江苏省沭阳县南洋学校、实验中学2023-2024学年九年级上学期第二次月考数学试题

这是一份江苏省沭阳县南洋学校、实验中学2023-2024学年九年级上学期第二次月考数学试题，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

初三数学
一、选择题（本大题有8小题，每小题3分，共24分．）
1. 一元二次方程 x（x﹣3）＝x﹣3 的解是（ ）
A. x1＝x2＝1B. x1＝0，x2＝3C. x1＝1，x2＝3D. x＝0
【答案】C
【解析】
【分析】利用因式分解法求解即可．
【详解】解：∵
∴，
∴，
即或，
解得，．
故选：C．
【点睛】本题考查解一元二次方程——因式分解法．能将看成整体提取公因式是解题关键．
2. 两组数据：3，a，b，5与a，4，2b的平均数都是3，若将这两组数据合并为一组新数据，下列说法错误的是（ ）
A. 平均数仍是3B. 众数是3
C. 中位数是3D. 方差是1
【答案】D
【解析】
【分析】根据平均数的意义，求出a、b的值，进而确定两组数据，再合并成一组，再根据中位数、众数、方差的定义求解即可．
详解】解：由题意得，，
解得，
这两组数据为：3、3、1、5和3、4、2，这两组数合并成一组新数据，您看到的资料都源自我们平台，20多万份试卷，家威杏 MXSJ663 每日最新，性比价最高在这组新数据中，出现次数最多的是3，因此众数是3，平均数不变，仍然是3；
重新排列为1、2、3、3、3、4、5，其中位数是3，
方差为×[（1﹣3）2＋（2﹣3）2＋3×（3﹣3）2＋（4﹣3）2＋（5﹣3）2]＝，
故选：D．
【点睛】本题考查平均数、众数的意义和计算方法，二元一次方程组的应用，理解平均数、众数的意义和计算方法是得出正确答案的前提．
3. 下列语句中，错误的有（ ）
①相等的圆心角所对的弧相等；②等弦对等弧；③长度相等的两条弧是等弧；④方程的两个实数根之和为4．
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】根据圆、圆心角、弧、弦的相关知识以及一元二次方程根的判别式进行计算，进行解答即可．
【详解】①同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故①错误；
②同圆或等圆中，等弦所对的劣弧或优弧相等，故②错误；
③等弧是能够完全重合的弧是等弧,长度相等的弧不一定是等弧，故③错误；
④方程中，，故无实数根，故④错误．
故选：D．
【点睛】本题主要考查圆的相关概念和圆心角，弧与弦的概念，一元二次方程根的判别式，解决本题的关键是要熟练掌握圆的相关性质和定理一元二次方程根的判别式．
4. 在四张反面无差别的卡片上，其正面分别印有线段、等边三角形、平行四边形和正六边形．现将四张卡片的正面朝下放置，混合均匀后从中随机抽取两张，则抽到的卡片正面图形都是轴对称图形的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先判断各图形是否是轴对称图形，再根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与抽到卡片上印有的图案都是轴对称图形的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：∵线段是轴对称图形，等边三角形是轴对称图形，平行四边形不是轴对称图形，正六边形是轴对称图形，
分别用A、B、C、D表示线段、等边三角形、平行四边形和正六边形，
∴随机抽取两张，则抽到的卡片正面图形都是轴对称图形的概率为=，
故选：A．
【点睛】本题考查概率公式、轴对称图形，解答本题的关键是写出题目中的图形是否为轴对称图形，明确两张都是轴对称图形是同时发生的．
5. 若将半径为12cm的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径是（ ）
A. 2cmB. 3cmC. 4cmD. 6cm
【答案】D
【解析】
【详解】解：圆锥的侧面展开图的弧长为2π×12÷2=12π（cm），∴圆锥的底面半径为12π÷2π=6（cm），故选D．
6. 面试时，某应聘者的学历、经验和工作态度的得分分别是72分、86分、60分，若依次按照1：3：2的比例确定成绩，则该应聘者的最终成绩是（ ）
A. 75B. 72C. 70D. 65
【答案】A
【解析】
【分析】根据题目中的数据和加权平均数的计算方法可以解答本题．
【详解】解：该应聘者的最终成绩为：
=12+43+20
=75（分），
故选：A．
【点睛】本题考查加权平均数，解答本题的关键是明确加权平均数的计算方法．
7. 如图，点和分别是的内心和外心，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据圆周角定义，以及内心的定义，可以利用∠C表示出∠AIB和∠AOB，即可得到两个角的关系可进一步得出结论．
【详解】解：∵点I是△ABC的内心，
∴∠IAB=∠CAB，∠IBA=∠CBA，
∴∠AIB=180°-（∠IAB+∠IBA）
=180°-（∠CAB+∠CBA），
=180°-（180°-∠C）
=90°+∠C，
∵
∴∠C=70°，
∵点O是△ABC的外心，
∴∠AOB=2∠C=140°，
故选：D．
【点睛】本题考查了圆周角定理以及三角形的内心的性质，正确利用∠C表示∠AIB的度数是关键．
8. 将等腰直角三角板与量角器按如图方式放置，其中为半圆形量角器的刻度线，直角边与量角器相切于点，斜边与量角器相交于点，若量角器在点的读数为120°，则量角器在点的读数是（ ）
A. 130°B. 135°C. 150°D. 160°
【答案】C
【解析】
【分析】根据切线的性质及三角板的特点求出，再求出，得到，再得到，故可求解．
【详解】如图，连接、，由为切点可知：，
∵，
∴，由题意可得：，则，
∴，
∴，
∴，即量角器在点的读数为．
故选：C．
【点睛】此题主要考查切线的综合运用，解题的关键是熟知切线的性质、三角板的特点及圆周角与圆心角的性质．
二、填空题（本大题有10小题，每小题3分，共30分．）
9. 一组数据：2,5,3,1,6，则这组数据的中位数是________.
【答案】3
【解析】
【详解】【分析】根据中位数的定义进行求解即可得出答案.
【详解】将数据从小到大排列：1，2，3，5，6，
处于最中间的数是3，
∴中位数为3，
故答案为3.
【点睛】本题考查了中位数的定义，中位数是将一组数据从小到大或从大到小排列，处于最中间（中间两数的平均数）的数即为这组数据的中位数.
10. 关于x的方程是一元二次方程，则k的取值范围是 ______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的定义．只含有1个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程，根据二次项的系数不等于0解答即可．
【详解】解：关于x的方程是一元二次方程，
k的取值范围是．
故答案为：．
11. 扇形的弧长是扇形的的半径为6，圆心角为_______．
【答案】##度
【解析】
【分析】本题考查了圆心角的计算，熟练掌握弧长公式：是解题的关键．
把已知数据代入弧长公式：，计算即可得到答案．
【详解】解；设圆心角的度数为，根据题意可得：，
解得．
故答案为：．
12. 甲、乙两个篮球队队员身高的平均数都为2.07米，方差分别是s甲2、s乙2，且s甲2＞s乙2，则队员身高比较整齐的球队是_____．
【答案】乙队
【解析】
【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【详解】∵s甲2＞s乙2，平均数相同，
∴队员身高比较整齐的球队是乙队，
故答案为：乙队．
【点睛】此题考查方差的意义．解题关键在于掌握方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
13. 直角三角形的两条直角边分别是5和12，则它的内切圆半径为_____．
【答案】2
【解析】
【分析】先利用勾股定理计算出斜边的长，然后利用直角三角形的内切圆的半径为（其中、为直角边，为斜边）求解．
【详解】直角三角形的斜边，
所以它的内切圆半径.
故答案为2．
【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角；直角三角形的内切圆的半径为（其中、为直角边，为斜边）．
14. 使得方程有两个不相等实根，则k的取值范围是 ______．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，根据一元二次根的情况得到关于k的不等式，解不等式即可得到答案．
【详解】解：∵方程有两个不相等实根，
∴，
∴，
故答案为：
15. 如图，两个同心圆，大圆半径为5cm，小圆半径为3cm，若大圆的弦AB与小圆相交，则弦AB的取值范围是_____．
【答案】8＜AB≤10．
【解析】
【分析】首先要弄清楚AB在什么时候最大，什么时候最小．当AB与小圆相切时有一个公共点，此时可知AB最小；当AB经过同心圆的圆心时，弦AB最大且与小圆相交有两个公共点，此时AB最大，由此可以确定所以AB的取值范围．
【详解】解：如图，当AB与小圆相切时有一个公共点D，
连接OA，OD，
可得OD⊥AB，
∴D为AB的中点，即AD＝BD．
在Rt△ADO中，OD＝3，OA＝5，
∴AD＝4．
∴AB＝2AD＝8．
当AB经过同心圆的圆心时，弦AB最大且与小圆相交有两个公共点，此时AB＝10．
∴AB的取值范围是8＜AB≤10．
故答案为：8＜AB≤10．
【点睛】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：垂径定理，勾股定理，以及切线的性质，其中解题的关键是抓住两个关键点：1、当弦AB与小圆相切时最短；2、当AB过圆心O时最长．
16. P在直线上运动，当半径为3的与x轴相切时P点坐标为_____．
【答案】或##或
【解析】
【分析】本题考查直线与圆的位置关系，与x轴相切时，点P的纵坐标的绝对值等于半径，由此列式求解即可．
【详解】解：设点P的坐标为，
与x轴相切，
，
解得或，
点P坐标为或，
故答案为：或．
17. 如图，五个半径为2的圆，圆心分别是点A，B，C，D，E，则图中阴影部分的面积和是___．
【答案】
【解析】
【分析】根据五边形的内角和公式，可得出圆心角之和等于五边形的内角和，由于半径相同，根据扇形的面积公式计算即可．本题考查了扇形的面积计算，解决本题的关键是将阴影部分当成一个扇形的面积来求，圆心角为五边形的内角和．
【详解】解：由图可得，5个扇形的圆心角之和为：
则五个阴影部分的面积之和．
故答案为：．
18. 如图，在矩形中，，点E在折线上运动，连结，过点B作于点M，则D，M两点之间的最小距离为 ____．
【答案】##
【解析】
【分析】取的中点T，连接．求出，，根据即可得到答案．
【详解】解：取的中点T，连接．
∵四边形是矩形，，
∴，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴DM的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查直角三角形中线的性质，勾股定理，三角形三边的关系，矩形的性质，解本题的关键是根据直角三角形中线的性质正确做出辅助线．
三、解答题（本大题有10小题，共96分．解答时应写出文字说明或演算步骤．）
19. 解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】本题考查解一元二次方程：
（1）利用因式分解法求解；
（2）将原式变形为，再利用因式分解法求解．
【小问1详解】
解：，
，
或，
解得，；
【小问2详解】
解：，
，
，
或，
解得，．
20. 国庆节前，某校经过层层选拔，初步选定5名学生作为参加全县举办的“中国梦，青春梦”演讲比赛候选人，其中女生3名男生2名，假设每个选手的被选中机会均是等可能的．
（1）若派一人参加比赛，则选派女生参加比赛的概率是 ；
（2）若选派两人参加比赛，用树状图或表格求恰好选中一男一女的概率．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）由概率公式求解即可；（2）画树状图展示所有20种可能的结果数，再找出选中一男一女的结果数，然后根据概率公式求解即可．
【详解】解：（1）若派一人参加比赛，则选派女生参加比赛的概率是，
故答案为：；
（2）画树状图：
共20种等可能的结果数，其中选中一男一女的结果数为12，
∴恰好选中一男一女的概率是＝．
【点睛】本题考查了树状图法，利用树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．
21. 如图，在单位长度为1的正方形网格中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，完成下列问题：
（1）在图中标出圆心D，则圆心D点的坐标为 ；
（2）连接AD、CD，则∠ADC的度数为 ；
（3）若扇形DAC是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥底面半径．
【答案】（1）(2，0) （2）90°（3）r=
【解析】
【分析】（1）利用垂径定理可作AB和BC的垂直平分线，两线的交点即为D点，可得出D点坐标；
（2）在△AOD中AO和OD可由坐标得出，利用勾股定理可求得AD和CD，过C作CE⊥x轴于点E，则可证得△OAD≌△EDC，可得∠ADO=∠DCE，可得∠ADO+∠CDE=90°，可得到∠ADC的度数；
（3）先求得扇形DAC的面积，设圆锥底面半径为r，利用圆锥侧面展开图的面积=πr•AD，可求得r．
【详解】（1）如图，
分别作AB、BC的垂直平分线，两线交于点D，
∴D点的坐标为（2，0），
故答案为（2，0）；
（2）如图2，连接AD、CD，过点C作CE⊥x轴于点E，
则OA=4，OD=2，在Rt△AOD中，可求得AD=2，
即⊙D的半径为2，
且CE=2，DE=4，
∴AO=DE，OD=CE，
在△AOD和△DEC中，，
∴△AOD≌△DEC（SAS），
∴∠OAD=∠CDE，
∴∠CDE+∠ADO=90°，
∴∠ADC=90°，
故答案为90°；
（3）弧AC的长=π×2=π，
设圆锥底面半径为r则有2πr=π，
解得：r=，
所以圆锥底面半径为．
故答案为
【点睛】本题主要考查垂径定理和全等三角形的判定和性质、扇形和圆锥的有关计算等知识的综合应用，掌握确定圆心的方法，即确定出点D的坐标是解题的关键，在求圆锥底面半径时注意圆锥的侧面积计算公式利用．
22. 八年级（4）班组织了一次经典朗读比赛，甲、乙两队各有10人，比赛成绩如下表：
（1）甲队成绩的中位数是______分，乙队成绩的众数是______分；
（2）计算乙队的平均成绩和方差；
（3）已知甲队成绩的方差是，则成绩较为整齐的是______队．
【答案】（1），
（2）平均成绩分，方差
（3）乙
【解析】
【分析】（1）本题考查了中位数和众数的概念，掌握概念即可解题．
（2）本题考查平均数和方差的运算公式，掌握运算公式即可解题．
（3）本题考查方差的概念，根据方差越大，波动越大，越不稳定即可解题．
【小问1详解】
解：将甲队成绩从小到大进行排列，有7、7、8、9、9、10、10、10、10、10，
第5、6位成绩是9、10，所以甲队成绩的中位数是，
由题知乙队成绩出现次数最多的是10，所以乙队成绩的众数是10，
故答案为：，．
【小问2详解】
解：由题知，乙队的平均成绩（分），
乙队的方差，
答：乙队的平均成绩为分，乙队的方差为．
【小问3详解】
解：，
甲队波动较大，乙队比较稳定，
故答案为：乙．
【点睛】本题考查了中位数、众数、平均数、方差和根据方差判断数据的稳定性，解题的关键在于熟练掌握相关概念和公式．
23. 在中，．
（1）如图①，点O在斜边上，以点O为圆心，长为半径的圆交于点D，交于点E，与边相切于点F．求证：；
（2）在图②中作，使它满足以下条件：
①圆心在边上；②经过点B；③与边相切．（尺规作图，只保留作图痕迹，不要求写出作法）
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查圆和切线的性质和基本作图的综合应用．掌握连接圆心和切点的半径与切线垂直是解题的关键．
（1）由切线的性质可得，推出，由平行线的性质可得，由等边对等角可得，等量代换可得；
（2）先作的角平分线，与交于点F，再作的垂直平分线，与交于点M，以点M为圆心，为半径作圆即可．
【小问1详解】
证明：如图①，连接，
与相切于点F，
，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：如图②，即为所求．
证明：∵M在的垂直平分线上，
∴，
∴，
又∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴与边相切．
24. 已知△ABC的一条边BC的长为5，另两边AB、AC的长是关于的一元二次方程的两个实数根．
（1）求证：无论为何值时，方程总有两个不相等实数根．
（2）为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形．
（3）为何值时，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周长．
【答案】（1）见解析；（2）当时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形；（3）或，周长为14或16.
【解析】
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式即可得出△=1＞0，由此即可得出方程有两个不相等的实数根；
（2）利由一元二次方程根与系数关系，得：，，根据BC=5利用勾股定理即可得出关于k的一元二次方程，解方程即可得出k的值；
（3）根据（1）结论可得出AB≠AC，由此可找出△ABC是等腰三角形分两种情况，分AB=BC、AC=BC两种情况考虑，根据两边相等找出关于k的一元一次方程，解方程求出k值，进而可得出三角形的三边长，再根据三角形的周长公式即可得出结论．
【详解】解：(1)∵
，
∴无论为何值时，方程总有两个不相等的实数根；
(2)∵AB、AC的长是关于的一元二次方程的两个实数根，
∴由一元二次方程根与系数的关系，得：，，
又∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形，由勾股定理，得：，
即，
∴，
整理，得：，解得：，，
∵AB、AC是△ABC的两条边，∴AB＞0，AC＞0，∴AB+AC＞0
而当时，AB+AC＝2×（-5）＋3＝-7＜0，∴不合题意，舍去，故，
∴当时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形；
（3）由（1）的结论可知，，∴BC边只能是腰，
∴AB、AC中必有一边长为5，不妨设AB＝5，
也就是说关于的一元二次方程必有一根为5，
∴，整理得：，解得：，，
当时，原方程为，两根为：，，这时有AB＝5，AC＝4，BC＝5能构成一个等腰三角形，其周长为14，
当时，原方程为，两根为：，，这时有AB＝5，AC＝6，BC＝5能构成一个等腰三角形，其周长为16.
【点睛】本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程以及等腰三角形的判定，熟练掌握“当根的判别式△＞0时，方程有两个不等实数根．”是解题的关键．
25. 如图，分别是⊙O的直径和弦，于点D．过点A作的切线与的延长线交于点P，的延长线交于点F．

（1）求证：是的切线；
（2）若，，求线段的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据垂径定理可得垂直平分，进而得出，再证，可得，即可证明是的切线；
（2）先证是等边三角形，推出，再利用锐角三角函数解即可求出的长．
【小问1详解】
证明：是的切线，
．
如图，连接，

，经过圆心O，
，
垂直平分，
，
在和中，
，
，
，
即，
∵为半径，
是的切线；
【小问2详解】
解：，，
是等边三角形，
，
，
，
由（1）知，
，
．
【点睛】本题考查垂径定理，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，切线的判定和性质等，综合应用上述性质或定理是解题的关键．
26. 芯片目前是全球紧缺资源，合肥市政府通过资本招商引进“芯屏汽合、集终生智”等优势产业，发展新兴产业．合肥某芯片公司，引进了一条内存芯片生产线．开工第一季度生产200万个，第三季度生产288万个．试回答下列问题：
（1）求前三季度生产量的平均增长率；
（2）经调查发现，1条生产线最大产能是600万个/季度，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少20万个/季度．
①现该公司要保证每季度生产内存芯片2600万个，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下（生产线越多，投入成本越大），应该再增加几条生产线？
②是否能增加生产线，使得每季度生产内存芯片4820万个，若能，应该再增加几条生产线？若不能，请说明理由．
【答案】（1）前三季度生产量的平均增长率20%
（2）①应该增加4条生产线；②不能增加生产线，使得每季度生产内存芯片4820万个，理由见解析
【解析】
【分析】（1）设前三季度生产量的平均增长率为x，利用第三季度的产量＝第一季度的产量×（1＋增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解方程即可得出结论；
（2）①设应增加m条生产线，则每条生产线的最大产能为（600−20m）万个/季度，利用总产量＝每条生产线的产量×生产线的数量，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，再结合在增加产能同时又要节省投入，即可确定m的值；
②设增加a条生产线，则每条生产线的最大产能为（600−20a）万个/季度，利用总产量＝每条生产线的产量×生产线的数量，即可得出关于a的一元二次方程，由根的判别式Δ＝−3＜0，可得出该方程无实数根，进而可得出不能增加生产线，使得每季度生产内存芯片4820万个．
【小问1详解】
解：设前三季度生产量的平均增长率为x，
依题意得：200（1＋x）2＝288，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝−2.2（不合题意，舍去），
答：前三季度生产量的平均增长率20%；
【小问2详解】
解：①设增加m条生产线，则每条生产线的最大产能为（600−20m）万个/季度，
依题意得：（1＋m）（600−20m）＝2600，
整理得：m2−29m＋100＝0，解得：m1＝4，m2＝25，
∵在增加产能同时又要节省投入，
∴m＝4，
答：应该增加4条生产线；
②不能．
理由如下：
设增加a条生产线，则每条生产线的最大产能为（600−20a）万个/季度，
依题意得：（1＋a）（600−20a）＝4820，
整理得：a2＋29a＋211＝0，
∵b2−4ac＝292−4×1×211＝−3＜0，
∴该方程无实数根，
∴不能增加生产线，使得每季度生产内存芯片4820万个．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）①找准等量关系，正确列出一元二次方程；②牢记对于一元二次方程“当Δ＜0时，方程无实数根”．
27. 如图，在正方形中，，E是的中点，将绕点B按逆时针方向旋转后，点E落在延长线上的点F处，点C落在点A处；再将线段绕点F按顺时针方向旋转得到线段，连接，
．
（1）求证：；
（2）求点C、A在旋转过程中形成的弧、弧与线段所围成的阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据正方形的性质可得，，，再根据旋转变化只改变图形的位置不改变图形的形状可得，根据全等三角形的性质可得，然后求出，再求出，根据内错角相等，两直线平行可得，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断出四边形是平行四边形，然后根据平行四边形的对边平行证明；
（2）求出的长，再利用勾股定理列式求出的长，根据平行四边形的性质可得，从而得到，再根据列式计算即可得解．
【小问1详解】
证明：在正方形中，，，
∵绕点B逆时针旋转得到，
∴，
∴，
∴，
∵将线段绕点F按顺时针方向旋转得到线段，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴；
【小问2详解】
解：∵，E是的中点，
∴，
∴，
由平行四边形的性质，，
∴，
∴
，
．
【点睛】此题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转变换的性质，勾股定理的应用，扇形的面积计算，熟记各性质并准确识图是解题的关键．
28. 定义：同一个圆中，互相垂直且相等的两条弦叫做等垂弦，等垂弦所在直线的交点叫做等垂点．
（1）如图1，是的等垂弦，，垂足分别为D，E．求证：四边形是正方形；
（2）如图2，是的弦，作，分别交于D，C两点，连接．求证：，是的等垂弦；
（3）已知的半径为10，，是的等垂弦，P为等垂点．若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）或
【解析】
【分析】（1）根据垂直的定义及等垂弦定义推出四边形是矩形，根据垂径定理得出，即可判定矩形是正方形；
（2）连接，由圆心角、弦的关系可得，由圆周角定理可得，，可证，可得结论；
（3）分两种情况讨论，过点O作，作，可证矩形为正方形，利用勾股定理可求解．
【小问1详解】
证明：∵是的等垂弦，，
∴，
∴四边形是矩形，
∵是的等垂弦，
∴，
∵，
∴，
∴矩形是正方形；
【小问2详解】
证明：设交于点E，连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
即，
∵，
∴是的等垂弦；
【小问3详解】
解：若点P在内，过点O作，垂足为H，作，垂足为G，如图，
∵是的等垂弦，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴矩形为正方形，
∴，
∵，且，
∴，
在中，，
即，
解得，
∴，
∴；
若点P在外，过点O作，垂足为H，作，垂足为G，如图，
同理，，则；
∴或．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．甲
7
8
9
7
10
10
9
10
10
10
乙
10
8
7
9
8
10
10
9
10
9