2.15 三元一次方程组及其解法 浙教版数学七年级下册基础知识讲与练巩固篇(含答案)

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专题2.15 三元一次方程组及其解法（巩固篇）（专项练习）一、单选题1．已知三个实数a、b、c满足a+b+c＝0，a﹣b+c＝0，则下列结论一定成立的是（    ）A．a+b≥0 B．a+c＞0 C．b+c≥0 D．b2﹣4ac≥02．三元一次方程的正整数解有（    ）A．2组 B．4组 C．6组 D．8组3．如果，其中，那么等于（    ）A．1：2：3 B．2：3：1 C．4：3：1 D．3：2：14．已知方程组的解，使成立，则的值是(   )A．0 B． C．1 D．25．在y=ax2+bx+c中，当x=1时，y=0；当x=﹣1时，y=6；当x=2时，y=3；则当x=﹣2时，y=（    ）A．13 B．14 C．15 D．166．已知实数x，y，z满足，则代数式3(x﹣z)+1的值是(  )A．﹣2 B．﹣4 C．﹣5 D．﹣67．解方程组若要使运算简便，消元时应(　　)A．先消去x B．先消去zC．先消去y D．以上说法都对8．以为解建立三元一次方程组，不正确的是（     ）A． B． C． D．9．已知是方程组的解，则的值为（    ）A．3 B．2 C．1 D．010．已知x＝2，y＝﹣1，z＝﹣3是三元一次方程组的解，则m2﹣7n+3k的值为(   )A．125 B．119 C．113 D．71二、填空题11．已知方程组 那么的值为_______．12．已知x，y，z满足，且，则____________．13．在方程中，若，，则________．14．已知：a、b、c是三个非负数，并且满足3a+2b+c＝6，2a+b﹣3c＝1，设m＝3a+b﹣7c，设s为m的最大值，则s的值为__．15．有甲、乙、丙三种商品，买甲3件，乙7件，丙1件，共需32元，买甲4件，乙10件，丙1件，共需43元，则甲、乙、丙各买1件需________元钱？16．某校用一笔钱来购买，两种奖品，若购买24个种奖品和14个种奖品则差30元，若购买20个种奖品和18个种奖品则余20元，那么用这笔钱购买28个种奖品和10个种奖品差_________元．17．重庆市举行了中学生足球联赛，共赛17轮（即每队均需比赛17场），记分办法是胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．若文德中学足球队的积分为16分，且踢平场数是所负场数的整数倍，且胜、平、负的场数各不相同．则文德中学足球队共负____场．18．新世纪百货推出A，B，C三种零食大礼包，每种礼包都由一定数量的坚果、牛肉干和薄脆饼组合搭配构成．三种大礼包的成本分别为礼包中三种零食的成本之和，同种零食的单价相同．已知袋牛肉干和袋薄脆饼的价格相同，一份A礼包包含袋坚果、袋牛肉干和袋薄脆饼，一份B礼包包含袋坚果、袋牛肉干和袋薄脆饼．若一份B，C礼包的成本相同，均比一份A礼包的成本贵，一份C礼包中的零食袋数与一份A礼包中的零食袋数之比为：，且一份C礼包中坚果袋数比牛肉干袋数多，则一份C礼包中的薄脆饼袋数比牛肉干袋数少______袋．三、解答题19．解下列方程组：（1）；  （2）．20．下面所示为教材中三元一次方程组的解题过程，请根据教材提供的做法和有关信息解决问题．其中的步骤二通过______法消去未知数，将三元一次方程组转化成了______．仿照以上思路解方程组，消去字母后得到的二元一次方程组为______．21．阅读材料：我们把多元方程（组）的非负整数解叫做这个方程（组）的“好解”．例如：就是方程3x+y＝11的一组“好解”；是方程组的一组“好解”．(1) 求方程x+2y＝5的所有“好解”；(2) 关于x，y，k的方程组有“好解”吗？若有，请求出对应的“好解”；若没有，请说明理由．22．某工程由甲、乙两队合做6天完成，厂家需付甲、乙两队共元；乙、丙两队合做10天完成，厂家需付乙、丙两队共元；甲、丙两队合做5天完成全部工程的，厂家需付甲、丙两队共(1) 求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？(2) 若工期要求不超过20天完成全部工程，问可由哪队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由．23．在求值问题中，我们经常遇到利用整体思想来解决问题．例如1：已知：，，求：的值．解：令……①……②①＋②得，所以，已知，求的值．解：①×2得：……③②－③得：．利用材料中提供的方法，解决下列问题：已知：关于，的二元一次方程组的解满足，求的值；某步行街摆放有甲、乙、丙三种造型的盆景分别，，盆．甲种盆景由15朵红花、8朵黄花和25朵紫花搭配而成，乙种盆景由10朵红花、6朵黄花和20朵紫花搭配而成，丙种盆景由10朵红花、7朵黄花和25朵紫花搭配而成．这些盆景一共用了2900朵红花，3750朵紫花，求黄花一共用了多少朵？24．某校开展校园科技节系列活动，校学生会代表小明到文具店购买文具作为奖品．小明第一次购买若干个文具袋作为奖品，这种文具袋标价每个10元，请认真阅读结账时老板与小明的对话图，求小明原计划购买文具袋多少个？小明第二次购买钢笔和签字笔共50支作为补充奖品，其中钢笔标价每支8元，签字笔标价每支6元．经过沟通，这次老板给予8折优惠，钢笔和签字笔合计288元，问小明购买了钢笔和签字笔各多少支？如果小明用48元去购买单价为3元的铅笔，单价为8元的钢笔，单价为5元的笔记本若干（三样都要买，把48元恰好用完），问有哪几种购买方案？参考答案1．D【分析】由a+b+c＝0，a﹣b+c＝0可以得出：b＝0，a+c＝0，即：b＝0，a、c互为相反数，然后判断各个选项正确与否.解：由a+b+c＝0，a﹣b+c＝0得，b＝0，a+c＝0，即：b＝0，a、c互为相反数，于是，选项A不正确，选项B不正确，选项C不正确，∵a、c互为相反数，∴ac≤0，﹣4ac≥0，又b＝0，∴b2﹣4ac≥0，因此选项D正确，故选：D.【点拨】此题考查解三元一次方程，互为相反数的应用，根据已知方程判定代数式的值，正确计算是解此题的关键.2．C【分析】最小的正整数是1，当x=1时，y+z=4，y分别取1，2,，3，此时z分别对应3，2，1；当x=2时，y+z=3，y分别取1，2，此时z分别对应2，1；当x=3时，y+z=2，y分别取1，此时z分别对应1；依此类推，然后把个数加起来即可．解：当x=1时，y+z=4，y分别取1，2,，3，此时z分别对应3，2，1，有3组正整数解；当x=2时，y+z=3，y分别取1，2，此时z分别对应2，1，有2组正整数解；当x=3时，y+z=2，y分别取1，此时z分别对应1，有1组正整数解；所以正整数解的组数共：3+2+1=6（组）．故选：C．【点拨】本题考查三元一次不定方程的解，解题关键是确定x、y、z的值，分类讨论．3．B【分析】把z当作已知数求出x、y的值，再代入求出即可．解：整理得：∵①×2−②得：7y=21z，∴y=3z，把y=3z代入①得：x+6z=8z，解得：x=2z，∴x:y:z=2z:3z:z=2:3:1，故选B.【点拨】此题考查解三元一次方程组，解题关键在于掌握运算法则.4．D【分析】先利用方程组得出用含m的代数式表示x、y，再把x、y的值代入到，解方程即可得到m的值．解：由题意可知，①，②，由①+②并化简，可得，由②×2-①并化简，可得，将，的值代入，可解得．故选：D．【点拨】本题主要考查了解三元一次方程组的知识，解题关键是熟练掌握加减消元法和代入消元法．5．C【分析】根据题意得到三元一次方程组得，再解方程组得，则y=2x2-3x+1，然后把x=-2代入计算．解：根据题意得，解方程组得，所以y=2x2-3x+1，当x=-2时，y=2×4-3×（-2）+1=15．故选C．【点拨】本题考查了解三元一次方程组：利用加减消元或代入消元把解三元一次方程组的问题转化为解二元一次方程组的问题．6．B【分析】将方程组②-①得：3x-3z=-5，整理得：3（x-z）=-5，把3（x-z）=-5代入代数式3（x-z）+1，即可得到答案．解：方程组，②﹣①得：3x﹣3z＝﹣5，整理得：3(x﹣z)＝﹣5，把3(x﹣z)＝﹣5代入代数式3(x﹣z)+1得：﹣5+1＝﹣4，即代数式3(x﹣z)+1的值是﹣4，故选B．【点拨】本题考查解三元一次方程组，正确掌握加减消元法消去未知数是解决本题的关键．7．C【分析】经观察发现，3个方程中先消去y，即可得到一个关于x、z的二元一次方程组，再用加减消元法和代入法解方程即可．解：方程①+②可直接消去未知数y，②-③也可直接消去y，那么即可得到一个关于x、z的二元一次方程组，∴要使运算简便，消元的方法应选取先消去y，故选C．【点拨】本题的实质是考查三元一次方程组的解法．先把“三元”转化为“二元”、把“二元”转化为“一元”的消元的思想方法，从而进一步理解把“未知”转化为“已知”，把复杂问题转化为简单问题的思想方法．8．C【分析】将未知数的值分别代入方程中验算即可得解.解：因为将未知数的值分别代入A、B、D选项中，左边=右边，代入C项中为，所以选择C．9．A【分析】把代入方程组，然后把三个方程相加，即可求出答案解：根据题意，把代入方程组，得，由①+②+③，得，∴；故选：A【点拨】本题考查了方程组的解，加减消元法解方程组，解题的关键是掌握解方程组的方法进行计算10．C【分析】把x、y、z的值代入方程组，求出m、n、k的值，最后代入求出代数式的值即可．解：∵x=2，y=﹣1，z=﹣3是三元一次方程组的解，∴代入得：，解得：k=﹣2，m=7，n=﹣10，∴m2﹣7n+3k=49+70﹣6=113．故选C．【点拨】本题考查了方程组的解、解三元一次方程组、求代数式的值等知识点，能求出m、n、k的值是解答此题的关键．11．-3【分析】把三个方程相加得到新的方程，再用新的方程分别减去三个方程得到x，y，z的值最后进行计算即可．解：，将①+②+③，得x+y+z=6④，由④-①得z=5，由④-②得x=1，由④-③得y=0，∴=-3．故答案为：-3．【点拨】本题考查了三元一次方程组的计算，解决此题的关键是掌握一些基本的三元一次方程组的解法．12．14【分析】设，则整理得出，，，代入求得t，进一步代入求得x的值．解：设，则，，，代入得：解得：，，故答案为：14．【点拨】此题考查三元一次方程组的解法，设出参数，利用参数表示其它未知数，是解题的关键．13．6【分析】将已知的x、y的值代入方程中，即可求出z的值．解：将x＝−1，y＝−2代入方程5x−2y＋z＝5中，得−5＋4＋z＝5，z＝6．即z的值为6．故答案为：6【点拨】此题主要考查的是三元一次方程的解法以及方程解的定义．所谓方程的解，即能够使方程左右两边相等的未知数的值．14．【分析】先把c看作已知数，分别用c表示出a和b，让a≥0，b≥0列式求出c的取值范围，再求得m用c表示的形式，结合c的取值范围即可求得s的值．解：3a+2b+c＝6，2a+b﹣3c＝1，解得a＝7c﹣4，b＝9﹣11c；∵a≥0、b≥0，∴7c﹣4≥0，9﹣11c≥0，∴≤c≤．∵m＝3a+b﹣7c＝3c﹣3，∴m随c的增大而增大，∵c≤．∴当c取最大值，m有最大值，∴m的最大值为s＝3×﹣3＝．故答案为．【点拨】本题考查了三元一次方程组、解不等式组，解题的关键是：把看作已知数，分别用表示出．15．10【分析】设购买甲、乙、丙各一件分别需要元，根据题意列出方程组，利用整理思想进行解题即可．解：设购买甲、乙、丙各一件分别需要元，由题意得： ，②－①得：，代入①得：，∴；∴甲、乙、丙各买1件需10元钱；故答案为：10．【点拨】本题考查三元一次方程组的应用．根据题意正确的列出方程组，利用整体思想进行计算是解题的关键．16．80【分析】设A种奖品的单价为a元，B种奖品的单价为b元，学校拿来购买奖品的钱数为c元，根据“购买24个A种奖品和14个B种奖品则差30元，购买20个A种奖品和18个B种奖品则余20元”，即可得出关于a，b，c的三元一次方程组，用①×2-②，即可求出用这笔钱购买28个A种奖品和10个B种奖品差80元．解：设A种奖品的单价为a元，B种奖品的单价为b元，学校拿来购买奖品的钱数为c元，依题意得：，①×2-②得：28a+10b=c+80，∴用这笔钱购买28个A种奖品和10个B种奖品差80元．故答案为：80．【点拨】本题考查了三元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键．17．1或5##5或1【分析】设该校足球队胜了x场，平了y场，负了z场，依题意建立方程组，解方程组从而用k（整数）表示负场数y=kz，根据z为整数，分别求出k的取值，然后求出x、y的值，继而可得出该校足球队负几场即可．解：设文德中学足球队胜了x场，平了y场，负了z场，由题意得，，把③代入①②得：，解得：（k为整数）．又∵z为正整数，∴当k=1时，z=7，y=7，x=3，（因为胜、平、负的场数各不相同，所以，不符合题意，舍去）当k=2时，z=5，y=10，x=2；当k=16时，z=1，y=16，x=0，所以，文德中学足球队负了1或5场．故答案为：1或5．【点拨】本题考查了三元一次组的应用，解答本题的关键是设出未知数列出方程组，用k表示出z的值，根据z为整数，即可分类讨论出z的值．18．1【分析】设牛肉干、薄脆饼价格分别为，，坚果价格为元，根据给出的已知条件找出等量关系进行求解，可得每种零食的价格，令C礼包中牛肉干袋数为，薄脆饼袋数为，坚果袋数为，根据给出的已知条件找出等量关系，再根据、、为正整数，即可得出结果．解：设牛肉干、薄脆饼价格分别为，，坚果价格为元，由题意得，解得，则B、C礼包的成本为，A礼包中零食袋数为袋，C礼包中零食袋数为袋，令C礼包中牛肉干袋数为，薄脆饼袋数为，坚果袋数为，则，解得，由知，，由知，又、、为正整数，，，，，故答案为：．【点拨】本题主要考查了三元方程组的应用，解本题要理解题意，通过找出三组等量关系进行求解．19．（1）；（2）．【分析】根据三元一次方程组的基本思路，通过“代入”或“加减生”进行消元，把“三元”化“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程，计算即可．解：⑴①+②得：5x-2z=14④①+③得：4x+2z=15⑤④+⑤得：9x=29解得：x=将x=代入④，得：5×-2z=14解得：z=将x=，z=代入③得：+y+=12解得：y=∴原方程组的解是⑵①+③×4得：17x+4y=85④②+③×（-3）得：-7x+y=-35⑤④-⑤×4得：45x=225解得：x=5将x=5代入⑤得：-7×5+y=-35解得：y=0将x=5，y=0代入③得：3×5+2×0-z=18解得：z=-3∴原方程组的解是【点拨】本题考查了三元一次方程组的解法，做题的关键是熟练的掌握三元一次方程组的解法思路，认真计算即可．20．(1) 代入消元（代入） ， 二元一次方程组 (2) ① 或 或等，答案不唯一【分析】（1）根据解三元一次方程组的解法进行分析即可；（2）利用加减消元法进行求解即可．解：（1）解方程组： 由方程②，得将④分别代入方程①和③，得整理，得故答案为：代入消元（代入）     二元一次方程组（2）解方程组： 由方程②+①，得3x+3y=9由方程①+③，得4x+6y=14由方程③-②得x+3y=5由x+y=3 （3x+3y=9）， 2x+3y=7（4x+6y=14） ， x+3y=5中  任意两个组合得到均可故答案为： 或 或等，答案不唯一【点拨】此题考查了一次方程组的解法，解三元一次方程组，解本题的关键是消元．21．(1) 或或 (2) 有，或或或【分析】（1）“好解”就是方程的非负整数解，使y＝0，y＝1，y＝2分别去求的值，由于时，的值为负，不符合要求，不需要再求；（2）通过消元的方法得出k＝6﹣2y和x＝9+y，因为“好解”就是方程的非负整数解，所以x、y、k为非负整数，解不等式可得出满足条件的解．（1）解：当y＝0时，x＝5；当y＝1时，x+2＝5，解得x＝3；当y＝2时，x+4＝5，解得x＝1，所以方程x+2y＝5的所有“好解”为或或；（2）解：有．，②﹣①得4y+2k＝12，则k＝6﹣2y，①×3﹣②得2x﹣2y＝18，则x＝9+y，∵x、y、k为非负整数，∴6﹣2y≥0，解得y≤3，∴y＝0、1、2，3，当y＝0时，x＝9，k＝6；当y＝1，x＝10，k＝4；当y＝2时，x＝11，k＝2，当y＝3时，x＝12，k＝0，∴关于x，y，k的方程组的“好解”为或或或．【点拨】本题主要考查了二元一次方程的解和三元一次方程组的解法，准确理解题意并正确解出方程组是做出本题的关键．22．(1) (2) 由甲队单独完成此项工程花钱最少．【分析】（1）设甲、乙、丙各队单独完成全部工程各天，根据题意列出方程组，解方程组即可求解；（2）设每天应支付甲、乙、丙分别为元，根据题意列出方程组，解方程组，进而求得答案．（1）解：设甲、乙、丙各队单独完成全部工程各天，根据题意可知 解得：（2）设每天应支付甲、乙、丙分别为元．．解之得∶．因为工期要求不超过20天完成全部工程，由(1)知可选甲或乙．甲的费用为，乙的费用为．答∶由甲队单独完成此项工程花钱最少．【点拨】本题考查了三元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键．23．(1) m=﹣16 (2) 黄花一共用了1330朵【分析】（1）由②﹣①得：3x﹣3y=2﹣m．再根据x﹣y=6，可得到关于m的方程，即可求解；（2）根据“甲种盆景由15朵红花、8朵黄花和25朵紫花搭配而成，乙种盆景由10朵红花、6朵黄花和20朵紫花搭配而成，丙种盆景由10朵红花、7朵黄花和25朵紫花搭配而成．这些盆景一共用了2900朵红花，3750朵紫花，”列出方程组，再由由①+②得：，从而得到，即可求解．（1）解：，由②﹣①得：3x﹣3y=2﹣m．∵x﹣y=6，∴2﹣m=18，∴m=﹣16．（2）解：根据题意得：黄花一共用朵，∵一共用了2900朵红花，3750朵紫花，∴，由①+②得：③，由③÷5得：，答：黄花一共用了1330朵．【点拨】本题主要考查了解二元一次方程组以及三元一次方程组的应用，利用整体思想来解决问题是解题的关键．24．(1) 小明原计划购买文具袋13个 (2) 小明购买了30支钢笔，20支签字笔(3) 一共有7种购买方案，见解析【分析】（1）设小明原计划购买文具袋x个，利用总价单价数量，结合多买一个反而省11元，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；（2）设小明购买了m支钢笔，n支签字笔，利用总价单价数量，结合购买两种笔共50支且共花费288元，即可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出结论；（3）设小明购买了a支铅笔，b支钢笔，c本笔记本，根据单价可列方程为，最后结合题意进行讨论即可．解：（1）设小明原计划购买文具袋x个，依题意得：，解得：．答：小明原计划购买文具袋13个．（2）设小明购买了m支钢笔，n支签字笔，依题意得：，解得：．答：小明购买了30支钢笔，20支签字笔．（3）设小明购买了a支铅笔，b支钢笔，c本笔记本，由题意得，∵三样都要买，且把48元恰好用完，∴有如下方案：①当时，把48元恰好用完；②当时，把48元恰好用完；③当时，把48元恰好用完；④当时，把48元恰好用完；⑤当时，把48元恰好用完；⑥当时，把48元恰好用完；⑦当时，把48元恰好用完，综上所述，一共有7种购买方案．【点拨】本题考查了一元一次方程与二元一次方程组的实际应用，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 例1  解方程组： 解  由方程②，得．……步骤一④将④分别代入方程①和③，得……步骤二整理，得解这个二元一次方程组，得代入④，得．所以原方程组的解是