）或（0，3﹣1）．
3．如图，抛物线y＝ax2+2x+c的对称轴是直线x＝1，与x轴交于点A，B（3，0），与y轴交于点C，连接AC．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）已知点D是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D作DM⊥x轴，垂足为点M，DM交直线BC于点N，是否存在这样的点N，使得以A，C，N为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出点N的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）已知点E是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点F，使以点B、C、E、F为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）抛物线y＝ax2+2x+c的对称轴是直线x＝1，与x轴交于点A，B（3，0），
∴A（﹣1，0），
∴，解得，
∴抛物线的解析式y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵y＝﹣x2+2x+3，
∴C（0，3），
设直线BC的解析式为y＝kx+3，
将点B（3，0）代入得：0＝3k+3，
解得：k＝﹣1，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3；
设点D坐标为（t，﹣t2+2t+3），则点N（t，﹣t+3），
∵A（﹣1，0），C（0，3），
∴AC2＝12+32＝10，
AN2＝（t+1）2+（﹣t+3）2＝2t2﹣4t+10，
CN2＝t2+（3+t﹣3）2＝2t2，
①当AC＝AN时，AC2＝AN2，
∴10＝2t2﹣4t+10，
解得t1＝2，t2＝0（不合题意，舍去），
∴点N的坐标为（2，1）；
②当AC＝CN时，AC2＝CN2，
∴10＝2t2，
解得t1＝，t2＝﹣（不合题意，舍去），
∴点N的坐标为（，3﹣）；
③当AN＝CN时，AN2＝CN2，
∴2t2﹣4t+10＝2t2，
解得t＝，
∴点N的坐标为（，）；
综上，存在，点N的坐标为（2，1）或（，3﹣）或（，）；
（3）设E（1，a），F（m，n），
∵B（3，0），C（0，3），
∴BC＝3，
①以BC为对角线时，BC2＝CE2+BE2，
∴（3）2＝12+（a﹣3）2+a2+（3﹣1）2，
解得：a＝，或a＝，
∴E（1，）或（1，），
∵B（3，0），C（0，3），
∴m+1＝0+3，n+＝0+3或n+＝0+3，
∴m＝2，n＝或n＝，
∴点F的坐标为（2，）或（2，）；
②以BC为边时，BE2＝CE2+BC2或CE2＝BE2+BC2，
∴a2+（3﹣1）2＝12+（a﹣3）2+（3）2或12+（a﹣3）2＝a2+（3﹣1）2+（3）2，
解得：a＝4或a＝﹣2，
∴E（1，4）或（1，﹣2），
∵B（3，0），C（0，3），
∴m+0＝1+3，n+3＝0+4或m+3＝1+0，n+0＝3﹣2，
∴m＝4，n＝1或m＝﹣2，n＝1，
∴点F的坐标为（4，1）或（﹣2，1），
综上所述：存在，点F的坐标为（2，）或（2，）或（4，1）或（﹣2，1）．
4．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A，B两点，顶点为D，其中A（﹣4，0），B（4，0），设点F（m，0）是x轴的正半轴上一点，将抛物线C绕点F旋转180°，得到新的抛物线C'．
（1）求抛物线C的函数解析式；
（2）若抛物线C'与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，求m的取值范围；
（3）如图2，P是第一象限内抛物线C上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线C'上的对应点P'，设M是C上的动点，N是C'上的动点，试探究四边形PMP'N能否成为正方形？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．
解：（1）由题意把点A（﹣4，0），B（4，0），代入y＝﹣x2+bx+c中，
得：，
解得：，
∴抛物线C的函数解析式为：y＝﹣x2+8；
（2）如图1，由题意抛物线C′的顶点坐标为（2m，﹣8），
设抛物线C′的解析式为：y＝（x﹣2m）2﹣8，
由，
消去y得到：，
∵抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，
∴，
解得：，
∴满足条件的m的取值范围为：4＜m＜4；
（3）结论：四边形PMP'N能成为正方形．
理由：情形1，如图2，作PE⊥x轴于E，MH⊥x轴于H．
由题意易知P（4，4），
当△PFM是等腰直角三角形时，四边形PMP'N是正方形，
∴PF＝FM，∠PFM＝90°，
∵∠PEF＝∠FHM＝90°，
∴∠PFE+∠FPE＝90°，∠PFE+∠MFH＝90°，
在△PFE和△FMH中，
∴，
∴△PFE≌△FMH（AAS），
∴PE＝FH＝4，EF＝HM＝4﹣m，
∴M（m+4，m﹣4），
∵点M在y＝﹣x2+8上，
∴m﹣4＝﹣（m+4）2+8，
解得或（舍），
∴m＝﹣6+2时，四边形PMP'N是正方形．
情形2，如图，四边形PMP′N是正方形，同法可得M（m﹣4，4﹣m），
把M（m﹣4，4﹣m）代入y＝﹣x2+8中，4﹣m＝﹣（m﹣4）2+8，
解得m＝12或m＝0（舍去），
∴m＝12时，四边形PMP′N是正方形．
综上，四边形PMP′N能成为正方形，m＝﹣6+2或12．
5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣4（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）直线l为该抛物线的对称轴，点D与点C关于直线l对称，点F为直线AD下方抛物线上一动点，连接FA，FD，求△FAD面积的最大值；
（3）在（2）的条件下，将抛物线y＝ax2+bx﹣4（a≠0）沿射线AD平移4个单位，得到新的抛物线y1，点E为点F的对应点，点P为y1的对称轴上任意一点，在y1上确定一点Q，使得以点D，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标．
解：（1）将A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx﹣4得，
∴，
∴y＝x2﹣3x﹣4，
（2）当x＝0时，y＝﹣4，
∴点C（0，﹣4），
∵点D与点C关于直线l对称，且对称轴为直线x＝，
∴D（3，﹣4），
∵A（﹣1，0），
∴直线AD的函数关系式为：y＝﹣x﹣1，
设F（m，m2﹣3m﹣4），
作FH∥y轴交直线AD于H，
∴H（m，﹣m﹣1），
∴FH＝﹣m﹣1﹣（m2﹣3m﹣4）
＝﹣m2+2m+3，
∴S△AFD＝S△AFH+S△DFH＝＝2（﹣m2+2m+3）＝﹣2m2+4m+6，
当m＝﹣＝1时，S△AFD最大为8，
（3）∵直线AD与x轴正方向夹角为45°，
∴沿AD方向平移，实际可看成向右平移4个单位，再向下平移4个单位，
∵F（1，﹣6），
∴E（5，﹣10），
抛物线y＝x2﹣3x﹣4平移后y1＝x2﹣11x+20，
∴抛物线y1的对称轴为：直线x＝，
当DE为平行四边形的边时：
若D平移到对称轴上F点，
则Q的横坐标为，
代入y1＝x2﹣11x+20得y＝﹣，
∴Q（，﹣），
若E平移到对称轴上F点，
则Q的横坐标为，
代入y1＝x2﹣11x+20得y＝，
∴Q（，﹣），
若DE为平行四边形的对角线时，
若E平移到对称轴上F点，
则Q平移到D点，
∴Q的横坐标为，
代入y1＝x2﹣11x+20得y＝﹣，
∴Q（，﹣），
∴Q（）或Q（）或Q（）．
6．如图，直线y＝﹣x+4分别交x轴、y轴于A、C两点，抛物线y＝﹣x2+mx+4经过点A，且与x轴的另一个交点为点B．连接BC，过点C作CD∥x轴交抛物线于点D
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点E是抛物线上的点，求满足∠ECD＝∠BCO的点E的坐标；
（3）点M在y轴上且位于点C上方，点N在直线AC上，点P为第一象限内的抛物线上一点，若以点C、M、N、P为顶点的四边形是菱形，求菱形的边长．
解：（1）y＝﹣x+4，令x＝0，则y＝4，令y＝0，则x＝4，
则点A、C的坐标分别为（4，0）、（0，4），
将点A的坐标代入抛物线的表达式并解得：m＝3，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+3x+4…①，
令y＝0，则x＝﹣1或4，故点B（﹣1，0）；
（2）①当点E在CD上方时，
tan∠BCO＝＝，
则直线CE的表达式为：y＝x+4…②，
联立①②并解得：x＝0或（舍去0），
则点E（，）；
②当点E在CD下方时，
同理可得：点E′（，）；
故点E的坐标为E（，）或（，）；
（3）①如图2，当CM为菱形的一条边时，
过点P作PQ∥x轴，∵OA＝OC＝4，
∴∠PMQ＝∠CAO＝45°，
设点P（x，﹣x2+3x+4），
则PM＝PQ＝x，
C、M、N、P为顶点的四边形是菱形，则PM＝PN，
即：x＝﹣x2+3x+4﹣（﹣x+4），解得：x＝0或4﹣（舍去0），
故菱形边长为x＝4﹣2；
②如图3，当CM为菱形的对角线时，
同理可得：菱形边长为2；
故：菱形边长为4﹣2或2．
7．如图，已知直线y＝2x+n与抛物线y＝ax2+bx+c相交于A，B两点，抛物线的顶点是A（1，﹣4），点B在x轴上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M是y轴上一点，点N是坐标平面内一点，当以A、B、M、N为顶点的四边形是矩形时，求点M的坐标．
（3）在抛物线上是否存在点Q，使∠BAQ＝45°，若存在，请直接写出点Q的横坐标；若不存在，说明理由．
解：（1）将点A（1，﹣4）代入直线y＝2x+n得，
2+n＝﹣4，
∴n＝﹣6，
∴直线y＝2x﹣6，
当y＝0时，代入直线得：0＝2x﹣6，
解得：x＝3，
∴点B坐标（3，0），
设抛物线表达式为y＝a（x﹣1）2﹣4，将点B代入抛物线得，
0＝4a﹣4，
解得：a＝1，
∴抛物线表达式y＝（x﹣1）2﹣4；
（2）当以A、B、M、N为顶点的四边形是矩形时，有两种情况：
①如图，当AB为边时，
设点M（0，m），
已知点A（1，﹣4），点B（3，0）
∴MA2＝12+（m+4）2，AB2＝（1﹣3）2+（﹣4﹣0）2＝20，BM2＝32+m2，
∴MB2＝AM2+AB2，即12+（m+4）2+20＝32+m2，
解得m＝﹣，
即点M的坐标（0，﹣），
延长BN交y轴于点M′，作AG⊥y轴于G，BH⊥GA交GA的延长线于点H．
由△BOM′∽△BHA，可得＝，
∴＝，
∴OM′＝，
∴M′（0，），
②如图，当AB为对角线时，
取线段AB的中点P，作辅助圆⊙P，与y轴交于点M1，M2，作PG⊥y轴于点G，
点P坐标（，），即（2，﹣2），
由①可得线段AB＝＝2，
∴⊙P半径，
在Rt△PM1G中，PM1＝，PG＝2，
M1G＝＝1，
根据垂径定理可得，M2G＝1，
∴点M1坐标（0，﹣1），点M2坐标（0，﹣3）；
综上所述，当以A、B、M、N为顶点的四边形是矩形时，点M坐标为：（0，﹣）或（0，）或（0，﹣1）或（0，﹣3）；
（3）存在点Q的横坐标为﹣2或，使∠BAQ＝45°．
理由如下：假设存在满足条件的点Q，如图，
当四边形ADBC为正方形，且点Q1，Q2分别在直线AD和直线AC上时，∠BAQ＝45°，
设过线段AB中点P，且与线段AB垂直的直线：y＝﹣+b，
将点P（2，﹣2）代入得：﹣2＝﹣1+b，
解得b＝﹣1，
∴直线为y＝﹣，
设点C点坐标（n，﹣n﹣1），
在Rt△ABD中，∠BAQ＝45°，AB＝2，
sin45°＝，
解得BD＝，
∴BD＝＝，
解得n1＝0，n2＝4，
∴点C坐标（0，﹣1），点D坐标（4，﹣3），
设直线AD表达式为：y＝qx+p，将点A（1，﹣4），点D（4，﹣3）代入得，
，
解得，
∴直线AD的表达式为y＝﹣，
同理可得直线AC的表达式为y＝﹣3x﹣1，
联立直线AD与抛物线y＝（x﹣1）2﹣4可得，
﹣＝（x﹣1）2﹣4，
解得x1＝1，x2＝，
同理联立直线AC与抛物线可解得x3＝1，x4＝﹣2，
∴点Q的横坐标为﹣2或．
8．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c经过A、B、C三点，已知点A（﹣3，0），B（0，3），C（1，0）．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点，（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为F，交直线AB于点E，作PD⊥AB于点D．
①动点P在什么位置时，△PDE的周长最大，求出此时P点的坐标；
②连接PA，以AP为边作图示一侧的正方形APMN，随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点M或N恰好落在抛物线对称轴上时，求出对应的P点的坐标．（结果保留根号）
解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（0，3），C（1，0），
∴，
解得，
所以，抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）①∵A（﹣3，0），B（0，3），
∴OA＝OB＝3，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠BAO＝45°，
∵PF⊥x轴，
∴∠AEF＝90°﹣45°＝45°，
又∵PD⊥AB，
∴△PDE是等腰直角三角形，
∴PD越大，△PDE的周长越大，
易得直线AB的解析式为y＝x+3，
设与AB平行的直线解析式为y＝x+m，
联立，
消掉y得，x2+3x+m﹣3＝0，
当△＝32﹣4×1×（m﹣3）＝0，
即m＝时，直线与抛物线只有一个交点，PD最长，
此时x＝﹣，y＝﹣+＝，
∴点P（﹣，）时，△PDE的周长最大；
②抛物线y＝﹣x2﹣2x+3的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，
（i）如图1，点M在对称轴上时，过点P作PQ⊥对称轴于Q，
在正方形APMN中，AP＝PM，∠APM＝90°，
∴∠APF+∠FPM＝90°，∠QPM+∠FPM＝90°，
∴∠APF＝∠QPM，
∵在△APF和△MPQ中，
，
∴△APF≌△MPQ（AAS），
∴PF＝PQ，
设点P的横坐标为n（n＜0），则PQ＝﹣1﹣n，
即PF＝﹣1﹣n，
∴点P的坐标为（n，﹣1﹣n），
∵点P在抛物线y＝﹣x2﹣2x+3上，
∴﹣n2﹣2n+3＝﹣1﹣n，
整理得，n2+n﹣4＝0，
解得n1＝（舍去），n2＝，
﹣1﹣n＝﹣1﹣＝，
所以，点P的坐标为（，）；
（ii）如图2，点N在对称轴上时，设抛物线对称轴与x轴交于点Q，
∵∠PAF+∠FPA＝90°，∠PAF+∠QAN＝90°，
∴∠FPA＝∠QAN，
又∵∠PFA＝∠AQN＝90°，PA＝AN，
∴△APF≌△NAQ，
∴PF＝AQ，
设点P坐标为P（x，﹣x2﹣2x+3），
则有﹣x2﹣2x+3＝﹣1﹣（﹣3）＝2，
解得x＝﹣1（不合题意，舍去）或x＝﹣﹣1，
此时点P坐标为（﹣﹣1，2）．
综上所述，当顶点M恰好落在抛物线对称轴上时，点P坐标为（，），当顶点N恰好落在抛物线对称轴上时，点P的坐标为（﹣﹣1，2）．
9．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（1，0），B（3，0），C（0，6）三点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）抛物线的顶点M与对称轴l上的点N关于x轴对称，直线AN交抛物线于点D，点E为抛物线在直线AD下方的一个动点，连接AE、DE，问：△ADE的面积是否存在最大值？若存在，请求出面积的最大值和点E的坐标．若不存在，请说明理由．
（3）P为抛物线上的一动点，Q为对称轴上一动点，若以A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点P的坐标（至少写两个）．
解：（1）∵抛物线 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点 A（1，0），B（3，0），
∴设抛物线的解析式为 y＝a（x﹣1）（x﹣3），
把点 C（0，6）代入，
∴6＝a（0﹣1）（0﹣3），
∴a＝2，
∴y＝2（x﹣1）（x﹣3）＝2x2﹣8x+6，
∴抛物线解析式为y＝2x2﹣8x+6；
（2）∵y＝2x2﹣8x+6＝2（x﹣2）2﹣2，
∴顶点M的坐标为（2，﹣2），
∵抛物线的顶点M与对称轴l上的点N关于x轴对称，
∴点N（2，2），
设直线AN的解析式为：y＝kx+b，
由题意可得：，解得：，
∴直线AN解析式为：y＝2x﹣2，
联立y＝2x2﹣8x+6得：，
解得：，，
∴点D（4，6），
设△ADE的面积为S，点E（e，2e2﹣8e+6），
过点E作EF⊥x轴交直线AD于点F，则点F坐标为（e，2e﹣2），
∴EF＝（2e﹣2）﹣（2e2﹣8e+6）＝﹣2e2+10e﹣8，
∴S＝•EF•|Dx﹣Ax|＝×3×（﹣2e2+10e﹣8）＝﹣3（e2﹣5e﹣4）＝，
所以，当时，△ADE的面积，此时点E坐标为；
（3）由（2）知，A（1，0），D（4，6），
设Q（2，m），P（x，2x2﹣8x+6），
①以AD为对角线时，
∵以 A，D，P，Q 为顶点的四边形为平行四边形，
∴，解得：，
∴P（3，0）；
②以AP为对角线时，
∵以 A，D，P，Q 为顶点的四边形为平行四边形，
∴，解得：，
∴P（5，16）；
③以AQ为对角线时，
∵以 A，D，P，Q 为顶点的四边形为平行四边形，
∴，解得：，
∴P（﹣1，16）；
综上所述，当点 P 的坐标为 （5，16）或 （﹣1，16）或 （3，0）时，以 A，D，P，Q 为顶点的四边形为平行四边形．
10．如图，一次函数y＝x﹣图象与坐标轴交于点A、B，二次函数y＝x2+bx+c图象过A、B两点．
（1）求二次函数解析式；
（2）点B关于抛物线对称轴的对称点为点C，点P是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）在y＝x﹣中，令x＝0得y＝﹣，令y＝0得x＝3，
∴A（3，0），B（0，﹣），
∵二次函数y＝x2+bx+c图象过A、B两点，
∴，解得，
∴二次函数解析式为y＝x2﹣x﹣；
（2）存在，理由如下：
由二次函数y＝x2﹣x﹣可得其对称轴为直线x＝＝1，
设P（1，m），Q（n，n2﹣n﹣），而B（0，﹣），
∵C与B关于直线x＝1对称，
∴C（2，﹣），
①当BC、PQ为对角线时，如图：
此时BC的中点即是PQ的中点，即，
解得，
∴当P（1，﹣），Q（1，﹣）时，四边形BQCP是平行四边形，
由P（1，﹣），B（0，﹣），C（2，﹣）可得PB2＝＝PC2，
∴PB＝PC，
∴四边形BQCP是菱形，
∴此时Q（1，﹣）；
②BP、CQ为对角线时，如图：
同理BP、CQ中点重合，可得，
解得，
∴当P（1，0），Q（﹣1，0）时，四边形BCPQ是平行四边形，
由P（1，0），B（0，﹣），C（2，﹣）可得BC2＝4＝PC2，
∴四边形BCPQ是菱形，
∴此时Q（﹣1，0）；
③以BQ、CP为对角线，如图：
BQ、CP中点重合，可得，
解得，
∴P（1，0），Q（3，0）时，四边形BCQP是平行四边形，
由P（1，0），B（0，﹣），C（2，﹣）可得BC2＝4＝PC2，
∴四边形BCQP是菱形，
∴此时Q（3，0）；
综上所述，Q的坐标为：（1，﹣）或（﹣1，0）或（3，0）．
11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+x+4与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D．
（1）点B与点D的坐标；
（2）点P是第一象限内抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，设点P点的横坐标为m，且S△CDP＝S△ABC，求m的值；
（3）K是抛物线上一个动点，在平面直角坐标系中是否存在点H，使B、C、K、H为顶点的四边形成为矩形？若存在，直接写出点H的坐标；若不存在，说明理由．
解：（1）当y＝0时，由y＝﹣x2+x+4＝0，得x1＝﹣2，x2＝8，
∴A（﹣2，0），B（8，0）；
∵点D为线段AB的中点，
∴D（3，0）.
（2）如图1，作PG⊥x轴，交CD的延长线于点G，作PE⊥CD于点E，
∵抛物线y＝﹣x2+x+4＝0与y轴交于点C，
∴C（0，4），
∴CD＝＝5；
∵∠PEG＝∠DOC＝90°，∠G＝∠OCD，
∴＝sin∠DCO＝；
设直线CD的解析式为y＝kx+4，则3k+4＝0，解得k＝，
∴y＝x+4，
∴P（m，﹣m2+m+4），G（m，m+4），
∴PG＝﹣m2+m+4﹣（m+4）＝﹣m2+m，
∴PE＝（﹣m2+m）＝ m2+m，
∴×5（ m2+m）＝（8+2）×4，
整理，得3m2﹣34m+88＝0，
解得m1＝4，m2＝．
∴m的值为4或；
（3）存在．
①如图1，BC为矩形BKCH的对角线，连结KH交BC于点Q．
∵Q为BC的中点，
∴Q（4，2），
∴QK2＝QC2＝42+（4﹣2）2＝20，
∵K（m，﹣m2+m+4），
∴（m﹣4）2+（﹣m2+m+4﹣2）2＝20，
整理，得m4﹣12m3+36m2﹣32m＝0，即m2（m2﹣12m+32）+4m（m﹣8）＝0，
∴m（m﹣2）（m﹣8）＝0
解得m1＝2，m2＝0（不符合题意，舍去），m3＝8（不符合题意，舍去），
∴K（2，6），
∵点H与点K（2，6）关于点Q（4，2）对称，
∴H（6，﹣2）；
②如图3，作平行四边形ACBH．
∵∠AOC＝∠COB＝90°，＝，
∴△AOC∽△COB，
∴∠ACO＝∠CBO，
∴∠ACB＝∠ACO+∠OCB＝∠CBO+∠OCB＝90°，
∴当点K与点A重合时，四边形KCBH是矩形，
∵点H与点C（0，4）关于点D（3，0）对称，
∴H（6，﹣4）；
③如图4，作BK∥AC交抛物线于另一点K，作平行四边形BCHK，则四边形BCHK是矩形；
连结CK、BH交于点R．
设直线AC的解析式为y＝px+4，则﹣2p+4＝0，解得p＝2，
∴y＝2x+4；
设直线BK的解析式为y＝2x+q，则16+q＝0，解得q＝﹣16，
∴y＝2x﹣16．
由，得，，
∴K（﹣10，﹣36），
∴R（﹣5，﹣16），
∵点H与点B（8，0）关于点R（﹣5，﹣16）对称，
∴H（﹣18，﹣32）．
综上所述，点H的坐标为（6，﹣2）或（6，﹣4）或（﹣18，﹣32）．
12．如图1，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）与x轴交于点A，B．与y轴交于点C．连接AC，BC．已知△ABC的面积为2．
（1）求抛物线的解析式；
（2）平行于x轴的直线与抛物线从左到右依次交于P，Q两点．过P，Q向x轴作垂线，垂足分别为G，H．若四边形PGHQ为正方形，求正方形的边长；
（3）如图2，平行于y轴的直线交抛物线于点M，交x轴于点N（2，0）．点D是抛物线上A，M之间的一动点，且点D不与A，M重合，连接DB交MN于点E．连接AD并延长交MN于点F．在点D运动过程中，3NE+NF是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
解：（1）如图1，y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x2﹣2x﹣3）＝a（x﹣3）（x+1），
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∴AB＝4，
∵△ABC的面积为2，即，
∴，
∴OC＝1，
∴C（0，1），
将C（0，1）代入y＝ax2﹣2ax﹣3a，得：﹣3a＝1，
∴a＝﹣，
∴该二次函数的解析式为y＝﹣x2+x+1；
（2）分两种情况：
①当PQ在x轴的上方时，如图2，设点P的纵坐标为m，当y＝m时，﹣x2+x+1＝m，
解得：x1＝1+，x2＝1﹣，
∴点P的坐标为（1﹣，m），点Q的坐标为（1+，m），
∴点G的坐标为（1﹣，0），点H的坐标为（1+，0），
∵矩形PGHQ为正方形，
∴1+﹣（1﹣）＝m，
解得：m1＝﹣6﹣2（舍），m2＝﹣6+2；
②当PQ在x轴的下方时，m＜0，
同理可得m＝﹣6﹣2；
∴当四边形PGHQ为正方形时，边长为6+2或2﹣6；
（3）如图3，设点D（n，﹣n2+n+1），延长BD交y轴于K，
∵A（﹣1，0），
设AD的解析式为：y＝kx+b，
则，解得：，
∴AD的解析式为：y＝（﹣）x﹣，
当x＝2时，y＝﹣n+2﹣n+1＝﹣n+3，
∴F（2，3﹣n），
∴FN＝3﹣n，
同理得直线BD的解析式为：y＝（﹣）x+n+1，
∴K（0，n+1），
∴OK＝n+1，
∵N（2，0），B（3，0），
∴，
∵EN∥OK，
∴，
∴OK＝3EN，
∴3EN+FN＝OK+FN＝n+1+3﹣n＝4，
∴在点D运动过程中，3NE+NF为定值4．
13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），且A（﹣2，0），直线BC的解析式为y＝﹣+3．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点A作AD∥BC，交抛物线于点D，点E为直线BC上方抛物线上一动点，连接CE、EB、BD、DC，求四边形BECD面积的最大值及相应点E的坐标；
（3）将抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）向左平移2个单位，已知点M为抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）的对称轴上一动点，点N为平移后的抛物线上一动点．在（2）中，当四边形BECD的面积最大时，是否存在以A，E，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵直线BC的解析式为y＝﹣+3，
∴令y＝0，则x＝6，令x＝0，则y＝3，
∴点B、C的坐标分别为（6，0）、（0，3）；
∵A（﹣2，0），
∴代入抛物线得：，
解得：，
∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+3；
（2）∵AD∥BC，
∴设直线AD的表达式为：y＝﹣x+m，
将A（﹣2，0）代入直线AD即可求得：m＝﹣1，
∴直线AD：y＝﹣x﹣1，
设过点E与直线BC平行的直线：y＝﹣x+n，
∵四边形BECD面积最大值时，E点到直线BC的距离最远，即此时直线y＝﹣x+n与抛物线只有一个交点，
∴令y＝﹣x+n＝﹣x2+x+3，
化简得：x2﹣6x+4n﹣12＝0①，
由Δ＝36﹣4（4n﹣12）＝0得：n＝，
∴方程①的解为：x1＝x2＝3，
∴四边形BECD面积最大值时相应点E的坐标为（3，）；
（3）存在，理由：①当AE是平行四边形的对角线时，
∵y＝﹣（x+2）2+（x+2）+3＝﹣x2+4，
∴新抛物线的表达式为：y＝﹣x2+4，且原抛物线对称轴为直线x＝2，
∵点A、E的坐标分别为（﹣2，0）、（3，），
∴AE中点的坐标为（，），
设点M（2，t），点N（s，﹣t2+4），
则由中点公式得：＝，＝，
解得：s＝﹣1，t＝2+（负值舍去），
∴N（﹣1，2+）；
②当AE是平行四边形的边时，
设M（2，t'），点N（s'，﹣s'2+4），
则s'﹣2＝5，解得s'＝7，N（7，﹣），
s'﹣2＝﹣5，解得s'＝﹣3，N（﹣3，），
综上，点N的坐标为：（﹣1，2+）或（7，﹣）或（﹣3，）．
14．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点B坐标为（6，0），点C坐标为（0，6），点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接BD．
（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）点F是抛物线上的动点，当∠FBA＝∠BDE时，求点F的坐标；
（3）若点P是x轴上方抛物线上的动点，以PB为边作正方形PBFG，随着点P的运动，正方形的大小、位置也随着改变，当顶点F或G恰好落在y轴上时，请直接写出点P的横坐标．
解：（1）把点B坐标为（6，0），点C坐标为（0，6）代入抛物线y＝﹣x2+bx+c得：
，
解得：，
∴y＝﹣x2+2x+6＝﹣（x﹣2）2+8，
∴D（2，8）；
（2）如图1，过F作FG⊥x轴于点G，
设F（x，﹣x2+2x+6），则FG＝|﹣x2+2x+6|，
∵∠FBA＝∠BDE，∠FGB＝∠BED＝90°，
∴△FBG∽△BDE，
∴，
∵B（6，0），D（2，8），
∴E（2，0），BE＝4，DE＝8，OB＝6，
∴BG＝6﹣x，
∴，
当点F在x轴上方时，有6﹣x＝2（﹣+2x+6），
解得x＝﹣1或x＝6（舍去），
此时F点的坐标为（﹣1，）；
当点F在x轴下方时，有6﹣x＝2（），
解得x＝﹣3或x＝6（舍去），
此时F点的坐标为（﹣3，﹣）；
综上可知F点的坐标为（﹣1，）或（﹣3，﹣）；
（3）设P（m，），
有四种情况：
①如图2，当G在y轴上时，过P作PQ⊥y轴于Q，作PM⊥x轴于M，
∵四边形PBFG是正方形，
∴PG＝PB，
∵∠PQG＝∠PMB＝90°，∠QPG＝∠MPB，
∴△PQG≌△PMB，
∴PQ＝PM，
即m＝﹣m2+2m+6，
解得：m1＝1+，m2＝1﹣（舍），
∴P的横坐标为1+，
②当F在y轴上时，如图3，过P作PM⊥x轴于M，
同理得：△PMB≌△BOF，
∴OB＝PM＝6，
即﹣m2+2m+6＝6，
m1＝0（舍），m2＝4，
∴P的横坐标为4，
③当F在y轴上时，如图4，此时P与C重合，
此时P的横坐标为0，
④当G在y轴上时，如图5，过P作PM⊥x轴于M，作PN⊥y轴于N，
同理得：△GPN≌△BPM，
∴PN＝PM，
∴﹣m＝，
解得：m＝3±，
由图5可知：P在第二象限，
∴m＝3﹣，
此时P的横坐标为3﹣，
综上所述，点P的横坐标为1+或4或0或3﹣．
15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），经过点A的直线l：y＝kx+b与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC．
（1）直接写出点A的坐标，并用含a的式子表示直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）．
（2）点E为直线l下方抛物线上一点，当△ADE的面积的最大值为时，求抛物线的函数表达式；
（3）设点P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．
解：（1）令y＝0，则ax2﹣2ax﹣3a＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝3
∵点A在点B的左侧，
∴A（﹣1，0），
如图1，作DF⊥x轴于F，
∴DF∥OC，
∴＝，
∵CD＝4AC，
∴＝＝4，
∵OA＝1，
∴OF＝4，
∴D点的横坐标为4，
代入y＝ax2﹣2ax﹣3a得，y＝5a，
∴D（4，5a），
把A、D坐标代入y＝kx+b得，
解得，
∴直线l的函数表达式为y＝ax+a．
（2）如图2，过点E作EH∥y轴，交直线l于点H，
设E（x，ax2﹣2ax﹣3a），则H（x，ax+a）．
∴HE＝（ax+a）﹣（ax2﹣2ax﹣3a）＝﹣ax2+3ax+4a，
∴S△ADE＝S△AEH+S△DEH＝（﹣ax2+3ax+4a）＝﹣a（x﹣）2+a．
∴△ADE的面积的最大值为a，
∴a＝，
解得：a＝．
∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣x﹣．
（3）已知A（﹣1，0），D（4，5a）．
∵y＝ax2﹣2ax﹣3a，
∴抛物线的对称轴为x＝1，
设P（1，m），
①若AD为矩形的边，且点Q在对称轴左侧时，则AD∥PQ，且AD＝PQ，
则Q（﹣4，21a），
m＝21a+5a＝26a，则P（1，26a），
∵四边形ADPQ为矩形，
∴∠ADP＝90°，
∴AD2+PD2＝AP2，
∴52+（5a）2+（1﹣4）2+（26a﹣5a）2＝（﹣1﹣1）2+（26a）2，
即a2＝，
∵a＞0，
∴a＝，
∴P1（1，），
②若点Q在对称轴右侧时，则AD∥PQ，且AD＝PQ，
则Q点的横坐标为6，
此时QD显然不垂直于AD，不符合题意，舍去；
③若AD是矩形的一条对角线，则AD与PQ互相平分且相等．
∴xD+xA＝xP+xQ，yD+yA＝yP+yQ，
∴xQ＝2，
∴Q（2，﹣3a）．
∴yP＝8a
∴P（1，8a）．
∵四边形APDQ为矩形，
∴∠APD＝90°
∴AP2+PD2＝AD2
∴（﹣1﹣1）2+（8a）2+（1﹣4）2+（8a﹣5a）2＝52+（5a）2
即a2＝，
∵a＞0，
∴a＝
∴P2（1，4）
综上所述，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，点P的坐标为（1，）或（1，4）．
16．如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于点A、C，与y轴交于点B，直线y＝x+3经过A、B两点．
（1）求b、c的值．
（2）若点P是直线AB上方抛物线上的一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线AB于点D，求线段PD的最大值．
（3）在（2）的结论下，连接CD，点Q是抛物线对称轴上的一动点，在抛物线上是否存在点G，使得以C、D、G、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵直线y＝x+3经过A、B两点．
∴当x＝0时，y＝3，当y＝0时，x＝﹣4，
∴直线y＝x+3与坐标轴的交点坐标为A（﹣4，0），B（0，3）．
分别将x＝0，y＝3，x＝﹣4，y＝0代入y＝﹣x2+bx+c得，，
解得，b＝﹣，c＝3，
（2）由（1）得y＝﹣x2﹣x+3，
设点P（m，﹣m+3），则D（m，m+3），
∴PD＝﹣＝﹣，
∴当m＝﹣2时，PD最大，最大值是．
（3）存在点G，使得以C、D、G、Q为顶点的四边形是平行四边形，G点的坐标为或或；
∵y＝﹣x2﹣x+3，
∴y＝0时，x＝﹣4或x＝2，
∴C（2，0），
由（2）可知D（﹣2，），抛物线的对称轴为x＝﹣1，
设G（n，﹣n+3），Q（﹣1，p），CD与y轴交于点E，E为CD的中点，
①当CD为对角线时，
n+（﹣1）＝0，
∴n＝1，
此时G（1，）．
②当CD为边时，
若点G在点Q上边，则n+4＝﹣1，则n＝﹣5，此时点G的坐标为（﹣5，﹣）．
若点G在点Q上边，则﹣1+4＝n，则n＝3，此时点G的坐标为（3，﹣）．
综合以上可得使得以C、D、G、Q为顶点的四边形是平行四边形的G点的坐标为或或；
17．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点A在y轴上，BC边与x轴重合，过C点作AB的垂线分别交AB和y轴于点D、H，AB＝HC，线段OB、OC（OB＜OC）的长是方程x2﹣6x+8＝0的根．
（1）求直线CD的解析式；
（2）点P是线段BC上的一动点，点Q是线段OA上的一动点且2BP＝3OQ，设BP＝t，△OPQ的面积为S，请求出S与t的函数关系；
（3）在（2）的条件下，在平面上是否存在一点M，使得以P，Q，O，M为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵CD⊥AB，
∴∠BAO+∠ABO＝∠OCH+∠ABO＝90°，
∴∠BAO＝∠OCH，
在△AOB和△COH中，
，
∴△AOB≌△COH（AAS），
∴OB＝OH，
解方程x2﹣6x+8＝0可得x＝2或x＝4，
∴OB＝2，OC＝4，
∴OH＝2，
∴C（4，0），H（0，2），
设直线CD解析式为y＝kx+b，
把C、H两点的坐标代入可得，
解得．
∴直线CD解析式为y＝﹣x+2；
（2）当点P在原点左侧，即0＜t≤2时，连接PQ，如图1，
则OP＝OB﹣BP＝2﹣t，
∵2BP＝3OQ，
∴OQ＝BP＝t，
∴S＝OP•OQ＝•t（2﹣t）＝﹣t2+t；
当P在原点右侧，即2＜t≤6时，连接PQ，如图2，
则OP＝BP﹣OB＝t﹣2，
∵2BP＝3OQ，
∴OQ＝BP＝t，
∴S＝OP•OQ＝•t（t﹣2）＝t2﹣t；
综上可知S与t的关系式为S＝；
（3）当P点在原点左侧时，如图3，
由（2）可知OP＝2﹣t，OQ＝t，
∵四边形OPMQ为正方形，
∴OP＝OQ，
∴2﹣t＝t，解得t＝，
∴OP＝OM＝2﹣t＝，
∴M（﹣，）；
当P点在原点右侧时，如图4，
由（2）可知OP＝t﹣2，OQ＝t，
∵四边形OPMQ为正方形，
∴OP＝OQ，
∴t﹣2＝t，解得t＝6，
∴OP＝OM＝t﹣2＝4，
∴M（4，4）；
综上可知存在满足条件的点M，点M的坐标为（﹣，）或（4，4）．
18．如图，抛物线y＝x2﹣4x+3与坐标轴交于A、B、C三点，过点B的直线与抛物线交于另一点E，若经过A、B、E三点的⊙M满足∠EAM＝45°．
（1）求直线BE的解析式；
（2）若D点是直线BE下方的抛物线上一动点，连接BD和ED，求△BED面积的最大值；
（3）点P在抛物线的对称轴上，平面内是否存在一点Q，使得以点A，C，P，Q为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出Q点坐标．
解：（1）令y＝0，则x2﹣4x+3＝0，
解得x1＝1，x2＝3，
∴点A（3，0），B（1，0），
令x＝0，则y＝3，
∴点C（0，3），
设线段BC的垂直平分线与抛物线的对称轴交于点M，设M（2，a），
∵MB＝MC，
∴（2﹣1）2+a2＝22+（3﹣a）2，
解得a＝2，
∴点M（2，2），
∵BC＝，MC＝，BM＝，
∴BC2＝MC2+BM2，
∴∠CMB＝90°，
∵MC＝MB，
∴△MCB是等腰直角三角形，
∴∠MBC＝45°，
作点C关于直线x＝2的对称点E，则E（4，3）在抛物线上，
根据对称性可知：∠EAM＝∠MBC＝45°
设直线BE的解析式为y＝kx+b（k≠0），
则，
解得，
∴直线BE的解析式为y＝x﹣1．
（2）如图，过点D作DN∥y轴交BE于点N，
设点D（m，m2﹣4m+3），则N（m，m﹣1），
∴S△BDE＝×（xE﹣xB）×|DN|
＝×3×[m﹣1﹣（m2﹣4m+3）]
＝﹣（m﹣）2+，
∴当m＝时，S△BDE取最大值；此时D（，﹣）；
（3）存在，理由如下：
根据轴对称的公式可知，x＝2，
∴设P（2，y），Q（m，n），
由（1）知A（3，0），C（0，3），
∴AC＝3，AP2＝12+y2，CP2＝22+（y﹣3）2，
若AP为矩形的对角线，
由中点坐标公式得，
解得，
∴Q（5，y﹣3），
又∵∠ACP＝90°，
∴AC2+CP2＝AP2，
即：18+22+（y﹣3）2＝12+y2，
解得y＝5，
∴Q（5，2），
若CP为矩形的对角线，
由中点坐标公式得，
解得：，
∴Q（﹣1，y+3），
又∵∠CAP＝90°，
∴AC2+AP2＝CP2，
即：18+12+y2＝22+（y﹣3）2，
解得y＝﹣1，
∴Q（﹣1，2），
若AC为矩形的对角线，
由中点坐标公式得，
解得，
又∵∠APC＝90°，
∴AP2+CP2＝AC2，
即：12+y2+22+（y﹣3）2＝18，
解得y＝+或y＝，
∴Q（1，+）或Q（1，﹣）．
综上，点Q的坐标为（5，2）或（﹣1，2）或（1，+）或（1，﹣）．
19．如图，直线y＝x+2与x轴，y轴分别交于点A，C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，C两点，与x轴的另一交点为B，点D是抛物线上一动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点D在直线AC上方时，连接BC，CD，BD，BD交AC于点E，令△CDE的面积为S1，△BCE的面积为S2，求的最大值；
（3）点F是该抛物线对称轴上一动点，是否存在以点B，C，D，F为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）令y＝x+2＝0，得x＝﹣4，
令x＝0，得y＝2，
∴A（﹣4，0），C（0，2），
∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A．C两点，
∴，
解得：，
∴y＝﹣x2﹣x+2；
（2）如图1，过D作DM⊥x轴交AC于M，过B作BN⊥x轴交AC于N，
令y＝﹣x2﹣x+2＝0，
解得：x1＝﹣4，x2＝1，
∴B（1，0），
∴DM∥BN，
∴△DME∽△BNE，
∴S1：S2＝DE：BE＝DM：BN，
设D（a，﹣a2﹣a+2），
∴M（a，a+2），
∵B（1，0），
∴N（1，），
∴＝DM：BN＝（﹣a2﹣2a）：＝﹣（a+2）2+；
∴当a＝﹣2时，的最大值是；
（3）∵y＝﹣x2﹣x+2，
∴对称轴为直线x＝＝，
设D（t，﹣t2﹣t+2），F（，s），
①若四边形为平行四边形BCDF，
则，
∴，
解得：t＝﹣，﹣t2﹣t+2＝，
∴D的坐标为（﹣，）；
②若四边形为平行四边形BCFD，
则，
∴，
解得：t＝﹣，﹣t2﹣t+2＝，
∴D的坐标为（﹣，）；
③若四边形为平行四边形BDCF，
则，
∴，
解得：t＝，﹣t2﹣t+2＝，
∴D的坐标为（，）；
综上，D的坐标为（﹣，）或（﹣，）或（，）．
20．如图1，平面直角坐标系中，O是坐标原点，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣3），点B坐标是（3，0），点P是抛物线的顶点．
（1）请直接写出二次函数的表达式及顶点P的坐标；
（2）如图2，设二次函数图象的对称轴PH与x轴交于点H，
①连接AC，BC，CP，点D为对称轴PH上的一点，且△CDP与△ABC相似，求点D的坐标；
②点M为对称轴PH上一点且在x轴下方，在x轴负半轴上有一点E，在y轴负半轴上有一点F，且满足OF＝4EO＝4MH，已知点N在抛物线上，以E，F，M，N为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点E的坐标．
解：（1）将B（3，0），C（0，﹣3）两点的坐标代入y＝x2+bx+c得：
，
解得，
∴二次函数的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3，
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴顶点P的坐标为（1，﹣4）；
（2）①∵y＝x2﹣2x﹣3，令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，
解得x＝3或﹣1，
∴A（﹣1，0），
∵B（3，0），C（0，﹣3），P（1，﹣4），
∴∠ABC＝∠CDH＝45°，
AB＝4，AC＝＝，BC＝3，CP＝＝，
∴点D在点P的上方，
△CDP与△ABC相似，分两种情况：
△CDP∽△CAB时，
∴，即，
∴DP＝，
∴点D的坐标为（1，﹣）；
△CDP∽△ACB时，
∴，即，
∴DP＝，
∴点D的坐标为（1，﹣）；
综上所述，点D的坐标为（1，﹣）或（1，﹣）；
②∵点M为对称轴PH上一点且在x轴下方，在x轴负半轴上有一点E，在y轴负半轴上有一点F，且满足OF＝4EO＝4MH，
∴设点E（m，0），则M（1，m），F（0，4m），
以E，F，M，N为顶点的四边形为平行四边形，分三种情况：
以EM为对角线时，
点N的横坐标为m+1﹣0＝m+1，纵坐标为m+0﹣4m＝﹣3m，
∵点N在抛物线y＝x2﹣2x﹣3上，
∴（m+1）2﹣2（m+1）﹣3＝﹣3m，解得m＝﹣4或1，
∵点E在x轴负半轴上，
∴m＝﹣4，
∴点E的坐标为（﹣4，0）；
以EF为对角线时，
点N的横坐标为m+0﹣1＝m﹣1，纵坐标为0+4m﹣m＝3m，
∵点N在抛物线y＝x2﹣2x﹣3上，
∴（m﹣1）2﹣2（m﹣1）﹣3＝3m，解得m＝7或0，
∵点E在x轴负半轴上，
∴此种情况不存在；
以MF为对角线时，
点N的横坐标为0+1﹣m＝1﹣m，纵坐标为m+4m﹣0＝5m，
∵点N在抛物线y＝x2﹣2x﹣3上，
∴（1﹣m）2﹣2（1﹣m）﹣3＝5m，解得m＝或，
∵点E在x轴负半轴上，
∴m＝，
∴点E的坐标为（，0）；
综上所述，点E的坐标为（﹣4，0）或（，0）．
21．在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，交y轴于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图，直线y＝与抛物线交于A，D两点，与直线BC交于点E．若M（m，0）是线段AB上的动点，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点F，交直线AD于点G，交直线BC于点H．
①当点F在直线AD上方的抛物线上，且S△EFG＝S△OEG时，求m的值；
②在平面内是否存在点P，使四边形EFHP为正方形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，
∴y＝﹣（x+3）（x﹣4）＝﹣；
（2）①如图1，∵B（4，0），C（0，4），
∴设BC的解析式为：y＝kx+n，
则，解得，
∴BC的解析式为：y＝﹣x+4，
∴﹣x+4＝，
解得：x＝1，
∴E（1，3），
∵M（m，0），且MH⊥x轴，
∴G（m，），F（m，﹣），
∵S△EFG＝S△OEG，
∴＝×ON（xE﹣xG），
[（﹣）﹣（）]（1﹣m）＝，
解得：m1＝，m2＝﹣2；
②存在，由①知：E（1，3），
∵四边形EFHP是正方形，
∴FH＝EF，∠EFH＝∠FHP＝∠HPE＝90°，
∵M（m，0），且MH⊥x轴，
∴H（m，﹣m+4），F（m，﹣），
分两种情况：
i）当﹣3≤m＜1时，如图2，点F在EP的左侧，
∴FH＝（﹣m+4）﹣（﹣）＝，
∵EF＝FH，
∴，
解得：m1＝（舍），m2＝，
∴H（，），
∴P（1，），
ii）当1＜m＜4时，点F在PE的右边，如图3，
同理得﹣＝m﹣1，
解得：m1＝，m2＝（舍），
同理得P（1，）；
综上，点P的坐标为：或．
22．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3经过点A（2，﹣3），与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，
且OC＝3OB．
（1）求抛物线的解析式，并写出x为何值时y＝0．
（2）点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【提示】①以AB为边时，求点M的坐标．②以AB为对角线时，求点M的坐标．
解：（1）令x＝0，则y＝﹣3，
∴OC＝3，
∵OC＝3OB，
∴OB＝1，
∴B（﹣1，0），
∵A（2，﹣3），B（﹣1，0）在抛物线y＝ax2+bx﹣3上，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
令y＝0，即x2﹣2x﹣3＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3；
∴当x＝﹣1或x＝3时y＝0；
（2）由（1）知，抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
∴抛物线的对称轴直线为x＝1，
设点N（1，n），M（m，m2﹣2m﹣3），
∵A（2，﹣3），B（﹣1，0），
①当AB与MN为对角线时，AB与MN互相平分，
∴（2﹣1）＝（m+1），
∴m＝0，
∴M（0，﹣3）；
②当AN与BM为对角线时，AN与BM互相平分，
∴（1+2）＝（m﹣1），
∴m＝4，
∴M（4，5），
③当AM与BN为对角线时，AM与BN互相平分，
（m+2）＝（1﹣1），
∴m＝﹣2，
∴M（﹣2，5），
即：满足条件的点M坐标为（0，﹣3）或M（4，5）或（﹣2，5）．
23．如图1（注：与图2完全相同）所示，抛物线y＝﹣+bx+c经过B、D两点，与x轴的另一个交点为A，与y轴相交于点C．
（1）求抛物线的解析式．
（2）设抛物线的顶点为M，求四边形ABMC的面积．（请在图1中探索）
（3）设点Q在y轴上，点P在抛物线上．要使以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P的坐标．（请在图2中探索）
解：（1）把B（3，0）和D（﹣2，﹣）代入抛物线的解析式得，
，
解得，，
∴抛物线的解析式为：；
（2）令x＝0，得＝，
∴，
令y＝0，得＝0，
解得，x＝﹣1，或x＝3，
∴A（﹣1，0），
∵＝，
∴M（1，2），
∴S四边形ABMC＝S△AOC+S△COM+S△MOB
＝
＝；
（3）设Q（0，n），
①当AB为平行四边形的边时，有AB∥PQ，AB＝PQ，
a）．P点在Q点左边时，则P（﹣4，n），
把P（﹣4，n）代入，得
n＝，
∴P（﹣4，﹣）；
②当AB为平行四边形的边时，有AB∥PQ，AB＝PQ，
当P点在Q点右边时，则P（4，n），
把P（4，n）代入，得
n＝，
∴P（4，﹣）；
③当AB为平行四边形的对角线时，如图2，AB与PQ交于点E，
则E（1，0），
∵PE＝QE，
∴P（2，﹣n），
把P（2，﹣n）代入，得
﹣n＝，
∴n＝﹣，
∴P（2，）．
综上，满足条件的P点坐标为：（﹣4，﹣）或（4，﹣）或（2，）．
24．如图所示，抛物线与x轴相交于A，B两点（B在A的右边），与y轴相交于点C（0，﹣3），点M（1，﹣4）为抛物线的顶点．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）若点N是第四象限内抛物线上的一个动点，连接BN，CN，当△BNC是以BN，NC为腰的等腰三角形时，求点N的坐标．
（3）若点D是抛物线对称轴上的动点，点G是抛物线上的动点，是否存在以点B，C，D，G为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出点G的坐标；若不存在，试说明理由．
（4）直线CM交x轴于点E，若点P是线段EM上的一个动点，是否存在以点P，E，O为顶点的三角形与△ABC相似．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵点M（1，﹣4）为抛物线的顶点，
∴设此抛物线的解析式为为y＝a（x﹣1）2﹣4，
∵抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4经过点C（0，﹣3），
∴y＝a（0﹣1）2﹣4，
解得a＝1，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵△BNC是以BN，NC为腰的等腰三角形，
∴点N在线段BC的垂直平分线上，
在y＝x2﹣2x﹣3中，令y＝0，即x2﹣2x﹣3＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝3，
∴B（3，0），
∵C（0，﹣3），
∴OB＝OC＝3，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴ON垂直平分BC，
∴线段BC的中点坐标为（，﹣）；
∴直线ON的解析式为y＝﹣x，
解方程组得，或，
∵点N是第四象限内抛物线上的一个动点，
∴N（，﹣）；
（3）存在以点B、C、D、G为顶点的四边形是平行四边形，理由如下，
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
令x＝0，则y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
∴D点的横坐标为1，
设G（m，m2﹣2m﹣3），
①当BC为平行四边形的对角线时，
∴3＝1+m，
∴m＝2，
∴G（2，﹣3）；
②当BD为平行四边形的对角线时，
∴3+1＝m，
∴m＝4，
∴G（4，5）；
③当BG为平行四边形的对角线时，
∴3+m＝1，
∴m＝﹣2，
∴G（﹣2，5）；
综上所述：G点坐标为（2，﹣3）或（4，5）或（﹣2，5）；
（4）存在以点P、E、O为顶点的三角形与△ABC相似，理由如下：
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴M（1，﹣4），
设直线CM的解析式为y＝kx+b
∴，
∴，
∴y＝﹣x﹣3，
∴E（﹣3，0），
∵OE＝OC，
∴∠OEC＝45°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝45°，
∴∠OEC＝∠OBC，
设P（t，﹣t﹣3），
∵点P是线段EM上，
∴﹣3＜t＜0，
∴EP＝（t+3），BC＝3，
①当△PEO∽△CBA时，
＝，即＝，
∴t＝﹣，
∴P（﹣，﹣）；
②当△PEO∽△ABC时，
＝，即＝，
∴t＝﹣1，
∴P（﹣1，﹣2）；
综上所述，P点坐标为（﹣，﹣）或（﹣1，﹣2）．
25．如图所示，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且点A的坐标为A（﹣2，0），点C的坐标为C（0，6），对称轴为直线x＝1．点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为m（1＜m＜4），连接AC，BC，DC，DB．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）当△BCD的面积等于△AOC的面积的时，求m的值；
（3）在（2）的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）由题意得：，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为：y＝﹣x2+x+6；
（2）过点D作DE⊥x轴于E，交BC于G，过点C作CF⊥ED交ED的延长线于F，如图1所示：
∵点A的坐标为（﹣2，0），点C的坐标为（0，6），
∴OA＝2，OC＝6，
∴S△AOC＝OA•OC＝×2×6＝6，
∴S△BCD＝S△AOC＝×6＝，
当y＝0时，﹣x2+x+6＝0，
解得：x1＝﹣2，x2＝4，
∴点B的坐标为（4，0），
设直线BC的函数表达式为：y＝kx+n，
则，
解得：，
∴直线BC的函数表达式为：y＝﹣x+6，
∵点D的横坐标为m（1＜m＜4），
∴点D的坐标为：（m，﹣m2+m+6），
点G的坐标为：（m，﹣m+6），
∴DG＝﹣m2+m+6﹣（﹣m+6）＝﹣m2+3m，CF＝m，BE＝4﹣m，
∴S△BCD＝S△CDG+S△BDG＝DG•CF+DG•BE＝DG×（CF+BE）＝×（﹣m2+3m）×（m+4﹣m）＝﹣m2+6m，
∴﹣m2+6m＝，
解得：m1＝1（不合题意舍去），m2＝3，
∴m的值为3；
（3）由（2）得：m＝3，﹣m2+m+6＝﹣×32+×3+6＝，
∴点D的坐标为：（3，），
分三种情况讨论：
①当DB为对角线时，如图2所示：
∵四边形BDNM是平行四边形，
∴DN∥BM，
∴DN∥x轴，
∴点D与点N关于直线x＝1对称，
∴N（﹣1，），
∴DN＝3﹣（﹣1）＝4，
∴BM＝4，
∵B（4，0），
∴M（8，0）；
②当DM为对角线时，如图3所示：
由①得：N（﹣1，），DN＝4，
∵四边形BDNM是平行四边形，
∴DN＝BM＝4，
∵B（4，0），
∴M（0，0）；
③当DN为对角线时，
∵四边形BDNM是平行四边形，
∴DM＝BN，DM∥BN，
∴∠DMB＝∠MBN，
∴点D与点N的纵坐标互为相反数，
∵点D（3，），
∴点N的纵坐标为：﹣，
将y＝﹣代入y＝﹣x2+x+6中，
得：﹣x2+x+6＝﹣，
解得：x1＝1+，x2＝1﹣，
当x＝1+时，如图4所示：
则N（1+，﹣），
分别过点D、N作x轴的垂线，垂足分别为E、Q，
在Rt△DEM和Rt△NQB中，，
∴Rt△DEM≌Rt△NQB（HL），
∴BQ＝EM，
∵BQ＝1+﹣4＝﹣3，
∴EM＝﹣3，
∵E（3，0），
∴M（，0）；
当x＝1﹣时，如图5所示：
则N（1﹣，﹣），
同理得点M（﹣，0）；
综上所述，点M的坐标为（8，0）或（0，0）或（，0）或（﹣，0）．
26．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣6与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，OA＝2，OB＝4，直线l是抛物线的对称轴，在直线l右侧的抛物线上有一动点D，连接AD，BD，BC，CD．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点D在x轴的下方，当△BCD的面积是时，求△ABD的面积；
（3）在（2）的条件下，点M是x轴上一点，点N是抛物线上一动点，是否存在点N，使得以点B，D，M，N为顶点，以BD为一边的四边形是平行四边形，若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵OA＝2，OB＝4，
∴A（﹣2，0），B（4，0），
把A（﹣2，0），B（4，0）代入抛物线y＝ax2+bx﹣6中得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣x﹣6；
（2）如图1，过D作DG⊥x轴于G，交BC于H，
当x＝0时，y＝﹣6，
∴C（0，﹣6），
设BC的解析式为：y＝kx+n，
则，解得：，
∴BC的解析式为：y＝x﹣6，
设D（x，x2﹣x﹣6），则H（x，x﹣6），
∴DH＝x﹣6﹣（x2﹣x﹣6）＝﹣，
∵△BCD的面积是，
∴，
∴，
解得：x＝1或3，
∵点D在直线l右侧的抛物线上，
∴D（3，﹣），
∴△ABD的面积＝＝＝；
（3）分两种情况：
①如图2，N在x轴的上方时，四边形MNBD是平行四边形，
∵B（4，0），D（3，﹣），且M在x轴上，
∴N的纵坐标为，
当y＝时，即x2﹣x﹣6＝，
解得：x＝1+或1﹣，
∴N（1﹣，）或（1+，）；
②如图3，点N在x轴的下方时，四边形BDNM是平行四边形，此时M与O重合，
∴N（﹣1，﹣）；
综上，点N的坐标为：（1﹣，）或（1+，）或（﹣1，﹣）．
27．综合与探究
在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣4，0），点M为抛物线的顶点，点B在y轴上，且OA＝OB，直线AB与抛物线在第一象限交于点C（2，6），如图①．
（1）求抛物线的解析式；
（2）直线AB的函数解析式为 y＝x+4 ，点M的坐标为 （﹣2，﹣2） ，cs∠ABO＝ ；
连接OC，若过点O的直线交线段AC于点P，将△AOC的面积分成1：2的两部分，则点P的坐标为 （﹣2，2）或（0，4） ；
（3）在y轴上找一点Q，使得△AMQ的周长最小．具体作法如图②，作点A关于y轴的对称点A'，连接MA'交y轴于点Q，连接AM、AQ，此时△AMQ的周长最小．请求出点Q的坐标；
（4）在坐标平面内是否存在点N，使以点A、O、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）将点A、C的坐标代入抛物线表达式得：，解得，
故抛物线的表达式为：y＝x2+2x；
（2）点A（﹣4，0），OB＝OA＝4，故点B（0，4），
设直线AB的解析式为y＝kx+4，
将点A坐标代入得，﹣4k+4＝0，
∴k＝1．
∴直线AB的表达式为：y＝x+4；
则∠ABO＝45°，故cs∠ABO＝；
对于y＝x2+2x，函数的对称轴为直线x＝﹣2，故点M（﹣2，﹣2）；
OP将△AOC的面积分成1：2的两部分，则AP＝AC或AC，
则，即，解得：yP＝2或4，
故点P（﹣2，2）或（0，4）；
故答案为：y＝x+4；（﹣2，﹣2）；；（﹣2，2）或（0，4）；
（3）△AMQ的周长＝AM+AQ+MQ＝AM+A′M最小，
点A′（4，0），
设直线A′M的表达式为：y＝kx+b，则，解得，
故直线A′M的表达式为：y＝x﹣，
令x＝0，则y＝﹣，故点Q（0，﹣）；
（4）存在，理由：
设点N（m，n），而点A、C、O的坐标分别为（﹣4，0）、（2，6）、（0，0），
①当AC是边时，
点A向右平移6个单位向上平移6个单位得到点C，同样点O（N）向右平移6个单位向上平移6个单位得到点N（O），
即0±6＝m，0±6＝n，解得：m＝n＝±6，
故点N（6，6）或（﹣6，﹣6）；
②当AC是对角线时，
由中点公式得：﹣4+2＝m+0，6+0＝n+0，
解得：m＝﹣2，n＝6，
故点N（﹣2，6）；
综上，点N的坐标为（6，6）或（﹣6，﹣6）或（﹣2，6）．