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新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市新疆师范大学附属中学2022-2023学年八年级上学期期末数学试题（原卷版+解析版）
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1. 以下四个图形中，是轴对称图形的是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义．
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可判断．
【详解】A、图形找不到任何一条直线沿着折叠，使图形两旁完全重合，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、图形可找到一条直线沿着折叠，使图形两旁完全重合，是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、图形找不到任何一条直线沿着折叠，使图形两旁完全重合，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、图形找不到任何一条直线沿着折叠，使图形两旁完全重合，不是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选：B．
2. 叶绿体是植物进行光合作用的场所，叶绿体最早发现于衣藻叶绿体，长约0.00005米，中，0.00005用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接根据科学记数法的表示方法作答即可．
【详解】解：，
故选C．
【点睛】本题考查了负整数指数科学记数法，对于一个绝对值小于1的非0小数，用科学记数法写成的形式，其中，n是正整数，n等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0）．
3. 下列计算正确的是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查是同底数幂的除法运算，积的乘方，同底数幂的乘法，解题的关键是熟练掌握相关的运算法则，
根据相关的运算法则逐一判断即可．
【详解】解：A、 故本选项不合题意；
B、与不同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
C、 故本选项不合题意；
D、 正确，故本选项符合题意，
故选：D．
4. 计算的的结果是（ ）
A. B. C. 9D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了负整数指数幂的运算，解题的关键是直接利用负整数指数幂的性质化简得出答案．
【详解】解：．
故选：B．
5. 一个多边形的每一个外角都等于，则这个多边形的边数是（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】根据多边形的外角和是和这个多边形的每一个外角都等于，即可求得外角的个数，即多边形的边数．
【详解】解：∵多边形的外角和是，这个多边形的每一个外角都等于，
∴这个多边形的外角的个数为，
∴这个多边形的边数是8
故选：C．
【点睛】本题主要考查了多边形的外角和定理，理解多边形外角和、外角的个数与多边形的边数之间的关系是解题关键．
6. 某段河的两岸所在直线相互平行，要测量河宽，先在河岸上取两点，使， 再作垂足为， 使三点在一条直线上(如图所示)， 得到， 因此测得的长就是的长． 判定所依据的基本事实是（ ）
A. 角边角B. 边边角C. 边角边D. 边边边
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的应用，三角形全等的判定，由已知可以得到， 又， 由此根据角边角即可判定，掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
【详解】解： ∵，
∴
在和中，
∴
故选： A．
7. 在中，，，，，垂足为D，则的长为（ ）
A. 6B. 5C. 4D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查含30度直角三角形的性质，熟练掌握含30度直角三角形的性质是解题的关键；根据含 30度角的直角三角形的性质得到得到答案．
【详解】解：如图，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
故选：C．
8. 下列式子中可以用平方差公式计算的是( )
A. (x+2)(x+2)B.
C. (x+2)(﹣x﹣2)D. (x+2)(x﹣2)
【答案】D
【解析】
【分析】根据平方差公式的定义以及性质分别对各项进行判断即可．
【详解】A. (x+2)(x+2) ，不可以用平方差公式计算；
B. ，不可以用平方差公式计算；
C. (x+2)(﹣x﹣2) ，不可以用平方差公式计算；
D. (x+2)(x﹣2) ，可以用平方差公式计算；
故答案为：D．
【点睛】本题考查了平方差公式的应用问题，掌握平方差公式的定义以及性质是解题的关键．
9. 若，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由可得出，由利用比例的性质可得出，再将其代入即可求出结论．
【详解】由题意，得
两边都除以，得
，
故选C
【点睛】本题考查分式的加减法以及比例的性质，利用比例的性质找出是解题的关键．
10. 在等边中，D，E分别为边上的动点，，连接，以为边在内作等边，连接，当D从点A向B运动（不与点B重合）时，的变化情况是（ ）
A. 不变B. 变小C. 变大D. 先变大后变小
【答案】A
【解析】
【分析】在上截取，连接，根据等边三角形的性质证明，即可得到结论；
【详解】如图，在上截取，连接．
∵是等边三角形，
∴，．
∵，∴．
∵是等边三角形，
∴，．
∵，
，
∴．在和中，
∵
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，即，
∴的大小不变，故选A．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，结合三角形全等求解是解题的关键．
二、填空题(本大题共 6小题，每小题3分，共 18分，在答题卷的相应空格上填上正确的答案.)
11. 若分式有意义，则的取值范围________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，理解并掌握分式有意义的条件是解题关键．直接利用分式有意义则其分母不为0，进而得出答案．
【详解】解：分式 有意义，则，
则的取值范围是．
故答案为：．
12. 在四边形中，，，则为_______.
【答案】##140度
【解析】
【分析】本题主要考查了多边形的内角和，解题的关键是根据四边形的的内角和为计算即可．
【详解】解：∵，，
∴．
故答案为：．
13. 如图, 在和中，，请添加一个边或角的条件，使得，可以添加的条件是________（只填出一个条件即可）.
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了三角形全等的条件，根据已知条件，已知两条边对应相等，只需要添加夹角对应相等即可，掌握三角形全等的条件是解题的关键．
【详解】解：添加的条件是，
理由是： ∵在中，
，
∴（SAS），
故答案为：．
14. 如图，在中，边的垂直平分线交边于点E，若厘米，厘米，则的周长为________厘米．
【答案】14
【解析】
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质得出，求出的周长，代入求出即可．
【详解】解： ∵边的垂直平分线交边于点E，
∴，
∵厘米，厘米，
∴的周长为：（厘米）．
故答案为：14．
15. 在两场比赛中，一名运动员投篮命中的次数相同．第一场比赛中他投篮的命中率为m， 第二场比赛中他投篮的命中率为n.则他在这两场比赛中投篮的平均命中率是________.
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了分式混合运算的应用，解题的关键是先求出两场比赛中投篮次数的和，再用命中次数的和除以投篮次数的和即为所求．
【详解】解：设场比赛命中的次数为x个，依题意有
．
故他在这两场比赛中投篮的平均命中率为．
故答案为：．
16. 如图，将等腰(是锐角)沿对折，使得点落在射线上的点处，再将沿对折得到，若刚好垂直于，则的大小为_______.
【答案】45
【解析】
【分析】本题考查了翻折变换，等腰三角形的性质，外角的性质．由等腰三角形的性质可得，由折叠的性质可得，，由外角性质可求，由直角三角形的性质可求解．
【详解】解：，
，
将等腰(是锐角)沿对折，使得点落在射线上的点处，
，
将沿对折得到，
，，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
三、解答题(共8小题，满分 52分)
17. 计算:
（1）；
（2）
【答案】（1）16 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了整式混合运算，分式加减运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算．
（1）直接利用多项式乘以多项式运算法则化简得出答案；
（2）直接通分进而利用分式的加减运算法则计算得出答案．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
18 解方程:
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解分式方程，根据分式方程的计算步骤，先将分式两边同乘以最简公分母，再去括号，移项，合并，系数化为，检验即可．
【详解】解：，
分式两边同乘以，得，
去括号，得，
移项，合并，得，
系数化为,，得，
经检验, 当时，,
是原分式方程的解，
．
19. 边长为1的小正方形网格中，的顶点A，B，C均落在格点上
（1）直接写出顶点A、B、C的坐标；
（2）画出关于y轴对称的图形
【答案】19. ，，；
20.
【解析】
【分析】本题主要考查作图的轴对称变换，解题的关键是熟练掌握轴对称的定义和性质；
（1）依据顶点A、B、C的位置，即可得到其坐标；
（2）依据轴对称的性质，即可得到顶点A、B、C的对称点，即可得到关于y轴对称的图形．
【小问1详解】
由图可得：，，；
【小问2详解】
，，，关于y轴对称，
，，，依次描出三点，连接即可，见下图：
20. 如图所示，某轮船上午8时30分在A处观测海岛B在北偏东方向，该船以每小时10海里的速度向正东方向航行，到C处观测海岛B在北偏东方向，测得海里；又以同样的速度和航向继续航行，到D处观测海岛B在北偏西方向．请你确定轮船到达C处和D处的时间．
【答案】轮船到达C处的时间为10时30分，到达D处的时间12时30分．
【解析】
【分析】本题主要考查等边三角形的判定与性质、外角的性质、余角的性质等知识点，首先根据题意得出，，从而得出，则，根据题意得出，得到为等边三角形，则，从而求出船从A点到达C点所用的时间和船从C点到达D点所用的时间．关键在于通过求相关角的度数，推出相关边的关系，熟练运用航程、时间、速度的关系式，认真地进行计算．
【详解】解：∵在A处观测海岛B在北偏东方向，
∴，
∵C点观测海岛B在北偏东方向，
∴，
∴，
∴．
∵D点观测海岛在北偏西方向
∴
∵
∴
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵船以每小时10海里的速度从A点航行到C处，又以同样的速度继续航行到D处，
∴船从A点到达C点所用的时间为：（小时），
船从C点到达D点所用的时间为：（小时），
∵船上午8时30分在A处出发，D点观测海岛B在北偏西方向，
∴到达D点的时间为10时30分+2小时=12时30分．
答：轮船到达C处的时间为10时30分，到达D处的时间12时30分．
21. 如图，A、 B分别是的边 、上的点，，垂足分别为 C、D，与交于点P. 当时，点P在的平分线上吗？证明你的结论.
【答案】点P 在的平分线上，证明见解析
【解析】
【分析】本题考查了角平分线性质定理、全等三角形的判定及性质，连接，利用全等三角形的判定定理可得，由性质定理易得，利用定理可得 ，由全等三角形的性质定理可得结论，掌握角平分线的性质定理是解题的关键．
【详解】解：点P 在的平分线上，证明如下：
证明：连接，如图所示：
，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴点P 在的平分线上．
22. 某项工程，乙队单独完成所需天数是甲队单独完成所需天数的1.5倍；若由甲队先做10天，剩下的工程再由甲、乙两队合作30天刚好如期完成．
（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？
（2）已知甲队每天的施工费用为2.5万元，乙队每天的施工费用为2万元，工程预算的施工费用为160万元．
①若在甲、乙工程队工作效率不变的情况下使施工时间最短，问安排预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？
②若要求施工总费用不超预算又要如期完工，问甲工程队至少需要施工几天？
【答案】（1）甲、乙两队单独完成这项工程分别需60天和90天；（2）①不够用，需追加预算2万元；②甲工程队至少需要施工40天
【解析】
【分析】（1）设甲单独完成这项工程所需天数，表示出乙单独完成这项工程所需天数及各自的工作效率．根据工作量=工作效率×工作时间列方程求解；
（2）①根据题意，甲乙合作工期最短，所以须求合作的时间，然后计算费用，作出判断；
②设甲工程队需要施工a天，乙工程队需要施工b天，分别根据完成工作量为1，施工总费用不超预算列不等式组可得结论．
【详解】解：（1）设甲队单独完成这项工程需要x天，则乙队单独完成这项工程需要1.5x天．
根据题意，得：，
解得 x＝60．
经检验，x＝60是原方程的根．
∴1.5x＝60×1.5＝90．
答：甲、乙两队单独完成这项工程分别需60天和90天；
（2）①设甲、乙两队合作完成这项工程需要y天，
，
解得：y＝36，
36×（2.5+2）＝162（万元），
∵162＞160，
∴不够，
需追加162﹣160＝2（万元），
答：不够用，需追加预算2万元；
②设甲工程队需要施工a天，乙工程队需要施工b天，
根据题意得：，
由得：2b＝180﹣3a，
把2b＝180﹣3a代入得：2.5a+180﹣3a≤160，
a≥40，
∴甲工程队至少需要施工40天．
【点睛】此题主要考查了分式方程的应用、不等式组的应用，根据题意列出方程或不等式组是解题的关键．
23. 如图， 已知直线l及其同侧的两点A、B．
（1）在直线l上画一点C，使得最小(画图工具不限，保留画图痕迹)
（2）如果是直线l上长度为a的动线段，请在直线l上画出点的位置，使得最小(画图工具不限 ， 保留画图痕迹)
【答案】（1）见解析；
（2）见解析．
【解析】
【分析】本题考查了复杂作图、最短路线问题，解决本题关键是作出其中一点关于直线的对称点，对称点与另一点的连线与直线的交点就是所要找的点．
（1）关键最短路线问题：作出其中一点关于直线l的对称点，对称点与另一点的连线与直线l的交点就是所要找的点．
（2）先把点B向左平移线段a的长度到点 ，再作点A关于直线l的对称点，然后连接与直线l相交，进而找到点D．
【小问1详解】
解：如图1， 作点A关于直线l的对称点，连接交直线l于点C，
根据两点之间线段最短，最小，
∴点即为所求作的点；
【小问2详解】
解：如图2， 先将点向左平移线段的长度到点，作点关于直线l的对称点，
连接交直线l于点，再向右作线段，
∴最小．
∴点 C、D即为所求作的点．
24. 如图1，在中，，，射线平分，点D是射线上的动点，点C和点D关于直线对称，与分别交于点E、G．请探究线段及之间的数量关系，为了解决问题，可以采用“从特殊到一般”的方法进行研究：
（1）如图2，当时，及之间有什么样的数量关系？证明你的结论；
（2）如图1，若点时及之间有什么样的数量关系？证明你的结论．
（3）如图3，若时，及之间有什么样的数量关系？请直接写出这个结论（不要求证明）
【答案】（1），证明见解析
（2），见解析
（3）
【解析】
【分析】此题考查了轴对称的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形判定和性质等知识，分类讨论是解题的关键
（1）如图1中，结论：当时，由全等三角形的性质证明，再证明即可解决问题．
（2）如图2中，结论：当时，．作点A关于的对称点E， 连接，利用（1）中结论以及线段的和差定义解决问题即可．
（3）如图3中，结论：当时，．作点A关于的对称点E， 连接，利用（1）中结论以及线段的和差定义解决问题即可．
【小问1详解】
解：如图1中，结论：当时，
理由：连接．
在中，
∵，
∵平分，A，C关于对称，
∴，
∴，
∴，
∵
∴
∴．
【小问2详解】
如图2中，结论：当时，．
理由：作点A关于的对称点E，连接，
由（1）可知，
∴
∵，
∴．
【小问3详解】
如图3中，结论：当时，．
理由：作点A关于的对称点E，连接，
由（1）可知，
∴，
∵
∴．
1. 以下四个图形中，是轴对称图形的是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义．
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可判断．
【详解】A、图形找不到任何一条直线沿着折叠，使图形两旁完全重合，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、图形可找到一条直线沿着折叠，使图形两旁完全重合，是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、图形找不到任何一条直线沿着折叠，使图形两旁完全重合，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、图形找不到任何一条直线沿着折叠，使图形两旁完全重合，不是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选：B．
2. 叶绿体是植物进行光合作用的场所，叶绿体最早发现于衣藻叶绿体，长约0.00005米，中，0.00005用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接根据科学记数法的表示方法作答即可．
【详解】解：，
故选C．
【点睛】本题考查了负整数指数科学记数法，对于一个绝对值小于1的非0小数，用科学记数法写成的形式，其中，n是正整数，n等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0）．
3. 下列计算正确的是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查是同底数幂的除法运算，积的乘方，同底数幂的乘法，解题的关键是熟练掌握相关的运算法则，
根据相关的运算法则逐一判断即可．
【详解】解：A、 故本选项不合题意；
B、与不同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
C、 故本选项不合题意；
D、 正确，故本选项符合题意，
故选：D．
4. 计算的的结果是（ ）
A. B. C. 9D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了负整数指数幂的运算，解题的关键是直接利用负整数指数幂的性质化简得出答案．
【详解】解：．
故选：B．
5. 一个多边形的每一个外角都等于，则这个多边形的边数是（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】根据多边形的外角和是和这个多边形的每一个外角都等于，即可求得外角的个数，即多边形的边数．
【详解】解：∵多边形的外角和是，这个多边形的每一个外角都等于，
∴这个多边形的外角的个数为，
∴这个多边形的边数是8
故选：C．
【点睛】本题主要考查了多边形的外角和定理，理解多边形外角和、外角的个数与多边形的边数之间的关系是解题关键．
6. 某段河的两岸所在直线相互平行，要测量河宽，先在河岸上取两点，使， 再作垂足为， 使三点在一条直线上(如图所示)， 得到， 因此测得的长就是的长． 判定所依据的基本事实是（ ）
A. 角边角B. 边边角C. 边角边D. 边边边
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的应用，三角形全等的判定，由已知可以得到， 又， 由此根据角边角即可判定，掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
【详解】解： ∵，
∴
在和中，
∴
故选： A．
7. 在中，，，，，垂足为D，则的长为（ ）
A. 6B. 5C. 4D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查含30度直角三角形的性质，熟练掌握含30度直角三角形的性质是解题的关键；根据含 30度角的直角三角形的性质得到得到答案．
【详解】解：如图，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
故选：C．
8. 下列式子中可以用平方差公式计算的是( )
A. (x+2)(x+2)B.
C. (x+2)(﹣x﹣2)D. (x+2)(x﹣2)
【答案】D
【解析】
【分析】根据平方差公式的定义以及性质分别对各项进行判断即可．
【详解】A. (x+2)(x+2) ，不可以用平方差公式计算；
B. ，不可以用平方差公式计算；
C. (x+2)(﹣x﹣2) ，不可以用平方差公式计算；
D. (x+2)(x﹣2) ，可以用平方差公式计算；
故答案为：D．
【点睛】本题考查了平方差公式的应用问题，掌握平方差公式的定义以及性质是解题的关键．
9. 若，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由可得出，由利用比例的性质可得出，再将其代入即可求出结论．
【详解】由题意，得
两边都除以，得
，
故选C
【点睛】本题考查分式的加减法以及比例的性质，利用比例的性质找出是解题的关键．
10. 在等边中，D，E分别为边上的动点，，连接，以为边在内作等边，连接，当D从点A向B运动（不与点B重合）时，的变化情况是（ ）
A. 不变B. 变小C. 变大D. 先变大后变小
【答案】A
【解析】
【分析】在上截取，连接，根据等边三角形的性质证明，即可得到结论；
【详解】如图，在上截取，连接．
∵是等边三角形，
∴，．
∵，∴．
∵是等边三角形，
∴，．
∵，
，
∴．在和中，
∵
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，即，
∴的大小不变，故选A．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，结合三角形全等求解是解题的关键．
二、填空题(本大题共 6小题，每小题3分，共 18分，在答题卷的相应空格上填上正确的答案.)
11. 若分式有意义，则的取值范围________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，理解并掌握分式有意义的条件是解题关键．直接利用分式有意义则其分母不为0，进而得出答案．
【详解】解：分式 有意义，则，
则的取值范围是．
故答案为：．
12. 在四边形中，，，则为_______.
【答案】##140度
【解析】
【分析】本题主要考查了多边形的内角和，解题的关键是根据四边形的的内角和为计算即可．
【详解】解：∵，，
∴．
故答案为：．
13. 如图, 在和中，，请添加一个边或角的条件，使得，可以添加的条件是________（只填出一个条件即可）.
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了三角形全等的条件，根据已知条件，已知两条边对应相等，只需要添加夹角对应相等即可，掌握三角形全等的条件是解题的关键．
【详解】解：添加的条件是，
理由是： ∵在中，
，
∴（SAS），
故答案为：．
14. 如图，在中，边的垂直平分线交边于点E，若厘米，厘米，则的周长为________厘米．
【答案】14
【解析】
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质得出，求出的周长，代入求出即可．
【详解】解： ∵边的垂直平分线交边于点E，
∴，
∵厘米，厘米，
∴的周长为：（厘米）．
故答案为：14．
15. 在两场比赛中，一名运动员投篮命中的次数相同．第一场比赛中他投篮的命中率为m， 第二场比赛中他投篮的命中率为n.则他在这两场比赛中投篮的平均命中率是________.
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了分式混合运算的应用，解题的关键是先求出两场比赛中投篮次数的和，再用命中次数的和除以投篮次数的和即为所求．
【详解】解：设场比赛命中的次数为x个，依题意有
．
故他在这两场比赛中投篮的平均命中率为．
故答案为：．
16. 如图，将等腰(是锐角)沿对折，使得点落在射线上的点处，再将沿对折得到，若刚好垂直于，则的大小为_______.
【答案】45
【解析】
【分析】本题考查了翻折变换，等腰三角形的性质，外角的性质．由等腰三角形的性质可得，由折叠的性质可得，，由外角性质可求，由直角三角形的性质可求解．
【详解】解：，
，
将等腰(是锐角)沿对折，使得点落在射线上的点处，
，
将沿对折得到，
，，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
三、解答题(共8小题，满分 52分)
17. 计算:
（1）；
（2）
【答案】（1）16 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了整式混合运算，分式加减运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算．
（1）直接利用多项式乘以多项式运算法则化简得出答案；
（2）直接通分进而利用分式的加减运算法则计算得出答案．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
18 解方程:
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解分式方程，根据分式方程的计算步骤，先将分式两边同乘以最简公分母，再去括号，移项，合并，系数化为，检验即可．
【详解】解：，
分式两边同乘以，得，
去括号，得，
移项，合并，得，
系数化为,，得，
经检验, 当时，,
是原分式方程的解，
．
19. 边长为1的小正方形网格中，的顶点A，B，C均落在格点上
（1）直接写出顶点A、B、C的坐标；
（2）画出关于y轴对称的图形
【答案】19. ，，；
20.
【解析】
【分析】本题主要考查作图的轴对称变换，解题的关键是熟练掌握轴对称的定义和性质；
（1）依据顶点A、B、C的位置，即可得到其坐标；
（2）依据轴对称的性质，即可得到顶点A、B、C的对称点，即可得到关于y轴对称的图形．
【小问1详解】
由图可得：，，；
【小问2详解】
，，，关于y轴对称，
，，，依次描出三点，连接即可，见下图：
20. 如图所示，某轮船上午8时30分在A处观测海岛B在北偏东方向，该船以每小时10海里的速度向正东方向航行，到C处观测海岛B在北偏东方向，测得海里；又以同样的速度和航向继续航行，到D处观测海岛B在北偏西方向．请你确定轮船到达C处和D处的时间．
【答案】轮船到达C处的时间为10时30分，到达D处的时间12时30分．
【解析】
【分析】本题主要考查等边三角形的判定与性质、外角的性质、余角的性质等知识点，首先根据题意得出，，从而得出，则，根据题意得出，得到为等边三角形，则，从而求出船从A点到达C点所用的时间和船从C点到达D点所用的时间．关键在于通过求相关角的度数，推出相关边的关系，熟练运用航程、时间、速度的关系式，认真地进行计算．
【详解】解：∵在A处观测海岛B在北偏东方向，
∴，
∵C点观测海岛B在北偏东方向，
∴，
∴，
∴．
∵D点观测海岛在北偏西方向
∴
∵
∴
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵船以每小时10海里的速度从A点航行到C处，又以同样的速度继续航行到D处，
∴船从A点到达C点所用的时间为：（小时），
船从C点到达D点所用的时间为：（小时），
∵船上午8时30分在A处出发，D点观测海岛B在北偏西方向，
∴到达D点的时间为10时30分+2小时=12时30分．
答：轮船到达C处的时间为10时30分，到达D处的时间12时30分．
21. 如图，A、 B分别是的边 、上的点，，垂足分别为 C、D，与交于点P. 当时，点P在的平分线上吗？证明你的结论.
【答案】点P 在的平分线上，证明见解析
【解析】
【分析】本题考查了角平分线性质定理、全等三角形的判定及性质，连接，利用全等三角形的判定定理可得，由性质定理易得，利用定理可得 ，由全等三角形的性质定理可得结论，掌握角平分线的性质定理是解题的关键．
【详解】解：点P 在的平分线上，证明如下：
证明：连接，如图所示：
，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴点P 在的平分线上．
22. 某项工程，乙队单独完成所需天数是甲队单独完成所需天数的1.5倍；若由甲队先做10天，剩下的工程再由甲、乙两队合作30天刚好如期完成．
（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？
（2）已知甲队每天的施工费用为2.5万元，乙队每天的施工费用为2万元，工程预算的施工费用为160万元．
①若在甲、乙工程队工作效率不变的情况下使施工时间最短，问安排预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？
②若要求施工总费用不超预算又要如期完工，问甲工程队至少需要施工几天？
【答案】（1）甲、乙两队单独完成这项工程分别需60天和90天；（2）①不够用，需追加预算2万元；②甲工程队至少需要施工40天
【解析】
【分析】（1）设甲单独完成这项工程所需天数，表示出乙单独完成这项工程所需天数及各自的工作效率．根据工作量=工作效率×工作时间列方程求解；
（2）①根据题意，甲乙合作工期最短，所以须求合作的时间，然后计算费用，作出判断；
②设甲工程队需要施工a天，乙工程队需要施工b天，分别根据完成工作量为1，施工总费用不超预算列不等式组可得结论．
【详解】解：（1）设甲队单独完成这项工程需要x天，则乙队单独完成这项工程需要1.5x天．
根据题意，得：，
解得 x＝60．
经检验，x＝60是原方程的根．
∴1.5x＝60×1.5＝90．
答：甲、乙两队单独完成这项工程分别需60天和90天；
（2）①设甲、乙两队合作完成这项工程需要y天，
，
解得：y＝36，
36×（2.5+2）＝162（万元），
∵162＞160，
∴不够，
需追加162﹣160＝2（万元），
答：不够用，需追加预算2万元；
②设甲工程队需要施工a天，乙工程队需要施工b天，
根据题意得：，
由得：2b＝180﹣3a，
把2b＝180﹣3a代入得：2.5a+180﹣3a≤160，
a≥40，
∴甲工程队至少需要施工40天．
【点睛】此题主要考查了分式方程的应用、不等式组的应用，根据题意列出方程或不等式组是解题的关键．
23. 如图， 已知直线l及其同侧的两点A、B．
（1）在直线l上画一点C，使得最小(画图工具不限，保留画图痕迹)
（2）如果是直线l上长度为a的动线段，请在直线l上画出点的位置，使得最小(画图工具不限 ， 保留画图痕迹)
【答案】（1）见解析；
（2）见解析．
【解析】
【分析】本题考查了复杂作图、最短路线问题，解决本题关键是作出其中一点关于直线的对称点，对称点与另一点的连线与直线的交点就是所要找的点．
（1）关键最短路线问题：作出其中一点关于直线l的对称点，对称点与另一点的连线与直线l的交点就是所要找的点．
（2）先把点B向左平移线段a的长度到点 ，再作点A关于直线l的对称点，然后连接与直线l相交，进而找到点D．
【小问1详解】
解：如图1， 作点A关于直线l的对称点，连接交直线l于点C，
根据两点之间线段最短，最小，
∴点即为所求作的点；
【小问2详解】
解：如图2， 先将点向左平移线段的长度到点，作点关于直线l的对称点，
连接交直线l于点，再向右作线段，
∴最小．
∴点 C、D即为所求作的点．
24. 如图1，在中，，，射线平分，点D是射线上的动点，点C和点D关于直线对称，与分别交于点E、G．请探究线段及之间的数量关系，为了解决问题，可以采用“从特殊到一般”的方法进行研究：
（1）如图2，当时，及之间有什么样的数量关系？证明你的结论；
（2）如图1，若点时及之间有什么样的数量关系？证明你的结论．
（3）如图3，若时，及之间有什么样的数量关系？请直接写出这个结论（不要求证明）
【答案】（1），证明见解析
（2），见解析
（3）
【解析】
【分析】此题考查了轴对称的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形判定和性质等知识，分类讨论是解题的关键
（1）如图1中，结论：当时，由全等三角形的性质证明，再证明即可解决问题．
（2）如图2中，结论：当时，．作点A关于的对称点E， 连接，利用（1）中结论以及线段的和差定义解决问题即可．
（3）如图3中，结论：当时，．作点A关于的对称点E， 连接，利用（1）中结论以及线段的和差定义解决问题即可．
【小问1详解】
解：如图1中，结论：当时，
理由：连接．
在中，
∵，
∵平分，A，C关于对称，
∴，
∴，
∴，
∵
∴
∴．
【小问2详解】
如图2中，结论：当时，．
理由：作点A关于的对称点E，连接，
由（1）可知，
∴
∵，
∴．
【小问3详解】
如图3中，结论：当时，．
理由：作点A关于的对称点E，连接，
由（1）可知，
∴，
∵
∴．
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