2023年广西梧州市长洲区中考数学二模试卷

这是一份2023年广西梧州市长洲区中考数学二模试卷，共17页。

1．（3分）下列是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．﹣2x﹣3B．x﹣2＝0
C．x2﹣4x﹣1＝0D．x4﹣3x3﹣1＝0
2．（3分）如图所示，是一个由正方体和正三棱柱组成的几何体，则其俯视图是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）已知反比例函数y＝的图象分别位于一、三象限，则k的取值范围是（ ）
A．k＞5B．k＜5C．k＞﹣5D．k＜﹣5
4．（3分）下面四个图案中，是中心对称不是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（3分）在平面直角坐标系中，二次函数y＝（x﹣1）2+3的顶点坐标是（ ）
A．（﹣1，﹣3）B．（1，﹣3）C．（﹣1，3）D．（1，3）
6．（3分）如图，从一块直径为24cm的圆形纸片上剪出一个圆心角为90°的扇形ABC，使点A，B，C在圆周上．将剪下的扇形作为一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径是（ ）
A．12 cmB．6 cmC．3 cmD．2 cm
7．（3分）如果代数式x2+4x+4的值是16，则x的值一定是（ ）
A．﹣2B．2，﹣2C．2，﹣6D．30，﹣34
8．（3分）已知⊙O的半径为cm，直线l与圆有公共点，且直线l和圆心O的距离为dcm，则（ ）
A．d＝B．0≤d≤C．d＞D．0＜d＜
9．（3分）如果从1，2，3，4，5，6这六个数中任意选取一个数，那么取到的数恰好是3的整数倍的概率是（ ）
A．B．C．D．
10．（3分）如图，将△AOB以O为位似中心，扩大到△COD，各点坐标分别为A（1，2），B（2，0），D（6，0），则点C的坐标为（ ）
A．（3，4）B．（3，6）C．（2，4）D．（2，6）
11．（3分）已知：如图，⊙O的半径为9，弦AB⊥半径OC于H，，则AB的长度为（ ）
A．6B．12C．9D．
12．（3分）已知点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（3，y3）都在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2，y3的大小关系正确的是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y3＜y1＜y2D．y2＜y1＜y3
二．填空题（共6小题，满分12分，每小题2分）
13．（2分）将三个正六边形按如图方式摆放，若小正六边形的面积是6，则大正六边形的面积是 ．
14．（2分）已知反比例函数y＝﹣的图象经过点（﹣2，3），则k的值为 ．
15．（2分）若x1，x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的两个实数根，则代数式的值等于 ．
16．（2分）二次函数y＝2x2向上平移2个单位后的解析式为 ．
17．（2分）如图，点A是⊙O外一点，AB，AC分别与⊙O相切于点B，C，点D在上．已知∠A＝50°，则∠D的度数是 ．
18．（2分）如图所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝12cm．点P沿射线AB方向从点A出发以1cm/s的速度移动，点Q沿射线CB方向从点C出发以2cm/s的速度移动，P，Q同时出发， 秒后，△PBQ的面积为1cm2．
三．解答题（共8小题，满分72分）
19．（6分）计算：|﹣2|．
20．（6分）因式分解法解方程：x2﹣2x﹣15＝0．
21．（10分）在正方形网格中，每一个小正方形的边长是1，建立如图所示的平面直角坐标系xOy，△ABC的三个顶点都在格点上，其坐标分别是A（﹣3，3），B（﹣5，1），C（﹣1，0）．
（1）△ABC绕原点O顺时针旋转90°得到的△A1B1C1，画出△A1B1C1；
（2）请写出A1、B1、C1的坐标；
（3）求点A在旋转过程中所经过的路程的长．
22．（10分）某校为了解九年级同学学习“青年大学习”的情况，进行了问卷调查，按照调查结果，将学习情况分为优秀、良好、合格、较差，绘制了如图不完整的统计图，根据图中信息解答下列问题：
（1）将条形统计图补充完整；
（2）若该校九年级有800名学生，请估计九年级学生“青年大学习”学习情况为“优秀”和“良好”的一共有多少名？
（3）该校某班有3名同学（1名男同学、2名女同学）在调查中获得“优秀”等级，班主任将从这3名同学中随机选取2名同学，代表班级参加学校组织的“青年大学习”演讲大赛．请用列表或画树状图的方法，求所选两位同学恰好是1名男同学和1名女同学的概率．
23．（10分）某校的九（1）班教室A位于工地B处的正东方向，且AB＝320米，一辆大型货车卸货后从B处出发，沿北偏东60°方向的公路上行驶，试问：
（1）若大型货车的噪声污染半径为150米，教室A是否在大型货车的噪声污染范围内？试说明理由；
（2）若大型货车的噪声污染半径为200米，为了不干扰九年级同学的学习，计划在货车行驶的公路一侧安装隔音板，则至少需隔音板多少米？
24．（10分）如图，直线y＝x+2分别交x、y轴于点A、C，P是该直线上在第一象限内的一点，PB⊥x轴，B为垂足，S△ABP＝9．
（1）求点A、C的坐标；
（2）求反比例函数解析式；
（3）在第一象限内，直接写出一次函数值大于反比例函数值的x的取值范围．
25．（10分）已知，A、B、C、D四点在⊙O上，A是的中点，延长AD、BC交于E．
（1）如图1，连接BD，求证：∠E＝∠ABD；
（2）G是的中点，连接DG、CG、BG、AG，作AH⊥BG交BG于H点，求证：cs∠ABG＝；
（3）如图3，在（2）的条件下，BG经过圆心O，连接AC交BG于M，若BH＝2DG＝4，求AE的长度．
26．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴交于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FG垂直AD于点G，作FH平行于x轴交直线AD于点H，求△FGH周长的最大值及F点坐标；
（3）点M是抛物线顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形是矩形，请直接写出P点坐标．
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1． 解：A、﹣2x﹣3不是方程，故本选项不符合题意；
B、x﹣2＝0是一元一次方程，故本选项不符合题意；
C、x2﹣4x﹣1＝0是一元二次方程，故本选项符合题意；
D、x4﹣3x3﹣1＝0是一元四次方程，故本选项不符合题意．
故选：C．
2． 解：这个立体图形的俯视图是一个正方形，正方形中间有一条纵向的实线．
故选：C．
3． 解：∵反比例函数y＝的图象分别位于一、三象限，
∴k﹣5＞0，
解得，k＞5．
故选：A．
4． 解：A．是中心对称不是轴对称图形，故本选项符合题意；
B．是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：A．
5． 解：∵y＝（x﹣1）2+3，
∴该函数的顶点坐标是（1，3），
故选：D．
6． 解：AB＝cm，
∴＝，
∴圆锥的底面圆的半径＝6π÷（2π）＝3cm．
故选：C．
7． 解：由题知x2+4x+4＝16，∴x2+4x﹣12＝0，
∴（x﹣2）（x+6）＝0，
∴x1＝2，x2＝﹣6．故选C．
8． 解：当直线l与圆有一个公共点，直线l与⊙O相切，则d＝cm，
当直线l与圆有两个公共点，直线l与⊙O相交，则d＜cm，
∵直线l与圆有公共点，
∴0≤d≤cm，
故选：B．
9． 解：1，2，3，4，5，6这六个数中是3的倍数的数是3和6，
∴六个数中任取一个，则取到的数是3的倍数的概率是＝，
故选：B．
10． 解：∵△AOB以O为位似中心，扩大到△COD，各点坐标分别为：A（1，2）、B（2，0）、D（6，0），
∴相似比为1：3，
∴点C坐标为：（3，6）．
故选：B．
11． 解：∵⊙O的半径为9，弦AB⊥半径OC于H，，
∴sin∠BOC＝＝，
∴＝，
∴BH＝6，
∴AB＝2×6＝12．
故选：B．
12． 解：把点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（3，y3）代入反比例函数y＝的关系式得，
y1＝﹣1.5，y2＝﹣3，y3＝1，
∴y2＜y1＜y3，
故选：D．
二．填空题（共6小题，满分12分，每小题2分）
13． 解：如图，由拼图可知△BCE是正三角形，且边长与小正六边形的边长相等，
∴AB＝BC＝CD，
∴AD＝3AB，
即＝，
∴＝，
∴S大正六边形＝9S小正六边形
＝9×6
＝54．
故答案为：54．
14． 解：∵反比例函数y＝﹣的图象经过点（﹣2，3），
∴3＝﹣，解得k＝3．
故答案为：3．
15． 解：∵x1，x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝4，
∴
＝x1（x1+x2）+4x2
＝4x1+4x2
＝4（x1+x2）
＝16，
故答案为：16．
16． 解：将二次函数y＝2x2的图象向上平移2个单位后得到y＝2x2+2．
故答案为：y＝2x2+2．
17． 解：连接OC，OB，
∵AB，AC分别与⊙O相切于点B，C，
∴∠ACO＝∠ABO＝90°，
∵∠A＝50°，
∴∠COB＝360°﹣∠A﹣∠ACO﹣∠ABO＝130°，
∴∠D＝，
故答案为：65°．
18． 解：当运动时间为t秒时，PB＝|8﹣t|cm，BQ＝|12﹣2t|cm，
根据题意得：PB•BQ＝1，
即×|8﹣t|×|12﹣2t|＝1．
当0≤t＜6时，（8﹣t）（6﹣t）＝1，
整理得：t2﹣14t+47＝0，
解得：t1＝7﹣，t2＝7+（不符合题意，舍去）；
当6＜t＜8时，（8﹣t）（t﹣6）＝1，
整理得：t2﹣14t+49＝0，
解得：t1＝t2＝7；
当t＞8时，（t﹣8）（t﹣6）＝1，
整理得：t2﹣14t+47＝0，
解得：t1＝7﹣（不符合题意，舍去），t2＝7+．
综上所述，7﹣或7或7+秒后，△PBQ的面积为1cm2．
故答案为：7﹣或7或7+．
三．解答题（共8小题，满分72分）
19． 解：原式＝4×+3+2﹣
＝2+3+2﹣
＝5．
20． 解：方程x2﹣2x﹣15＝0，变形得：x2﹣2x＝15，
配方得：x2﹣2x+1＝16，即（x﹣1）2＝16，
开方得：x﹣1＝4或x﹣1＝﹣4，
解得：x1＝5，x2＝﹣3．
21． 解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求．
（2）由图知，A1（3，3）、B1（1，5）、C1（0，1）；
（3）∵OA＝＝3，∠AOA1＝90°，
∴点A在旋转过程中所经过的路程的长为＝π．
22． 解：（1）抽取的学生数为：24÷30%＝80（人）；
则抽取的学生中良好的人数为：80﹣24﹣16﹣8＝32（人），
将条形统计图补充完整如下：
（2）800×＝560（名），
即估计九年级学生“青年大学习”学习情况为“优秀”和“良好”的一共有560名；
（3）画树状图如图：
共有6种等可能的结果，其中所选两位同学恰好是1名男同学和1名女同学的结果有4种，
∴所选两位同学恰好是1名男同学和1名女同学的概率为＝．
23． 解：（1）教室A不在大型货车的噪声污染范围内，
理由：过A作AD⊥BC于D，
由题意得，∠ABD＝90°﹣60°＝30°，AB＝320米，
∴AD＝AB＝160米＞150米，
∴教室A不在大型货车的噪声污染范围内；
（2）根据题意，在BC上取M，N两点，连接AM，AN，使AN＝AM＝200m，
∵AD⊥BC，
∴D为MN的中点，即DN＝DM，
∴DN＝＝＝120（米），
∴MN＝2DN＝240（m）．
答：至少需隔音板240米．
24． 解：（1）在y＝x+2中，令y＝0，则x+2＝0，
解得x＝﹣4，
令x＝0，则y＝2，
∴A（﹣4，0），C（0，2）；
（2）∵A（﹣4，0），C（0，2），
∴AO＝4，OC＝2，
又∵S△ABP＝9，
∴AB•BP＝18，
又∵PB⊥x轴，
∴OC∥PB，
∴△AOC∽△ABP，
∴＝即＝，
∴2BP＝AB，
∴2BP2＝18，
∴BP2＝9，
∴BP＝3，
∴AB＝6，
∴P点坐标为（2，3）；
设反比例函数的解析式为y＝，
把点P的坐标代入，得k＝6，
∴反比例函数的解析式为y＝；
（3）在第一象限内，一次函数值大于反比例函数值的x的取值范围是x＞2．
25． 解：（1）∵A是的中点，
∴，
∴∠ABC＝∠ACB．
∵，
∴∠CAD＝∠CBD．
∵∠ACB＝∠E+∠CAE，∠ABC＝ABD+∠CBD，
∴∠E＝∠ABD；
（2）如图2，延长BG交AE于点F．
∵∠GDF+∠ADG＝180°，∠ABG+∠ADG＝180°，
∴∠ABG＝∠GDF．
∵G是的中点，
∴∠CBG＝∠DBG．
∵∠GFD＝∠E+∠CBG，∠ABG＝∠GDF＝∠ABD+∠DBG，∠E＝∠ABD，
∴∠ABG＝∠GFD＝∠GDF，
∴DG＝GF，AB＝AF，
∴BG+DG＝BG+GF＝BF．
∵AH⊥BG，
∴BG+DG＝BF＝2BH＝2HF，
∴；
（3）如图3，延长BG交AE于点F．
∵BH＝2DG＝4，DG＝GF，
∴BH＝HF＝4，DG＝GF＝2．
∴HG＝2，
∴BG＝6，BF＝8．
∵BG经过圆心O，
∴∠BAG＝90°．
∵∠ABH＝∠ABG，∠AHB＝∠BAG＝90°，
∴△ABH∽△GBA，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵∠ABG＝∠GDF，∠DFG＝∠BFA，
∴△GDF∽△ABF，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵∠E＝∠ABD，∠BAD＝∠EAB，
∴△ABD∽△AEB，
∴，
∴，
∴．
26． 解：（1）∵点A坐标（﹣1，0），点B坐标（3，0），
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵抛物线对称轴x＝1，D、C关于对称轴对称，点C坐标（0，3），如图1，
∴D（2，3），
设直线AD为y＝kx+c．将A（﹣1，0），D（2，3）代入，
得：，
解得：，
∴直线AD解析式为：y＝x+1，
∵OA＝OE＝1，
∴∠EAO＝45°，
∵FH∥AB，
∴∠FHA＝∠EAO＝45°，
∵FG⊥AH，
∴△FGH是等腰直角三角形，
设点F坐标（m，﹣m2+2m+3），
∴点H坐标（﹣m2+2m+2，﹣m2+2m+3），
∴FH＝﹣m2+m+2，
∴△FGH的周长＝（﹣m2+m+2）+2×（﹣m2+m+2）＝﹣+，
∵﹣（1+）＜0，
∴当m＝时，△FGH的周长有最大值，且最大值为 ，
当m＝时，﹣m2+2m+3＝﹣（）2+2×+3＝，
∴F（，），
∴△FGH的周长最大值为 ，F（，）；
（3）由抛物线性质得抛物线顶点M（1，4），连接AM，交y轴于点N，
则AM＝＝2，N（0，2），
设P（0，t），
如图2，分以下三种情况：
①当AM为边，PM⊥AM时，
在Rt△AMP中，AM2+PM2＝AP2，即：（2）2+（0﹣1）2+（t﹣4）2＝[0﹣（﹣1）]2+（t﹣0）2，
解得：t＝，
∴P1（0，）；
②当AM为边，PA⊥AM时，
在Rt△AMP中，AM2+AP2＝PM2，即：（2）2+[0﹣（﹣1）]2+（t﹣0）2＝（0﹣1）2+（t﹣4）2，
解得：t＝﹣，
∴P2（0，﹣）；
③当AM为对角线时，PM2+AP2＝AM2，即：（0﹣1）2+（t﹣4）2+[0﹣（﹣1）]2+（t﹣0）2＝（2）2，
解得：t1＝2+，t2＝2﹣，
∴P3（0，2+），P4（0，2﹣），
综上所述，点P的坐标为：），），，P4（0，2﹣）．