广西北海市海城区2022-2023学年八年级上学期期末数学试题（原卷版+解析版）

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本试卷共4页，满分120分
一．选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1. 下图形中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用轴对称图形的定义进行解答即可．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、不轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
2. 华为麒麟990芯片采用了最新的0.000000007米的工艺制程，数0.000000007用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题主要考查了用科学记数法表示绝对值小于1的非0数，一般形式为，其中，n等于由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数（包括小数点前面的0）．
【详解】解：．
故选：A．
3. 如图，在△ABC中，AB边上的高是（ ）．
A. ADB. BEC. CFD. BF
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角形高线的定义解答．
【详解】根据题意：AB边上高即为过点C向AB边作垂线，交AB的延长线于点F，即线段CF，
故选则：C．
【点睛】此题考查三角形的高线：过边所对角的顶点向该边作垂线，角的顶点与垂足之间的线段即为该边的高线，正确理解定义并运用解题是关键．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据同底数幂的运算法则、合并同类项的法则、积的乘方计算法则以及幂的乘方计算法则逐项判断即可.
【详解】A、，故本选项错误；
B、，故本选项错误；
C、，故本选项错误；
D、，故本选项正确．
故选D．
【点睛】本题考查了幂的运算性质，属于基础题型，熟练掌握幂的运算性质是解题的关键.
5. 以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）
A. 2，5，8B. 3，3，6C. 3，4，5D. 1，2，3
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查三角形的三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边．判断各选项中最短的两边之和是否大于第三边，若是则可组成三角形．据此即可解答．
【详解】A选项：由于，则本选项中的三条线段不能组成三角形；
B选项：由于，则本选项中的三条线段不能组成三角形；
C选项：由于，则本选项中的三条线段能组成三角形；
D选项：由于，则本选项中的三条线段不能组成三角形．
故选：C
6. 作△ABC满足∠A＝88°，∠B＝42°，分别延长AC、BC至点D、E，使CD＝CE，连接DE，那么∠E的度数为（ ）
A. 70°B. 68°C. 66°D. 65°
【答案】D
【解析】
【分析】由三角形的内角和定理即可求∠ACB的度数，再根据对顶角相等和等腰三角形的性质可求∠E的度数．
详解】解：∵△ABC满足∠A＝88°，∠B＝42°，
∴∠ACB＝180°﹣88°﹣42°＝50°，
∴∠DCE＝50°，
∵CD＝CE，
∴∠E＝（180°﹣50°）÷2＝65°．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，同时涉及等腰三角形的性质，利用三角形的相关性质求角的度数是解题的关键.
7. 若把分式的x，y同时扩大3倍，则分式值是（ ）
A. 扩大3倍B. 缩小3倍C. 不变D. 扩大9倍
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了分式化简求值，先扩大，再代入约分求值．
【详解】原式．
所以分式的值扩大3倍．
故选：A．
8. 计算的结果是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查积的乘方，负指数幂，幂的乘方及同底数幂的除法，根据，，，直接求解即可得到答案
【详解】解：原式
，
故选：C．
9. 下列各式中为完全平方式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了完全平方式，属于基础题型，熟练掌握完全平方式的结果特点是解答的关键．完全平方式有和两个，根据以上内容逐个判断即可．
【详解】解：A、才是完全平方式，而不是完全平方式，故本选项错误；
B、才是完全平方式，而不是完全平方式，故本选项错误；
C、，是完全平方式，故本选项正确；
D、才是完全平方式，而不是完全平方式，故本选项错误；
故选C．
10. x的3倍与y的平方的和用代数式可表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】x的3倍表示3x，y的平方表示y2，和表示相加，据此列代数式即可．
【详解】解：根据题意得：3x+y2，
故选：A．
【点睛】此题考查了列代数式，理解题意，正确运用运算符号连接字母与数字是解决本题的关键．
11. 如下图，将绕点顺时针方向旋转得，若，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据旋转的性质，得∠ACA′=43°，=∠A′，结合垂直的定义和三角形内角和定理，即可求解．
【详解】∵将绕点顺时针方向旋转得，点A对应点A′，
∴∠ACA′=43°，=∠A′，
∵，
∴∠A′=180°-90°-43°=47°，
∴=∠A′=47°．
故选C．
【点睛】本题主要考查旋转的性质和三角形内角和定理，掌握旋转的性质以及三角形内角和等于180°，是解题的关键．
12. 如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为7和15，则b的面积为
A. 8B. 22C. 24D. 26
【答案】B
【解析】
【分析】由题意根据全等三角形的判定与性质，结合勾股定理和正方形的面积公式进行分析计算．
【详解】解：∵a、b、c都为正方形，a，c的面积分别为7和15，
∴AC=CE，AB2=7，DE2=15，∠ACF=90°
∵∠BAC＋∠BCA=90°，∠BCA＋∠DCE=90°
∴∠BAC =∠DCE
在△ABC和△CDE中，
∴△ABC≌△CDE，
∴BC=DE，BC2=DE2=15，
由勾股定理可知AC2= AB2＋BC2=22
∴b的面积为22．
故选：B．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质以及勾股定理和正方形的性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具，在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
二．填空题（共6小题，满分12分，每小题2分）
13. 若分式无意义，则的值为__________．
【答案】-2
【解析】
【分析】根据分式无意义的条件为：分母为0即可求出x的值．
详解】∵分式无意义
∴
解得
故答案为：-2．
【点睛】本题主要考查分式无意义的条件，掌握分式无意义的条件是分母为0是解题的关键．
14. 木工师傅做完房门后，为防止门变形，会沿着门的对角线方向钉上一根斜拉的木条，这做的根据是_________．
【答案】三角形具有稳定性
【解析】
【分析】此题主要考查了三角形的稳定性，关键是掌握当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．利用三角形的性质解答即可．
【详解】解：木工师傅做完房门后，为防止门变形，会沿着门的对角线方向钉上一根斜拉的木条，这做的根据是三角形具有稳定性，
故答案为：三角形具有稳定性．
15. 因式分解：______．
【答案】
【解析】
【分析】先提公因式，再用平方差公式分解．
【详解】解：
【点睛】本题考查因式分解，掌握因式分解方法是关键．
16. 如图，求的度数为___________
【答案】##360度
【解析】
【分析】连接，与交于点O，根据三角形的内角和定理可得，然后将所求角的和转化为求四边形的内角和进行解答．
【详解】解：连接，与交于点O，
∵在和中，，
∴，
∴
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理以及四边形的内角和，证明是关键．
17. 已知△ABC的三边a，b，c满足（a﹣5）2+（b﹣12）2+|c﹣13|＝0，则△ABC是 _____三角形．
【答案】直角
【解析】
【分析】先根据非负数的性质求出a、b、c的值，然后根据勾股定理的逆定理判断即可．
【详解】∵(a-5)2+(b-12)2+|c-13|=0，
∴a-5=0，b-12=0，c-13=0，
∴a=5，b=12，c=13，
∵52+122=132，
∴a2+b2=c2，
∴△ABC是直角三角形．
故答案为：直角．
【点睛】本题考查了非负数的性质及勾股定理逆定理，如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，在一个三角形中，即如果用a，b，c表示三角形的三条边，如果a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．
18. 如图，七个正方形如此排列，相邻两个正方形都有公共顶点，数字字母代表各自正方形面积．则_______．
【答案】4
【解析】
【分析】运用全等三角形的判定与性质、勾股定理可知，每两个相邻的正方形面积和都等于中间斜放的正方形面积，据此即可解答．
【详解】解：如图，
∵AB=BE，∠ACB=∠BDE=90°，
∴∠ABC+∠BAC=90°，∠ABC+∠EBD=90°，
∴∠BAC=∠EBD，
∴△ABC≌△BDE（AAS），
∴BC=ED，
∵，
∴，
即，
同理．
则．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定以及性质、勾股定理．发现两个小正方形的面积和正好是之间的正方形的面积是解决问题的关键．
三．解答题（共8小题，满分72分）
19. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】先算除法并利用二次根式的性质将各项化简，再合并同类二次根式．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式化简的方法，以及二次根式混合运算的运算顺序和运算法则．
20. 先化简再求值：，其中满足．
【答案】；8
【解析】
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将变形为，即可得出值．
【详解】解：
，
∵，
∴，
即原式的值为8．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟悉掌握分式混合运算法则是解题的关键．
21. (1)如图，写出图中四边形的4个顶点坐标．
(2)图中4个点的纵坐标不变，将横坐标都乘－1，请在图中标出这样的4个点．
(3)顺次连接(2)中你画出的4个点所得四边形与原来的四边形有什么样的位置关系？
【答案】(1)O(0，0)、A(－2，1)、B(－3，3)、C(－1，2)．(2)见解析．(3)所得四边形与原来的四边形关于y轴对称．
【解析】
【分析】根据点的坐标定义很快可写出各点的坐标，再利用点的平移规律即可写出变换后的各点坐标，通过观察坐标特征可得出两个图形貌的位置关系.
【详解】解：(1)O(0，0)、A(－2，1)、B(－3，3)、C(－1，2)．
(2)图略．
(3)所得四边形与原来的四边形关于y轴对称．
【点睛】本题考查了坐标定义和坐标的平移规律， 理解点的坐标平移规律是解题的关键.
22. 某校初三综合素质评定结束后，为了了解评定情况，随机对初三某班的学生评定等级进行了调查，绘制了男女生等级情况折线统计图和全班等级情况扇形统计图．
（注：统计图中共分五个等级，分别为：合格、A、2A、3A、4A）
（1）调查发现评定等级为合格的男生有2人，女生有1人，则全班共有 名学生．
（2）补全女生等级评定的折线统计图．
（3）如果该校共有初三学生600人，估计评定等级为3A和4A的共有多少人？
【答案】（1）50 （2）详见解析
（3）该校初三学生600人中评定等级为3A和4A的大约有396名
【解析】
【分析】此题主要考查折线图和扇形图相关联的统计知识．
（1）根据合格人数和合格学生所占的百分比，即可得出全班学生数；
（2）联合折线图和扇形图的信息，分别求出评级为3A、4A的人数，即可得出女生数，画折线图即可；
（3）先求出评级为3A和4A的学生所占的百分比，即可求出学生人数．
【小问1详解】
解：由已知，得
评定等级合格的学生数为：人，
评级合格的学生所占百分比为，
∴全班共有学生数为：，
全班共有50名学生；
故答案为：50；
【小问2详解】
解：由扇形图可知，评级为的学生人数所占百分比为：，
∴评级为的学生人数为人，
由折线图知，评级为的男生人数为：3，则女生人数为：人，
评级为的学生人数为人，
由折线图知，评级为的男生人数为：10，则女生人数为：人，
补全女生等级评定的折线统计图如下：
【小问3详解】
解：（名），
答：该校初三学生600人中评定等级为3A和4A的大约有396名．
23. 已知：如图，在、中，，，，点C、D、E三点在同一直线上，连接．
（1）求证：；
（2）试猜想、有何特殊位置关系，并证明．
【答案】（1）见详解 （2），证明见详解
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，直角三角形的两锐角互余等知识．
（1）先证明，再根据“边角边”即可证明；
（2）根据得到，根据得到，即可证明，问题得证．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
即．
在和中，
，
∴；
【小问2详解】
解：．
证明：∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
即，
∴．
24. 习近平总书记指出，中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”，是最深厚的文化软实力，是中国特色社会主义植根的沃土，是我们在世界文化激荡中站稳脚跟的根基．为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校决定开展名著读书活动．用3600元购买“四大名著”若干套后，发现这批图书满足不了学生的阅读需求，图书管理员在购买第二批时正赶上图书城8折销售该套书，于是用2400元购买的套数只比第一批少4套．
（1）求第一批购进的“四大名著”每套的价格是多少元；
（2）该校共购进“四大名著”多少套？
【答案】（1）150元；（2）44套
【解析】
【分析】（1）设第一批购进“四大名著”每套的价格为x元，列出方程即可；
（2）由（1）得，当时，，即可求解．
【详解】解：（1）设第一批购进“四大名著”每套的价格为x元，
则根据题意，得
解得
经检验是所列方程的解．
答：第一批购进的“四大名著”每套的价格是150元．
（2）当时，，
所以（套）．
答：该校共购进“四大名著”44套．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
25. 当我们利用2种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个等式．例如，由图1可得等式：（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2．
（1）由图2，可得等式：_____________________________
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：
已知 a+b+c=11，ab+bc+ac=38，求a2+b2+c2的值；
【答案】（1）等式为（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．（2）45.
【解析】
【详解】试题分析：（1）根据图2，利用直接求与间接法分别表示出正方形面积，即可确定出所求等式；
（2）根据（1）中结果，求出所求式子的值即可.
试题解析：（1）（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；
（2）∵a+b+c=11，ab+bc+ac=38，
∴a2+b2+c2=（a+b+c）2-2（ab+ac+bc）=121-76=45.
26. 在△ABC中，∠ABC=120°，线段AC绕点A逆时针旋转60°得到线段AD，连接CD，BD交AC于P．
（1）若∠BAC=α，直接写出∠BCD的度数（用含α的代数式表示）；
（2）求AB，BC，BD之间的数量关系；
（3）当α=30°时，直接写出AC，BD的关系．
【答案】（1）∠BCD=120°－α；（2）BD=AB+BC，见解析；（3）AC，BD的数量关系是：；位置关系是：AC⊥BD于点P．
【解析】
【分析】（1）证△ACD是等边三角形，由三角形内角和可得出结论；
（2）如图1，延长BA使AE=BC，连接DE．可证△ADE≌△CDB，得出BD=AB+BC；
（3）如图2，当α=30°时，AB=BC，AD=CD，则BD垂直平分AC，可得AC=BD．
【详解】（1）∵线段AC绕点A逆时针旋转60°得到线段AD，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠ACD=60°，
∵∠ABC=120°，
∴∠BAC+∠BCA=60°，
∴∠BCD=∠ACD+∠BCA=60°+60°-α=120°-α，
即∠BCD=120°-α．
（2）解：延长BA使AE=BC，连接DE．
由（1）知△ADC是等边三角形，
∴AD=CD．
∵∠DAB+∠DCB=∠DAB+∠DAE=180°，
∴∠DAB=∠DAE．
∴△ADE≌△CDB．
∴BD=BE．
∴BD=AB+BC．
（3）如图，
AC，BD的数量关系是：AC＝BD；
位置关系是：AC⊥BD于点P．理由如下：
∵∠BAC=30°，∠ABC=120°，
∴∠ACB=30°，
∴AB=BC，
∵AD=DC，
∴BD垂直平分AC，
∴∠ABD=60°，∠DAB=90°，
∴＝sin60°＝，
∴AC＝BD．
【点睛】本题考查的是图形旋转的性质及等边三角形的判定与性质，熟知旋转前、后的图形全等是解答此题的关键．