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北师大版七年级数学下册同步精讲精练第五章生活中的轴对称(A卷知识通关练)(原卷版+解析)
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这是一份北师大版七年级数学下册同步精讲精练第五章生活中的轴对称(A卷知识通关练)(原卷版+解析)，共48页。
考点1 判断轴对称图形
【方法点拨】掌握轴对称图形的概念：把一个图形沿着某一条直线翻折，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么称这个图形是轴对称图形，这条直线就是对称轴。
注意：理解轴对称图形的定义应注意两点：
（1）轴对称图形是一个图形，反映的是这个图形自身的性质。
（2）符合要求的“某条直线”可能不止一条，但至少要有一条。
（2021秋•鲁甸县期末）下列交通标志中，属于轴对称图形的是
A． B．C．D．
（2020秋•花都区期末）下列地铁标志图形中属于轴对称图形的是
A． 青岛地铁B． 北京地铁
C． 广州地铁D． 上海地铁
（2021春•城固县期末）下列图案中，不属于轴对称图形的是
A．B．C．D．
下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
下列图形中，不是轴对称图形的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
考点2 角平分线的应用
【方法点拨】掌握角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等
牢记：（1）角平分线的性质是证明线段相等的一个比较简单的方法；
（2）当遇到有关角平分线的问题时，通常过角平分线上的点向角的两边作垂线，构造相等的线段。
（2021秋•都安县期末）如图，是的平分线上一点，于，于，若，则
A．1B．2C．4D．8
（2021秋•襄汾县期末）如图，射线是的角平分线，是射线上一点，于点，，若点是射线上一点，，则的面积是
A．3B．4C．5D．6
（2022秋•大连期中）到三角形三条边的距离都相等的点是
A．两条中线的交点B．两条高的交点
C．两条角平线的交点D．两条边的垂直平分线的交点
如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，若AB＝6cm，则△DBE的周长是（ ）
A．6 cmB．7 cmC．8 cmD．9 cm
考点3 线段垂直平分线性质的应用
【方法点拨】掌握线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
注意：（1）这里的距离指的是点与点之间的距离，也就是两点之间线段的长度。
（2）在使用该定理时必须保证两个前提条件：一是垂直于这条线段，二是平分这条线段。
（2022•天津模拟）到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形 的交点．
A．三个内角平分线B．三边垂直平分线
C．三条中线D．三条高
（2022春•萍乡期末）如图，中，垂直平分交于点，交于点，垂直平分交于点，交于点，且点在点的左侧，连接、，若，则的周长是
A．B．C．D．
（2021秋•丹阳市期末）如图，在中，是的中垂线，，，则长是 ．
如图：在△ABC中，AB和AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，且点D在点E的左侧，BC＝6cm，则△ADE的周长是（ ）
A．3cmB．12cmC．9cmD．6cm
如图，在△ABC中，点E在边AC上，DE是AB的垂直平分线，△ABC的周长为19，△BCE的周长为12，则线段AB的长为（ ）
A．9B．8C．7D．6
如图，在△ABC中，PM、QN分别是AB、AC的垂直平分线，∠BAC＝100°那么∠PAQ等于（ ）
A．50°B．40°C．30°D．20°
考点4 等腰三角形的性质
【方法点拨】掌握等腰三角形的性质：
1.等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线是它的对称轴。
2.等腰三角形的两底角相等（简称“等边对等角”）。
3.等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合（简称“三线合一”）。
已知等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在的直线的夹角为40°，则此等腰三角形的顶角是（ ）
A．50°B．130°C．50°或 140°D．50°或 130°
如图，已知AB＝AC＝BD，则∠1与∠2的关系是（ ）
A．3∠1﹣∠2＝180°B．2∠1+∠2＝180°
C．∠1+3∠2＝180°D．∠1＝2∠2
如图，若AB＝AC，下列三角形能被一条直线分成两个小等腰三角形的是（ ）
A．（1）（2）（3）B．（1）（3）（4）C．（2）（3）（4）D．（1）（2）（4）
如图，在第一个△ABA1中∠B＝20°，AB＝A1B，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得A1A2＝A1C，得到第二个△A1A2C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得A2A3＝A2D；…，按此做法进行下去，则以点A4为顶点的等腰三角形的底角的度数为（ ）
A．175°B．170°C．10°D．5°
考点5 轴对称性质的应用
【方法点拨】掌握轴对称的性质：
1.成轴对称的两个图形全等。
2.成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分。
3.成轴对称的两个图形的任何对应部分也成轴对称。
（2022春•卧龙区期末）如图，点为内一点，分别作点关于射线，的对称点，，若，则的度数是
A．B．C．D．
（2022春•三原县期末）如图，在直角三角形中，，点在上，点在上，与关于直线对称，与交于点，如果，那么与的数量关系是 ．
（2021秋•渝北区期末）如图，在中，，，是边上一点，连接．将沿直线翻折后，点恰好落在边上点，若，则点到的距离是 ．
（2022秋•沭阳县校级月考）如图所示，已知是内的一点，点、分别是点关于、的对称点，与、分别相交于点、，已知．
（1）求的周长；
（2）连接、，判断的形状，并说明理由；
（3）若，求（用含的代数式表示）．
考点6 设计轴对称图案
【方法点拨】设计轴对称图案往往以正方形、菱形、等边三角形和网格纸（或格点纸）为基础，因为这些图形本身就是轴对称图形，利用轴对称的有关性质容易设计出它们的对称点或对称部分。设计轴对称图案时，要先确定出有几条对称轴，然后根据对称轴的不同，合理地设计出整体的轴对称图案。具体设计时，我们通常先以一条对称轴为基线，根据构思或需要，再添加其他的对称轴，进一步设计美观、完善的图案。
注意：（1）要设计的图案是由哪些基本图形组成的；
（2）是不是轴对称图形，如果是轴对称图形，要先确定它的对称轴；
（3）设计轴对称的美术图案时，除图形对称外，有时颜色也要“对称”。
（2022春•李沧区期末）如图是的正方形网格，要在图中再涂黑一个小正方形，使得图中黑色的部分成为轴对称图形，这样的小正方形有 个．
（2022春•北海期末）如图，在的正方形网格中已有2个正方形涂黑，再选择一个正方形涂黑，使得3个涂黑的正方形组成轴对称图形，选择的位置共有 处．
（2021秋•丹凤县期末）如图，在平面直角坐标系中，点、、的坐标分别为、、．
（1）在图中作出关于轴对称的图形△；
（2）分别写出点、、关于轴的对称点、、的坐标．
（2021秋•岑溪市期末）在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别是，，．
（1）请在所给的坐标系中画出；
（2）画出关于轴对称的△（其中、、分别是、、的对应点）．
考点7 复杂的尺规作图
（2021秋•靖西市期末）如图：已知和两条公路，以及、两个村庄，建立一个车站，使车站到两个村庄距离相等即，且到，两条公路的距离相等．
（2022•丰顺县校级开学）指出下列图形中的轴对称图形，并找出它们的对称轴．
在七年级我们就学过用一副三角板画出一些特殊度数的角．在八年级第二章，我们学会了一些基本的尺规作图，这些特殊的角也能用尺规作出．下面请各位同学开动脑筋，只用直尺和圆规完成下列作图．
已知：如图，射线OA．
求作：∠AOB，使得∠AOB在射线OA的上方，且∠AOB＝45°（保留作图痕迹，不写作法）
如图，△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5．
（1）试用直尺和圆规，在直线AB上求作点P，使△PBC为等腰三角形．要求：①保留作图痕迹；②若点P有多解，则应作出所有的点P，并在图中依次标注P1、P2、P3、…；
（2）根据（1）求PA的长（所有可能的值）
考点8 利用轴对称性质求最值
（2021秋•无锡期末）如图，已知的大小为，是内部的一个定点，且，点、分别是、上的动点，若周长的最小值等于4，则
A．B．C．D．
（2021秋•滦州市期末）某市计划在公路旁修建一个飞机场，现有如下四种方案，则机场到，两个城市之间的距离之和最短的是
A．B．
C．D．
（2021秋•安州区期末）在中，，，，为的中点，为上一动点，连接，，则的最小值是 ．
（2022秋•太仓市月考）如图，纸片的直角边落在直线上，，，，平面内一点到直线的距离为9，纸片沿直线左右移动，则的最小值为 ．
考点9 生活中的最短距离问题
茅坪民族中学八（2）班举行文艺晚会，桌子摆成两直条（如图中的AO，BO），AO桌面上摆满了桔子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到C处，请你在下图帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？
如图，为了做好元旦期间的交通安全工作，自贡市交警执勤小队从A处出发，先到公路m上设卡检査，再到公路n上设卡检査，最后再到达B地执行任务，他们应如何走才能使总路程最短？画出图形并说明做法．
如图，点P是∠AOB内部一点，现有一只蚂蚁要从P的出发，先到OA，再到OB，最后返回到点P．请作出蚂蚁爬行的最短路径（要求：保留作图痕迹，不写作法．）
如图直线l1，l2表示一条河的两岸，且l1∥l2，现要在这条河上建一座桥．桥建在何处才能使从村庄A经过河到村庄B的路线最短？画出示意图，并说明理由．
考点10 等腰三角形中的角度问题
（2022春•原阳县月考）如图，与关于直线对称，若，，则
A．B．C．D．
（2021秋•宜兴市期末）将一张纸如图所示折叠后压平，点在线段上，、为两条折痕，若，则的度数是
A．B．C．D．
（2022•南京模拟）如图，和关于直线对称，与的交点在直线上．
（1）图中点的对应点是点 ，的对应角是 ；
（2）若，，则的长为 ；
（3）若，，求的度数．
如图，△ABC中，AE＝BE，∠AED＝∠ABC．
（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）若AB＝CB，∠AED＝4∠EAD，求∠C的度数．
考点11 等腰三角形与全等三角形综合
在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E是AD上任意一点．
（1）如图1，连接BE、CE，则BE＝CE吗？说明理由；
（2）若∠BAC＝45°，BE的延长线与AC垂直相交于点F时，如图2，BD＝AE吗？说明理由．
如图，等腰△ABC，点D、E、F分别在BC、AB、AC上，且∠BAC＝∠ADE＝∠ADF＝60°．
（1）在图中找出与∠DAC相等的角，并加以证明；
（2）若AB＝6，BE＝m，求：AF（用含m的式子表示）．
如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，BD平分∠ABC，且BD＝AB，连接AD、DC．
（1）求证：∠CAD＝∠DBC；
（2）求∠BDC的度数．
在△ABC和△DCE中，CA＝CB，CD＝CE，∠CAB＝∠CED＝α．
（1）如图1，将AD、EB延长，延长线相交于点O：
①求证：BE＝AD；
②用含α的式子表示∠AOB的度数（直接写出结果）；
（2）如图2，当α＝45°时，连接BD、AE，作CM⊥AE于M点，延长MC与BD交于点N，求证：N是BD的中点．
考点12 翻折变换中的角度问题
（2022春•芜湖期末）如图，已知矩形沿着直线折叠，使点落在处，交于，，，则的长为
A．3B．4C．5D．6
（2022春•舞钢市期末）如图，将沿的角平分线所在直线翻折，点在边上的落点记为点．已知，，那么等于
A．B．C．D．
（2021秋•上杭县期末）如图，将一张长方形纸片沿对角线折叠后，点落在点处，连接交于点，再将三角形沿折叠后，点落在点处，若刚好平分，那么的度数为
A．B．C．D．
班级 姓名 学号 分数
第五章 生活中的轴对称（A卷·知识通关练）
考点1 判断轴对称图形
【方法点拨】掌握轴对称图形的概念：把一个图形沿着某一条直线翻折，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么称这个图形是轴对称图形，这条直线就是对称轴。
注意：理解轴对称图形的定义应注意两点：
（1）轴对称图形是一个图形，反映的是这个图形自身的性质。
（2）符合要求的“某条直线”可能不止一条，但至少要有一条。
（2021秋•鲁甸县期末）下列交通标志中，属于轴对称图形的是
A． B．C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形可得答案．
【解答】解：根据轴对称图形的概念可得四个选项中只有是轴对称图形，
故选：．
（2020秋•花都区期末）下列地铁标志图形中属于轴对称图形的是
A． 青岛地铁B． 北京地铁
C． 广州地铁D． 上海地铁
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
、是轴对称图形，故本选项符合题意；
、不是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：．
（2021春•城固县期末）下列图案中，不属于轴对称图形的是
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析．
【解答】解：、是轴对称图形，故此选项不合题意；
、不是轴对称图形，故此选项符合题意；
、是轴对称图形，故此选项不合题意；
、是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据关于某条直线对称的图形叫轴对称图形，进而判断得出即可．
【答案】解：A、是轴对称图形，不合题意；
B、不是轴对称图形，符合题意；
C、是轴对称图形，不合题意；
D、是轴对称图形，不合题意；
故选：B．
下列图形中，不是轴对称图形的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【答案】解：只有第1个不是轴对称图形．
故选：A．
考点2 角平分线的应用
【方法点拨】掌握角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等
牢记：（1）角平分线的性质是证明线段相等的一个比较简单的方法；
（2）当遇到有关角平分线的问题时，通常过角平分线上的点向角的两边作垂线，构造相等的线段。
（2021秋•都安县期末）如图，是的平分线上一点，于，于，若，则
A．1B．2C．4D．8
【分析】先根据角平分线的性质得出，再利用证明，根据全等三角形的对应边相等即可得到．
【解答】解：是的平分线上一点，于，于，
．
在与中，，
，
，
．
故选：．
（2021秋•襄汾县期末）如图，射线是的角平分线，是射线上一点，于点，，若点是射线上一点，，则的面积是
A．3B．4C．5D．6
【分析】作于，如图，根据角平分线的性质得，然后根据三角形面积公式计算．
【解答】解：作于，如图，
是的角平分线，，，
，
．
故选：．
（2022秋•大连期中）到三角形三条边的距离都相等的点是
A．两条中线的交点B．两条高的交点
C．两条角平线的交点D．两条边的垂直平分线的交点
【分析】根据角平分线的性质定理解答即可，角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
【解答】解：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，
到三角形三条边的距离都相等的点是两条角平分线的交点．
故选：．
如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，若AB＝6cm，则△DBE的周长是（ ）
A．6 cmB．7 cmC．8 cmD．9 cm
【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE＝CD，再根据等腰直角三角形的性质求出AC＝BC＝AE，然后求出△DBE的周长＝AB，代入数据即可得解．
【答案】解：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴DE＝CD，
又∵AC＝BC，AC＝AE，
∴AC＝BC＝AE，
∴△DBE的周长＝DE+BD+EB＝CD+BD+EB＝BC+EB＝AE+EB＝AB，
∵AB＝6cm，
∴△DBE的周长＝6cm．
故选：A．
考点3 线段垂直平分线性质的应用
【方法点拨】掌握线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
注意：（1）这里的距离指的是点与点之间的距离，也就是两点之间线段的长度。
（2）在使用该定理时必须保证两个前提条件：一是垂直于这条线段，二是平分这条线段。
（2022•天津模拟）到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形 的交点．
A．三个内角平分线B．三边垂直平分线
C．三条中线D．三条高
【分析】根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等解答．
【解答】解：到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点．
故选：．
（2022春•萍乡期末）如图，中，垂直平分交于点，交于点，垂直平分交于点，交于点，且点在点的左侧，连接、，若，则的周长是
A．B．C．D．
【分析】由直线为线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线定理：可得，同理可得，然后表示出三角形的三边之和，等量代换可得其周长等于的长．
【解答】解：直线为线段的垂直平分线，
，
又直线为线段的垂直平分线，
，
的周长，
故选：．
（2021秋•丹阳市期末）如图，在中，是的中垂线，，，则长是 ．
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，然后根据代入数据计算即可得解．
【解答】解：是的中垂线，
，
．
故答案为：7．
如图：在△ABC中，AB和AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，且点D在点E的左侧，BC＝6cm，则△ADE的周长是（ ）
A．3cmB．12cmC．9cmD．6cm
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DA＝DB，EA＝EC，根据三角形的周长公式计算即可．
【答案】解：∵AB和AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，
∴DA＝DB，EA＝EC，
∴△ADE的周长＝AD+DE+AE＝BD+DE+EC＝BC＝6cm，
故选：D．
如图，在△ABC中，点E在边AC上，DE是AB的垂直平分线，△ABC的周长为19，△BCE的周长为12，则线段AB的长为（ ）
A．9B．8C．7D．6
【分析】由DE为AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，可得AE＝BE，又由△BCE的周长为12，可得AC+BC＝12，继而求得答案．
【答案】解：∵DE为AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∵△BCE的周长为12，
∴BC+BE+CE＝BC+AE+CE＝BC+AC＝12cm，
∵△ABC的周长为19，
∴AB+AC+BC＝19，
∴AB＝19﹣12＝7，
故选：C．
如图，在△ABC中，PM、QN分别是AB、AC的垂直平分线，∠BAC＝100°那么∠PAQ等于（ ）
A．50°B．40°C．30°D．20°
【分析】根据三角形内角和定理得到∠B+∠C＝180°﹣100°＝80°，根据线段垂直平分线的性质得到PA＝PB，QA＝QC，根据等腰三角形的性质计算即可．
【答案】解：∵∠BAC＝100°，
∴∠B+∠C＝180°﹣100°＝80°，
∵PM、QN分别是AB、AC的垂直平分线，
∴PA＝PB，QA＝QC，
∴∠PAB＝∠B，∠QAC＝∠C，
∴∠PAQ＝180°﹣（∠PAB+∠QAC）＝180°﹣（∠B+∠C）＝20°，
故选：D．
考点4 等腰三角形的性质
【方法点拨】掌握等腰三角形的性质：
1.等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线是它的对称轴。
2.等腰三角形的两底角相等（简称“等边对等角”）。
3.等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合（简称“三线合一”）。
已知等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在的直线的夹角为40°，则此等腰三角形的顶角是（ ）
A．50°B．130°C．50°或 140°D．50°或 130°
【分析】由题意可知其为锐角等腰三角形或钝角等腰三角形，不可能是等腰直角三角形，所以应分开来讨论．
【答案】解：当为锐角时，如图：
∵∠ADE＝40°，∠AED＝90°，
∴∠A＝50°，
当为钝角时，如图：
∠ADE＝40°，∠DAE＝50°，
∴顶角∠BAC＝180°﹣50°＝130°．
故选：D．
如图，已知AB＝AC＝BD，则∠1与∠2的关系是（ ）
A．3∠1﹣∠2＝180°B．2∠1+∠2＝180°
C．∠1+3∠2＝180°D．∠1＝2∠2
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得∠1和∠C之间的关系，再根据三角形外角的性质可得∠1和∠2之间的关系．
【答案】解：∵AB＝AC＝BD，
∴∠B＝∠C＝180°﹣2∠1，
∴∠1﹣∠2＝180°﹣2∠1，
∴3∠1﹣∠2＝180°．
故选：A．
如图，若AB＝AC，下列三角形能被一条直线分成两个小等腰三角形的是（ ）
A．（1）（2）（3）B．（1）（3）（4）C．（2）（3）（4）D．（1）（2）（4）
【分析】根据等腰三角形的判定对①②③④个选项逐一分析，只有②不能被一条直线分成两个小等腰三角形
【答案】解：①中作∠B的角平分线即可；
③过A点作BC的垂线即可；
④中以A为顶点AB为一边在三角形内部作一个72度的角即可；
只有②选项不能被一条直线分成两个小等腰三角形．
故选：B．
如图，在第一个△ABA1中∠B＝20°，AB＝A1B，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得A1A2＝A1C，得到第二个△A1A2C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得A2A3＝A2D；…，按此做法进行下去，则以点A4为顶点的等腰三角形的底角的度数为（ ）
A．175°B．170°C．10°D．5°
【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠BA1A的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠CA2A1，∠DA3A2及∠EA4A3的度数，找出规律即可得出∠A6的度数．
【答案】解：∵在△ABA1中，∠B＝20°，AB＝A1B，
∴∠BA1A＝＝80°，
∵A1A2＝A1C，∠BA1A是△A1A2C的外角，
∴∠CA2A1＝＝＝40°；A
同理可得∠DA3A2＝20°，∠EA4A3＝10°，
∴∠An＝，
以点A4为顶点的底角为∠A5．
∵∠A5＝＝5°，
故选：D．
考点5 轴对称性质的应用
【方法点拨】掌握轴对称的性质：
1.成轴对称的两个图形全等。
2.成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分。
3.成轴对称的两个图形的任何对应部分也成轴对称。
（2022春•卧龙区期末）如图，点为内一点，分别作点关于射线，的对称点，，若，则的度数是
A．B．C．D．
【分析】根据对称的性质得出，再根据四边形内角和是得出的度数，即可得出结论．
【解答】解：根据对称知，，，
，
，
故选：．
（2022春•三原县期末）如图，在直角三角形中，，点在上，点在上，与关于直线对称，与交于点，如果，那么与的数量关系是 ．
【分析】根据翻折的性质得出，进而利用平行线的性质解答即可．
【解答】解：与的数量关系是：，
，
，
，
由翻折可得：，
，
故答案为：．
（2021秋•渝北区期末）如图，在中，，，是边上一点，连接．将沿直线翻折后，点恰好落在边上点，若，则点到的距离是 ．
【分析】根据折叠可得，由，可求出，根据三角形面积之间的关系可求出答案．
【解答】解：由折叠得，，△，
，
，
，
，
，
设点到的距离为，
则，
，
即点到的距离为，
故答案为：．
（2022秋•沭阳县校级月考）如图所示，已知是内的一点，点、分别是点关于、的对称点，与、分别相交于点、，已知．
（1）求的周长；
（2）连接、，判断的形状，并说明理由；
（3）若，求（用含的代数式表示）．
【分析】（1）根据轴对称的性质，可得与的关系，与的关系，根据三角形的周长公式，可得答案；
（2）根据轴对称的性质，可得与的关系，与的关系，根据等腰三角形的判定，可得答案；
（3）根据轴对称的性质，可得与的关系，与的关系，根据角的和查，可得答案．
【解答】解：（1）由点、分别是点关于、的对称点，得
，．
由三角形的周长，得
；
（2）如图：，
由点、分别是点关于、的对称点，得
，，
，
是等腰三角形；
（3）由点、分别是点关于、的对称点，得
，．
由角的和差，得
，
，
．
考点6 设计轴对称图案
【方法点拨】设计轴对称图案往往以正方形、菱形、等边三角形和网格纸（或格点纸）为基础，因为这些图形本身就是轴对称图形，利用轴对称的有关性质容易设计出它们的对称点或对称部分。设计轴对称图案时，要先确定出有几条对称轴，然后根据对称轴的不同，合理地设计出整体的轴对称图案。具体设计时，我们通常先以一条对称轴为基线，根据构思或需要，再添加其他的对称轴，进一步设计美观、完善的图案。
注意：（1）要设计的图案是由哪些基本图形组成的；
（2）是不是轴对称图形，如果是轴对称图形，要先确定它的对称轴；
（3）设计轴对称的美术图案时，除图形对称外，有时颜色也要“对称”。
（2022春•李沧区期末）如图是的正方形网格，要在图中再涂黑一个小正方形，使得图中黑色的部分成为轴对称图形，这样的小正方形有 个．
【分析】直接利用轴对称图形的性质分析得出答案．
【解答】解：如图所示：在图中剩余的方格中涂黑一个正方形，使整个阴影部分成为轴对称图形，只要将1，2，3，4，5处涂黑，都是符合题意的图形．
故答案为：5．
（2022春•北海期末）如图，在的正方形网格中已有2个正方形涂黑，再选择一个正方形涂黑，使得3个涂黑的正方形组成轴对称图形，选择的位置共有 处．
【分析】根据轴对称的概念作答．如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．
【解答】解：如图所示：再选择一个正方形涂黑，使得3个涂黑的正方形组成轴对称图形，选择的位置共有6处，分别是标有数字1，2，3，4，5，6，7位置．
故答案为：7．
（2021秋•丹凤县期末）如图，在平面直角坐标系中，点、、的坐标分别为、、．
（1）在图中作出关于轴对称的图形△；
（2）分别写出点、、关于轴的对称点、、的坐标．
【分析】（1）根据轴对称的性质画图即可；
（2）关于轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标不变，由此可得答案．
【解答】（1）如图所示，△即为所求；
（2），、，
点、、关于轴的对称点、、的坐标分别为、、．
（2021秋•岑溪市期末）在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别是，，．
（1）请在所给的坐标系中画出；
（2）画出关于轴对称的△（其中、、分别是、、的对应点）．
【分析】（1）根据，，，即可在所给的坐标系中画出；
（2）根据轴对称的性质即可画出关于轴对称的△．
【解答】解：（1）如图，即为所求；
（2）如图，△即为所求．
考点7 复杂的尺规作图
（2021秋•靖西市期末）如图：已知和两条公路，以及、两个村庄，建立一个车站，使车站到两个村庄距离相等即，且到，两条公路的距离相等．
【分析】作的角平分线和线段的垂直平分线，它们的交点为点．
【解答】解：如图，点为所作．
（2022•丰顺县校级开学）指出下列图形中的轴对称图形，并找出它们的对称轴．
【分析】根据轴对称图形的定义，把图形沿一条直线对折，直线两侧的部分能够互相重合，这样的直线就是图形的对称轴，据此即可作出．
【解答】解：
在七年级我们就学过用一副三角板画出一些特殊度数的角．在八年级第二章，我们学会了一些基本的尺规作图，这些特殊的角也能用尺规作出．下面请各位同学开动脑筋，只用直尺和圆规完成下列作图．
已知：如图，射线OA．
求作：∠AOB，使得∠AOB在射线OA的上方，且∠AOB＝45°（保留作图痕迹，不写作法）
【分析】反向延长OA到点D，过点O作直线DA的垂直平分线OC，再作∠AOC的平分线即可得．
【答案】解：如图所示，∠AOB即为所作．
如图，△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5．
（1）试用直尺和圆规，在直线AB上求作点P，使△PBC为等腰三角形．要求：①保留作图痕迹；②若点P有多解，则应作出所有的点P，并在图中依次标注P1、P2、P3、…；
（2）根据（1）求PA的长（所有可能的值）
【分析】（1）以C点为圆心，CB为半径画弧交直线AB于P1，以B点为圆心，BC为半径画弧交直线AB于P2，P3，作BC的垂直平分线交直线AB于P4；
（2）先利用勾股定理的逆定理证明△ABC为直角三角形，∠BAC＝90°，当CP1＝CB时，利用等腰三角形的性质得到AP1＝AB＝3；当BP2＝BP3＝BC＝5时，易得AP2＝AB+BP2＝8；AP3＝BP3﹣AB＝2；当P4C＝P4B时，设AP4＝x，则P4C＝P4B＝x+3，利用勾股定理得到x2+42＝（x+3）2，解方程即可．
【答案】解：（1）如图，点P1、P2、P3、P4为所作；
（2）∵AB＝3，AC＝4，BC＝5．
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC为直角三角形，∠BAC＝90°，
当CP1＝CB时，
∵CA⊥BP1，
∴AP1＝AB＝3；
当BP2＝BP3＝BC＝5时，
AP2＝AB+BP2＝3+5＝8；
AP3＝BP3﹣AB＝5﹣3＝2；
当P4C＝P4B时，
设AP4＝x，则P4C＝P4B＝x+3，
在Rt△P4AC中，x2+42＝（x+3）2，解得x＝，
即AP4＝．
综上所述，AP的值可能为2、3、8、．
考点8 利用轴对称性质求最值
（2021秋•无锡期末）如图，已知的大小为，是内部的一个定点，且，点、分别是、上的动点，若周长的最小值等于4，则
A．B．C．D．
【分析】设点关于的对称点为，关于的对称点为，当点、在上时，的周长为，此时周长最小，根据可求出的度数．
【解答】解：如图，作点关于的对称点，关于的对称点，连接，交于，于．此时，的周长最小．
连接，，，．
点与点关于对称，
垂直平分，
，，，
同理，可得，，．
，，
．
又的周长，
，
是等边三角形，
，
．
故选：．
（2021秋•滦州市期末）某市计划在公路旁修建一个飞机场，现有如下四种方案，则机场到，两个城市之间的距离之和最短的是
A．B．
C．D．
【分析】用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离．
【解答】解：作点关于直线的对称点，连接交直线于．
根据两点之间，线段最短，可知选项机场到，两个城市之间的距离之和最短．
故选：．
（2021秋•安州区期末）在中，，，，为的中点，为上一动点，连接，，则的最小值是 ．
【分析】作关于的对称点，连接，易求，则，且△为等边三角形，为与直线之间的连接线段，其最小值为到的距离，所以最小值为6．
【解答】解：作关于的对称点，连接，
，，
，
，
△为等边三角形，
为与直线之间的连接线段，
最小值为到的距离，
故答案为：6．
（2022秋•太仓市月考）如图，纸片的直角边落在直线上，，，，平面内一点到直线的距离为9，纸片沿直线左右移动，则的最小值为 ．
【分析】过点做直接平行直线，作点关于直线的对称点，当、、共线时，最小，即可求得．
【解答】解：过点作直接平行直线，作点关于直线的对称点，当、、共线时，最小
根据勾股定理得
，
的最小值是13，
故答案为：13．
考点9 生活中的最短距离问题
茅坪民族中学八（2）班举行文艺晚会，桌子摆成两直条（如图中的AO，BO），AO桌面上摆满了桔子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到C处，请你在下图帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？
【分析】本题意思是在OA上找一点D，在OB上找一点E，使△CDE的周长最小．如果设点C关于OA的对称点是M，关于OB的对称点是N，当点D、E在MN上时，△CDE的周长为CD+DE+EC＝MN，此时周长最小．
【答案】解：①分别作点C关于OA、OB的对称点是M、N，
②连接MN，分别交OA于D，OB于E．
则C→D→E→C为所求的行走路线．
如图，为了做好元旦期间的交通安全工作，自贡市交警执勤小队从A处出发，先到公路m上设卡检査，再到公路n上设卡检査，最后再到达B地执行任务，他们应如何走才能使总路程最短？画出图形并说明做法．
【分析】根据轴对称确定最短路线问题，作A关于公路m的对称点A′，作B关于公路n的对称点B′，连接A′B′与公路m，n分别相交于点M、N，然后沿A→M→N→B走才能使总路程最短．
【答案】解：如图所示，分别作A、B关于公路m、n的对称点A′、B′，连接A′B′交m、n于M、N两点，连AM、BN，则A→M→N→B即为最短路线．
如图，点P是∠AOB内部一点，现有一只蚂蚁要从P的出发，先到OA，再到OB，最后返回到点P．请作出蚂蚁爬行的最短路径（要求：保留作图痕迹，不写作法．）
【分析】作点P关于OA、OB的对称点P′、P″，连接P′P″与OA、OB交于点M、N，可得蚂蚁爬行的最短路径为：PM+MN+PN＝P′M+MN+P″N＝P′P″．
【答案】解：如图，
作点P关于OA、OB的对称点P′、P″，
连接P′P″与OA、OB交于点M、N，
则蚂蚁爬行的最短路径为：
PM+MN+PN＝P′M+MN+P″N＝P′P″．
如图直线l1，l2表示一条河的两岸，且l1∥l2，现要在这条河上建一座桥．桥建在何处才能使从村庄A经过河到村庄B的路线最短？画出示意图，并说明理由．
【分析】先确定AA′与河等宽，且AA′⊥河岸，连接BA′，与河岸的交点就是点C，过点C作CD垂直河岸，交另一河岸于点D，即可得出答案．
【答案】解：如图，先确定AA′与河等宽，且AA′⊥河岸，连接BA′，与河岸的交点就是点C，过点C作CD垂直河岸，交另一河岸于点D，CD就是所求的桥的位置．
理由：由作图过程可知，四边形ACDA′为平行四边形，AD平移至A′C即可得到线段A′B，两点之间，线段最短，由于河宽不变，CD即为桥．
考点10 等腰三角形中的角度问题
（2022春•原阳县月考）如图，与关于直线对称，若，，则
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称的性质以及三角形的内角和定理解决问题即可．
【解答】解：与关于直线对称，
△，
，
，
．
故选：．
（2021秋•宜兴市期末）将一张纸如图所示折叠后压平，点在线段上，、为两条折痕，若，则的度数是
A．B．C．D．
【分析】由折叠的性质可知，，，
推出，，
所以．
【解答】解：由折叠的性质可知，，，
，
，
，
，
故选：．
（2022•南京模拟）如图，和关于直线对称，与的交点在直线上．
（1）图中点的对应点是点 ，的对应角是 ；
（2）若，，则的长为 ；
（3）若，，求的度数．
【分析】根据与关于直线对称确定对称点，从而确定对称线段、对称角和对称三角形，利用轴对称的性质即可解决问题；
【解答】解：（1）与关于直线对称，
图中点的对应点是点，的对应角是；
故答案为：，．
（2）与关于直线对称，
，
，
．
故答案为：3．
（3），，
，
再根据对称性，
，
．
如图，△ABC中，AE＝BE，∠AED＝∠ABC．
（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）若AB＝CB，∠AED＝4∠EAD，求∠C的度数．
【分析】（1）要证明BD平分∠ABC，只要证明∠DBC＝∠ABE即可，根据题目中的条件和三角形外角和内角的关系，可以证明∠DBC＝∠ABE，从而可以证明结论成立；
（2）根据（1）中的结论和题意，利用三角形内角和可以求得∠C的度数．
【答案】（1）证明：∵∠AED＝∠ABC，∠AED＝∠ABE+∠EAB，∠ABC＝∠ABE+∠DBC，
∴∠EAB＝∠DBC，
∵AE＝BE，
∴∠EAB＝∠ABE，
∴∠DBC＝∠ABE，
∴BD平分∠ABC；
（2）设∠EAD＝x，则∠AED＝4x，
∵∠AED＝∠ABE+∠EAB，∠EAB＝∠ABE，BD平分∠ABC，
∴∠BAE＝2x，∠ABC＝4x，
∴∠BAC＝3x，
∵AB＝CB，
∴∠BAC＝∠C，
∴∠C＝3x，
∵∠ABC+∠BAC+∠C﹣180°，
∴4x+3x+3x＝180°，
解得，x＝18°，
∴∠C＝3x＝54°，
即∠C的度数是54°．
考点11 等腰三角形与全等三角形综合
在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E是AD上任意一点．
（1）如图1，连接BE、CE，则BE＝CE吗？说明理由；
（2）若∠BAC＝45°，BE的延长线与AC垂直相交于点F时，如图2，BD＝AE吗？说明理由．
【分析】（1）成立，根据等腰三角形的性质就可以求出∠BAE＝∠CAE，再证明△ABE≌△ACE就可以得出结论；
（2）成立，由BF⊥AC，∠BAC＝45°就可以求出AF＝BF，在由条件证明△AEF≌△BCF就可以得出结论．
【答案】解：（1）成立．
理由：∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴∠BAE＝∠CAE．
在△ABE和△ACE中，，
∴△ABE≌△ACE（SAS），
∴BE＝CE；
（2）成立．
理由：∵∠BAC＝45°，BF⊥AF．
∴△ABF为等腰直角三角形
∴AF＝BF，
由（1）知AD⊥BC，
∴∠EAF＝∠CBF
在△AEF和△BCF中，，
∴△AEF≌△BCF（ASA），
∴AE＝BC，
∵BD＝BC，
∴BD＝AE．
如图，等腰△ABC，点D、E、F分别在BC、AB、AC上，且∠BAC＝∠ADE＝∠ADF＝60°．
（1）在图中找出与∠DAC相等的角，并加以证明；
（2）若AB＝6，BE＝m，求：AF（用含m的式子表示）．
【分析】（1）首先证明△ABC是等边三角形，再利用三角形的外角的性质解决问题即可．
（2）在DE上截取DG＝DF，连接AG，先判定△ADG≌△ADF，得到AG＝AF，再根据∠AEG＝∠AGE，得出AE＝AG，进而得到AE＝AF即可解决问题．
【答案】解：（1）结论：∠BDE＝∠DAC．
理由：∵AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠C＝60°，
∵∠ADB＝∠3+∠ADE＝∠1+∠C，∠ADE＝∠C＝60°，
∴∠3＝∠1．
（2）如图，在DE上截取DG＝DF，连接AG，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，
∵∠ADE＝∠ADF＝60°，AD＝AD，
∴△ADG≌△ADF（SAS），
∴AG＝AF，∠1＝∠2，
∵∠3＝∠1，
∴∠3＝∠2
∵∠AEG＝60°+∠3，∠AGE＝60°+∠2，
∴∠AEG＝∠AGE，
∴AE＝AG，
∴AE＝AF＝6﹣m．
如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，BD平分∠ABC，且BD＝AB，连接AD、DC．
（1）求证：∠CAD＝∠DBC；
（2）求∠BDC的度数．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质和已知角的度数求得∠CAD＝DBC＝20°即可证得结论；
（2）延长AD到点E，使得AE＝BC，证得DBC≌△CAE，设∠CDE＝∠CED＝α，表示出∠BDC＝∠ACE＝100°+α，然后根据三角形的内角和定理求得已知角即可．
【答案】证明（1）∵AB＝AC，∠BAC＝100°
∴∠ABC＝∠ACB＝40°
∵BD平分∠ABC
∴∠ABD＝∠DBC＝20°
∵BD＝AB
∴∠ADB＝∠DAB＝80°
∴∠CAD＝20°
∴∠CAD＝∠DBC
（2）延长AD到点E，使得AE＝BC，
∵BD＝AB＝AC，∠CAD＝∠DBC，
∴△DBC≌△CAE，
∴CD＝CE，∠BDC＝∠ACE，
∴∠CDE＝∠CED＝α，
∵∠ADB＝80°，
∴∠BDE＝100°
∴∠BDC＝∠ACE＝100°+α，
∴20°+100°+α+α＝180°，
∴α＝30°，
∴∠BDC＝130°．
在△ABC和△DCE中，CA＝CB，CD＝CE，∠CAB＝∠CED＝α．
（1）如图1，将AD、EB延长，延长线相交于点O：
①求证：BE＝AD；
②用含α的式子表示∠AOB的度数（直接写出结果）；
（2）如图2，当α＝45°时，连接BD、AE，作CM⊥AE于M点，延长MC与BD交于点N，求证：N是BD的中点．
【分析】（1）①根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到∠ACB＝∠DCE，根据全等三角形的性质即可得到结论；
②根据全等三角形的性质得到∠CAD＝∠CBE＝α+∠BAO，根据三角形的内角和即可得到结论；
（2）如图2，作BP⊥MN交MN的延长线于P，作DQ⊥MN于Q，根据全等三角形的性质得到MC＝BP，同理，CM＝DQ，等量代换得到DQ＝BP，根据全等三角形的性质即可得到结论．
【答案】解：（1）①∵CA＝CB，CD＝CE，∠CAB＝∠CED＝α，
∴∠ACB＝180°﹣2α，∠DCE＝180°﹣2α，
∴∠ACB＝∠DCE，
∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴BE＝AD；
②∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD＝∠CBE＝α+∠BAO，
∵∠ABE＝∠BOA+∠BAO，
∴∠CBE+α＝∠BOA+∠BAO，
∴∠BAO+α+α＝∠BOA+∠BAO，
∴∠BOA＝2α；
（2）如图2，作BP⊥MN交MN的延长线于P，作DQ⊥MN于Q，
∵∠BCP+∠BCA＝∠CAM+∠AMC，
∵∠BCA＝∠AMC，
∴∠BCP＝∠CAM，
在△CBP与△ACM中，，
∴△CBP≌△ACM（AAS），
∴MC＝BP，
同理，CM＝DQ，
∴DQ＝BP，
在△BPN与△DQN中，，
∴△BPN≌△DQN（AAS），
∴BN＝ND，
∴N是BD的中点．
考点12 翻折变换中的角度问题
（2022春•芜湖期末）如图，已知矩形沿着直线折叠，使点落在处，交于，，，则的长为
A．3B．4C．5D．6
【分析】先根据翻折变换的性质得出，，再设，则，由全等三角形的判定定理得出△，可得出，在中利用勾股定理即可求出的值，进而得出的长．
【解答】解：△由翻折而成，
，，
设，则，
，，
，
在与△中，
，
△，
，
在中，，
，
解得：，
的长为5．
故选：．
（2022春•舞钢市期末）如图，将沿的角平分线所在直线翻折，点在边上的落点记为点．已知，，那么等于
A．B．C．D．
【分析】根据折叠的性质可得，，然后根据，，证得，根据等边对等角以及三角形的外角的性质求解．
【解答】解：根据折叠的性质可得，．
，，
．
，
．
．
故选：．
（2021秋•上杭县期末）如图，将一张长方形纸片沿对角线折叠后，点落在点处，连接交于点，再将三角形沿折叠后，点落在点处，若刚好平分，那么的度数为
A．B．C．D．
【分析】根据折叠的性质可得，，由角平分线的定义可得，，然后根据矩形的性质及角的运算可得答案．
【解答】解：由折叠可知，，，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选：．
考点1 判断轴对称图形
【方法点拨】掌握轴对称图形的概念：把一个图形沿着某一条直线翻折，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么称这个图形是轴对称图形，这条直线就是对称轴。
注意：理解轴对称图形的定义应注意两点：
（1）轴对称图形是一个图形，反映的是这个图形自身的性质。
（2）符合要求的“某条直线”可能不止一条，但至少要有一条。
（2021秋•鲁甸县期末）下列交通标志中，属于轴对称图形的是
A． B．C．D．
（2020秋•花都区期末）下列地铁标志图形中属于轴对称图形的是
A． 青岛地铁B． 北京地铁
C． 广州地铁D． 上海地铁
（2021春•城固县期末）下列图案中，不属于轴对称图形的是
A．B．C．D．
下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
下列图形中，不是轴对称图形的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
考点2 角平分线的应用
【方法点拨】掌握角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等
牢记：（1）角平分线的性质是证明线段相等的一个比较简单的方法；
（2）当遇到有关角平分线的问题时，通常过角平分线上的点向角的两边作垂线，构造相等的线段。
（2021秋•都安县期末）如图，是的平分线上一点，于，于，若，则
A．1B．2C．4D．8
（2021秋•襄汾县期末）如图，射线是的角平分线，是射线上一点，于点，，若点是射线上一点，，则的面积是
A．3B．4C．5D．6
（2022秋•大连期中）到三角形三条边的距离都相等的点是
A．两条中线的交点B．两条高的交点
C．两条角平线的交点D．两条边的垂直平分线的交点
如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，若AB＝6cm，则△DBE的周长是（ ）
A．6 cmB．7 cmC．8 cmD．9 cm
考点3 线段垂直平分线性质的应用
【方法点拨】掌握线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
注意：（1）这里的距离指的是点与点之间的距离，也就是两点之间线段的长度。
（2）在使用该定理时必须保证两个前提条件：一是垂直于这条线段，二是平分这条线段。
（2022•天津模拟）到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形 的交点．
A．三个内角平分线B．三边垂直平分线
C．三条中线D．三条高
（2022春•萍乡期末）如图，中，垂直平分交于点，交于点，垂直平分交于点，交于点，且点在点的左侧，连接、，若，则的周长是
A．B．C．D．
（2021秋•丹阳市期末）如图，在中，是的中垂线，，，则长是 ．
如图：在△ABC中，AB和AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，且点D在点E的左侧，BC＝6cm，则△ADE的周长是（ ）
A．3cmB．12cmC．9cmD．6cm
如图，在△ABC中，点E在边AC上，DE是AB的垂直平分线，△ABC的周长为19，△BCE的周长为12，则线段AB的长为（ ）
A．9B．8C．7D．6
如图，在△ABC中，PM、QN分别是AB、AC的垂直平分线，∠BAC＝100°那么∠PAQ等于（ ）
A．50°B．40°C．30°D．20°
考点4 等腰三角形的性质
【方法点拨】掌握等腰三角形的性质：
1.等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线是它的对称轴。
2.等腰三角形的两底角相等（简称“等边对等角”）。
3.等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合（简称“三线合一”）。
已知等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在的直线的夹角为40°，则此等腰三角形的顶角是（ ）
A．50°B．130°C．50°或 140°D．50°或 130°
如图，已知AB＝AC＝BD，则∠1与∠2的关系是（ ）
A．3∠1﹣∠2＝180°B．2∠1+∠2＝180°
C．∠1+3∠2＝180°D．∠1＝2∠2
如图，若AB＝AC，下列三角形能被一条直线分成两个小等腰三角形的是（ ）
A．（1）（2）（3）B．（1）（3）（4）C．（2）（3）（4）D．（1）（2）（4）
如图，在第一个△ABA1中∠B＝20°，AB＝A1B，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得A1A2＝A1C，得到第二个△A1A2C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得A2A3＝A2D；…，按此做法进行下去，则以点A4为顶点的等腰三角形的底角的度数为（ ）
A．175°B．170°C．10°D．5°
考点5 轴对称性质的应用
【方法点拨】掌握轴对称的性质：
1.成轴对称的两个图形全等。
2.成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分。
3.成轴对称的两个图形的任何对应部分也成轴对称。
（2022春•卧龙区期末）如图，点为内一点，分别作点关于射线，的对称点，，若，则的度数是
A．B．C．D．
（2022春•三原县期末）如图，在直角三角形中，，点在上，点在上，与关于直线对称，与交于点，如果，那么与的数量关系是 ．
（2021秋•渝北区期末）如图，在中，，，是边上一点，连接．将沿直线翻折后，点恰好落在边上点，若，则点到的距离是 ．
（2022秋•沭阳县校级月考）如图所示，已知是内的一点，点、分别是点关于、的对称点，与、分别相交于点、，已知．
（1）求的周长；
（2）连接、，判断的形状，并说明理由；
（3）若，求（用含的代数式表示）．
考点6 设计轴对称图案
【方法点拨】设计轴对称图案往往以正方形、菱形、等边三角形和网格纸（或格点纸）为基础，因为这些图形本身就是轴对称图形，利用轴对称的有关性质容易设计出它们的对称点或对称部分。设计轴对称图案时，要先确定出有几条对称轴，然后根据对称轴的不同，合理地设计出整体的轴对称图案。具体设计时，我们通常先以一条对称轴为基线，根据构思或需要，再添加其他的对称轴，进一步设计美观、完善的图案。
注意：（1）要设计的图案是由哪些基本图形组成的；
（2）是不是轴对称图形，如果是轴对称图形，要先确定它的对称轴；
（3）设计轴对称的美术图案时，除图形对称外，有时颜色也要“对称”。
（2022春•李沧区期末）如图是的正方形网格，要在图中再涂黑一个小正方形，使得图中黑色的部分成为轴对称图形，这样的小正方形有 个．
（2022春•北海期末）如图，在的正方形网格中已有2个正方形涂黑，再选择一个正方形涂黑，使得3个涂黑的正方形组成轴对称图形，选择的位置共有 处．
（2021秋•丹凤县期末）如图，在平面直角坐标系中，点、、的坐标分别为、、．
（1）在图中作出关于轴对称的图形△；
（2）分别写出点、、关于轴的对称点、、的坐标．
（2021秋•岑溪市期末）在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别是，，．
（1）请在所给的坐标系中画出；
（2）画出关于轴对称的△（其中、、分别是、、的对应点）．
考点7 复杂的尺规作图
（2021秋•靖西市期末）如图：已知和两条公路，以及、两个村庄，建立一个车站，使车站到两个村庄距离相等即，且到，两条公路的距离相等．
（2022•丰顺县校级开学）指出下列图形中的轴对称图形，并找出它们的对称轴．
在七年级我们就学过用一副三角板画出一些特殊度数的角．在八年级第二章，我们学会了一些基本的尺规作图，这些特殊的角也能用尺规作出．下面请各位同学开动脑筋，只用直尺和圆规完成下列作图．
已知：如图，射线OA．
求作：∠AOB，使得∠AOB在射线OA的上方，且∠AOB＝45°（保留作图痕迹，不写作法）
如图，△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5．
（1）试用直尺和圆规，在直线AB上求作点P，使△PBC为等腰三角形．要求：①保留作图痕迹；②若点P有多解，则应作出所有的点P，并在图中依次标注P1、P2、P3、…；
（2）根据（1）求PA的长（所有可能的值）
考点8 利用轴对称性质求最值
（2021秋•无锡期末）如图，已知的大小为，是内部的一个定点，且，点、分别是、上的动点，若周长的最小值等于4，则
A．B．C．D．
（2021秋•滦州市期末）某市计划在公路旁修建一个飞机场，现有如下四种方案，则机场到，两个城市之间的距离之和最短的是
A．B．
C．D．
（2021秋•安州区期末）在中，，，，为的中点，为上一动点，连接，，则的最小值是 ．
（2022秋•太仓市月考）如图，纸片的直角边落在直线上，，，，平面内一点到直线的距离为9，纸片沿直线左右移动，则的最小值为 ．
考点9 生活中的最短距离问题
茅坪民族中学八（2）班举行文艺晚会，桌子摆成两直条（如图中的AO，BO），AO桌面上摆满了桔子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到C处，请你在下图帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？
如图，为了做好元旦期间的交通安全工作，自贡市交警执勤小队从A处出发，先到公路m上设卡检査，再到公路n上设卡检査，最后再到达B地执行任务，他们应如何走才能使总路程最短？画出图形并说明做法．
如图，点P是∠AOB内部一点，现有一只蚂蚁要从P的出发，先到OA，再到OB，最后返回到点P．请作出蚂蚁爬行的最短路径（要求：保留作图痕迹，不写作法．）
如图直线l1，l2表示一条河的两岸，且l1∥l2，现要在这条河上建一座桥．桥建在何处才能使从村庄A经过河到村庄B的路线最短？画出示意图，并说明理由．
考点10 等腰三角形中的角度问题
（2022春•原阳县月考）如图，与关于直线对称，若，，则
A．B．C．D．
（2021秋•宜兴市期末）将一张纸如图所示折叠后压平，点在线段上，、为两条折痕，若，则的度数是
A．B．C．D．
（2022•南京模拟）如图，和关于直线对称，与的交点在直线上．
（1）图中点的对应点是点 ，的对应角是 ；
（2）若，，则的长为 ；
（3）若，，求的度数．
如图，△ABC中，AE＝BE，∠AED＝∠ABC．
（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）若AB＝CB，∠AED＝4∠EAD，求∠C的度数．
考点11 等腰三角形与全等三角形综合
在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E是AD上任意一点．
（1）如图1，连接BE、CE，则BE＝CE吗？说明理由；
（2）若∠BAC＝45°，BE的延长线与AC垂直相交于点F时，如图2，BD＝AE吗？说明理由．
如图，等腰△ABC，点D、E、F分别在BC、AB、AC上，且∠BAC＝∠ADE＝∠ADF＝60°．
（1）在图中找出与∠DAC相等的角，并加以证明；
（2）若AB＝6，BE＝m，求：AF（用含m的式子表示）．
如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，BD平分∠ABC，且BD＝AB，连接AD、DC．
（1）求证：∠CAD＝∠DBC；
（2）求∠BDC的度数．
在△ABC和△DCE中，CA＝CB，CD＝CE，∠CAB＝∠CED＝α．
（1）如图1，将AD、EB延长，延长线相交于点O：
①求证：BE＝AD；
②用含α的式子表示∠AOB的度数（直接写出结果）；
（2）如图2，当α＝45°时，连接BD、AE，作CM⊥AE于M点，延长MC与BD交于点N，求证：N是BD的中点．
考点12 翻折变换中的角度问题
（2022春•芜湖期末）如图，已知矩形沿着直线折叠，使点落在处，交于，，，则的长为
A．3B．4C．5D．6
（2022春•舞钢市期末）如图，将沿的角平分线所在直线翻折，点在边上的落点记为点．已知，，那么等于
A．B．C．D．
（2021秋•上杭县期末）如图，将一张长方形纸片沿对角线折叠后，点落在点处，连接交于点，再将三角形沿折叠后，点落在点处，若刚好平分，那么的度数为
A．B．C．D．
班级 姓名 学号 分数
第五章 生活中的轴对称（A卷·知识通关练）
考点1 判断轴对称图形
【方法点拨】掌握轴对称图形的概念：把一个图形沿着某一条直线翻折，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么称这个图形是轴对称图形，这条直线就是对称轴。
注意：理解轴对称图形的定义应注意两点：
（1）轴对称图形是一个图形，反映的是这个图形自身的性质。
（2）符合要求的“某条直线”可能不止一条，但至少要有一条。
（2021秋•鲁甸县期末）下列交通标志中，属于轴对称图形的是
A． B．C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形可得答案．
【解答】解：根据轴对称图形的概念可得四个选项中只有是轴对称图形，
故选：．
（2020秋•花都区期末）下列地铁标志图形中属于轴对称图形的是
A． 青岛地铁B． 北京地铁
C． 广州地铁D． 上海地铁
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
、是轴对称图形，故本选项符合题意；
、不是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：．
（2021春•城固县期末）下列图案中，不属于轴对称图形的是
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析．
【解答】解：、是轴对称图形，故此选项不合题意；
、不是轴对称图形，故此选项符合题意；
、是轴对称图形，故此选项不合题意；
、是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据关于某条直线对称的图形叫轴对称图形，进而判断得出即可．
【答案】解：A、是轴对称图形，不合题意；
B、不是轴对称图形，符合题意；
C、是轴对称图形，不合题意；
D、是轴对称图形，不合题意；
故选：B．
下列图形中，不是轴对称图形的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【答案】解：只有第1个不是轴对称图形．
故选：A．
考点2 角平分线的应用
【方法点拨】掌握角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等
牢记：（1）角平分线的性质是证明线段相等的一个比较简单的方法；
（2）当遇到有关角平分线的问题时，通常过角平分线上的点向角的两边作垂线，构造相等的线段。
（2021秋•都安县期末）如图，是的平分线上一点，于，于，若，则
A．1B．2C．4D．8
【分析】先根据角平分线的性质得出，再利用证明，根据全等三角形的对应边相等即可得到．
【解答】解：是的平分线上一点，于，于，
．
在与中，，
，
，
．
故选：．
（2021秋•襄汾县期末）如图，射线是的角平分线，是射线上一点，于点，，若点是射线上一点，，则的面积是
A．3B．4C．5D．6
【分析】作于，如图，根据角平分线的性质得，然后根据三角形面积公式计算．
【解答】解：作于，如图，
是的角平分线，，，
，
．
故选：．
（2022秋•大连期中）到三角形三条边的距离都相等的点是
A．两条中线的交点B．两条高的交点
C．两条角平线的交点D．两条边的垂直平分线的交点
【分析】根据角平分线的性质定理解答即可，角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
【解答】解：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，
到三角形三条边的距离都相等的点是两条角平分线的交点．
故选：．
如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，若AB＝6cm，则△DBE的周长是（ ）
A．6 cmB．7 cmC．8 cmD．9 cm
【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE＝CD，再根据等腰直角三角形的性质求出AC＝BC＝AE，然后求出△DBE的周长＝AB，代入数据即可得解．
【答案】解：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴DE＝CD，
又∵AC＝BC，AC＝AE，
∴AC＝BC＝AE，
∴△DBE的周长＝DE+BD+EB＝CD+BD+EB＝BC+EB＝AE+EB＝AB，
∵AB＝6cm，
∴△DBE的周长＝6cm．
故选：A．
考点3 线段垂直平分线性质的应用
【方法点拨】掌握线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
注意：（1）这里的距离指的是点与点之间的距离，也就是两点之间线段的长度。
（2）在使用该定理时必须保证两个前提条件：一是垂直于这条线段，二是平分这条线段。
（2022•天津模拟）到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形 的交点．
A．三个内角平分线B．三边垂直平分线
C．三条中线D．三条高
【分析】根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等解答．
【解答】解：到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点．
故选：．
（2022春•萍乡期末）如图，中，垂直平分交于点，交于点，垂直平分交于点，交于点，且点在点的左侧，连接、，若，则的周长是
A．B．C．D．
【分析】由直线为线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线定理：可得，同理可得，然后表示出三角形的三边之和，等量代换可得其周长等于的长．
【解答】解：直线为线段的垂直平分线，
，
又直线为线段的垂直平分线，
，
的周长，
故选：．
（2021秋•丹阳市期末）如图，在中，是的中垂线，，，则长是 ．
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，然后根据代入数据计算即可得解．
【解答】解：是的中垂线，
，
．
故答案为：7．
如图：在△ABC中，AB和AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，且点D在点E的左侧，BC＝6cm，则△ADE的周长是（ ）
A．3cmB．12cmC．9cmD．6cm
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DA＝DB，EA＝EC，根据三角形的周长公式计算即可．
【答案】解：∵AB和AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，
∴DA＝DB，EA＝EC，
∴△ADE的周长＝AD+DE+AE＝BD+DE+EC＝BC＝6cm，
故选：D．
如图，在△ABC中，点E在边AC上，DE是AB的垂直平分线，△ABC的周长为19，△BCE的周长为12，则线段AB的长为（ ）
A．9B．8C．7D．6
【分析】由DE为AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，可得AE＝BE，又由△BCE的周长为12，可得AC+BC＝12，继而求得答案．
【答案】解：∵DE为AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∵△BCE的周长为12，
∴BC+BE+CE＝BC+AE+CE＝BC+AC＝12cm，
∵△ABC的周长为19，
∴AB+AC+BC＝19，
∴AB＝19﹣12＝7，
故选：C．
如图，在△ABC中，PM、QN分别是AB、AC的垂直平分线，∠BAC＝100°那么∠PAQ等于（ ）
A．50°B．40°C．30°D．20°
【分析】根据三角形内角和定理得到∠B+∠C＝180°﹣100°＝80°，根据线段垂直平分线的性质得到PA＝PB，QA＝QC，根据等腰三角形的性质计算即可．
【答案】解：∵∠BAC＝100°，
∴∠B+∠C＝180°﹣100°＝80°，
∵PM、QN分别是AB、AC的垂直平分线，
∴PA＝PB，QA＝QC，
∴∠PAB＝∠B，∠QAC＝∠C，
∴∠PAQ＝180°﹣（∠PAB+∠QAC）＝180°﹣（∠B+∠C）＝20°，
故选：D．
考点4 等腰三角形的性质
【方法点拨】掌握等腰三角形的性质：
1.等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线是它的对称轴。
2.等腰三角形的两底角相等（简称“等边对等角”）。
3.等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合（简称“三线合一”）。
已知等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在的直线的夹角为40°，则此等腰三角形的顶角是（ ）
A．50°B．130°C．50°或 140°D．50°或 130°
【分析】由题意可知其为锐角等腰三角形或钝角等腰三角形，不可能是等腰直角三角形，所以应分开来讨论．
【答案】解：当为锐角时，如图：
∵∠ADE＝40°，∠AED＝90°，
∴∠A＝50°，
当为钝角时，如图：
∠ADE＝40°，∠DAE＝50°，
∴顶角∠BAC＝180°﹣50°＝130°．
故选：D．
如图，已知AB＝AC＝BD，则∠1与∠2的关系是（ ）
A．3∠1﹣∠2＝180°B．2∠1+∠2＝180°
C．∠1+3∠2＝180°D．∠1＝2∠2
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得∠1和∠C之间的关系，再根据三角形外角的性质可得∠1和∠2之间的关系．
【答案】解：∵AB＝AC＝BD，
∴∠B＝∠C＝180°﹣2∠1，
∴∠1﹣∠2＝180°﹣2∠1，
∴3∠1﹣∠2＝180°．
故选：A．
如图，若AB＝AC，下列三角形能被一条直线分成两个小等腰三角形的是（ ）
A．（1）（2）（3）B．（1）（3）（4）C．（2）（3）（4）D．（1）（2）（4）
【分析】根据等腰三角形的判定对①②③④个选项逐一分析，只有②不能被一条直线分成两个小等腰三角形
【答案】解：①中作∠B的角平分线即可；
③过A点作BC的垂线即可；
④中以A为顶点AB为一边在三角形内部作一个72度的角即可；
只有②选项不能被一条直线分成两个小等腰三角形．
故选：B．
如图，在第一个△ABA1中∠B＝20°，AB＝A1B，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得A1A2＝A1C，得到第二个△A1A2C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得A2A3＝A2D；…，按此做法进行下去，则以点A4为顶点的等腰三角形的底角的度数为（ ）
A．175°B．170°C．10°D．5°
【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠BA1A的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠CA2A1，∠DA3A2及∠EA4A3的度数，找出规律即可得出∠A6的度数．
【答案】解：∵在△ABA1中，∠B＝20°，AB＝A1B，
∴∠BA1A＝＝80°，
∵A1A2＝A1C，∠BA1A是△A1A2C的外角，
∴∠CA2A1＝＝＝40°；A
同理可得∠DA3A2＝20°，∠EA4A3＝10°，
∴∠An＝，
以点A4为顶点的底角为∠A5．
∵∠A5＝＝5°，
故选：D．
考点5 轴对称性质的应用
【方法点拨】掌握轴对称的性质：
1.成轴对称的两个图形全等。
2.成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分。
3.成轴对称的两个图形的任何对应部分也成轴对称。
（2022春•卧龙区期末）如图，点为内一点，分别作点关于射线，的对称点，，若，则的度数是
A．B．C．D．
【分析】根据对称的性质得出，再根据四边形内角和是得出的度数，即可得出结论．
【解答】解：根据对称知，，，
，
，
故选：．
（2022春•三原县期末）如图，在直角三角形中，，点在上，点在上，与关于直线对称，与交于点，如果，那么与的数量关系是 ．
【分析】根据翻折的性质得出，进而利用平行线的性质解答即可．
【解答】解：与的数量关系是：，
，
，
，
由翻折可得：，
，
故答案为：．
（2021秋•渝北区期末）如图，在中，，，是边上一点，连接．将沿直线翻折后，点恰好落在边上点，若，则点到的距离是 ．
【分析】根据折叠可得，由，可求出，根据三角形面积之间的关系可求出答案．
【解答】解：由折叠得，，△，
，
，
，
，
，
设点到的距离为，
则，
，
即点到的距离为，
故答案为：．
（2022秋•沭阳县校级月考）如图所示，已知是内的一点，点、分别是点关于、的对称点，与、分别相交于点、，已知．
（1）求的周长；
（2）连接、，判断的形状，并说明理由；
（3）若，求（用含的代数式表示）．
【分析】（1）根据轴对称的性质，可得与的关系，与的关系，根据三角形的周长公式，可得答案；
（2）根据轴对称的性质，可得与的关系，与的关系，根据等腰三角形的判定，可得答案；
（3）根据轴对称的性质，可得与的关系，与的关系，根据角的和查，可得答案．
【解答】解：（1）由点、分别是点关于、的对称点，得
，．
由三角形的周长，得
；
（2）如图：，
由点、分别是点关于、的对称点，得
，，
，
是等腰三角形；
（3）由点、分别是点关于、的对称点，得
，．
由角的和差，得
，
，
．
考点6 设计轴对称图案
【方法点拨】设计轴对称图案往往以正方形、菱形、等边三角形和网格纸（或格点纸）为基础，因为这些图形本身就是轴对称图形，利用轴对称的有关性质容易设计出它们的对称点或对称部分。设计轴对称图案时，要先确定出有几条对称轴，然后根据对称轴的不同，合理地设计出整体的轴对称图案。具体设计时，我们通常先以一条对称轴为基线，根据构思或需要，再添加其他的对称轴，进一步设计美观、完善的图案。
注意：（1）要设计的图案是由哪些基本图形组成的；
（2）是不是轴对称图形，如果是轴对称图形，要先确定它的对称轴；
（3）设计轴对称的美术图案时，除图形对称外，有时颜色也要“对称”。
（2022春•李沧区期末）如图是的正方形网格，要在图中再涂黑一个小正方形，使得图中黑色的部分成为轴对称图形，这样的小正方形有 个．
【分析】直接利用轴对称图形的性质分析得出答案．
【解答】解：如图所示：在图中剩余的方格中涂黑一个正方形，使整个阴影部分成为轴对称图形，只要将1，2，3，4，5处涂黑，都是符合题意的图形．
故答案为：5．
（2022春•北海期末）如图，在的正方形网格中已有2个正方形涂黑，再选择一个正方形涂黑，使得3个涂黑的正方形组成轴对称图形，选择的位置共有 处．
【分析】根据轴对称的概念作答．如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．
【解答】解：如图所示：再选择一个正方形涂黑，使得3个涂黑的正方形组成轴对称图形，选择的位置共有6处，分别是标有数字1，2，3，4，5，6，7位置．
故答案为：7．
（2021秋•丹凤县期末）如图，在平面直角坐标系中，点、、的坐标分别为、、．
（1）在图中作出关于轴对称的图形△；
（2）分别写出点、、关于轴的对称点、、的坐标．
【分析】（1）根据轴对称的性质画图即可；
（2）关于轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标不变，由此可得答案．
【解答】（1）如图所示，△即为所求；
（2），、，
点、、关于轴的对称点、、的坐标分别为、、．
（2021秋•岑溪市期末）在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别是，，．
（1）请在所给的坐标系中画出；
（2）画出关于轴对称的△（其中、、分别是、、的对应点）．
【分析】（1）根据，，，即可在所给的坐标系中画出；
（2）根据轴对称的性质即可画出关于轴对称的△．
【解答】解：（1）如图，即为所求；
（2）如图，△即为所求．
考点7 复杂的尺规作图
（2021秋•靖西市期末）如图：已知和两条公路，以及、两个村庄，建立一个车站，使车站到两个村庄距离相等即，且到，两条公路的距离相等．
【分析】作的角平分线和线段的垂直平分线，它们的交点为点．
【解答】解：如图，点为所作．
（2022•丰顺县校级开学）指出下列图形中的轴对称图形，并找出它们的对称轴．
【分析】根据轴对称图形的定义，把图形沿一条直线对折，直线两侧的部分能够互相重合，这样的直线就是图形的对称轴，据此即可作出．
【解答】解：
在七年级我们就学过用一副三角板画出一些特殊度数的角．在八年级第二章，我们学会了一些基本的尺规作图，这些特殊的角也能用尺规作出．下面请各位同学开动脑筋，只用直尺和圆规完成下列作图．
已知：如图，射线OA．
求作：∠AOB，使得∠AOB在射线OA的上方，且∠AOB＝45°（保留作图痕迹，不写作法）
【分析】反向延长OA到点D，过点O作直线DA的垂直平分线OC，再作∠AOC的平分线即可得．
【答案】解：如图所示，∠AOB即为所作．
如图，△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5．
（1）试用直尺和圆规，在直线AB上求作点P，使△PBC为等腰三角形．要求：①保留作图痕迹；②若点P有多解，则应作出所有的点P，并在图中依次标注P1、P2、P3、…；
（2）根据（1）求PA的长（所有可能的值）
【分析】（1）以C点为圆心，CB为半径画弧交直线AB于P1，以B点为圆心，BC为半径画弧交直线AB于P2，P3，作BC的垂直平分线交直线AB于P4；
（2）先利用勾股定理的逆定理证明△ABC为直角三角形，∠BAC＝90°，当CP1＝CB时，利用等腰三角形的性质得到AP1＝AB＝3；当BP2＝BP3＝BC＝5时，易得AP2＝AB+BP2＝8；AP3＝BP3﹣AB＝2；当P4C＝P4B时，设AP4＝x，则P4C＝P4B＝x+3，利用勾股定理得到x2+42＝（x+3）2，解方程即可．
【答案】解：（1）如图，点P1、P2、P3、P4为所作；
（2）∵AB＝3，AC＝4，BC＝5．
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC为直角三角形，∠BAC＝90°，
当CP1＝CB时，
∵CA⊥BP1，
∴AP1＝AB＝3；
当BP2＝BP3＝BC＝5时，
AP2＝AB+BP2＝3+5＝8；
AP3＝BP3﹣AB＝5﹣3＝2；
当P4C＝P4B时，
设AP4＝x，则P4C＝P4B＝x+3，
在Rt△P4AC中，x2+42＝（x+3）2，解得x＝，
即AP4＝．
综上所述，AP的值可能为2、3、8、．
考点8 利用轴对称性质求最值
（2021秋•无锡期末）如图，已知的大小为，是内部的一个定点，且，点、分别是、上的动点，若周长的最小值等于4，则
A．B．C．D．
【分析】设点关于的对称点为，关于的对称点为，当点、在上时，的周长为，此时周长最小，根据可求出的度数．
【解答】解：如图，作点关于的对称点，关于的对称点，连接，交于，于．此时，的周长最小．
连接，，，．
点与点关于对称，
垂直平分，
，，，
同理，可得，，．
，，
．
又的周长，
，
是等边三角形，
，
．
故选：．
（2021秋•滦州市期末）某市计划在公路旁修建一个飞机场，现有如下四种方案，则机场到，两个城市之间的距离之和最短的是
A．B．
C．D．
【分析】用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离．
【解答】解：作点关于直线的对称点，连接交直线于．
根据两点之间，线段最短，可知选项机场到，两个城市之间的距离之和最短．
故选：．
（2021秋•安州区期末）在中，，，，为的中点，为上一动点，连接，，则的最小值是 ．
【分析】作关于的对称点，连接，易求，则，且△为等边三角形，为与直线之间的连接线段，其最小值为到的距离，所以最小值为6．
【解答】解：作关于的对称点，连接，
，，
，
，
△为等边三角形，
为与直线之间的连接线段，
最小值为到的距离，
故答案为：6．
（2022秋•太仓市月考）如图，纸片的直角边落在直线上，，，，平面内一点到直线的距离为9，纸片沿直线左右移动，则的最小值为 ．
【分析】过点做直接平行直线，作点关于直线的对称点，当、、共线时，最小，即可求得．
【解答】解：过点作直接平行直线，作点关于直线的对称点，当、、共线时，最小
根据勾股定理得
，
的最小值是13，
故答案为：13．
考点9 生活中的最短距离问题
茅坪民族中学八（2）班举行文艺晚会，桌子摆成两直条（如图中的AO，BO），AO桌面上摆满了桔子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到C处，请你在下图帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？
【分析】本题意思是在OA上找一点D，在OB上找一点E，使△CDE的周长最小．如果设点C关于OA的对称点是M，关于OB的对称点是N，当点D、E在MN上时，△CDE的周长为CD+DE+EC＝MN，此时周长最小．
【答案】解：①分别作点C关于OA、OB的对称点是M、N，
②连接MN，分别交OA于D，OB于E．
则C→D→E→C为所求的行走路线．
如图，为了做好元旦期间的交通安全工作，自贡市交警执勤小队从A处出发，先到公路m上设卡检査，再到公路n上设卡检査，最后再到达B地执行任务，他们应如何走才能使总路程最短？画出图形并说明做法．
【分析】根据轴对称确定最短路线问题，作A关于公路m的对称点A′，作B关于公路n的对称点B′，连接A′B′与公路m，n分别相交于点M、N，然后沿A→M→N→B走才能使总路程最短．
【答案】解：如图所示，分别作A、B关于公路m、n的对称点A′、B′，连接A′B′交m、n于M、N两点，连AM、BN，则A→M→N→B即为最短路线．
如图，点P是∠AOB内部一点，现有一只蚂蚁要从P的出发，先到OA，再到OB，最后返回到点P．请作出蚂蚁爬行的最短路径（要求：保留作图痕迹，不写作法．）
【分析】作点P关于OA、OB的对称点P′、P″，连接P′P″与OA、OB交于点M、N，可得蚂蚁爬行的最短路径为：PM+MN+PN＝P′M+MN+P″N＝P′P″．
【答案】解：如图，
作点P关于OA、OB的对称点P′、P″，
连接P′P″与OA、OB交于点M、N，
则蚂蚁爬行的最短路径为：
PM+MN+PN＝P′M+MN+P″N＝P′P″．
如图直线l1，l2表示一条河的两岸，且l1∥l2，现要在这条河上建一座桥．桥建在何处才能使从村庄A经过河到村庄B的路线最短？画出示意图，并说明理由．
【分析】先确定AA′与河等宽，且AA′⊥河岸，连接BA′，与河岸的交点就是点C，过点C作CD垂直河岸，交另一河岸于点D，即可得出答案．
【答案】解：如图，先确定AA′与河等宽，且AA′⊥河岸，连接BA′，与河岸的交点就是点C，过点C作CD垂直河岸，交另一河岸于点D，CD就是所求的桥的位置．
理由：由作图过程可知，四边形ACDA′为平行四边形，AD平移至A′C即可得到线段A′B，两点之间，线段最短，由于河宽不变，CD即为桥．
考点10 等腰三角形中的角度问题
（2022春•原阳县月考）如图，与关于直线对称，若，，则
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称的性质以及三角形的内角和定理解决问题即可．
【解答】解：与关于直线对称，
△，
，
，
．
故选：．
（2021秋•宜兴市期末）将一张纸如图所示折叠后压平，点在线段上，、为两条折痕，若，则的度数是
A．B．C．D．
【分析】由折叠的性质可知，，，
推出，，
所以．
【解答】解：由折叠的性质可知，，，
，
，
，
，
故选：．
（2022•南京模拟）如图，和关于直线对称，与的交点在直线上．
（1）图中点的对应点是点 ，的对应角是 ；
（2）若，，则的长为 ；
（3）若，，求的度数．
【分析】根据与关于直线对称确定对称点，从而确定对称线段、对称角和对称三角形，利用轴对称的性质即可解决问题；
【解答】解：（1）与关于直线对称，
图中点的对应点是点，的对应角是；
故答案为：，．
（2）与关于直线对称，
，
，
．
故答案为：3．
（3），，
，
再根据对称性，
，
．
如图，△ABC中，AE＝BE，∠AED＝∠ABC．
（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）若AB＝CB，∠AED＝4∠EAD，求∠C的度数．
【分析】（1）要证明BD平分∠ABC，只要证明∠DBC＝∠ABE即可，根据题目中的条件和三角形外角和内角的关系，可以证明∠DBC＝∠ABE，从而可以证明结论成立；
（2）根据（1）中的结论和题意，利用三角形内角和可以求得∠C的度数．
【答案】（1）证明：∵∠AED＝∠ABC，∠AED＝∠ABE+∠EAB，∠ABC＝∠ABE+∠DBC，
∴∠EAB＝∠DBC，
∵AE＝BE，
∴∠EAB＝∠ABE，
∴∠DBC＝∠ABE，
∴BD平分∠ABC；
（2）设∠EAD＝x，则∠AED＝4x，
∵∠AED＝∠ABE+∠EAB，∠EAB＝∠ABE，BD平分∠ABC，
∴∠BAE＝2x，∠ABC＝4x，
∴∠BAC＝3x，
∵AB＝CB，
∴∠BAC＝∠C，
∴∠C＝3x，
∵∠ABC+∠BAC+∠C﹣180°，
∴4x+3x+3x＝180°，
解得，x＝18°，
∴∠C＝3x＝54°，
即∠C的度数是54°．
考点11 等腰三角形与全等三角形综合
在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E是AD上任意一点．
（1）如图1，连接BE、CE，则BE＝CE吗？说明理由；
（2）若∠BAC＝45°，BE的延长线与AC垂直相交于点F时，如图2，BD＝AE吗？说明理由．
【分析】（1）成立，根据等腰三角形的性质就可以求出∠BAE＝∠CAE，再证明△ABE≌△ACE就可以得出结论；
（2）成立，由BF⊥AC，∠BAC＝45°就可以求出AF＝BF，在由条件证明△AEF≌△BCF就可以得出结论．
【答案】解：（1）成立．
理由：∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴∠BAE＝∠CAE．
在△ABE和△ACE中，，
∴△ABE≌△ACE（SAS），
∴BE＝CE；
（2）成立．
理由：∵∠BAC＝45°，BF⊥AF．
∴△ABF为等腰直角三角形
∴AF＝BF，
由（1）知AD⊥BC，
∴∠EAF＝∠CBF
在△AEF和△BCF中，，
∴△AEF≌△BCF（ASA），
∴AE＝BC，
∵BD＝BC，
∴BD＝AE．
如图，等腰△ABC，点D、E、F分别在BC、AB、AC上，且∠BAC＝∠ADE＝∠ADF＝60°．
（1）在图中找出与∠DAC相等的角，并加以证明；
（2）若AB＝6，BE＝m，求：AF（用含m的式子表示）．
【分析】（1）首先证明△ABC是等边三角形，再利用三角形的外角的性质解决问题即可．
（2）在DE上截取DG＝DF，连接AG，先判定△ADG≌△ADF，得到AG＝AF，再根据∠AEG＝∠AGE，得出AE＝AG，进而得到AE＝AF即可解决问题．
【答案】解：（1）结论：∠BDE＝∠DAC．
理由：∵AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠C＝60°，
∵∠ADB＝∠3+∠ADE＝∠1+∠C，∠ADE＝∠C＝60°，
∴∠3＝∠1．
（2）如图，在DE上截取DG＝DF，连接AG，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，
∵∠ADE＝∠ADF＝60°，AD＝AD，
∴△ADG≌△ADF（SAS），
∴AG＝AF，∠1＝∠2，
∵∠3＝∠1，
∴∠3＝∠2
∵∠AEG＝60°+∠3，∠AGE＝60°+∠2，
∴∠AEG＝∠AGE，
∴AE＝AG，
∴AE＝AF＝6﹣m．
如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，BD平分∠ABC，且BD＝AB，连接AD、DC．
（1）求证：∠CAD＝∠DBC；
（2）求∠BDC的度数．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质和已知角的度数求得∠CAD＝DBC＝20°即可证得结论；
（2）延长AD到点E，使得AE＝BC，证得DBC≌△CAE，设∠CDE＝∠CED＝α，表示出∠BDC＝∠ACE＝100°+α，然后根据三角形的内角和定理求得已知角即可．
【答案】证明（1）∵AB＝AC，∠BAC＝100°
∴∠ABC＝∠ACB＝40°
∵BD平分∠ABC
∴∠ABD＝∠DBC＝20°
∵BD＝AB
∴∠ADB＝∠DAB＝80°
∴∠CAD＝20°
∴∠CAD＝∠DBC
（2）延长AD到点E，使得AE＝BC，
∵BD＝AB＝AC，∠CAD＝∠DBC，
∴△DBC≌△CAE，
∴CD＝CE，∠BDC＝∠ACE，
∴∠CDE＝∠CED＝α，
∵∠ADB＝80°，
∴∠BDE＝100°
∴∠BDC＝∠ACE＝100°+α，
∴20°+100°+α+α＝180°，
∴α＝30°，
∴∠BDC＝130°．
在△ABC和△DCE中，CA＝CB，CD＝CE，∠CAB＝∠CED＝α．
（1）如图1，将AD、EB延长，延长线相交于点O：
①求证：BE＝AD；
②用含α的式子表示∠AOB的度数（直接写出结果）；
（2）如图2，当α＝45°时，连接BD、AE，作CM⊥AE于M点，延长MC与BD交于点N，求证：N是BD的中点．
【分析】（1）①根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到∠ACB＝∠DCE，根据全等三角形的性质即可得到结论；
②根据全等三角形的性质得到∠CAD＝∠CBE＝α+∠BAO，根据三角形的内角和即可得到结论；
（2）如图2，作BP⊥MN交MN的延长线于P，作DQ⊥MN于Q，根据全等三角形的性质得到MC＝BP，同理，CM＝DQ，等量代换得到DQ＝BP，根据全等三角形的性质即可得到结论．
【答案】解：（1）①∵CA＝CB，CD＝CE，∠CAB＝∠CED＝α，
∴∠ACB＝180°﹣2α，∠DCE＝180°﹣2α，
∴∠ACB＝∠DCE，
∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴BE＝AD；
②∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD＝∠CBE＝α+∠BAO，
∵∠ABE＝∠BOA+∠BAO，
∴∠CBE+α＝∠BOA+∠BAO，
∴∠BAO+α+α＝∠BOA+∠BAO，
∴∠BOA＝2α；
（2）如图2，作BP⊥MN交MN的延长线于P，作DQ⊥MN于Q，
∵∠BCP+∠BCA＝∠CAM+∠AMC，
∵∠BCA＝∠AMC，
∴∠BCP＝∠CAM，
在△CBP与△ACM中，，
∴△CBP≌△ACM（AAS），
∴MC＝BP，
同理，CM＝DQ，
∴DQ＝BP，
在△BPN与△DQN中，，
∴△BPN≌△DQN（AAS），
∴BN＝ND，
∴N是BD的中点．
考点12 翻折变换中的角度问题
（2022春•芜湖期末）如图，已知矩形沿着直线折叠，使点落在处，交于，，，则的长为
A．3B．4C．5D．6
【分析】先根据翻折变换的性质得出，，再设，则，由全等三角形的判定定理得出△，可得出，在中利用勾股定理即可求出的值，进而得出的长．
【解答】解：△由翻折而成，
，，
设，则，
，，
，
在与△中，
，
△，
，
在中，，
，
解得：，
的长为5．
故选：．
（2022春•舞钢市期末）如图，将沿的角平分线所在直线翻折，点在边上的落点记为点．已知，，那么等于
A．B．C．D．
【分析】根据折叠的性质可得，，然后根据，，证得，根据等边对等角以及三角形的外角的性质求解．
【解答】解：根据折叠的性质可得，．
，，
．
，
．
．
故选：．
（2021秋•上杭县期末）如图，将一张长方形纸片沿对角线折叠后，点落在点处，连接交于点，再将三角形沿折叠后，点落在点处，若刚好平分，那么的度数为
A．B．C．D．
【分析】根据折叠的性质可得，，由角平分线的定义可得，，然后根据矩形的性质及角的运算可得答案．
【解答】解：由折叠可知，，，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选：．
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