江苏省南通市第一初级中学2023-2024学年九年级上学期第二次月考数学试题

这是一份江苏省南通市第一初级中学2023-2024学年九年级上学期第二次月考数学试题，共25页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列各点中，在反比例函数的图象上的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据反比例函数解析式可得，然后对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：，
，
、，
点在反比例函数图象上，故本选项符合题意；
B、，
点不在反比例函数图象上，故本选项不符合题意；
C、，
点不在反比例函数图象上，故本选项不符合题意；
D、，
点不在反比例函数图象上，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．
2. 将抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度，平移后所得新抛物线的表达式为（ ）您看到的资料都源自我们平台，20多万份最新小初高试卷，家威鑫 MXSJ663 性价比最高 A. B.
C D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次函数图像的平移规律即可解答；掌握函数图像平移规律“左加右减，上加下减”是解答本题的关键．
【详解】解：∵抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度，
∴平移后所得抛物线解析式为．
故选：C．
3. 如图，的半径为，弦，点是弦上的动点且点不与点重合，则的长不可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是垂径定理及勾股定理，过作于，连接，根据勾股定理求出的值，进而可求出的取值范围，能根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键．
【详解】解：过作于，连接，如图：
∵，，
∴，
∴，
∴，
即，
故选：．
4. 如图，等腰直角三角板的斜边与量角器的直径重合，点是量角器上刻度线的外端点，连接交于点，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查圆中求角度，涉及量角器测角、圆周角定理和三角形内角和定理等知识，连结，读出量角器角度，结合圆周角定理求出，再由三角形内角和定理即可得到答案，掌握圆周角定理是解决问题的关键．
【详解】解：连结，如图所示：
由题意可知，则，
等腰直角三角板的斜边与量角器的直径重合，
是的直径，，
在中，，则，
在中，，，则，
故选：B．
5. 正方形网格中，如图放置，则=（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先在∠AOB的两边上找出两点C、D，使△DOC构成直角三角形，再根据正方形网格的特点及勾股定理求出OC的长，由锐角三角函数的定义即可求出sin∠AOB的值．
【详解】由图可知连接C、D两点，此时△DOC恰好构成直角三角形，
如图：
设正方形网格的边长为1，则CD＝2，OD＝1，OC＝＝＝，
由锐角三角函数的定义可知：sin∠AOB＝＝．
故选：B．
【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义及勾股定理，熟知正方形网格的特点，能在∠AOB的边上找出两点使△DOC恰好构成直角三角形是解答此题的关键．
6. 如图，直线，直线m，n分别与直线a，b，c相交于点A，B，C和点D，E，F，若，，，则（ ）

A. B. C. 4D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，求出，进而求出．灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：．
7. 已知点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查反比例函数图象的性质，根据可得这个反比例函数的图象所在象限，再根据图象的增减性即可求解，理解反比例函数图象的性质，掌握反比例函数图象的增减性是解题的关键．
【详解】在反比例函数中，，
它的图象在第一，三象限，在每个象限内，随的增大而减小，
，，，
，，
，，
．
故选：B．
8. 如图，点D在的边AC上，添加一个条件，不能判断与相似的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定条件是解此题的关键．
【详解】解：解：A、，，两组对应角相等的三角形相似，选项正确，不符合题意．
B、与不是对应边，不能说明相似，选项错误，符合题意．
C、，，两组对应角相等的三角形相似，选项正确，不符合题意．
D、，，两组对边成比例，夹角相等的三角形相似，选项正确，不符合题意．
故选B．
9. 如图，的平分线与边上的中线互相垂直，并且，则（ ）

A. 7B. C. D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】先证明，得到，取的中点F，连接，由三角形中位线定理得到，则，得，求出，则，由勾股定理得到，即可得到答案．
【详解】解：∵的平分线与边上的中线互相垂直，
∴，，，
又∵，
∴，
∴，
取的中点F，连接，

∵点D是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C
【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、三角形中位线的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，构造中位线是解题的关键．
10. 如图，菱形 一边在x轴的负半轴上，O是坐标原点，A点坐标为，对角线 和 相交于点D，且．若反比例函数的图象经过点D，并与的延长线交于点E，则值等于（ ）
A. 2B. C. 1D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法、勾股定理、菱形性质的运用，数形结合和准确计算是解题的关键．
如图所示，过点C作于G，根据菱形和三角形的面积公式可得，再由，求出，在中，根据勾股定理得，即，根据菱形的性质和中点坐标公式求出，将D代入反比例函数解析式可得k，进而求出点E坐标，最后根据三角形面积公式求得即可．
【详解】解：如图所示，过点C作于G，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，，
，
，
四边形是菱形，
，
D为的中点，
，
D在反比例函数图象上，
，
，
E的纵坐标为4，
E在反比例函数图象上，
E的横坐标为，
，
，
，
故选：C．
二、（本大题共8小题，第11~12每小题3分，13~18每小题4分，共30分）
11. 抛物线y=2(x+1)2+3 的顶点坐标是_________________.
【答案】(﹣1，3)
【解析】
【详解】解：抛物线的顶点坐标为：.
故答案为.
12. 在中，，则___________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查了正切的定义，掌握正切是直角三角形中对边比邻边成为解题的关键．
根据正切的定义解答即可．
【详解】解：在中，，
∴．
故答案为：．
13. 正八边形的中心角的度数是 _____°．
【答案】45
【解析】
【分析】利用正n边形的中心角的计算公式：计算即可．
【详解】解：正八边形的中心角等于360°÷8=45°；
故答案为：45．
【点睛】本题考查的是正多边形和圆，掌握正n边形的中心角的计算公式：是解题的关键．
14. 若圆锥的底面半径为3，母线长为4，则这个圆锥的侧面积是_____．
【答案】12π
【解析】
【分析】根据圆锥的侧面积公式即可求解．
【详解】解：由题意可知：S圆锥=πrl=π×3×4=12π．
故答案为：12π
【点睛】本题主要考查了圆锥的侧面积计算，正确理解圆锥的侧面积的计算公式，理解圆锥与展开图之间的关系是解题的关键．
15. 如图，和是以点O为位似中心的位似图形．若，则与的面积比是 ________．
【答案】
【解析】
【分析】根据位似变换的概念得到，，得到，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的性质计算即可．
【详解】解：，
，
和是以点O为位似中心的位似图形，
，，
，
，
和的面积比为，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是位似变换，相似三角形的判定和性质，掌握位似图形的概念、相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
16. 如图，有一个测量小玻璃管口径的量具，的长为，被分为 等份．如果小玻璃管口径 正好对应量具上等份处()，那么小玻璃管口径____．

【答案】12
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，证得是解题的关键．
先证明，然后根据相似三角形的性质列比例式求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，解得：．
∴故答案为12
17. 已知，，若m≤n，则实数a的值为____．
【答案】
【解析】
【分析】把题目所给的两个式子进行相减得到，由此求解即可．
【详解】解：∵，，
∴①-②得
，
，
∵，
∴，
又∵，
∴即，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了整式的加减计算，因式分解的应用，正确根据题意得到是解题的关键．
18. 线段，M为的中点，动点 P 到点 M 的距离是1，连接 ，线段 绕点P 逆 时针旋转 得到线段 ，连接 ，则线段 长度的最小值是____________．
【答案】
【解析】
【分析】全等三角形的判定和性质、同角的余角相等、平面直角坐标系的建立都是本题的考点，根据题意建立适当的平面直角坐标系是解题的关键．
以点M为原点建立平面直角坐标系，过点C作轴，垂足为D，过点P作，垂足为E，延长交x轴于点F，然后A、B的坐标可以表示出来，再根据全等三角形的判定和性质求得点C的坐标，从而可求出的最大值．
【详解】解：如图所示：以点M为原点建立平面直角坐标系，过点C作轴，垂足为D，过点P作，垂足为E，延长交x轴于点F，
，O为的中点，
，，
设点P的坐标为，则，
，，
，
由旋转的性质可知：，
在和中，
，
，
，
，O为的中点，
，
，
，
，
当时，有最小值，的最大值为．
故答案为:．
三、解答题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19. （1）计算：；
（2）如图，在中，，，，解这个直角三角形．
【答案】（1）；（2），，
【解析】
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，解直角三角形，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）代入特殊角的三角函数值，进行计算即可得出答案；
（2）由直角三角形的性质及解直角三角形的知识即可得出答案．
【详解】解：（1）原式
；
（2）解：在中，，，，
，
，
，
．
20. 如图，是三角形的外接圆，是的直径，于点E．

（1）求证：；
（2）若长为8，，求的半径长．
【答案】（1）见解析 （2）的半径为5．
【解析】
【分析】本题主要考查了垂径定理，
（1）根据垂径定理和圆周角定理进行判断即可；
（2）设的半径为r，根据垂径定理得出点为的中点，在中，利用勾股定理列式计算，即可求出结果．
【小问1详解】
证明：∵是的直径，，
∴，
∴；
小问2详解】
解：连接，如图所示：
设的半径为r，则，，

∵是的直径，，
∴点为的中点，
∴，
在中，，即，
解得，
∴的半径为5．
21. 如图，在平面直角坐标系中，直线经过点与 y 轴交于点 B，与反比例函数的图像交于点，过B作轴，交反比例函数的图像于点D．连接．
（1） ， ，不等式的解集是 ；
（2）求的面积．
【答案】（1）4，6，
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点，正确求出对应的函数解析式是解题的关键．
（1）先把点A坐标代入直线解析式求出b的值，即求出直线解析式；进而求出点C的坐标，再把点C的坐标代入反比例函数解析式求出k的值；再根据图像法求出不等式的解集即可；
（2）先求出点B的坐标，进而求出点D的坐标，再根据进行求解即可．
【小问1详解】
解：把代入到直线中得：,解得：，
∴直线解析式为，
把点代入到直线中得：，
∴，
∴，
把代入到反比例函数中得：，解得：；
由函数图像可知，当时，一次函数图像在反比例函数图像下方，
∴不等式的解集是．
故答案为：4，6，．
【小问2详解】
解：由（1）得反比例函数解析式为，
在中，
令，则，
∴，
在中，
令，则，
∴，
∴，
∴．
22. 如图，在中，，的平分线交于点D，，交于点E，
（1）求证：；
（2）若，求线段长．
【答案】（1）见解析 （2）线段长为5
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
（1）根据角平分线的定义、角的和差可得，再结合即可证明结论；
（2）由线段的和差可得，再根据相似三角形的性质得出比例式，代入数据即可解答．
【小问1详解】
证明：∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴ ，
∴，
又∵，
∴．
【小问2详解】
解：∵ ，
∴，
由（1）得，
∴，
∴，
∴，
∴线段长为5．
23. 如图，为的直径，C为上一点，和过点C的切线互相垂直，垂足为D，
（1）求证：平分；
（2）若，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了切线的性质、求扇形面积等知识点，熟练掌握切线的性质，扇形面积公式是解题的关键．
（1）连接，可证明，推出，由可得，即可证明，从而证明结论．
（2）如图：过点O作于点E，则，中，勾股定理求得，进而求得，然后根据扇形面积公式求解即可．
【小问1详解】
证明：如图：连接,
∵为切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴平分．
【小问2详解】
解∶如图：过点O作于点E，则，
∵，平分，
∴，，
在中，，
∴， ，
∴，
∴
24. 某商品进货价为每件40元，将该商品每件的售价定为50元时，每星期可销售250件．现在计划提高该商品的售价增加利润，但不超过58元．市场调查反映：若该商品每件的售价在50元基础上每上涨1元，其每星期的销售量减少10件．设该商品每件的售价上涨 x 元(x为整数且)时，每星期的销售量为 y 件．
（1）求y与x之间的函数解析式；
（2）当该商品每件的售价定为多少元时，销售该商品每星期获得的利润最大？最大利润是多少？
（3）若该商品每星期的销售利润不低于 3000 元，求商品售价上涨 x元的取值范围．
【答案】（1）
（2）当该商品每件的售价为57或58元时，每星期获得的利润最大，最大利润为3060元
（3）且x为整数
【解析】
【分析】此题考查二次函数的销售利润问题，解题关键是明确利润公式，求利润最大值相当于数形结合，直接转化成求函数最大值．
（1）直接根据利润（售价进价）数量列解析式即可；
（2）将利润最大值转化成二次函数的函数最大值直接求解即可；
（3）令，求出x的值即可得出答案．
【小问1详解】
解∶由题意可得，，
y与x之间函数解析式是；
【小问2详解】
解∶设当该商品每件的售价上涨 x元时，销售该商品每星期获得的利润为w元．
由题意可得∶

，且x为整数
当或8时，w取得最大值3060，此时或58．
答∶当该商品每件的售价为57或58元时，每星期获得的利润最大，最大利润为3060元．
【小问3详解】
解∶由题意得：
解得，
当或10时，此时或60,
售价不超过58元,
且x为整数．
25. 矩形ABCD中，，，E是射线CD上一点，点C关于BE的对称点F恰好落在射线DA上．
（1）如图，当点E在边CD上时；
①若，DF的长为______；
②若时，求DF的长；
（2）作∠ABF的平分线交射线DA于点M，当时，求DF的长．
【答案】（1）①2；②
（2）2或18
【解析】
【分析】(1)利用勾股定理进行解答，即可得出答案；
(2)利用角的平分线的定义，进行等量代换进行解答即可．
【小问1详解】
解：①2．
②∵矩形ABCD中，，
∴，．
∴．
∴．
∴．
∴．
∵，，
∴．
∴．
∵点C、F关于BE的对称点，
∴．
∴．
【小问2详解】
①如图1，当点F在边AD上时，
过点M作于点N，
∵BM平分∠ABF，，
∴，．
∵，
∴．
∴．
∵，，
∴．
∵，
∴．
∵，，，
∴．
∴．
设，则．
∴．
在中，，
∴．
解得，（舍去）．
∴．
∴矩形ABCD中，．
∴．
②如图2，当点F在边DA延长线上时，
同①可得，，．
∴．
∴，．
∴综上所述：或18．
【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，折叠的性质，矩形的性质，勾股定理的综合应用，解题时注意分类思想与方程思想的运用．
26. 在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标比横坐标大k，则称该点为“k级差值点”．例如，为“3级差值点” ，为“5级差值点”．
（1）点是“4级差值点”，则y与x的函数关系式是 ；
（2）若反比例函数的图象上只有一个“k级差值点”，，求t的取值范围；
（3）已知直线l： 与抛物线交于A，B两点，且．若 时，直线 l上无“k级差值点”，求a的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3），
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的性质和一次函数的性质及二次函数的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．
（1）根据题干中级差值点即可得出答案；
（2）利用反比例函数的性质及极差值点的含义即可得出答案；
（3）利用一次函数和二次函数的性质及极差值点的含义即可得出答案．
【小问1详解】
解：根据题意可得出；
【小问2详解】
解：由题意得： ，
，
图象上只有一个“k级差值点”，
方程 有两个相等的实数根，
，
，
，
，
，
当时，t有最大值5，当时，t有最小值，
；
【小问3详解】
解：由题意得若 时，直线 l上有 “k级差值点”，
，
，
，
，，
，
，即，
或，
即，．