北师大版七年级数学下册同步精讲精练5.3简单的轴对称图形-【题型技巧培优系列】(原卷版+解析)

这是一份北师大版七年级数学下册同步精讲精练5.3简单的轴对称图形-【题型技巧培优系列】(原卷版+解析)，共26页。试卷主要包含了角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，折叠问题等内容，欢迎下载使用。

知识点一
角平行线的性质
角平分线性质是：角平分线上的任意一点，到角两边的距离相等；反过来，在角的内部
到角两边的距离相等的点在角平分线上.
要点诠释：前者的前提条件是已经有角平分线了，即角被平分了；后者则是在结论中确定角被平分，
一定要注意着两者的区别，在使用这两个定理时不要混淆了.
知识点二
线段的垂直平分线的性质
线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反
过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
要点诠释：线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的
方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，
直接或间接地为构造全等三角形创造条件.
三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接
圆的圆心——外心.
知识点三
等腰三角形
（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.
（2）等腰三角形性质
①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；
②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三
线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°.
（3）等腰三角形的判定
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等
边”）。
知识点四
等边三角形
（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.
要点诠释：由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形包
括等边三角形．
（2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.
（3）等边三角形的判定：
①三条边都相等的三角形是等边三角形；
②三个角都相等的三角形是等边三角形；
③有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形.
题型一 角平分线的性质
【例题1】（2022秋•南阳期末）如图，是的角平分线，，垂足为．若的面积为26，，，则的长为
A．1B．2C．3D．4
【变式1-1】（2022秋•凤凰县期末）如图，在中，，平分，若，，则的面积是
A．9B．12C．15D．24
【变式1-2】（2022秋•东昌府区校级期末）如图，在中，，的平分线交于点，过点作于点，交于点，过点作于点．下列结论中正确的个数是
①；②；③；④．
A．①②③④B．①②C．①②③D．①②④
【变式1-3】（2022秋•安次区期末）如图，点是的角平分线上的一点，于点，已知，则点到的距离是
A．18B．12C．6D．9
题型二 线段的垂直平分线的性质
【例题2】（2022秋•凤台县期末）如图，在中，的垂直平分线分别交，于，两点，若，的周长为，则的周长是
A．B．C．D．
【变式2-1】（2022秋•滨城区校级期末）如图，在中，的垂直平分线与边，分别交于点，已知与的周长分别为和，则的长为
A．B．C．D．
【变式2-2】（2022秋•渝北区校级期末）如图，，，若和分别垂直平分和，则的度数是
A．B．C．D．
【变式2-3】（2022秋•东阿县校级期末）如图，线段，的垂直平分线、相交于点．若，则
A．B．C．D．
题型三 等腰三角形的性质
【例题3】（2022秋•亭湖区期末）等腰三角形的周长为，其中一边长为．则该等腰三角形的腰长为
A．B．C．或D．或
【变式3-1】（2022秋•滨城区校级期末）如图，在中，为边上一点，，，则的度数为
A．B．C．D．
【变式3-2】（2022秋•滨城区校级期末）如图，，、分别平分的外角、外角．以下结论：①；②；③；④平分．其中正确的结论有
A．4个B．3个C．2个D．1个
【变式3-3】（2022秋•东昌府区校级期末）如图，已知，，，若，则的度数为
A．B．C．D．
题型四 等边三角形的性质
【例题4】（2022秋•二道区校级期末）如图，，为等边三角形，若，则的度数为
A．B．C．D．
【变式4-1】（2023•黔江区一模）如图，直线，是等边三角形，则的大小为
A．B．C．D．
【变式4-2】（2022秋•安次区期末）如图，已知是等边三角形，点、、、在同一直线上，且，，则的度数为
A．B．C．D．
【变式4-3】（2022秋•海淀区校级期末）如图，从等边三角形内一点向三边作垂线，垂足分别是、、，，，，则的面积是
A．48B．C．96D．
解题技巧提炼
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
解题技巧提炼
本题考查线段垂直平分的性质，掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键．
解题技巧提炼
本题从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．
解题技巧提炼
本题考查的是平行线的性质，等边三角形的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．
5.3 简单的轴对称图形
知识点一
角平行线的性质
角平分线性质是：角平分线上的任意一点，到角两边的距离相等；反过来，在角的内部
到角两边的距离相等的点在角平分线上.
要点诠释：前者的前提条件是已经有角平分线了，即角被平分了；后者则是在结论中确定角被平分，
一定要注意着两者的区别，在使用这两个定理时不要混淆了.
知识点二
线段的垂直平分线的性质
线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反
过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
要点诠释：线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的
方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，
直接或间接地为构造全等三角形创造条件.
三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接
圆的圆心——外心.
知识点三
等腰三角形
（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.
（2）等腰三角形性质
①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；
②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三
线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°.
（3）等腰三角形的判定
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等
边”）。
知识点四
等边三角形
（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.
要点诠释：由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形包
括等边三角形．
（2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.
（3）等边三角形的判定：
①三条边都相等的三角形是等边三角形；
②三个角都相等的三角形是等边三角形；
③有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形.
题型一 角平分线的性质
【例题1】（2022秋•南阳期末）如图，是的角平分线，，垂足为．若的面积为26，，，则的长为
A．1B．2C．3D．4
【分析】作于，如图，根据角平分线的定义得到，再利用三角形面积公式得到，然后求出的长．
【解答】解：作于，如图，
是的角平分线，，，
，
，
，
，
．
故选：．
【变式1-1】（2022秋•凤凰县期末）如图，在中，，平分，若，，则的面积是
A．9B．12C．15D．24
【分析】过点作于，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解．
【解答】解：如图，过点作于，
，平分，
，
的面积．
故选：．
【变式1-2】（2022秋•东昌府区校级期末）如图，在中，，的平分线交于点，过点作于点，交于点，过点作于点．下列结论中正确的个数是
①；②；③；④．
A．①②③④B．①②C．①②③D．①②④
【分析】根据直角三角形的性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质，可证明；根据角平分线的性质，过点作于，可计算出，，并证明；根据题目给定的条件，无法证明；根据结论①，角平分线的性质可证，由此即可求解．
【解答】解：结论①，
，，平分，
，，
，
，
，故结论①正确；
结论②，如图所示，过点作于，
平方，，
，
，，
，故结论②正确；
结论③，
，，平方，
，，，
，
，
，，
，
，且由结论①正确得，，
在中，，即，
，
条件不足，无法证明，故结论③错误；
结论④，
由结论①正确得，，即，由角平分线的性质，，可证，
，故结论④正确．
综上所述，正确的有①②④．
故选：．
【变式1-3】（2022秋•安次区期末）如图，点是的角平分线上的一点，于点，已知，则点到的距离是
A．18B．12C．6D．9
【分析】根据已知条件利用角平分线的性质可得，点到的距离等于点到的距离．
【解答】解：点是的角平分线上的一点，于点，
点到的距离等于．
故选：．
题型二 线段的垂直平分线的性质
【例题2】（2022秋•凤台县期末）如图，在中，的垂直平分线分别交，于，两点，若，的周长为，则的周长是
A．B．C．D．
【分析】由线段垂直平分线的性质推出，从而求出的周长．
【解答】解：垂直平分，
，，
的周长为，
，
，
，
的周长，
故选：．
【变式2-1】（2022秋•临渭区期末）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：、不是轴对称图形；
、不是轴对称图形；
、是轴对称图形；
、不是轴对称图形；
故选：．
【变式2-2】（2022秋•泰兴市期末）下列关于天气预报的图标中是轴对称图形的是
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，确定四个选项中每个图形对称轴的数量，进而可得答案．
【解答】解：．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
．是轴对称图形，故此选项符合题意；
．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
．不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：．
【变式2-3】（2022秋•沙依巴克区校级期末）下面图形中，不是轴对称图形的是
A．B．
C．D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：选项、、的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
选项的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
故选：．
题型三 轴对称的性质
【例题3】（2022秋•宣州区期末）如图，在面积为4的等边三角形中，是边上的高，点、是上的两点，则图中阴影部分的面积是 2 ．
【分析】根据是等边三角形的高可知，是线段的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质及三角形全等的判定定理可求出，故阴影部分的面积等于的面积，由锐角三角函数的定义可求出的长，再由三角形的面积公式即可求解．
【解答】解：是等边三角形的高，
是线段的垂直平分线，，
，，，
，
故答案为：2．
【变式3-1】（2022秋•河北期中）如图，和△成轴对称，若，，则为
A．B．C．D．
【分析】根据成轴对称的性质结合三角形内角和定理可得结果．
【解答】解：和△成轴对称，
，
，
故选：．
【变式3-2】（2022秋•宝应县月考）如图，与△关于直线对称，，，则的度数为
A．B．C．D．
【分析】先根据和△关于直线对称得出△，故可得出，再由三角形内角和定理即可得出结论．
【解答】解：和△关于直线对称，，，
△，
，
，
，
，，
．
故选：．
【变式3-3】（2022秋•宝山区期末）圆是轴对称图形，它的对称轴有 条．
【分析】由轴对称的性质，可得圆是轴对称图形，它的对称轴有无数条．
【解答】解：圆是轴对称图形，它的对称轴有无数条．
故答案为：无数．
题型四 最短路径
【例题4】（2022秋•乌鲁木齐期末）如图，在锐角中，；点是边上的一个定点，点、分别是和边上的动点，当的周长最小时，的度数是
A．B．C．D．
【分析】分别作关于，的对称点，，连接，交于，交于，此时的周长最小，由条件求出的度数，由轴对称的性质，等腰三角形的性质得到，从而求出的度数．
【解答】解：分别作关于，的对称点，，连接，交于，交于，此时的周长最小，
，，
，
，
，，
，，
，
．
故选：．
【变式4-1】（2022秋•天山区校级期末）如图，已知的大小为，是内部的一个定点，且，点、分别是、上的动点，若周长的最小值等于5，则
A．B．C．D．
【分析】设点关于的对称点为，关于的对称点为，当点、在上时，的周长为，此时周长最小，根据可求出的度数．
【解答】解：如图，作点关于的对称点，关于的对称点，连接，交于，于．此时，的周长最小．
连接，，，．
点与点关于对称，
垂直平分，
，，，
同理，可得，，．
，，
．
又的周长，
，
是等边三角形，
，
．
故选：．
【变式4-2】（2022秋•南沙区校级期末）如图，在中，，平分，点是上的一动点，点是上一动点，连接，，若，，则的最小值是
A．B．6C．D．10
【分析】在上截取，连接，，，交于点，得到是等边三角形，利用等边三角形三线合一，得到，进而得到，找到当，，三点共线时，最小，连接并延长交于，利用等边三角形的三条高线相等，以及，求出的长度，即为的最小值．
【解答】解：在上截取，连接，，，交于点，
，，
是等边三角形，
平分，
，，
，
，
当，，三点共线时，最小，
是等边三角形，是的中点，
，
连接并延长交于，
等边三角形三条高交于一点，且三条高相等，
，，
，，
，
，
，
最小值为．
故选：．
【变式4-3】（2022秋•天山区校级期末）如图，在中，，，平分，，点、分别为线段、上的动点，则的最小值是 6 ．
【分析】作关于的对称点，连接，根据角平分线的性质以及轴对称的性质，垂线段最短，进而根据含30度角的直角三角形的性质求解即可．
【解答】解：如图，作关于的对称点，连接，
，
，当、、三点共线，且时，最小，
平分，，
在上，，
，，
，
即：最小值为6．
故答案为：6．
题型五 折叠问题
【例题5】（2022秋•河北期末）如图所示，把一张长方形的纸片沿着折叠，若，则的度数为
A．B．C．D．
【分析】由题意得，根据，即可解决问题．
【解答】解：由题意知：，
，
．
故选：．
【变式5-1】（2022秋•丰满区期末）如图，在中，，，，将沿折叠，点的对应点是点，则的度数是 ．
【分析】根据三角形的内角和定理，平行线的性质以及周角的定义即可得到结论．
【解答】解：，，
，
，
，
由折叠的性质可知，，
，
故答案为：．
【变式5-2】（2022秋•定襄县期末）如图，在长方形纸片中，，将纸片沿折叠，，两点的对应点分别为点，．若，则 72 ．
【分析】设，则，，由折叠的性质得，根据平角为列方程即可得到的值，进而求出，最后根据平行线的性质即可得出．
【解答】解：设，则，，
由折叠的性质得：，
，即，
，
，
，
．
故答案为：．
【变式5-3】（2022秋•市北区校级期末）如图，在中，，，将点与点分别沿和折叠，使点、与点重合，则的度数为
A．B．C．D．
【分析】根据三角形内角和定理求出，再根据折叠的性质得，，，进而得．
【解答】解：，，
，
将点与点分别沿和折叠，使点、与点重合，
，，
，
故选：．
解题技巧提炼
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
解题技巧提炼
本题考查线段垂直平分的性质，掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键．
解题技巧提炼
本题考查的是等边三角形的性质，即等边三角形底边上的高、垂直平分线及顶角的角平分线三线合一．
解题技巧提炼
本题考查轴对称的性质，关键是分别作关于，的对称点，，连接，交于，交于，找到周长最小的．
解题技巧提炼
该题考查了翻折变换的性质及其应用问题；解题的关键是灵活运用翻折变换的性质，准确找出图形中隐含的等量关系，灵活运用有关定理来分析、判断或解答．