09-专项素养综合全练(九)以平行线为载体的探索类问题——2024年北京课改版数学七年级下册精品同步练习

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专项素养综合全练(九)以平行线为载体的探索类问题类型一　“拐点”问题1.【分类讨论思想】(2023浙江宁波江北期末)如图,已知直线l1∥l2,直线l3和直线l1,l2交于点C和点D,点P是直线CD上的一个动点,点A,点B分别是直线l1,直线l2上的定点.(1)如图1,若点P在线段CD上,∠PAC=30°,∠PBD=45°,则∠APB=　　　　°; (2)当点P运动到C,D之间时,试探究∠PAC,∠APB,∠PBD之间的关系,并说明理由;(3)当点P在C,D两点的外侧运动时(点P与点C,D不重合),∠PAC,∠APB,∠PBD之间的关系是否发生改变?请说明理由.图1备用图备用图类型二　“动点(图)”问题2.(2023北京二中期中)如图,点P为直线AB外一点,过点P作直线CD∥AB.现将一个含30°角的三角板EFG按如图1所示的方式放置,使点F、E分别在直线AB、CD上,且点E在点P的右侧,∠G=90°,∠EFG=30°,设∠GFB=α(0°<α<90°).(1)填空:∠DEG+∠BFG=　　　　°. (2)若∠CEF的平分线EH交直线AB于点H,如图2.①当EH∥FG时,求α的值.②在①的条件下,将三角板EFG绕点E以每秒1°的转速进行顺时针旋转,同时射线PC绕点P以每秒4°的转速进行顺时针旋转,射线PC旋转一周后停止转动,同时三角板EFG也停止转动,设转动时间为t秒.在旋转过程中,当t=　　　　时,CP∥EG. 图1图2备用图答案全解全析1.解析　(1)75.(2)∠APB=∠PAC+∠PBD,理由:如图1,过点P作PE∥l1,图1∴∠APE=∠PAC,∵l1∥l2,∴PE∥l2,∴∠BPE=∠PBD,∴∠APE+∠BPE=∠PAC+∠PBD,∴∠APB=∠PAC+∠PBD.(3)发生改变.如图2,当点P在CD延长线上时,∠PAC=∠APB+∠PBD.图2理由:过点P作PE∥l1,∴∠APE=∠PAC,∵l1∥l2,∴PE∥l2,∴∠BPE=∠PBD,∵∠APB=∠APE-∠BPE=∠PAC-∠PBD,∴∠PAC=∠APB+∠PBD.如图3,当点P在DC延长线上时,∠PBD=∠PAC+∠APB.图3理由:过点P作PE∥l1,∴∠APE=∠PAC,∵l1∥l2,∴PE∥l2,∴∠BPE=∠PBD,∵∠APB=∠BPE-∠APE=∠PBD-∠PAC,∴∠PBD=∠PAC+∠APB.综上所述,点P在C,D两点的外侧运动时(点P与点C,D不重合),∠PAC,∠APB,∠PBD之间的关系发生改变.方法归纳　利用平行线的判定与性质求角度是常考题型,但通常会遇到有平行线却找不到相应的“截线”,导致平行线的判定与性质在解题中无法直接运用的题型,此时需要添加辅助线,构造出“三线八角”,常见模型有“铅笔”模型、“猪蹄”模型、“脚丫”模型、“弯折”模型等.2.解析　(1)90.详解:过点G作AB的平行线GM,如图:∵CD∥AB,MG∥AB,∴CD∥MG,∠MGF=∠GFB,∴∠DEG=∠EGM,∴∠DEG+∠BFG=∠EGM+∠MGF=∠EGF=90°,即∠DEG+∠BFG=90°.(2)①∵EH∥FG,∴∠GFB=∠EHF=α,∵EH平分∠CEF,∴∠CEH=∠FEH=α,又∵CD∥AB,∴∠CEF=∠EFB,∴2α=30°+α,解得α=30°.②20或80.详解:易知0≤t≤90,分情况讨论:当0≤t≤45时,如图:当射线PC旋转到PC'时,△EGF旋转至△EG'F',延长G'E至点H,∵PC'∥G'H,∴∠CPC'=∠CEH,∵∠CEH=∠DEG',∴∠CPC'=∠DEG',由题意得,∠CPC'=(4t)°,∠DEG'=(60+t)°,∴4t=60+t,解得t=20.当45