江苏省扬州市仪征市刘集初级中学2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试题

这是一份江苏省扬州市仪征市刘集初级中学2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试题，共22页。试卷主要包含了选择题，填空，解答等内容，欢迎下载使用。

1. 方程的根为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用直接开平方法求解即可．
【详解】解：∵x2=4，
∴x=±2，
故选：D．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
2. 下列图形中，不一定是相似图形的是（ ）
A. 两个等边三角形B. 两个等腰直角三角形
C. 两个长方形D. 两个圆
【答案】C
【解析】
【分析】根据对应角相等，对应边成比例的两个图形，叫做相似图形，对选项一一进行判断即可．
【详解】解：A、∵等边三角形的三个内角都是，
∴任意两个等边三角形一定存在两对内角分别对应相等，再由相似三角形判定定理得两个等边三角形一定相似，故该选项不符合题意；
B、∵等腰直角三角形的三个内角分别为、、，
∴任意两个等腰直角三角形一定存两对内角分别对应相等，再由相似三角形判定定理得两个等腰直角三角形一定相似，故该选项不符合题意；
C、∵任意两个长方形的长和宽对应比例不确定，长之比和宽之比不一定相等，
∴任意两个长方形不一定相似，故该选项符合题意；
D、∵任意两个圆中，其中一个圆放大或缩小后能够与另一个圆重合，
∴任意两个圆一定相似，故该选项不符合题意．
故选：C
【点睛】本题考查了相似图形的判定，涉及等腰三角形、等腰直角三角形、长方形、圆等知识点，解本题更多课件教案等低价滋源(一定远低于各大平台价格)请 家 威杏 MXSJ663 的关键在熟练掌握相关图形的性质．
3. 下列线段中，能成比例的是（ ）
A. 3cm、6cm、8cm、9cmB. 3cm、5cm、6cm、9cm
C. 3cm、6cm、7cm、9cmD. 3cm、6cm、9cm、18cm
【答案】D
【解析】
【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．对选项一一分析，排除错误答案．
【详解】A.，故此选项不符合题意；
B.，故此选项不符合题意；
C.，故此选项不符合题意；
D.，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．同时注意单位要统一．
4. 已知O与点P在同一平面内，如果O的直径为6，线段OP的长为4，则下列说法正确的是（ ）
A. 点P在O上B. 点P在O内C. 点P在O外D. 无法判断点P与O的位置关系
【答案】C
【解析】
【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系；则d>r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d 【详解】解：∵⊙O的直径为6，
∴r=3，
∵OP=4>3，
∴点P在⊙O外，
故选：C．
【点睛】本题考查了对点与圆的位置关系的判断，关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d>r时，点在圆外；当d =r时，点在圆上，当d5. 如图，是由半圆和长方形拼成一个转盘，其中点O是半圆的圆心，半圆的直径与长方形的宽相等，直径和过点O的长方形长边的平行线，把转盘分成4个部分若任意转动指针，指针停止的位置是等可能的，则指针指向阴影部分的概率是（ ）
A. B. C. D. 因长方形的长没有告知，所以概率不确定
【答案】A
【解析】
【分析】确定指针在阴影部分转过的角度在整个转盘中占的比例，根据这个比例即可求出转盘停止转动时指针指向阴影部分的概率．
【详解】解：转动转盘指针转过的角度为360，指针在阴影部分转过的角度为90，
转盘停止转动时指针指向阴影部分的概率是：．
故选：A．
【点睛】本题主要考查几何概率，求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比，角度比等．
6. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，那么的取值范围是（ ）
A. B. 且C. 且D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据关于x的一元二次方程kx2-3x+1=0有两个实数根，知△=（-3）2-4×k×1≥0且k≠0，解之可得．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程kx2-3x+1=0有两个实数根，
∴△=（-3）2-4×k×1≥0且k≠0，
解得k≤且k≠0，
故选：C．
【点睛】本题主要考查根的判别式与一元二次方程的定义，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．
7. 小明根据演讲比赛中9位评委所给的分数制作了如下表格：
如果去掉一个最高分和一个最低分，那么表格中数据一定不发生变化的是（ ）
A. 平均数B. 中位数C. 众数D. 方差
【答案】B
【解析】
【分析】根据中位数的定义解答即可．
【详解】解：七个分数，去掉一个最高分和一个最低分，对中位数没有影响．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了统计量的选择，掌握中位数的定义是解答本题的关键．
8. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD＝90°，AB＝AD，∠ADC＝105°．若点E在上，且＝2，连接AE，则∠BAE的度数是（ ）
A. 15°B. 20°C. 25°D. 30°
【答案】B
【解析】
【分析】连接，根据圆周角定理和等腰直角三角形的性质求得，进而可得，由圆周角定理即可求得．
【详解】解： 连接
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，圆周角定理，弧、弦、圆心角之间的关系等知识点，正确作出辅助线并能求出是解此题的关键．
二、填空（每题3分，共30分）
9. 已知，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了比例的基本性质．根据比例的基本性质可得，再代入，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故答案为：
10. 当实数满足条件______时，关于的方程是一元二次方程．
【答案】
【解析】
【分析】利用一元二次方程的定义判断即可确定出所求．
【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程，
∴，即，
故答案为．
【点睛】此题考查了一元二次方程的定义（只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程），熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．
11. 在一张比例尺为的扬州市城区地图上，文昌中路的长度约为．则文昌中路的实际长度约为______m．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查比例尺问题，掌握比例概念 ，换算单位是关键．按比例尺概念计算即可．
【详解】解：设实际长度为，
，
，
经检验，是原方程的解．
故答案为：．
12. 人体的正常体温是左右，有关科学研究表明，当气温处于人体正常体温的黄金比值时，人体感觉最舒适．这个气温的度数约为______（精确到）．
【答案】23
【解析】
【分析】本题主要考查了黄金比值．根据黄金比值为，即可求解．
【详解】解：根据黄金比值得：．
故答案为：23．
13. 已知线段，线段，线段是线段比例中项，则线段的长__．
【答案】##6厘米
【解析】
【分析】根据比例中项的定义，得到，代值求解即可得到答案．
【详解】解：线段是线段的比例中项，
，
线段，线段，
，解得或（舍），即线段的长为，
故答案为：．
【点睛】本题考查比例中项定义，根据线段比例中项列方程求解是解决问题的关键．
14. 已知x1，x2是方程x2﹣x﹣3＝0的两根，则＝_____．
【答案】-
【解析】
【分析】利用根与系数的关系可得出x1+x2=1，x1•x2=-3，将其代入=中即可得出结论．
【详解】解：∵x1，x2是方程x2﹣x﹣3＝0的两根，
∴x1+x2＝1，x1•x2＝﹣3，
∴＝＝＝﹣．
故答案为﹣．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于-，两根之积等于”是解题的关键．
15. 如图，小明用图中的扇形纸片作一个圆锥的侧面，已知扇形的圆心角为，面积是，那么这个圆锥的底面半径是______．
【答案】##5厘米
【解析】
【分析】本题主要考查了求扇形的面积．设这个圆锥的底面半径是，根据扇形的面积公式计算，即可求解．
【详解】解：设这个圆锥的底面半径是，根据题意得：
，
解得：（负值舍去），
即这个圆锥的底面半径是．
故答案为：
16. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为2，∠D＝110°，则的长为__．
【答案】##
【解析】
【分析】连接OA、OC，先求出∠ABC的度数，然后得到∠AOC，再由弧长公式即可求出答案．
【详解】解：连接OA、OC，如图，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠D＝110°，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查了弧长的计算以及圆周角定理，解答本题的关键是掌握弧长公式．
17. 如图，是的直径，为的弦，于点．若，，则涂色部分的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，扇形的面积公式，熟练掌握垂径定理，扇形的面积公式是解题的关键．连接，利用垂径定理、勾股定理求出及扇形面积，运用扇形的面积减去的面积即可．
【详解】解：是的直径，，，，
，
连接，
设的半径为r，则，
，
解得：，
，
在中，
，
，
涂色部分的面积
．
故答案为：．
18. 如图，在中，，是边上的中线．若，，则的外接圆圆心与内切圆圆心之间的距离为______．
【答案】
【解析】
【分析】连接，，，，，作于M，作于N， 中根据三线合一得到，，平分，中根据勾股定理得到，根据三角形内心性质得到， Q在上， ，根据角平分线性质得到 ，根据判定，得到， ，中，根据勾股定理得到；根据三角形外心性质得到，得到垂直平分，A、D、P三点共线，中根据三线合一得到，根据，，推出，得到，得到，得到．
【详解】连接，，，，，过P作于M，过Q作于N，
∵，是边上的中线，
∴，，平分，
∵，
∴，
∵Q是的内心，
∴Q在上，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，即；
∵P为的外心，
∴，
∴垂直平分，
∴A、D、P三点共线，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形，三角形的内心外心，线段垂直平分线，角平分线，全等三角形，相似三角形，勾股定理等．熟练掌握等腰三角形三线合一的性质，三角形的内心性质外心性质，线段垂直平分线判定和性质，角平分线判定和性质，全等三角形判定和性质，相似三角形判定和性质，勾股定理解直角三角形，是解决问题的关键．
三、解答（19—22每题8分，23—26每题10分，27、28每题12分，共96分）
19. 解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程：
（1）利用公式法解答，即可求解；
（2）利用因式分解法解答，即可求解．
小问1详解】
解：
∵，
∴，
∴，
解得：；
【小问2详解】
解：
∴，
即，
∴，
解得：．
20. 如图，在长7米，宽5米的矩形地面，沿纵向，横向修建两条相同宽度的道路，余下部分用作花坛，要使花坛的面积为24 m2，道路的宽应为多少？
【答案】道路的宽应为1米
【解析】
【分析】设道路的宽应为x米，则余下部分可合成长为（7﹣x）米，宽为（5﹣x）米的矩形，根据花坛的面积为24 m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【详解】解：设道路的宽应为x米，则余下部分可合成长为（7﹣x）米，宽为（5﹣x）米的矩形，
依题意得：（7﹣x）（5﹣x）＝24，
整理得：x2﹣12x+11＝0，
解得：x1＝1，x2＝11（不合题意，舍去）．
答：道路的宽应为1米．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正值列出一元二次方程是解题的关键.
21. 如图，为的直径，弦于E，连接，若，，则求的长．

【答案】的长为8
【解析】
【分析】本题主要考查垂径定理、勾股定理，根据圆的性质可得，再根据进而可求；掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：∵为的直径，弦，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
22. 为准备参加元旦文娱汇演活动，学校合唱团需招收新成员．甲、乙、丙、丁四名同学报名参加了应聘活动，其中甲、乙同学来自八年级，丙、丁同学来自九年级，现对这四名同学采取随机抽取的方式进行面试．
（1）若随机抽取一名同学，恰好抽到甲同学的概率为______；
（2）若随机抽取两名同学，请用画树状图或列表法求两名同学均来自九年级的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了列表法或树状图法求随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果情况是解题关键﹒
（1）共有4种可能出现的结果，抽到小艺的只有1种，可求出抽到小艺的概率；
（2）用树状图表示所有可能出现的结果，进而求出两个同学均来自九年级的概率．
【小问1详解】
解：共有4种可能的结果，抽到甲的只有1种；
故恰好抽到甲同学的概率为∶．
【小问2详解】
设甲、乙、丙、丁分别用表示
树状图如下：
由图可知共有种情况，其中两名同学均来自九年级共2种情况；
故两名同学均来自九年级的概率为：．
23. 甲、乙两人在5次打靶测试中命中的环数如下：甲：8，8，7，8，9；乙：5，9，7，10，9
（1）装格中 ； ： ；
（2）教练根据这5次成绩，选择甲参加射击比赛，教练的理由是什么？
（3）如果乙再射击1次，命中8环，那么乙的射击成绩的方差 ．（填“变大”、“变小”或“不变”）
【答案】（1）8；9；0.4
（2）理由见解析 （3）变小
【解析】
【分析】（1）根据平均数、中位数和方差计算公式求解即可；
（2）根据方差越小，数据越稳定求解即可；
（3）根据方差公式求解即可判断．
【小问1详解】
解：乙射击成绩的平均数为，
将乙的射击成绩从小到大排列：5，7，9，9，10，则乙的中位数，
甲的射击成绩的方差，
故答案为：8；9；0.4；
【小问2详解】
解：∵他们的平均数相等，虽然乙的射击成绩的中位数和众数大于甲，但甲的射击成绩的方差小，成绩比较稳定，
∴选择甲参加射击比赛；
【小问3详解】
解：乙再射击1次，命中8环，此时乙的射击成绩的方差为
，
∵，
∴乙的射击成绩的方差变小了，
故答案为：变小．
【点睛】本题考查平均数、众数、中位数、方差，熟练掌握各知识的求解方法，会利用方差作决策是解答的关键．
24. 已知关于x的一元二次方程x2+ax+a﹣2＝0．
（1）若该方程的一个根为﹣2，求a的值及该方程的另一根；
（2）求证：无论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
【答案】（1）a=2，x=0；（2）见解析
【解析】
【分析】（1）将x＝-2代入方程x2＋ax＋a－2＝0得到a的值，再解方程求出另一根.
（2）写出根的判别式，配方后得到完全平方式进行解答.
【详解】（1）将x＝-2代入方程x2＋ax＋a－2＝0得，4－2a＋a－2＝0，解得a＝2.方程为x2＋2x＝0，解得x1＝0，x2＝-2，即方程的另一解为0.
（2）∵＝a2－4(a－2)＝a2－4a＋8＝a2－4a＋4＋4＝(a－2)2＋4＞0，
∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.
【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式的关系和一元二次方程的解的定义..
25. 如图，▱ABCD中，∠DAB＝45°，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AB＝2，求图中阴影部分的面积（结果保留π）.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）连结OD，由于OA＝OD，∠BAD＝45°，所以∠AOD＝90°，根据平行四边形的性质得AD∥BC，则∠ODC＝∠AOD＝90°，于是可根据切线的判定定理证明CD为⊙O的切线；
（2）根据梯形和扇形的面积公式，利用阴影部分的面积＝S梯形OBCD﹣S扇形BOD进行计算即可．
【详解】（1）证明：连结OD，如图，
∵OA＝OD，∠DAB＝45°，
∴∠DAB＝∠ADO＝45°，∠AOD＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ODC＝∠AOD＝90°，
即OC⊥CD，
∴CD为⊙O的切线；
（2）∵AB＝2，
∴OB＝1，CD＝2，
∴阴影部分的面积＝S梯形OBCD﹣S扇形BOD
．
【点睛】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了梯形和扇形的面积公式．
26. 在中，．
（1）如图①，点A在以BC为直径的半圆外，AB、AC分别与半圆交于点D、E，求证：；
（2）如图②，点A在以BC为直径的半圆内，请用无刻度的直尺在半圆上画出一点D，使得是等腰直角三角形（保留作图痕迹，不写画法）．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【解析】
【分析】（1）连接，由等边对等角得到，由直径所对的圆周角是90°可得，继而证明，由全等三角形的对应边相等即可得到结论；
（2）延长交圆于点，延长交圆于点，延长、交于点，连接，交圆于点，延长线交于点，连接，根据直角所对的圆周角是90°，可得，继而可证，根据全等三角形的对应边相等，解得，再证明，可得，进而得到，最后根据线段垂直平分线的性质得到，即可解题．
【详解】（1）证明：连接
∵
∴
∵为直径
∴
在和中，
∴
∴
（2）如图点D即为所求作的点，理由如下：
延长交圆于点，延长交圆于点，延长、交于点，连接，交圆于点，延长线交于点，
直径，
在与中，
在与中，
根据等腰三角形三线合一的性质得
在的垂直平分线上
是等腰直角三角形．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、直径所对的圆周角是90°、基本作图、等腰直角三角形的判定等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
27. △ABC中，∠B=90°，AB=9，BC=12，点p从点A开始延边AB向点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，问：
（1）填空：BQ=______，PB=______（用含t的代数式表示）
（2）经过几秒，PQ的长为cm？
（3）经过几秒，的面积等于?
【答案】（1）2t，9 – t（2）t1=，t2=3（3）t=1
【解析】
【分析】（1）根据路程=速度×时间就可以表示出BQ，AP．再用AB-AP就可以求出PB的值．
（2）在Rt△PBQ中由（1）结论根据勾股定理就可以求出其值．
（3）利用（1）的结论，根据三角形的面积公式建立方程就可以求出t的值．
【详解】（1）BQ=2t，PB=9 – t.
故答案为：2t，9-t；
（2）由题意得：（9-t）2+（2t）2=72，
解得：t1=，t2=3；
（3）S△PBQ =×BP×BQ =×(9-t)×2t=8，
解得：t1=8，t2=1.
∵0≤t≤6，
∴t=1．
【点睛】本题考查的是动点问题，熟练掌握勾股定理和三角形面积公式是解题的关键．
28. 问题呈现：阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，M是的中点，则从M向所作垂线的垂足D是折弦的中点，即．下面是运用“截长法”证明的部分证明过程．

（1）证明：如图2，在上截取，连接和．
∵M是的中点，
∴
……
请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
实践应用：
（2）如图3，已知内接于，，D是的中点，依据阿基米德折弦定理可得图中某三条线段的等量关系为 ．
（3）如图4，已知等腰内接于，，D为上一点，连接，，于点E，的周长为，，请求出的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）4
【解析】
【分析】（1）首先证明，进而得出，再利用等腰三角形的性质得出，即可得出答案；
（2）直接根据阿基米德折弦定理得出结论；
（3）根据阿基米德折弦定理得出，进而求出，最后用勾股定理即可得出结论．
【详解】（1）证明：如图2，在上截取，连接和．

∵M是的中点，
∴．
在和中，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）根据阿基米德折弦定理得，，
答案为：；
（3）根据阿基米德折弦定理得，，
∵的周长为，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴．
【点睛】此题是圆的综合题，考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，理解和应用阿基米德折弦定理解题关键．平均数
中位数
众数
方差
8.0
8.2
8.3
0.2
平均数
众数
中位数
方差
甲
8
8
8
c
乙
a
9
b
3.2