广西壮族自治区北海市海城区2022-2023学年八年级下学期期中数学试题（含解析）

这是一份广西壮族自治区北海市海城区2022-2023学年八年级下学期期中数学试题（含解析），共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

广西壮族自治区北海市海城区2022-2023学年八年级下学期期中数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．下列图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列二次根式中，最简二次根式是（　　）
A． B． C． D．
3．如果有意义，则a的取值范围是（　　  ）
A． B． C． D．
4．在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是（ ）
A．120° B．90° C．60° D．30°
5．如图，在中，是斜边上的中线，若，则（　　）

A． B． C． D．
6．将一元二次方程化为一般形式（，，，为常数），其中的值是（    ）
A． B． C．6 D．18
7．下列各组数中，是勾股数的是（    ）
A．6，8，12 B．，1 C．8，15，16 D．9，12，15
8．若将方程化成(，为常数)的形式，则的值是(    )
A． B． C． D．
9．我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度是x尺．根据题意，可列方程为（    ）

A．（x﹣1）2+52＝x2 B．x2+102＝（x+1）2
C．（x﹣1）2+102＝x2 D．x2+52＝（x+1）2
10．如图，在中，，P为边上一动点，于E，于F，动点P从点B出发，沿着匀速向终点C运动，则线段的值大小变化情况是（   ）

A．一直增大 B．不变 C．先减小后增大 D．先增大后减小

二、填空题
11．分解因式： ．
12．七边形所有内角的度数之和是 °．
13．化简所得的结果是 ．
14．已知一组数据2，2，8，x，7，4的中位数为5，则x的值是 ．
15．如图，直线a与b的距离是，b与c的距离是，则a与c的距离是 ．
  
16．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC交于点E，DF⊥BC于点F，且BC=4，DE=2，则△BCD的面积是 ．

17．如图，矩形纸片中，，按如图方式折叠，使点D与点B重合，折痕为，则 .


三、解答题
18．计算
(1)
(2)
19．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=4，求四边形CODE的周长．

20．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，点D为斜边BC上一点，且BD=BA，过点D作BC的垂线交AC于点E．求证：点E在∠ABC的角平分线上．

21．已知：一次函数y＝（3﹣m）x+m﹣5．
（1）若一次函数的图象过原点，求实数m的值；
（2）当一次函数的图象经过第二、三、四象限时，求实数m的取值范围．
22．如图，一次函数的图象与x轴相交于点B，与过点的一次函数的图象相交于点．

(1)求一次函数图象相应的函数表达式；
(2)求的面积．
23．如图，在四边形中，，，对角线交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E，连接．

(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求的长．
24．4月23日是世界读书日，习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气”．某书店计划在“世界读书日”前夕，同时购进，两类图书，已知购进本类图书和本类图书共需元；购进本类图书和本类图书共需元．
(1)，两类图书每本的进价各是多少元？
(2)该书店计划购进，两类图书共本，且类图书的购进数量不少于类图书的购进数量的．已知类图书每本的售价为元，类图书每本的售价为元，求如何进货才能使书店所获利润最大，最大利润为多少元？
25．如图，平面直角坐标系中，矩形的对角线，，

(1)求B点的坐标；
(2)把矩形沿直线对折使点C落在点A处，与相交于点F，求四边形的周长；
(3)若点M在坐标轴上，平面内是否存在点N，使以O、F、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
26．如图，中，，．点E从点A出发沿方向以每秒1个单位长的速度向点C匀速运动，同时点F从点B出发沿方向以每秒2个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是t秒．过点F作于点D，连．
  
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)当t为何值时，；
(3)当t为何值时，为直角三角形？请说明理由．

参考答案：
1．C
【分析】根据中心对称图形的概念对各个选项逐一判断即可；
【详解】A．不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．是中心对称图形，故本选项符合题意；
D．不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了中心对称图像的概念，一个图形绕着某固定点旋转后能够与原来的图形重合，则称这个图形是中心对称图形，这个固定点叫做对称中心；解题的关键是掌握中心对称图形的定义．
2．D
【分析】根据最简二次根式是被开方数不含能开得尽的因数或因式,被开方数不含分母,可得答案.
【详解】A、,故A错误;
B、被开方数中含分母,故B错误;
C、被开方数含开得尽的因式,故C错误;
D、被开方数不含能开得尽的因数或因式,被开方数不含分母,故D正确;
所以D选项是正确的.
【点睛】本题考查了最简二次根式,利用了最简二次根式定义.
3．C
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，可得不等式，根据解不等式，可得答案．
【详解】解：由有意义得： ，
解得：．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，二次根式的被开方数是非负数．分式的分母不能等于0．
4．D
【分析】根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解．
【详解】解：∵直角三角形中，一个锐角等于60°，∴另一个锐角的度数=90°﹣60°=30°．
故选D．
【点睛】本题考查直角三角形两锐角的关系．

5．B
【分析】首先根据直角三角形斜边山的中线得到，然后利用等边对等角求解即可．
【详解】在中，是斜边上的中线，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线性质，等边对等角等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
6．A
【分析】将一元二次方程转化为一般形式，再进行判断即可．
【详解】解：，
整理，得：，
∴；
故选A．
【点睛】本题考查一元二次方程的一般式．正确将方程转化为一般式，是解题的关键．
7．D
【分析】根据勾股数的定义判断即可．
【详解】解：A、∵，∴6，8，12不是一组勾股数，本选项不符合题意；
B、∵不是正整数，∴，1不是一组勾股数，本选项不符合题意；
C、∵，∴8，15，16不是一组勾股数，本选项不符合题意；
D、∵，∴9，12，15是一组勾股数，本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查的是勾股数，满足的三个正整数，称为勾股数．
8．D
【分析】方程利用配方法整理后判断即可求出a与b的值．
【详解】解：
配方得：，
即，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键．
9．A
【分析】首先设芦苇长为x尺，则水深（x-1）尺，根据勾股定理可得方程．
【详解】解：设芦苇长为x尺，则水深（x-1）尺，
由题意得：（x-1）2+52=x2，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型．
10．C
【分析】连接，先判断出四边形是矩形，根据矩形的对角线相等可得，再根据垂线段最短可得时，线段的值最小，即可判断出动点P从点B出发，沿着匀速向终点C运动，线段的值大小变化情况．
【详解】解：如图所示，连接．
∵，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
由垂线段最短可得当时，最短，则线段的值最小，
∴动点P从点B出发，沿着匀速向终点C运动，则线段的值大小变化情况是先减小后增大．
故选：C．

【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，判断出时，线段的值最小是解题的关键．
11．
【分析】先提公因式，然后根据平方差公式因式分解即可求解．
【详解】解：原式
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
12．
【分析】根据多边形内角和公式直接计算即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
，
故答案为：；
【点睛】本题主要考查多边形内角和公式：，解题的关键是熟练掌握此公式．
13．
【分析】根据根式的性质直接化简即可得到答案.
【详解】解：由题意可得，
，
故答案为：；
【点睛】本题考查根式化简，解题的关键是熟练掌握根式的性质．
14．6
【分析】根据中位数的定义可得将这组数据按从小到大进行排序后，第3个数和第4个数的和为10，由此即可得．
【详解】解：因为这组数据共有6个数，
所以将其按从小到大进行排序后，第3个数和第4个数的平均数即为中位数，
又因为这组数据的中位数为5，
所以第3个数和第4个数的和为，
所以只能是，
解得，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了中位数，熟记中位数的概念是解题关键．
15．5
【分析】直线c在直线b的上方，直线a和直线c之间的距离为；
【详解】如图，∵直线
∴
∵a与b的距离为，b与c的距离为，
∴a与c的距离为
故答案是：5．
【点睛】本题考查的是平行线之间的距离，从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离．
16．4
【详解】∵CD平分∠ACB交AB于点D，
∴∠DCE=∠DCF，
∵DE⊥AC，DF⊥BC，
∴DF=DE=2，
∴S△BCD=BC×DF÷2=4×2÷2=4．
故答案为：4．
考点：角平分线的性质．
17．
【分析】根据折叠的性质，设，求出，则.
【详解】解：设，
在中，，
即，
解得，
所以,
故答案为：.
【点睛】本题主要考查几何图形的折叠和矩形的性质，熟练掌握几何图形的折叠和矩形的性质是解题的关键.
18．(1)
(2)5

【分析】（1）根据二次根式的混合计算法则求解即可；
（2）根据二次根式的混合计算法则求解即可．
【详解】（1）解：原式

；
（2）解：原式


．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
19．8
【分析】先通过条件算出OC,CD的长度,再判断出四边形CODE为菱形,即可算出周长.
【详解】∵CE∥BD,DE∥AC,
∴四边形CODE是平行四边形,
∵四边形ABCD是矩形,
∴OC=AC=2,OD=BD,AC=BD,
∴OC=OD=2,
∴四边形CODE是菱形,
∴DE=CE=OC=OD=2,
∴四边形CODE的周长=2×4=8；
故答案为：8.
【点睛】本题将矩形和菱形结合在一起,考查了两者的性质及菱形的判定,熟练掌握基础知识是解题关键.
20．证明见解析．
【分析】连接BE，通过证明Rt△ABE≌Rt△DBE，利用全等三角形的性质即可求得结论.
【详解】证明：连接BE，
∵ED⊥BC，
∴∠BDE=∠A=90°．
在Rt△ABE和Rt△DBE中
∵，
∴Rt△ABE≌Rt△DBE（HL）．
∴∠ABE=∠DBE．
∴点E在∠ABC的角平分线上．

【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定，做题时，要根据情况作辅助线是必须的，也是解决本题的关键．
21．（1）m＝5；（2）3＜m＜5
【分析】（1）由一次项系数非零及一元一次函数图象上点的坐标特征，可得出关于m的一元一次不等式及一元一次方程，解之即可得出实数m的值；
（2）由一次函数的图象经过第二、三、四象限，利用一次函数图象与系数的关系可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出实数m的取值范围．
【详解】（1）∵一次函数y＝（3﹣m）x+m﹣5的图象过原点，
∴，
解得：m＝5．
（2）∵一次函数y＝（3﹣m）x+m﹣5的图象经过第二、三、四象限，
∴，
解得：3＜m＜5．
【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）根据一次项系数非零及一元一次函数图象上点的坐标特征，找出关于m的一元一次不等式及一元一次方程；（2）牢记“k＜0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在二、三、四象限”．
22．(1)；
(2)12

【分析】（1）把点代入即可求得m的值，根据待定系数法即可求解；
（2）求得B的坐标，然后根据三角形面积公式求得即可．
【详解】（1）解：（1 ）∵点在一次函数的图象上，
∴，
∴点，
设一次函数图象相应的函数表达式为，
把点，代入得：
，
解得，
∴一次函数图象相应的函数表达式；
（2）解：∵一次函数的图象与x轴交于点B，
∴当时，，解得，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了两直线相交或平行问题，待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积的计算，掌握待定系数法是解题的关键．
23．(1)见解析
(2)的长为2

【分析】（1）根据题意先证明四边形是平行四边形，再由可得平行四边形是菱形；
（2）根据菱形的性质得出的长以及，利用勾股定理求出的长，再根据直角三角形斜边中线定理即可求出．
【详解】（1）证明：∵，
，
为的平分线，
，
，
，
，
，
，
∴四边形是平行四边形，
，
是菱形；
（2）解：∵四边形是菱形，，
，
在中，由勾股定理得： ，
，
，
，
，
即的长为2．
【点睛】本题主要考查了菱形的判定和性质、勾股定理、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
24．(1)类图书每本的进价是元，类图书每本的进价是元；
(2)该书店购进类图书本，类图书本时所获利润最大，最大利润为元

【分析】（1）设类图书每本的进价是元，类图书每本的进价是元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解．
（2）设购进类图书本，获得利润为元，根据题意得出函数关系式，根据类图书的购进数量不少于类图书的购进数量的，得出，然后根据一次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：设类图书每本的进价是元，类图书每本的进价是元，
根据题意得：，
解得，
答：类图书每本的进价是元，类图书每本的进价是元；
（2）解：设购进类图书本，获得利润为元，
根据题意得：，
类图书的购进数量不少于类图书的购进数量的，
，解得，
，
随的增大而减小，
当时，有最大值，最大值为，
此时，
答：该书店购进类图书本，类图书本时所获利润最大，最大利润为元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，根据题意列出方程组，不等式以及一次函数关系式是解题的关键．
25．(1)
(2)
(3)或或或

【分析】（1）利用30度的所对的直角边是斜边的一半，以及勾股定理求出的长，即可得解；
（2）证明，推出四边形是菱形，设，则，
勾股定理求出的长，即可得解；
（3）分点在轴和点在轴上，两种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）∵，
∴
由勾股定理得：，
∴
（2）由折叠的性质得：，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形，
设，则，
∵在中，，
∴，
解得：，
∴四边形的周长；
（3）解：由（1）可知：，
∵四边形是菱形，
∴为的中点，
∴，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴；
①在轴上时：设，

当为对角线时，设：，
则： ，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即：，
∴；
当为边时，点在轴上，轴，
∴；
②在轴上时：设

当为对角线时，设：，
则： ，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即：，
∴；
当为边时，点在轴上，轴，
∴；
综上：或或或．
【点睛】本题考查坐标与图形，矩形性质，菱形的判定和性质，含30度的直角三角形．解题的关键是利用数形结合以及分类讨论的思想进行求解．
26．(1)见解析
(2)当 时，平行四边形为菱形，
(3)当 或 4时，直角三角形．理由见解析

【分析】（1）根据平行线的判定与勾股定理即可得出结论；
（2）由 （1）知四边形是平行四边形，只要平行四边形为菱形，即可利用菱形对角线垂直得到结论；
（3）要使为直角三角形，需要分三种情况讨论：，，直接求解即可；
【详解】（1）证明： 在 Rt 中，，
∵，
∴，
∴，
∵点 从点出发沿方向以每秒1个单位长的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿 方向以每秒2个单位长的速度向点 匀速运动，设点 运动的时间是 秒（ ），
∴
在中，，则
∴且，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：由 （1） 知四边形 是平行四边形
在 中，


当平行四边形 是菱形时， ，则需 ，
即

即当 时，平行四边形 为菱形， ；
（3）解：当 或 4 时， 为直角三角形，理由如下
分情况讨论：① 时，如图所示：
  
则




② 时， 如图所示
  
∵
∴
又 ∵
∴ 四边形 为平行四边形
∴
∴
即
∴
解得
③ 时，此种情况不存在
综上所述，当 或 4 时， 为直角三角形；
【点睛】本题是四边形综合题目，考查了平行四边形的判定、菱形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识，本题综合性强，有一定难度，熟练掌握相关几何性质及判定是解决问题的关键．