北师大版2024-2025学年六年级数学上册典型例题系列期末复习专题三：图形与几何—圆和扇形的周长、面积【四大篇目】(原卷版+解析)

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2024-2025学年六年级数学上册典型例题系列期末复习专题三：图形与几何—圆和扇形的周长、面积【四大篇目】专题解读本专题是期末复习专题三：图形与几何—圆和扇形的周长、面积。本部分内容包括圆的认识、周长、面积以及利用方向与距离描述路线等，该部分根据篇目进行分类，每个篇目又包含多个常考考点，建议作为期末复习核心内容进行讲解，一共划分为四个篇目，欢迎使用。目录导航TOC \o "1-1" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc17908" 【第一篇】圆和扇形的基本概念 HYPERLINK \l "_Toc6674" 【知识总览】  PAGEREF _Toc6674 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc2198" 【考点一】圆和扇形的基础概念  PAGEREF _Toc2198 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc14433" 【考点二】圆规画圆和作图  PAGEREF _Toc14433 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc17199" 【考点三】直径和半径的关系  PAGEREF _Toc17199 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc28580" 【考点四】圆的裁剪  PAGEREF _Toc28580 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc29016" 【第二篇】圆和扇形的周长 HYPERLINK \l "_Toc19960" 【知识总览】  PAGEREF _Toc19960 \h 9 HYPERLINK \l "_Toc28177" 【考点一】扇形的弧长和周长  PAGEREF _Toc28177 \h 10 HYPERLINK \l "_Toc6732" 【考点二】关于圆周率  PAGEREF _Toc6732 \h 10 HYPERLINK \l "_Toc9402" 【考点三】圆的周长与实际应用  PAGEREF _Toc9402 \h 11 HYPERLINK \l "_Toc31234" 【考点四】周长的增减变化问题  PAGEREF _Toc31234 \h 12 HYPERLINK \l "_Toc30374" 【考点五】最圆问题  PAGEREF _Toc30374 \h 13 HYPERLINK \l "_Toc15536" 【考点六】圆周长的大小比较  PAGEREF _Toc15536 \h 13 HYPERLINK \l "_Toc25181" 【第三篇】圆和扇形的面积 HYPERLINK \l "_Toc18153" 【知识总览】  PAGEREF _Toc18153 \h 15 HYPERLINK \l "_Toc8643" 【考点一】圆面积的推导（转化法）  PAGEREF _Toc8643 \h 16 HYPERLINK \l "_Toc7208" 【考点二】圆（半圆）的面积与实际应用  PAGEREF _Toc7208 \h 17 HYPERLINK \l "_Toc24265" 【考点三】等长转化问题  PAGEREF _Toc24265 \h 18 HYPERLINK \l "_Toc18787" 【考点四】圆面积的三大关系问题  PAGEREF _Toc18787 \h 19 HYPERLINK \l "_Toc23122" 【考点五】外方内圆与外圆内方  PAGEREF _Toc23122 \h 20 HYPERLINK \l "_Toc15555" 【考点六】圆环的面积  PAGEREF _Toc15555 \h 21 HYPERLINK \l "_Toc32611" 【第四篇】含圆的不规则或组合图形周长与面积 HYPERLINK \l "_Toc15513" 【知识总览】  PAGEREF _Toc15513 \h 23 HYPERLINK \l "_Toc27882" 【考点一】含圆的不规则图形或组合图形周长  PAGEREF _Toc27882 \h 24 HYPERLINK \l "_Toc32396" 【考点二】含圆的不规则图形或组合图形面积  PAGEREF _Toc32396 \h 25【第一篇】圆和扇形的基本概念【知识总览】一、圆的认识。1.圆的定义。一条线段绕着它固定的一端在平面上旋转一周，它的另一端就会画出一条封闭的曲线，这条封闭的曲线叫做圆。2.圆规画圆。定好两脚之间的距离，把带有针尖的脚固定在一点上，把装有铅笔的脚旋转一周，就画出了一个圆。3.圆的各部分。4.圆的直径和半径。在同一个圆内，直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直径的一半，用字母表示为：d＝2r，r＝d÷2。注意：在同一个圆内，有无数条半径，有无数条直径。二、扇形的认识。1.圆上A、B两点之间的部分叫做弧，读作“弧AB”，一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形，顶点在圆心的角叫做圆心角。2.同一个圆中，扇形的大小与这个扇形的圆心角有关，同一个圆中，扇形的圆心角越大，扇形越大。3.同一个圆中，扇形圆心角与圆周角的比值等于扇形面积与圆面积的比值。三、直径和半径的关系。1.在同一个圆内，有无数条半径，有无数条直径。2.在同一个圆内，直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直径的一半。3.用字母表示为：d＝2r     r＝d÷2用文字表示为：半径=直径÷2     直径=半径×2。【考点一】圆和扇形的基础概念。【典型例题】1.将一条线段的一个端点不动，另一个端点旋转一周，其轨迹所形成的图形是( )。2.如图，圆周上A、B两点之间的部分叫做（     ），由半径OA、OB和孤AB围成的涂色部分是（     ），这一部分面积是圆面积的。【对应练习】1.在研究“圆的认识”一课时，亮亮用直尺从点O出发依次画出很多条长度为4厘米的线段，形成一个近似的圆。这一想法，正好体现我们古代著名教育家墨子在2400多年前写的一句话：“圆，( )也”。2.下面图形中哪些角是圆心角？在（    ）里画“√”。【考点二】圆规画圆和作图。【典型例题】1．请画出一个直径5厘米的圆，并在这个圆中画一个圆心角是130°的扇形。2．按要求操作。（1）在上面的正方形中画一个最大的圆。（2）画出这个组合图形所有的对称轴。【对应练习】1．画一个直径是4厘米的圆，并用字母标出圆心、直径。2．根据对称轴画出轴对称图形的另外一半。  3．在下面的方格图中，请你先在这个长方形中涂色或画斜线表示“”，即长方形面积的的；再在这个正方形中画一个最大的圆。（每个小方格的边长是1cm）  【考点三】直径和半径的关系。【典型例题】1.画圆时，圆规两脚之间的距离是5厘米，那么画出的圆的直径是( )厘米，半径是( )厘米。2.看图填空。 d＝( )     r＝( )   d＝( )     r＝( )【对应练习】1.一个圆形花坛的直径是40米，那么它的半径是( )米。2.如图是一个长方形，其中包含了两个大小不同的圆。那么大圆的半径是( )cm，小圆的直径是( )cm。【考点四】圆的裁剪。【典型例题】1．在一块长16分米，宽5分米的长方形铁板上，最多能取( )个直径2分米的圆形铁板。2．一个边长是6分米的正方形纸片，最多可以剪下( )个直径为2分米的圆。【对应练习】1．用一张长24cm、宽20cm的长方形纸，剪半径为3cm的圆片，最多可以剪( )个。2．在一张长12厘米，宽6厘米的长方形纸中，最多可以剪( )个直径为3厘米的圆。【第二篇】圆和扇形的周长【知识总览】一、扇形的弧长和周长。1.扇形弧长：扇形弧长=（其中n表示圆心角的度数）。2.扇形周长：扇形周长=扇形弧长+两条半径的长。二、圆与半圆的周长。1.围成圆的曲线的长是圆的周长。2.圆的周长÷直径=圆周率（π）≈3.14，是无限不循环小数，π=3.14159265……3.圆的周长=直径×圆周率或圆的周长=半径×2×圆周率，如果用C表示圆的周长，用r表示圆的半径，用d表示圆的直径，那么圆的周长计算公式是C=πd或C=2πr。4.半圆的周长指的是圆的周长的一半与1条直径或2条半径的长度和，半圆的周长计算公式是C半圆=πd+d或C半圆=πr+2r。5.半径、直径和周长的倍数关系。（1）在同一个圆里，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。例如：在同一个圆里，半径扩大4倍，那么直径和周长就都扩大4倍。（2）在同一个圆里，大圆半径是小圆半径的a倍，则大圆直径或周长都是小圆直径或周长的a倍。6.半径、直径和周长的增减变化关系。（1）当一个圆的半径增加a厘米时，它的周长就增加2πa厘米；（2）当一个圆的直径增加a厘米时，它的周长就增加πa厘米。7.最圆问题。（1）在正方形内画最大的圆，圆的直径等于正方形的边长；（2）在长方形内画最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。【考点一】扇形的弧长和周长。【典型例题1】弧长。下图是直径6cm的圆。其中阴影扇形的半径是( )厘米，圆心角是( )度，弧AB长( ) cm。【典型例题2】周长。已知一个扇形的半径为6厘米，圆心角为120°，那么这个扇形的弧长为（ ）厘米，周长是（ ）厘米，【对应练习1】在一个半径是2厘米的圆内画一个圆心角是90°的扇形，这个扇形的周长是( )厘米。【对应练习2】如图中圆的半径是4cm，那么阴影部分的周长是( )cm。【考点二】关于圆周率。【典型例题】圆周率最早是由我国古代数学家（     ）计算到小数点后7位的。A．杨辉 B．祖冲之 C．刘徽 D．贾思贤【对应练习】1．我国一位数学家的事迹：①他是我国南北朝时期的数学家；②他发现了球体积的计算公式：③他算出了圆周率大于3.1415926，小于3.1415927。结合事迹这位数学家是（     ）。A．刘徽 B．陈景润 C．祖冲之2．关于圆周率π说法正确的是（     ）。A．圆的直径与它的周长的比值 B．圆的周长是它半径的π倍C．＝3.14 D．任意一个圆的周长与它直径的比值3．下列关于圆周率说法错误的是（     ）。A．圆周率是圆的直径与周长的比值 B．计算时圆周率通常取3.14C．圆周率是一个无限不循环小数 D．大圆的圆周率和小圆的圆周率一样大【考点三】圆的周长与实际应用。【典型例题】1．一只挂钟时针长10厘米，经过6小时后，时针的尖端所走过的路程是多少米？2．一个圆形花坛的半径是15米，如果在花坛的周围每隔0.3米栽一株月季花，能栽多少株月季花？3．杂技演员表演独轮车走钢丝，车轮的直径为40厘米，车轮转1圈走多少厘米？要骑过50.24米长的钢丝，车轮要转动多少圈？4．一辆汽车的车轮直径是0.6米，如果你每分钟转800周，那么这辆汽车每小时可行多少千米？【对应练习】1．钟楼上装有一个圆形大钟，它的分针长50厘米。分针的尖端每小时所走的路程是多少厘米？2．一个餐桌的桌面半径是2米，如果每位客人坐在桌边要占用0.8米的位置，这个餐桌最多可以坐多少位客人？3．一辆汽车轮胎的外半径为50厘米，如果车轮平均每分钟转250圈，那么4分钟后这辆汽车前进了多少米？（π取3.14）4．小俊玩滚铁环。铁环半径是0.2米，从A点滚到B点，铁环滚动了几圈？【考点四】周长的增减变化问题。【典型例题】1.把一个圆形纸板剪成两个相等的半圆，它的周长增加了40厘米，这个圆形纸板的半径是( )厘米。2.甲圆的半径是乙圆半径的2倍，那么甲圆的周长是乙圆周长的( )倍。3.一个圆的半径由3厘米增加到5厘米，周长增加了( )厘米。【对应练习】1.一个圆的周长是37.68分米，把它分成两个半圆后，两个半圆的周长和比原来圆的周长增加了( )分米。2.圆的半径扩大3倍，直径就扩大( )倍，周长会扩大( )倍。3.圆的直径增加2厘米，周长增加( )厘米。圆的周长增加3π厘米，半径增加( )厘米。【考点五】最圆问题。【典型例题】1.在一张边长为10cm的正方形纸上剪下一个最大的圆，这个圆的周长是( )cm。2.在一个长是8cm宽是6cm的长方形内画一个最大的圆，圆规两脚间的距离应取( )cm，圆的周长为( )cm。【对应练习】1.在一个边长为10cm的正方形中画一个最大的圆，这个图形有( )条对称轴。正方形中这个最大圆的周长是( )cm。2.在一个长16cm，宽8cm的长方形中画一个最大的圆，这个圆的半径是( )cm，周长是( )cm。【考点六】圆周长的大小比较。【典型例题】①号图形是由2个相同的小半圆、1个中半圆、1个大半圆组成，②号是由正方形和多个半圆组成。①号、②号阴影部分图形的周长相比（     ）。A．①号周长长 B．②号周长长C．周长一样长 D．无法确定【对应练习】1．如图，从点A到点B有甲、乙、丙三条路线，每条路线都是由一个或两个半圆组成的。比较这三条路线的长度，你认为（     ）。  A．甲最长 B．乙最长 C．丙最长 D．三条路线长度相等2．如图，从甲地到乙地有A、B两条路可走，这两条路的长度相比，结果是（     ）。A．路线A长 B．路线B长 C．同样长 D．不能确定3．如图，从Ａ到Ｂ沿外侧大圆的周长走比较近，还是沿内侧小圆的周长走比较近（     ）。A．沿大圆周长 B．沿小圆周长 C．一样近 D．无法确定【第三篇】圆和扇形的面积【知识总览】一、圆的面积。（转化思想）把一个圆割成一个近似的长方形，割拼成的长方形的长相当于圆周长的一半，用字母πr表示，宽相当于圆的半径，用字母r表示，因为长方形的面积=长×宽，所以圆的面积=πr2。二、外方内圆与外圆内方。1.外方内圆：在正方形里面画最大的圆，圆的直径等于正方形的边长，圆的面积与正方形面积比为π:4。2.外圆内方：在圆里面画最大的正方形，圆的直径等于正方形的对角线的长，圆的面积与正方形的面积比为π:2。三、圆环的面积。圆环的面积：S=πR2-πr2。四、扇形的面积。1.在计算扇形面积时要还是看扇形的圆心角，圆心角占周角的几分之几，扇形面积就占这个圆面积的几分之几。扇形面积=（其中n表示圆心角的度数）。2.扇环面积=大扇形的面积-小扇形的面积。四、圆面积的三大关系问题。1.半径、直径和周长、面积的倍数关系。在同一个圆里，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数，面积扩大倍数的平方倍。2.半径、直径和周长、面积的比例关系。（1）两个圆的半径比等于直径比等于周长比，而面积比等于以上比的平方。（2）圆周长和直径的比是π:1，比值是π；圆周长和半径的比是2π:1，比值是2π。3.半径、直径和周长、面积的增减变化问题。（1）周长的变化：算出增加后圆的周长和原来的周长进行相减得到周长增加的部分。当一个圆的半径增加a厘米时，它的周长就增加2πa厘米；当一个圆的直径增加a厘米时，它的周长就增加πa厘米。（2）面积的变化：算出增加后圆的面积和原来的面积进行相减得到面积增加的部分。【考点一】圆面积的推导（转化法）。【典型例题】1.把圆按下图所示的顺序逐步细分，拼成长方形的样子。这样细分下去，圆的面积就是a和b的积。从图中可以看出：  (1)a是圆的( )。(2)b是圆的( )。(3)如果a＝2厘米，这个圆的面积为( )。2.把圆剪开，拼成一个近似的长方形，长方形的周长为41.4cm，这个圆的面积是( )。【对应练习】1.如图，将一个圆形纸片等分成若干份，拼成一个近似的长方形，周长比原来圆周长多8厘米，圆形纸片的半径是( )厘米，这张圆形纸片的面积是( )平方厘米。  2.如下图，把一个圆等分后拼成一个近似长方形，这个长方形的周长是33.12厘米，那么这个圆的面积是( )平方厘米。【考点二】圆（半圆）的面积与实际应用。【典型例题】1．小明围绕一个圆形花园走一圈，一共走了628步，他平均每步的长度是0.5米。这个圆形花园占地多少平方米？2．如图，广场上有两个半圆形的草坪，它们的周长都是257米，这两块草坪的面积是多少平方米？【对应练习】1．幸福广场中央建有一个圆形音乐喷泉池，小明以每分钟62.8米的速度沿池边快步行走一圈需要2分30秒。这个圆形音乐喷泉池占地多少平方米？2．如下图所示，张大爷利用一面墙，用篱笆围了一个直径10米的半圆形鸡舍。（1）围成这个鸡舍至少要多长的篱笆？（2）这个鸡舍的面积是多少平方米？（3）如果将这个半圆形鸡舍的直径增加2米，这个鸡舍的面积将扩大多少平方米？【考点三】等长转化问题。【典型例题】1.一根铁丝围成了一个边长7.85厘米的正方形（接头不计），如果把这根铁丝围成最大的圆（接头不计），圆的周长是( )厘米，圆的面积是( )平方厘米。2.一根铁丝刚好能围成一个长8厘米，宽4.56厘米的长方形。如果将这根铁丝围成一个圆，这个圆的面积有多少平方厘米？【对应练习】1.用一根长15.7厘米的铁丝围成一个正方形，正方形的面积是( )平方厘米；如果用这根铁丝围成一个圆，这个圆的面积是( )平方厘米。2.一根铁丝围成一个长10cm，宽5.7cm的长方形，用这根铁丝再围成一个最大的圆形，这个圆形的面积是多少?【考点四】圆面积的三大关系问题。【典型例题1】半径、直径和周长、面积的倍数关系。1.圆的半径扩大3倍，它的面积就扩大( )，周长就扩大( )倍。2.大圆的半径是小圆的半径的2倍，则小圆周长是大圆周长的( )，大圆面积是小圆面积的( )倍。【对应练习】1.一个圆的半径扩大a倍，直径扩大( )倍，周长扩大( )倍，面积扩大( )倍。2.大圆半径是小圆半径的5倍，大圆周长是小圆周长的( )倍，大圆面积是小圆面积的( )倍。【典型例题2】半径、直径和周长、面积的比例关系。1.两圆的半径之比，它们的面积之比是( )，周长之比是( )。2.如图：大圆半径为8厘米，小圆半径为4厘米，则大圆与小圆的直径之比是( )，周长之比是( )，面积之比是( )。现在让小圆沿着大圆的外侧滚动一周后回到原处，那么小圆的圆心移动的长度是( )厘米。【对应练习】1.已知小圆半径是大圆半径的，则小圆与大圆的周长之比是( )，如果小圆面积是，则大圆面积是( )。2.如图，如果大圆的半径和小圆的直径相等，那么大圆面积与小圆面积之比是( )。A．2∶1 B．4∶1 C． D．【典型例题3】半径、直径和周长、面积的增减变化问题。一个半径是3dm的圆，如果半径增加1dm，那么周长增加( )dm，面积增加( )dm2。【对应练习】1.一个圆的半径是6m，周长是( )m，面积是( )m2；如果这个圆的半径增加1m，则周长增加( )m，面积增加( )m2。2.用篱笆围一个半圆形养鸡场，一面靠墙，篱笆长15.7米。如果将养鸡场半径增加1米，需要增加围栏( )米，则面积增加( )平方米。【考点五】外方内圆与外圆内方。【典型例题】1.如图，在一张边长10cm的正方形纸上剪下一个最大的圆，这个圆的面积是( )，剩余部分的面积是( )。2.在一个圆内画一个最大的正方形，这个正方形的面积是72平方厘米，那么这个圆的面积是( )平方厘米，周长是( )厘米。3.如图中，在边长是2cm的正方形内画一个最大的圆，再在圆里画一个最大的正方形，那么阴影部分的面积是( )cm2。【对应练习】1.数学课上，小明用边长8cm的正方形纸，小华用边长10cm的正方形纸，各剪了一个最大的圆，小明和小华所剪的圆的周长之比是( )，面积之比是( )。2.如图，在周长是18.84厘米的圆内画一个最大的正方形，阴影部分的面积是( )平方厘米。3.大圆内有一个最大的正方形，正方形内有一个最大的圆，大圆面积和小圆面积的比是( )。A．4∶1 B．200∶157 C．2∶1 D．200∶43【考点六】圆环的面积。【典型例题】1.在一个半径为3米的圆形花园外铺一条宽1米的小路，小路的面积是多少？2.在一个半径为10米的圆形喷泉周围修一条宽3米的小路，小路一半面积铺鹅卵石，一半面积铺水泥。小路铺水泥（如下图）的面积是多少平方米？【对应练习】1.小林爸爸新买了一张圆形餐桌，桌面的直径是2米。（1）如果每个人需要0.5米宽的位置就餐，这张餐桌最多能坐多少人？（2）为了方便大家夹菜，爸爸又在餐桌中央放了一个直径是1米的圆形转盘，剩下桌面的面积是多少？2.一个半圆形花坛，一周的长是35.98米。（1）这个花坛的面积有多大？（2）如果扩建这个花坛，把半径增加1米，花坛的面积增大多少？【第四篇】含圆的不规则或组合图形周长与面积【知识总览】一、不规则图形或组合图形的周长。不规则或组合图形的周长，寻找该图形是由哪些边组合而成的，将这些边的长度相互加起来，注意观察弧形是否可以组合一起构成半圆或整圆。二、不规则图形或组合图形的面积。（十二种阴影部分面积法）【01】直接求法，即根据已知条件，从整体出发，利用面积相关公式直接求出阴影部分的面积，是最为简单的求面积方法，熟练掌握图形面积公式是解决问题的关键。【02】相加法，即加法分割思路，把所求阴影部分面积分割成几块能用公式计算的规则图形（三角形、正方形、长方形、平行四边形、梯形、圆、扇形），分别计算出面积，并相加得出阴影部分的面积。【03】相减法，即减法拓展思路，是把不规则图形阴影部分面积拓展到包含阴影部分的规则图形中进行分析，通过计算这个规则图形的面积和规则图形中除阴影部分面积之外多余的面积，运用“总的”减去“部分的”方法解得答案。【04】混合型图形，处理起来非常困难，可以首先观察图形，然后合理分解成部分可求的图形，最后再相加或相减。【05】旋转法（翻转法），即根据图形的特征，将原图的某一部分进行翻转或旋转，最后得到便于求解的新图形。【06】拼接法，即在部分扇形半径相等的情况下，可以通过移动扇形，把扇形拼接成一个整体。【07】割补法，即分割拼补的思路，是把不规则的阴影面积通过分割和拼补，使之变为一个面积大小不变且能实施计算成面积相同的规则图形。【08】重组法，即根据具体情况和计算上的需要把原来图形拆开，并加以重新组合，使之变为一个面积大小不变且能实施计算成面积相同的规则图形，然后结合相减法求出阴影面积。【09】等积转化法，即通过平面图形之间的等积变换，化难为易，求出阴影部分的面积，要注意分析长方形、正方形、三角形面积公式与圆的面积的共同特点，以达到合理转化。【10】辅助线法，即在通常手段无法求出阴影部分面积时，需要尝试使用添加辅助线的方法解决。【11】容斥原理，即重叠、分层思路，把图形中不规则的阴影部分看作几个规则图形用不同的方法重叠的结果，利用分层把重叠部分分出来，组成重叠图形各个规则图形的面积总和减去分掉的那面积，就是剩下所求那部分面积。【12】差不变思想，即利用等式的性质来求面积，如果S甲=S乙，那么S甲+S空白=S乙+S空白，反之亦可。（注意：十二种阴影部分面积法请尽可能参考本系列第一单元内容，此部分内容考虑篇幅问题，考点考题便不再过多赘述。）【考点一】含圆的不规则图形或组合图形周长。【典型例题】计算阴影部分的周长。             【对应练习】1．求阴影部分的周长。  2．求下图中阴影部分的周长。（单位：厘米）  3．求下面图阴影部分的周长。【考点二】含圆的不规则图形或组合图形面积。【典型例题1】一般型。求下面阴影部分的面积。                     【对应练习】1．计算阴影部分的面积。（1）                       （2）2．求下列图形中阴影部分的面积。（单位：cm）  3．计算下面各图中涂色部分的面积。（1）          （2）  【典型例题2】拓展型。1．求阴影部分的面积。【对应练习】1．求阴影部分面积。（单位：cm，π取3.14）（1）    （2）2．求阴影部分的面积（单位：厘米）。2024-2025学年六年级数学上册典型例题系列期末复习专题三：图形与几何—圆和扇形的周长、面积【四大篇目】专题解读本专题是期末复习专题三：图形与几何—圆和扇形的周长、面积。本部分内容包括圆的认识、周长、面积以及利用方向与距离描述路线等，该部分根据篇目进行分类，每个篇目又包含多个常考考点，建议作为期末复习核心内容进行讲解，一共划分为四个篇目，欢迎使用。目录导航TOC \o "1-1" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc18790" 【第一篇】圆和扇形的基本概念 HYPERLINK \l "_Toc27527" 【知识总览】  PAGEREF _Toc27527 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc10484" 【考点一】圆和扇形的基础概念  PAGEREF _Toc10484 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc5938" 【考点二】圆规画圆和作图  PAGEREF _Toc5938 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc4481" 【考点三】直径和半径的关系  PAGEREF _Toc4481 \h 9 HYPERLINK \l "_Toc21963" 【考点四】圆的裁剪  PAGEREF _Toc21963 \h 12 HYPERLINK \l "_Toc30900" 【第二篇】圆和扇形的周长 HYPERLINK \l "_Toc19115" 【知识总览】  PAGEREF _Toc19115 \h 14 HYPERLINK \l "_Toc32483" 【考点一】扇形的弧长和周长  PAGEREF _Toc32483 \h 15 HYPERLINK \l "_Toc5459" 【考点二】关于圆周率  PAGEREF _Toc5459 \h 16 HYPERLINK \l "_Toc25709" 【考点三】圆的周长与实际应用  PAGEREF _Toc25709 \h 18 HYPERLINK \l "_Toc31952" 【考点四】周长的增减变化问题  PAGEREF _Toc31952 \h 22 HYPERLINK \l "_Toc11204" 【考点五】最圆问题  PAGEREF _Toc11204 \h 23 HYPERLINK \l "_Toc23292" 【考点六】圆周长的大小比较  PAGEREF _Toc23292 \h 24 HYPERLINK \l "_Toc27589" 【第三篇】圆和扇形的面积 HYPERLINK \l "_Toc9735" 【知识总览】  PAGEREF _Toc9735 \h 29 HYPERLINK \l "_Toc6558" 【考点一】圆面积的推导（转化法）  PAGEREF _Toc6558 \h 30 HYPERLINK \l "_Toc24375" 【考点二】圆（半圆）的面积与实际应用  PAGEREF _Toc24375 \h 33 HYPERLINK \l "_Toc22273" 【考点三】等长转化问题  PAGEREF _Toc22273 \h 36 HYPERLINK \l "_Toc22743" 【考点四】圆面积的三大关系问题  PAGEREF _Toc22743 \h 38 HYPERLINK \l "_Toc3815" 【考点五】外方内圆与外圆内方  PAGEREF _Toc3815 \h 44 HYPERLINK \l "_Toc5228" 【考点六】圆环的面积  PAGEREF _Toc5228 \h 49 HYPERLINK \l "_Toc15727" 【第四篇】含圆的不规则或组合图形周长与面积 HYPERLINK \l "_Toc17311" 【知识总览】  PAGEREF _Toc17311 \h 52 HYPERLINK \l "_Toc25495" 【考点一】含圆的不规则图形或组合图形周长  PAGEREF _Toc25495 \h 53 HYPERLINK \l "_Toc2439" 【考点二】含圆的不规则图形或组合图形面积  PAGEREF _Toc2439 \h 55【第一篇】圆和扇形的基本概念【知识总览】一、圆的认识。1.圆的定义。一条线段绕着它固定的一端在平面上旋转一周，它的另一端就会画出一条封闭的曲线，这条封闭的曲线叫做圆。2.圆规画圆。定好两脚之间的距离，把带有针尖的脚固定在一点上，把装有铅笔的脚旋转一周，就画出了一个圆。3.圆的各部分。4.圆的直径和半径。在同一个圆内，直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直径的一半，用字母表示为：d＝2r，r＝d÷2。注意：在同一个圆内，有无数条半径，有无数条直径。二、扇形的认识。1.圆上A、B两点之间的部分叫做弧，读作“弧AB”，一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形，顶点在圆心的角叫做圆心角。2.同一个圆中，扇形的大小与这个扇形的圆心角有关，同一个圆中，扇形的圆心角越大，扇形越大。3.同一个圆中，扇形圆心角与圆周角的比值等于扇形面积与圆面积的比值。三、直径和半径的关系。1.在同一个圆内，有无数条半径，有无数条直径。2.在同一个圆内，直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直径的一半。3.用字母表示为：d＝2r     r＝d÷2用文字表示为：半径=直径÷2     直径=半径×2。【考点一】圆和扇形的基础概念。【典型例题】1.将一条线段的一个端点不动，另一个端点旋转一周，其轨迹所形成的图形是( )。【答案】圆【分析】一条线段的一个端点不动，另一个端点旋转一周，根据点动成线的原理即可理解。【详解】将一条线段的一个端点不动，另一个端点旋转一周，其轨迹所形成的图形是（圆）。【点睛】此题考查了对圆的认识。一个端点不动，就是圆心，一条线段就是半径，另一端点旋转一周，其轨迹所形成的图形就是圆。2.如图，圆周上A、B两点之间的部分叫做（     ），由半径OA、OB和孤AB围成的涂色部分是（     ），这一部分面积是圆面积的。解析：弧；扇形；【对应练习】1.在研究“圆的认识”一课时，亮亮用直尺从点O出发依次画出很多条长度为4厘米的线段，形成一个近似的圆。这一想法，正好体现我们古代著名教育家墨子在2400多年前写的一句话：“圆，( )也”。【答案】一中同长【分析】圆这种图形，有一个中心，从这个中心到圆上各点都一样长。数学意义：圆有一个圆心，圆心到圆上各点的距离（即半径）都相等，即在同一个圆里，有无数条半径，所有半径长度都相等。早在2400多年前，我国古代著名教育家墨子就曾写过这样一句话“圆，一中同长也”，正是诠释了圆的这一特征。【详解】根据分析得，亮亮的想法正好体现我们古代著名教育家墨子在2400多年前写的一句话：“圆，一中同长也”。【点睛】此题的解题关键是认识理解圆的特征。2.下面图形中哪些角是圆心角？在（    ）里画“√”。解析：根据圆心角的定义判断如下：【考点二】圆规画圆和作图。【典型例题】1．请画出一个直径5厘米的圆，并在这个圆中画一个圆心角是130°的扇形。【答案】见详解【分析】根据题意可知，半径是（5÷2）厘米，也就是2.5厘米，画圆的方法：①把圆规的两脚分开，以半径为两脚间的距离；②以一个点为圆心，以半径的长度画圆。③把有针尖的一只脚固定在圆心上。④把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出一个圆。以画出的圆的圆心为扇形的顶点，然后画出一条半径，再利用量角器画出另一条半径即可画出圆心角是130°的扇形。【详解】如图：【点睛】本题考查了画圆、扇形的方法以及学生的动手操作的能力。画圆有两要素：圆心、半径。2．按要求操作。（1）在上面的正方形中画一个最大的圆。（2）画出这个组合图形所有的对称轴。【答案】见详解【分析】（1）所画圆的直径等于正方形的边长；（2）正方形有4条对称轴，圆有无数条对称轴，所以（1）的组合图形有4条对称轴。据此解答。【详解】由分析可作图：（1）（2）【点睛】本题考查圆的画法以及对称轴画法以及数量。【对应练习】1．画一个直径是4厘米的圆，并用字母标出圆心、直径。【答案】见详解【分析】以点O为圆心，圆规两脚间的距离为半径，即4÷2＝2厘米，据此画圆即可；圆心用字母O表示，直径用字母d表示。【详解】4÷2＝2（厘米）如图所示：【点睛】本题考查圆的画法，抓住圆的两大要素：圆心和半径，即可解决此类问题。2．根据对称轴画出轴对称图形的另外一半。  【答案】见详解【分析】补全轴对称图形的方法：找出图形的关键点，依据对称轴画出关键点的对称点，再依据图形的形状顺次连接各点，画出最终的轴对称图形。【详解】  【点睛】本题考查了作轴对称图形的作法。关键是把对称点的位置画正确。3．在下面的方格图中，请你先在这个长方形中涂色或画斜线表示“”，即长方形面积的的；再在这个正方形中画一个最大的圆。（每个小方格的边长是1cm）  【答案】图见详解【分析】先把这个长方形横向平均分成4份，其中1份画单斜线表示，把这1份纵向平均分成8份，其中3份画双斜线表示，据此即可表示“”；在正方形中画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长，据此画图即可。【详解】画图如下：    【点睛】此题考查的知识点有：分数的意义、分数乘法的意义，正方形、圆的特征等，画圆时关键是确定圆的直径等于正方形的边长。【考点三】直径和半径的关系。【典型例题】1.画圆时，圆规两脚之间的距离是5厘米，那么画出的圆的直径是( )厘米，半径是( )厘米。解析：10；52.看图填空。 d＝( )     r＝( )   d＝( )     r＝( )【答案】 6cm/6厘米 3cm/3厘米 10cm/10厘米 3.5cm/3.5厘米【分析】直径＝半径×2，半径＝直径÷2，第三个图形，圆的直径＝正方形的边长，最后一个图形，圆的半径＝梯形的高，据此填空。【详解】3×2＝6（cm）、6÷2＝3（cm）   d＝6cm   r＝3cm   d＝10cm r＝3.5cm【点睛】关键是看懂图示，熟悉圆的特征。【对应练习】1.一个圆形花坛的直径是40米，那么它的半径是( )米。解析：202.如图是一个长方形，其中包含了两个大小不同的圆。那么大圆的半径是( )cm，小圆的直径是( )cm。【答案】 1.5 2【分析】由图可知，大圆的直径等于长方形的宽，大圆的半径是大圆直径的一半，小圆的直径等于长方形的长减去大圆的直径，据此解答。【详解】分析可知，大圆的直径为3cm。3÷2＝1.5（cm）5－3＝2（cm）所以，大圆的半径是1.5cm，小圆的直径是2cm。【点睛】根据图形确定大圆的直径，并掌握在同圆或等圆中半径是直径的一半是解答题目的关键。【考点四】圆的裁剪。【典型例题】1．在一块长16分米，宽5分米的长方形铁板上，最多能取( )个直径2分米的圆形铁板。【答案】16【分析】直径是圆中最长的线段，用长方形的长除以直径，计算长上面可以截取几个圆形铁板，同样求出长方形的宽上面可以截取几个圆形铁板，结果用去尾法取整数，最后求出两个数的乘积，据此解答。【详解】长：16÷2＝8（个）宽：5÷2≈2（个）8×2＝16（个）所以，最多能取16个直径2分米的圆形铁板。【点睛】掌握圆的特征，求出长和宽上面最多可以取的圆的数量是解答题目的关键。2．一个边长是6分米的正方形纸片，最多可以剪下( )个直径为2分米的圆。【答案】9【分析】把剪下直径为2分米的圆看作剪下边长为2分米的正方形，计算大正方形纸片上可以剪下多少个小正方形。【详解】（6÷2）×（6÷2）＝3×3＝9（个）【点睛】直径为2分米的圆是边长为2分米的正方形内面积最大的圆，也可以用大正方形的面积除以小正方形的面积。【对应练习】1．用一张长24cm、宽20cm的长方形纸，剪半径为3cm的圆片，最多可以剪( )个。【答案】12【分析】先看长24厘米，能剪几个圆，宽能剪几个圆，再把长宽剪的圆的数量相乘，据此解答即可。【详解】3×2＝6（厘米）24÷6＝4（个）20÷6≈3（个）4×3＝12（个）【点睛】本题考查圆，解答本题的关键是掌握圆的特征。2．在一张长12厘米，宽6厘米的长方形纸中，最多可以剪( )个直径为3厘米的圆。【答案】8【分析】沿长方形的长可以剪出12÷3＝4（个），沿宽可以剪出6÷3＝2（个），据此解答。【详解】（12÷3）×（6÷3）＝4×2＝8（个）最多可以剪8个直径为3厘米的圆。【点睛】抓住在长方形内剪切圆的方法即可解答此类问题。【第二篇】圆和扇形的周长【知识总览】一、扇形的弧长和周长。1.扇形弧长：扇形弧长=（其中n表示圆心角的度数）。2.扇形周长：扇形周长=扇形弧长+两条半径的长。二、圆与半圆的周长。1.围成圆的曲线的长是圆的周长。2.圆的周长÷直径=圆周率（π）≈3.14，是无限不循环小数，π=3.14159265……3.圆的周长=直径×圆周率或圆的周长=半径×2×圆周率，如果用C表示圆的周长，用r表示圆的半径，用d表示圆的直径，那么圆的周长计算公式是C=πd或C=2πr。4.半圆的周长指的是圆的周长的一半与1条直径或2条半径的长度和，半圆的周长计算公式是C半圆=πd+d或C半圆=πr+2r。5.半径、直径和周长的倍数关系。（1）在同一个圆里，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。例如：在同一个圆里，半径扩大4倍，那么直径和周长就都扩大4倍。（2）在同一个圆里，大圆半径是小圆半径的a倍，则大圆直径或周长都是小圆直径或周长的a倍。6.半径、直径和周长的增减变化关系。（1）当一个圆的半径增加a厘米时，它的周长就增加2πa厘米；（2）当一个圆的直径增加a厘米时，它的周长就增加πa厘米。7.最圆问题。（1）在正方形内画最大的圆，圆的直径等于正方形的边长；（2）在长方形内画最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。【考点一】扇形的弧长和周长。【典型例题1】弧长。下图是直径6cm的圆。其中阴影扇形的半径是( )厘米，圆心角是( )度，弧AB长( ) cm。解析：直径6cm的圆。其中阴影扇形的半径是3厘米，圆心角是360÷4＝90°，弧AB长：3.14×6×＝18.84×＝4.71（厘米）【典型例题2】周长。已知一个扇形的半径为6厘米，圆心角为120°，那么这个扇形的弧长为（ ）厘米，周长是（ ）厘米，解析：弧长：＝12.56（厘米）周长：12.56＋2×6＝12.56＋12＝24.56（厘米）【对应练习1】在一个半径是2厘米的圆内画一个圆心角是90°的扇形，这个扇形的周长是( )厘米。解析：90°÷360°＝这个扇形的周长：2×3.14×2×＋2×2＝6.28×2×＋4＝12.56×＋4＝7.14（厘米）【对应练习2】如图中圆的半径是4cm，那么阴影部分的周长是( )cm。解析：3.14×4×2÷4＋4×2＝6.28＋8＝14.28（cm）【考点二】关于圆周率。【典型例题】圆周率最早是由我国古代数学家（     ）计算到小数点后7位的。A．杨辉 B．祖冲之 C．刘徽 D．贾思贤【答案】B【分析】我国古代数学家祖冲之计算出圆周率的值在3.1415926到3.1415927之间，是世界上第一个将圆周率的值精确到7位小数的人，据此解答。【详解】圆周率最早是由我国古代数学家祖冲之利用并发展前人创造的“割圆术”，在世界上第一次把圆周率的数值精确到小数点后第七位数字。因此圆周率最早是由我国古代数学家祖冲之计算到小数点后7位的。故答案为：B【点睛】解答本题的关键是除了掌握圆周率的相关知识外，还应熟悉与其相关联的知识。【对应练习】1．我国一位数学家的事迹：①他是我国南北朝时期的数学家；②他发现了球体积的计算公式：③他算出了圆周率大于3.1415926，小于3.1415927。结合事迹这位数学家是（     ）。A．刘徽 B．陈景润 C．祖冲之【答案】C【分析】祖冲之在刘徽开创的探索圆周率的精确方法的基础上，首次将圆周率精算到小数第七位，即在3.1415926和3.1415927之间，他提出的“祖率”对数学的研究有重大贡献。直到16世纪，阿拉伯数学家阿尔•卡西才打破了这一纪录。【详解】祖冲之是我国南北朝时期的数学家；他发现了球体积的计算公式；他算出了圆周率大于3.1415926，小于3.1415927。故答案为：C【点睛】本题考查了圆周率的历史的认识。2．关于圆周率π说法正确的是（     ）。A．圆的直径与它的周长的比值 B．圆的周长是它半径的π倍C．＝3.14 D．任意一个圆的周长与它直径的比值【答案】D【分析】根据圆的周长公式：可知，圆的直径与它的周长比是：d∶，所以圆的直径与它的周长的比值；根据圆的周长公式可知，圆的周长比上它的半径为，所以圆的周长是它半径的倍；根据圆周率的意义可知，是无限不循环小数；根据圆的周长公式可知，圆的周长与它直径的比为，所以圆的直径与它的周长的比值为。据此解答。【详解】A．根据圆的周长公式可知，圆的直径与它的周长的比值为，所以不符合题意；B．根据圆的周长公式可知，圆的周长是它半径的倍，所以不符合题意；C．是无限不循环小数，＝3.1415926…，所以不符合题意；D．根据圆的周长公式可知，所以圆的周长与它的直径的比值为，所以符合题意。故答案为：D【点睛】此题考查了圆周率的意义、圆的周长公式以及求比值。3．下列关于圆周率说法错误的是（     ）。A．圆周率是圆的直径与周长的比值 B．计算时圆周率通常取3.14C．圆周率是一个无限不循环小数 D．大圆的圆周率和小圆的圆周率一样大【答案】A【分析】圆周率是任意一个圆的周长与它的直径的比值，这个比值是一个固定的数，用字母表示。它是一个无限不循环小数，＝3.1415926535……但在实际应用中常常只取它的近似值，例如≈3.14。【详解】A．圆周率是任意一个圆的周长与它的直径的比值，而不是圆的直径与周长的比值，所以A选项错误。B．保留两位小数时，≈3.14，计算时圆周率通常取3.14，所以B选项正确。C．圆的周长除以它的直径，商是一个无限不循环小数，即圆周率是一个无限不循环小数，所以C选项正确。D．圆周率是一个固定的数，不因圆的大小而改变，即大圆的圆周率和小圆的圆周率一样大，所以D选项正确。故答案为：A【点睛】解决此题的关键是明确圆周率的意义。【考点三】圆的周长与实际应用。【典型例题】1．一只挂钟时针长10厘米，经过6小时后，时针的尖端所走过的路程是多少米？【答案】0.314米【分析】钟面是个圆形，一圈是360°，共有12大格，根据题意，时针走了6个大格，是180°，那么时针的尖端所走过的路程是圆周长的一半。【详解】10×2×3.14÷2＝20×3.14÷2＝62.8÷2＝31.4（厘米）31.4厘米＝0.314米答：时针的尖端所走过的路程是0.314米。【点睛】此题考查了圆的周长公式。要求熟练掌握并灵活运用。2．一个圆形花坛的半径是15米，如果在花坛的周围每隔0.3米栽一株月季花，能栽多少株月季花？【答案】314株【分析】根据圆的周长＝2πr，代入数据求出这个花坛的周长，再根据除法的意义，用周长除以0.3即可求出能栽多少株月季花。【详解】2×3.14×15÷0.3＝94.2÷0.3＝314（株）答：能栽314株月季花。【点睛】本题考查了圆的周长和“封闭型”植树问题。封闭型植树问题中，棵数＝段数。3．杂技演员表演独轮车走钢丝，车轮的直径为40厘米，车轮转1圈走多少厘米？要骑过50.24米长的钢丝，车轮要转动多少圈？【答案】125.6厘米；40圈【分析】已知车轮的直径为40厘米，要求车轮转1圈走多少厘米，就是求车轮的周长，根据：圆的周长＝πd，代入数据计算即可；又知要通过长50.24米的钢丝，问车轮转动多少圈，根据：圈数＝钢丝的长度÷车轮一周的长度，代入数据计算即可。【详解】（厘米）    50.24米＝5024厘米    （圈）答：车轮转1圈走125.6厘米；要骑过50.24米长的钢丝，车轮要转动40圈。【点睛】本题考查了圆的周长的实际应用，需要理解圆周长公式，同时充分理解题意。4．一辆汽车的车轮直径是0.6米，如果你每分钟转800周，那么这辆汽车每小时可行多少千米？【答案】90.432千米【分析】根据圆周长公式：C＝πd，用3.14×0.6即可求出车轮的周长，再乘800即可求出800周经过的路程；已知1小时＝60分钟，用800周经过的路程×60即可求出这辆汽车每小时行驶的米数，根据1千米＝1000米，将这辆汽车每小时行驶的米数除以1000即可化为千米数。【详解】（千米）答：这辆汽车每小时可行90.432千米。【对应练习】1．钟楼上装有一个圆形大钟，它的分针长50厘米。分针的尖端每小时所走的路程是多少厘米？【答案】314厘米【分析】分针每小时（60分钟）转一圈，那么分针尖端每小时所走的路程就是半径为50厘米的圆的周长；根据圆的周长公式C＝2πr，代入数据计算即可。【详解】2×3.14×50＝314（厘米）答：分针的尖端每小时所走的路程是314厘米。【点睛】本题考查圆周长公式的灵活运用，关键是明确分针的尖端每小时走的路程是圆的周长。2．一个餐桌的桌面半径是2米，如果每位客人坐在桌边要占用0.8米的位置，这个餐桌最多可以坐多少位客人？【答案】15位【分析】根据圆的周长公式：C＝2πr，据此求出餐桌的周长，再根据除法的意义，用餐桌的周长除以0.8进行计算，根据实际情况其结果要保留整数。【详解】3.14×2×2＝3.14×（2×2）＝3.14×4＝12.56（米）12.56÷0.8＝15.7≈15（位）答：这个餐桌最多可以坐15位客人。【点睛】本题考查圆的周长，熟记公式是解题的关键。3．一辆汽车轮胎的外半径为50厘米，如果车轮平均每分钟转250圈，那么4分钟后这辆汽车前进了多少米？（π取3.14）【答案】【分析】根据圆的周长公式：C＝2πr，据此求出汽车轮胎一周的长度，再乘250即可得到车轮每分钟转的圈数，再乘4就是4分钟这辆车前进的长度，最后根据1米＝100厘米，把结果转化为米作单位。【详解】＝＝＝＝＝（米）答：这辆汽车前进了3140米。【点睛】本题考查圆的周长，熟记公式是解题的关键。4．小俊玩滚铁环。铁环半径是0.2米，从A点滚到B点，铁环滚动了几圈？【答案】10圈【分析】根据圆的周长公式：周长＝π×半径×2，代入数据，求出铁环的周长，再用A点到B点的路程÷铁环的周长，即可解答。【详解】12.56÷（3.14×0.2×2）＝12.56÷（0.628×2）＝12.56÷1.256＝10（圈）答：铁环滚动10圈。【点睛】熟练掌握圆的周长公式是解答本题的关键。【考点四】周长的增减变化问题。【典型例题】1.把一个圆形纸板剪成两个相等的半圆，它的周长增加了40厘米，这个圆形纸板的半径是( )厘米。【答案】10【分析】半圆形的周长等于圆周长的一半加上一条直径的长度之和，所以把一个圆形纸板剪成两个相等的半圆，它的周长实际上增加的是两条直径的长，据此求出圆的直径，继而求出这个圆形纸板的半径。【详解】40÷2÷2＝10（厘米）即这个圆形纸板的半径是10厘米。【点睛】理解增加的周长是两条直径是解题的关键。2.甲圆的半径是乙圆半径的2倍，那么甲圆的周长是乙圆周长的( )倍。解析：设乙圆的半径是r，（2π×2r）÷（2πr）＝（4πr）÷（2πr）＝2。甲圆的周长是乙圆周长的2倍。3.一个圆的半径由3厘米增加到5厘米，周长增加了( )厘米。解析：2×3.14×（5－3）＝2×3.14×2＝12.56（厘米）【对应练习】1.一个圆的周长是37.68分米，把它分成两个半圆后，两个半圆的周长和比原来圆的周长增加了( )分米。【答案】24【分析】先求出这个圆的直径，因为每个半圆的周长等于整圆的周长的一半＋直径的长度，所以两个半圆的周长之和比这个圆的周长增加了两条直径的长度；由此即可解答。【详解】37.68÷3.14×2＝12×2＝24（分米）【点睛】此题考查圆的周长公式以及半圆的周长的计算方法。2.圆的半径扩大3倍，直径就扩大( )倍，周长会扩大( )倍。解析：3；3 3.圆的直径增加2厘米，周长增加( )厘米。圆的周长增加3π厘米，半径增加( )厘米。解析：6.28；1.5【考点五】最圆问题。【典型例题】1.在一张边长为10cm的正方形纸上剪下一个最大的圆，这个圆的周长是( )cm。【答案】31.4【分析】根据题意可知，在这张正方形纸上剪下一个最大的圆，这个圆的直径等于正方形的边长，根据圆的周长公式：，把数据代入公式解答。【详解】（cm）【点睛】此题主要考查圆的周长公式的灵活运用，关键是熟记公式。2.在一个长是8cm宽是6cm的长方形内画一个最大的圆，圆规两脚间的距离应取( )cm，圆的周长为( )cm。【答案】 3 18.84【分析】根据题意，长方形内画最大的圆，圆的直径等于长方形的宽，圆规两脚间的距离是圆的半径；半径＝直径÷2，求出半径；再根据圆的周长公式：π×直径，代入数据，即可解答。【详解】半径：6÷2＝3（cm）周长：3.14×6＝18.84（cm）【点睛】本题考查圆的特征，圆的周长公式的应用，关键明确长方形内画最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。【对应练习】1.在一个边长为10cm的正方形中画一个最大的圆，这个图形有( )条对称轴。正方形中这个最大圆的周长是( )cm。【答案】 4 31.4【分析】轴对称图形定义为平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，直线叫做对称轴。正方形中这个最大圆的直径＝正方形边长，根据圆的周长＝πd，求出圆的周长。【详解】3.14×10＝31.4（厘米）这个图形有4条对称轴。正方形中这个最大圆的周长是31.4cm。【点睛】关键是熟悉轴对称图形的特点，掌握圆的周长公式。2.在一个长16cm，宽8cm的长方形中画一个最大的圆，这个圆的半径是( )cm，周长是( )cm。【答案】 4 25.12【分析】长方形里面画出的最大圆的直径与长方形的宽相等，由此用长方形的宽除以2即可求出圆的半径长度，根据圆的周长＝2πr求出周长。【详解】8÷2＝4（厘米）3.14×4×2＝25.12（厘米）【点睛】本题主要考查圆的周长公式，解题的关键是明确圆的直径等于长方形的宽。【考点六】圆周长的大小比较。【典型例题】①号图形是由2个相同的小半圆、1个中半圆、1个大半圆组成，②号是由正方形和多个半圆组成。①号、②号阴影部分图形的周长相比（     ）。A．①号周长长 B．②号周长长C．周长一样长 D．无法确定【答案】C【分析】看图，①的周长＝大半圆周长÷2＋三个小半圆周长÷2，②的周长＝圆周长×2，圆周长＝3.14×直径。将①的三个小半圆直径设为未知数，再将数据分别代入求出①和②的周长公式，从而比较。【详解】①的周长：设三个小半圆的直径分别是a、b、ca＋b＋c＝5×2＝10（cm）2×3.14×5÷2＋3.14×a÷2＋3.14×b÷2＋3.14×c÷2＝15.7＋1.57×a＋1.57×b＋1.57×c＝15.7＋1.57×（a＋b＋c）＝15.7＋1.57×10＝15.7＋15.7＝31.4（cm）②的周长：5×3.14×2＝31.4（cm）所以，①和②的周长一样长。故答案为：C【点睛】本题考查了阴影部分的周长，有一定观察能力，熟记圆的周长公式是解题的关键。【对应练习】1．如图，从点A到点B有甲、乙、丙三条路线，每条路线都是由一个或两个半圆组成的。比较这三条路线的长度，你认为（     ）。  A．甲最长 B．乙最长 C．丙最长 D．三条路线长度相等【答案】D【分析】假设甲路线的半圆直径是d，乙路线从左到右的半圆直径分别为d1、d2，丙路线从左到右的半圆直径分别为d3、d4；根据圆的周长公式，分别求出三条路线的长度，再比较即可。【详解】假设甲路线的半圆直径是d，甲的长度为πd÷2乙的长度为πd1÷2＋πd2÷2＝（πd1＋πd2）÷2＝π（d1＋d2）÷2因为d＝d1＋d2所以πd÷2＝π（d1＋d2）÷2丙的长度为πd3÷2＋πd4÷2＝（πd3＋πd4）÷2＝π（d3＋d4）÷2因为d＝d3＋d4所以πd÷2＝π（d3＋d4）÷2所以三条路线的长度相等。故答案为：D【点睛】本题考查了圆周长公式的实际应用，明确最大的半圆直径是另外两个半圆直径的和是解题的关键。2．如图，从甲地到乙地有A、B两条路可走，这两条路的长度相比，结果是（     ）。A．路线A长 B．路线B长 C．同样长 D．不能确定【答案】C【分析】由图中可得到：A走的路线是圆的周长，圆的直径是A、B两地直线距离的一半；B走的路线是圆的周长一半，直径是A、B两地直线距离。可设A路线的圆周长的直径为d，则B走的路线直径是2d，根据圆周长＝πd，计算得出答案。【详解】设A路线的圆周长的直径为d，则B走的路线直径是2d。则：A路线长：；B路线长：。即A路线与B路线一样长。故答案为：C【点睛】本题主要考查的是圆的周长和用字母表示数，解题的关键是熟练掌握圆的周长计算公式，进而得出答案。3．如图，从Ａ到Ｂ沿外侧大圆的周长走比较近，还是沿内侧小圆的周长走比较近（     ）。A．沿大圆周长 B．沿小圆周长 C．一样近 D．无法确定【答案】C【分析】观察发现，沿大圆周走，走过的距离是2个半圆弧的长度，也就是1个大圆的周长；沿小圆周走，走过的距离是4个半圆弧的长度，也就是2个小圆的周长；并且大圆的直径是小圆直径的2倍，所以大圆周长是小圆周长是2倍，那么1个大圆的周长等于2个小圆的周长，据此解答。【详解】设小圆直径是1厘米，那么大圆直径是2厘米；沿大圆周走，需要走1个大圆的周长：3.14×2＝6.28（厘米）沿小圆周走，需要走2个小圆的周长，3.14×1×2＝6.28（厘米）所以从A到B沿大圆周走与沿小圆周走一样近；故答案为：C【点睛】本题实质上考查的是圆的周长计算。【第三篇】圆和扇形的面积【知识总览】一、圆的面积。（转化思想）把一个圆割成一个近似的长方形，割拼成的长方形的长相当于圆周长的一半，用字母πr表示，宽相当于圆的半径，用字母r表示，因为长方形的面积=长×宽，所以圆的面积=πr2。二、外方内圆与外圆内方。1.外方内圆：在正方形里面画最大的圆，圆的直径等于正方形的边长，圆的面积与正方形面积比为π:4。2.外圆内方：在圆里面画最大的正方形，圆的直径等于正方形的对角线的长，圆的面积与正方形的面积比为π:2。三、圆环的面积。圆环的面积：S=πR2-πr2。四、扇形的面积。1.在计算扇形面积时要还是看扇形的圆心角，圆心角占周角的几分之几，扇形面积就占这个圆面积的几分之几。扇形面积=（其中n表示圆心角的度数）。2.扇环面积=大扇形的面积-小扇形的面积。四、圆面积的三大关系问题。1.半径、直径和周长、面积的倍数关系。在同一个圆里，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数，面积扩大倍数的平方倍。2.半径、直径和周长、面积的比例关系。（1）两个圆的半径比等于直径比等于周长比，而面积比等于以上比的平方。（2）圆周长和直径的比是π:1，比值是π；圆周长和半径的比是2π:1，比值是2π。3.半径、直径和周长、面积的增减变化问题。（1）周长的变化：算出增加后圆的周长和原来的周长进行相减得到周长增加的部分。当一个圆的半径增加a厘米时，它的周长就增加2πa厘米；当一个圆的直径增加a厘米时，它的周长就增加πa厘米。（2）面积的变化：算出增加后圆的面积和原来的面积进行相减得到面积增加的部分。【考点一】圆面积的推导（转化法）。【典型例题】1.把圆按下图所示的顺序逐步细分，拼成长方形的样子。这样细分下去，圆的面积就是a和b的积。从图中可以看出：  (1)a是圆的( )。(2)b是圆的( )。(3)如果a＝2厘米，这个圆的面积为( )。【答案】(1)半径(2)周长的一半(3)12.56平方厘米【分析】根据题图可知，一个圆被平均分成的份数越多，拼成的图形越接近长方形。长方形的宽a就是圆的半径，长方形的长b就是圆周长的一半。根据“S＝πr2”求出圆的面积即可。【详解】（1）a是圆的半径。（2）b是圆的周长的一半。（3）3.14×42＝12.56（平方厘米）【点睛】熟练掌握圆面积的推导过程是解答本题的关键。2.把圆剪开，拼成一个近似的长方形，长方形的周长为41.4cm，这个圆的面积是( )。【答案】78.5平方厘米/78.5cm2【分析】将圆剪开拼接成一个近似的长方形，，如图所示，长方形的周长＝圆的周长＋两个半径，据此等量关系列方程求出圆的半径，再代入圆的面积公式即可。【详解】解：设圆的半径为r厘米。2×3.14×r＋2r＝41.46.28r＋2r＝41.48.28r＝41.48.28r÷8.28＝41.4÷8.28r＝5圆的面积：3.14×52＝3.14×25＝78.5（平方厘米）这个圆的面积是78.5平方厘米。【点睛】此题考查圆的面积公式，明确圆拼接成长方形周长会多两个半径是解题的关键。【对应练习】1.如图，将一个圆形纸片等分成若干份，拼成一个近似的长方形，周长比原来圆周长多8厘米，圆形纸片的半径是( )厘米，这张圆形纸片的面积是( )平方厘米。  【答案】 4 50.24【分析】根据圆面积公式的推导过程可知，把一个圆平均分成若干份，沿半径剪开，再拼成一个近似长方形，这个长方形的长等于圆周长的一半，宽等于圆的半径，拼成的长方形的周长比圆的周长增加了两条半径的长度，据此可以求出圆的半径，再根据圆的面积公式： ；把数据代入公式解答。【详解】8÷2＝4（厘米）3.14×42＝3.14×16＝50.24（平方厘米）圆形纸片的半径是4厘米，这张圆形纸片的面积是50.24平方厘米。【点睛】此题考查的目的是理解掌握圆面积公式的推导过程及应用，圆的周长的意义及应用。2.如下图，把一个圆等分后拼成一个近似长方形，这个长方形的周长是33.12厘米，那么这个圆的面积是( )平方厘米。【答案】50.24【分析】把圆等分后拼成一个近似长方形，长方形的周长是圆形周长加直径，由此算出圆的半径，代入圆的面积公式即可算出。【详解】设圆的半径为r厘米2r＋2πr＝33.12解：2r＋2×3.14r＝33.122r＋6.28r＝33.128.28r＝33.12r＝33.12÷8.28r＝4圆的面积：3.14×42＝3.14×16＝50.24（平方厘米）【点睛】本题关键是知道圆的周长与近似长方形周长关系，求出圆的半径，解答问题。【考点二】圆（半圆）的面积与实际应用。【典型例题】1．小明围绕一个圆形花园走一圈，一共走了628步，他平均每步的长度是0.5米。这个圆形花园占地多少平方米？【答案】7850平方米【分析】根据乘法的意义，用628乘0.5即可得到圆形花园的周长，再根据圆的周长公式：C＝2πr，据此求出花园的半径，再根据圆的面积公式：S＝πr2，据此进行计算即可。【详解】628×0.5÷3.14÷2＝314÷3.14÷2＝100÷2＝50（米）3.14×502＝3.14×2500＝7850（平方米）答：这个圆形花园占地7850平方米。【点睛】本题考查圆的周长和面积，熟记公式是解题的关键。2．如图，广场上有两个半圆形的草坪，它们的周长都是257米，这两块草坪的面积是多少平方米？【答案】7850平方米【分析】根据题意可知，草坪是半圆形的，要求它的面积，需要先求半径，已知这个草坪的周长是257米，根据半圆的周长公式：可知，用257÷（3.14＋2）求出半径，再根据圆的面积公式：计算即可。【详解】半径：257÷（3.14＋2）＝257÷5.14＝50（米）草坪面积：3.14×＝3.14×2500＝7850（平方米）答：这两块草坪的面积是7850平方米。【对应练习】1．幸福广场中央建有一个圆形音乐喷泉池，小明以每分钟62.8米的速度沿池边快步行走一圈需要2分30秒。这个圆形音乐喷泉池占地多少平方米？【答案】1962.5平方米【分析】1分＝60秒，低级单位转化成高级单位除以进率，将2分30秒转化为2.5分；根据速度×时间＝路程，即可求出圆形喷泉的周长；根据圆的周长公式：C＝2πr代入求半径；再根据圆的面积公式：S＝πr2即可求解。【详解】2分30秒＝2.5分62.8×2.5＝157（米）157÷2÷3.14＝78.5÷3.14＝25（米）3.14×252＝3.14×625＝1962.5（平方米）答：这个圆形音乐喷泉池占地1962.5平方米。【点睛】本题考查圆的周长和面积，熟练掌握公式是解题的关键。2．如下图所示，张大爷利用一面墙，用篱笆围了一个直径10米的半圆形鸡舍。（1）围成这个鸡舍至少要多长的篱笆？（2）这个鸡舍的面积是多少平方米？（3）如果将这个半圆形鸡舍的直径增加2米，这个鸡舍的面积将扩大多少平方米？【答案】（1）15.7米；（2）39.25平方米；（3）17.27平方米【分析】（1）圆周长＝3.14×直径，据此求出直径是10米的圆的周长，再将其除以2，即可求出围成这个鸡舍至少要多长的篱笆；（2）圆面积＝3.14×半径2，据此先求出直径是10米圆的面积，再将其除以2，即可求出鸡舍的面积；（3）根据（2）的求法，求出直径增加2米后鸡舍的面积，再利用减法求出这个鸡舍的面积将扩大多少平方米。【详解】（1）3.14×10＝31.4（米）31.4÷2＝15.7（米）答：围成这个鸡舍至少要15.7米的篱笆。（2）3.14×（10÷2）2÷2＝3.14×52÷2＝39.25（平方米）答：这个鸡舍的面积是39.25平方米。（3）10＋2＝12（米）3.14×（12÷2）2÷2＝3.14×62÷2＝56.52（平方米）56.52―39.25＝17.27（平方米）答：这个鸡舍的面积将扩大17.27平方米。【点睛】本题考查了圆的周长和面积，熟记并灵活运用公式是解题的关键。【考点三】等长转化问题。【典型例题】1.一根铁丝围成了一个边长7.85厘米的正方形（接头不计），如果把这根铁丝围成最大的圆（接头不计），圆的周长是( )厘米，圆的面积是( )平方厘米。【答案】 31.4 78.5【分析】用一根铁丝围成了一个正方形，那么铁丝的长度等于正方形的周长；根据正方形的周长＝边长×4，求出这根铁丝的长度；又用这根铁丝围成最大的圆，那么圆的周长等于这根铁丝的长度，根据r＝C÷π÷2，求出圆的半径，再根据圆的面积S＝πr2，即可求出圆的面积。【详解】正方形的周长（圆的周长）：7.85×4＝31.4（厘米）圆的半径：31.4÷3.14÷2＝5（厘米）圆的面积：3.14×52＝3.14×25＝78.5（平方厘米）圆的周长是31.4厘米，面积是78.5平方厘米。【点睛】本题考查正方形的周长、圆的周长、圆的面积公式的灵活运用，明确用一根铁丝围成一个图形，铁丝长度等于这个图形的周长。2.一根铁丝刚好能围成一个长8厘米，宽4.56厘米的长方形。如果将这根铁丝围成一个圆，这个圆的面积有多少平方厘米？【答案】50.24平方厘米【分析】长方形周长＝（长＋宽）×2，据此先求出长方形的周长，即围成圆的周长。将圆的周长除以2再除以圆周率3.14，求出圆的半径。圆的面积S＝πr2，将数据代入其中，求出围成圆的面积。【详解】（8＋4.56）×2＝12.56×2＝25.12（厘米）25.12÷2÷3.14＝12.56÷3.14＝4（厘米）3.14×42＝50.24（平方厘米）答：这个圆的面积有50.24平方厘米。【点睛】本题考查了圆的周长和面积，熟记圆的周长和面积公式是解题的关键。【对应练习】1.用一根长15.7厘米的铁丝围成一个正方形，正方形的面积是( )平方厘米；如果用这根铁丝围成一个圆，这个圆的面积是( )平方厘米。【答案】15.405625，19.625【详解】试题分析：（1）用一根长15.7厘米的铁丝围成一个正方形，这个正方形的周长就是15.7厘米，用它除以4，求出这个正方形的边长，再根据正方形的面积公式，求出它面积，（2）用一根长15.7厘米的铁丝围成一个圆，这个圆的周长就是15.7，用它除以2，再除以π，求出这个圆的半径，再根据圆的面积公式求出圆的面积．解：（1）15.7÷4=3.925（厘米），3.925×3.925=15.405625（平方厘米）．（2）15.7÷2÷3.14=2.5（厘米），3.14×2.52=3.14×6.25=19.625（平方厘米）．故答案为15.405625，19.625．点评：本题的关键是求出这个正方形的边长和圆的半径，再根据正方形和圆的面积公式进行解答．2.一根铁丝围成一个长10cm，宽5.7cm的长方形，用这根铁丝再围成一个最大的圆形，这个圆形的面积是多少?【答案】78.5cm2【详解】(10+5.7)×2÷2÷3.14=5(cm)3.14×=78.5(cm2)【考点四】圆面积的三大关系问题。【典型例题1】半径、直径和周长、面积的倍数关系。1.圆的半径扩大3倍，它的面积就扩大( )，周长就扩大( )倍。【答案】 9倍 3【详解】略2.大圆的半径是小圆的半径的2倍，则小圆周长是大圆周长的( )，大圆面积是小圆面积的( )倍。【答案】 4【分析】根据半径的倍数等于周长的倍数，倍数×倍数是面积之间的倍数，据此分析。【详解】2×2＝4，大圆的半径是小圆的半径的2倍，则小圆周长是大圆周长的，大圆面积是小圆面积的4倍。【点睛】圆的周长＝πd＝2πr，圆的面积＝πr²。【对应练习】1.一个圆的半径扩大a倍，直径扩大( )倍，周长扩大( )倍，面积扩大( )倍。【答案】 a a a²【分析】假设圆原来的半径为2，则扩大后圆的半径为2a，直径由原来的4变为4a，周长由原来的4π变为4aπ，面积由π×2²＝4π变为π×（2a）²＝4πa²，由此解答即可。【详解】一个圆的半径扩大a倍，直径扩大a倍，周长扩大a倍，面积扩大a²倍。【点睛】本题采用了假设法，假设法使题目变得具体化，简单化。2.大圆半径是小圆半径的5倍，大圆周长是小圆周长的( )倍，大圆面积是小圆面积的( )倍。【答案】 5 25【分析】由题意可知，假设小圆的半径是1，则大圆的半径是5，根据圆的周长公式C＝2πr，圆的面积公式S＝πr2，据此解答即可。【详解】假设小圆的半径是1，则大圆的半径是5，（2π×5）÷2π＝10π÷2π＝5π×52÷π×12＝25π÷π＝25则大圆周长是小圆周长的5倍，大圆面积是小圆面积的25倍。【点睛】本题考查圆的周长和面积，熟记公式是解题的关键。【典型例题2】半径、直径和周长、面积的比例关系。1.两圆的半径之比，它们的面积之比是( )，周长之比是( )。【答案】 9∶25 3∶5【分析】圆的周长，圆的面积，根据圆的周长和面积公式可知，两圆的面积之比等于半径的平方之比，两圆的周长之比等于半径之比，据此解答即可。【详解】两圆的半径之比 3:5 ，它们的面积之比是9∶25，周长之比是3∶5。【点睛】本题考查比、圆的周长和面积，解答本题的关键是掌握圆的周长和面积计算公式。2.如图：大圆半径为8厘米，小圆半径为4厘米，则大圆与小圆的直径之比是( )，周长之比是( )，面积之比是( )。现在让小圆沿着大圆的外侧滚动一周后回到原处，那么小圆的圆心移动的长度是( )厘米。【答案】 2∶1 2∶1 4∶1 75.36【分析】根据圆的直径d＝2r，圆的周长C＝2πr，圆的面积S＝πr2，可知两个圆的直径之比、周长之比等于它们的半径之比，两个圆的面积之比等于它们的半径的平方比。从图中可知，小圆的圆心移动的长度是以（8＋4）厘米为半径的圆的周长，根据圆的周长C＝2πr，代入数据计算即可求解。【详解】大圆与小圆的直径之比是8∶4＝（8÷4）∶（4÷4）＝2∶1；大圆与小圆的周长之比是8∶4＝（8÷4）∶（4÷4）＝2∶1；大圆与小圆的面积之比是82∶42＝64∶16＝（64÷16）∶（16÷16）＝4∶1；2×3.14×（8＋4）＝2×3.14×12＝75.36（厘米）小圆的圆心移动的长度是75.36厘米。【点睛】本题考查圆的直径、周长、面积公式的运用以及比的意义、比的化简。【对应练习】1.已知小圆半径是大圆半径的，则小圆与大圆的周长之比是( )，如果小圆面积是，则大圆面积是( )。【答案】 1∶3 28.26【分析】已知小圆半径是大圆半径的，利用比与分数之间的关系，可得小圆和大圆的半径之比是1∶3，根据圆的周长＝×2×半径，因此两个圆的周长比等于这两个圆的半径比，即可求出小圆与大圆的周长之比。再根据圆的面积＝，因此两个圆的面积比等于这两个圆的半径的平方比，可求得小圆和大圆的面积之比是1∶9，把小圆的面积看作1份，大圆的面积看作9份，用小圆的面积除以1，求出1份量是多少，再乘9即可求出大圆的面积。【详解】根据分析得，小圆和大圆的半径之比是1∶3，所以小圆与大圆的周长之比是1∶3。小圆与大圆的面积之比是12∶32＝1∶9。3.14÷1×9＝28.26（cm2）即大圆面积是28.26cm2。【点睛】此题主要考查比的应用以及圆的周长、面积公式的熟练运用。2.如图，如果大圆的半径和小圆的直径相等，那么大圆面积与小圆面积之比是( )。A．2∶1 B．4∶1 C． D．【答案】B【分析】假设出小圆的半径，大圆的半径＝小圆的半径×2，利用“”表示出大圆的面积和小圆的面积，最后根据比的意义求出大圆和小圆的面积比，据此解答。【详解】假设小圆的半径为r厘米，则大圆的半径为2r厘米。小圆的面积：（平方厘米）大圆的面积：＝（平方厘米）大圆的面积∶小圆的面积＝∶＝4∶1所以，大圆面积与小圆面积之比是4∶1。故答案为：B【点睛】掌握圆的面积计算公式和比的意义是解答题目的关键。【典型例题3】半径、直径和周长、面积的增减变化问题。一个半径是3dm的圆，如果半径增加1dm，那么周长增加( )dm，面积增加( )dm2。【答案】 6.28 21.98【分析】由于半径增加1dm，那么此时的半径是4dm，根据圆的周长公式：C＝2πr，圆的面积公式：S＝πr2，把数代入公式求出半径增加前的周长和面积，再求出半径增加后的周长和面积，之后作差即可。【详解】当半径是3dm的时候周长：3.14×3×2＝9.42×2＝18.84（dm）面积：3.14×32＝3.14×9＝28.26（dm2）半径增加1dm后：3＋1＝4（dm）周长：3.14×4×2＝12.56×2＝25.12（dm）面积：3.14×42＝3.14×16＝50.24（dm2）则周长增加：25.12－18.84＝6.28（dm）面积增加：50.24－28.26＝21.98（dm2）所以一个半径为3dm的圆，如果半径增加1dm，那么周长增加6.28dm，面积增加21.98dm2。【点睛】本题主要考查圆的周长和面积公式，应熟练掌握它们的公式并灵活运用。【对应练习】1.一个圆的半径是6m，周长是( )m，面积是( )m2；如果这个圆的半径增加1m，则周长增加( )m，面积增加( )m2。【答案】 37.68 113.04 6.28 40.82【分析】根据“”“”分别求出这个圆的周长和面积，以及半径增加后圆的周长和面积，最后求出它们的差，据此解答。【详解】2×3.14×6＝6.28×6＝37.68（m）3.14×62＝3.14×36＝113.04（m2）6＋1＝7（m）2×3.14×7－37.68＝6.28×7－37.68＝43.96－37.68＝6.28（m）3.14×72－113.04＝3.14×49－113.04＝153.86－113.04＝40.82（m2）所以，一个圆的半径是6m，周长是37.68m，面积是113.04m2；如果这个圆的半径增加1m，则周长增加6.28m，面积增加40.82m2。【点睛】熟练掌握并灵活运用圆的周长和面积的计算公式是解答题目的关键。2.用篱笆围一个半圆形养鸡场，一面靠墙，篱笆长15.7米。如果将养鸡场半径增加1米，需要增加围栏( )米，则面积增加( )平方米。【答案】 3.14 17.27【分析】先用15.7×2求出整圆的周长，然后算出养鸡场原来的半径，再算出增加1米后的半径以及篱笆长度，和之前的篱笆长相减，求出增加的围栏长度；分别根据增加前后的半径求出半圆的面积，最后把它们相减求出增加的面积即可。【详解】原来半径：15.7×2÷2÷3.14＝15.7÷3.14＝5（米）后来半径：5＋1＝6（米）后来篱笆长：6×2×3.14÷2＝6×3.14＝18.84（米）增加的围栏长度：18.84－15.7＝3.14（米）增加的面积：3.14×6×6÷2－3.14×5×5÷2＝3.14×18－3.14×12.5＝56.52－39.25＝17.27（平方米）如果将养鸡场半径增加1米，需要增加围栏3.14米，则面积增加17.27平方米。【点睛】灵活运用圆的周长和面积公式是解题的关键。【考点五】外方内圆与外圆内方。【典型例题】1.如图，在一张边长10cm的正方形纸上剪下一个最大的圆，这个圆的面积是( )，剩余部分的面积是( )。【答案】 78.5 21.5【分析】由题意可知：这个最大圆的直径应该等于正方形的边长，正方形的边长已知，于是利用圆的面积＝πr2，即可求出圆的面积；再用正方形的面积减去圆的面积，即可求出剩余部分的面积。【详解】3.14×（10÷2）2＝3.14×25＝78.5（平方厘米）这个圆的面积是78.5平方厘米。10×10－78.5＝100－78.5＝21.5（平方厘米）余下部分的面积是21.5平方厘米。【点睛】此题主要考查学生正方形与圆面积的计算能力，解答此题的关键是明白：正方形中最大圆的直径应该等于正方形的边长，即可求得圆面积和余下的面积。2.在一个圆内画一个最大的正方形，这个正方形的面积是72平方厘米，那么这个圆的面积是( )平方厘米，周长是( )厘米。【答案】 113.04 37.68【分析】在一个圆内画一个最大的正方形，如图，正方形的对角线＝圆的直径，设圆的半径是r厘米，根据2r×r×2÷2＝正方形面积，确定r，再根据圆的面积＝πr2，圆的周长＝2πr，求出圆的面积和周长。【详解】解：设圆的半径是r厘米。2r×r×2÷2＝722r×r＝722r×r÷2＝72÷2r×r＝36r＝63.14×62＝3.14×36＝113.04（平方厘米）2×3.14×6＝37.68（厘米）这个圆的面积是113.04平方厘米，周长是37.68厘米。【点睛】关键是掌握并灵活运用圆的周长和面积公式。3.如图中，在边长是2cm的正方形内画一个最大的圆，再在圆里画一个最大的正方形，那么阴影部分的面积是( )cm2。【答案】1.14【分析】根据题意，在边长是2cm的正方形内画一个最大的圆，那么这个圆的直径等于正方形的边长，根据圆的面积公式S＝πr2，求出这个圆的面积；在圆里画一个最大的正方形，如下图，用正方形的一条对角线把这个正方形平均分成2个三角形，三角形的底等于圆的直径，三角形的高等于圆的半径，根据三角形的面积S＝ah÷2，求出一个三角形的面积，再乘2，即是这个最大正方形的面积；最后用圆的面积减去最大正方形的面积，即是阴影部分的面积。【详解】圆的半径：2÷2＝1（cm）圆的面积：3.14×1×1＝3.14（cm2）圆内最大正方形的面积：2×1÷2×2＝2（cm2）阴影部分的面积：3.14－2＝1.14（cm2）阴影部分的面积是1.14cm2。【点睛】本题考查圆的面积、三角形面积公式的运用，关键是把圆内最大正方形的面积转化成两个完全一样的三角形的面积求解。【对应练习】1.数学课上，小明用边长8cm的正方形纸，小华用边长10cm的正方形纸，各剪了一个最大的圆，小明和小华所剪的圆的周长之比是( )，面积之比是( )。【答案】 4∶5 16∶25【分析】正方形的边长为圆的直径，根据圆的周长公式：可知，圆的周长之比等于半径之比；根据圆的面积公式：可知，圆的面积之比等于半径的平方之比。【详解】小明剪的圆的半径为：8÷2＝4（cm），小华剪的圆的半径为：10÷2＝5（cm）；所以小明和小华所剪的圆的周长之比为：4∶5；小明和小华所剪的圆的面积之比为：＝16∶25【点睛】此题考查的是圆的面积公式和圆的周长公式。2.如图，在周长是18.84厘米的圆内画一个最大的正方形，阴影部分的面积是( )平方厘米。【答案】10.26【分析】以圆的直径为对角线的正方形是圆内面积最大的正方形，连接正方形的两条对角线，正方形被分成4个形状相同的等腰直角三角形，先根据圆的周长求出圆的半径，再利用“”表示出圆的面积，并根据“”表示出正方形的面积，阴影部分的面积＝圆的面积－正方形的面积，据此解答。【详解】18.84÷3.14÷2＝6÷2＝3（厘米）3.14×32－×3×3×4＝3.14×9－×4＝28.26－18＝10.26（平方厘米）所以，阴影部分的面积是10.26平方厘米。【点睛】把正方形的面积转化为三角形的面积，并掌握圆的周长和面积计算公式是解答题目的关键。3.大圆内有一个最大的正方形，正方形内有一个最大的圆，大圆面积和小圆面积的比是( )。A．4∶1 B．200∶157 C．2∶1 D．200∶43【答案】C【分析】观察图形可知，设小圆的半径是1，正方形的边长为2，利用圆的面积公式即可表示出小圆的面积为π；假设大圆的半径为r，根据大圆和正方形的关系，正方形的面积等于2r2，据此求出r2，进而得出大圆的面积，然后写出大圆面积和小圆面积的比，再化简即可。【详解】设小圆的半径为1，则：小圆的面积是：π×1×1＝π正方形的面积是：（1＋1）2＝22＝4设大圆的半径是r，则：2r2＝42r2÷2＝4÷2r2＝2大圆的面积是：π×r2＝2π所以大圆面积和小圆面积的比是：2π∶π＝（2π÷2）∶（π÷2）＝2∶1故答案为：C【点睛】本题主要考查了组合图形面积的计算，根据圆中取面积最大正方形的画法，推导出大圆半径和正方形边长的关系，是本题解题的关键。【考点六】圆环的面积。【典型例题】1.在一个半径为3米的圆形花园外铺一条宽1米的小路，小路的面积是多少？【答案】21.98平方米【分析】由题意可知，小路的面积等于半径为（3＋1）米的圆的面积减去半径为3米的圆的面积，然后根据圆的面积公式：S＝πr2，据此计算即可。【详解】3＋1＝4（米）3.14×42－3.14×32＝3.14×（42－32）＝3.14×（16－9）＝3.14×7＝21.98（平方米）答：小路的面积是21.98平方米。【点睛】本题考查圆的面积，熟记公式是解题的关键。2.在一个半径为10米的圆形喷泉周围修一条宽3米的小路，小路一半面积铺鹅卵石，一半面积铺水泥。小路铺水泥（如下图）的面积是多少平方米？【答案】108.33平方米【分析】由题意可知，小圆的半径为10米，大圆的半径＝小圆的半径＋环宽，利用“”表示出小路的面积，最后除以2求出小路铺水泥的面积，据此解答。【详解】10＋3＝13（米）3.14×（132－102）÷2＝3.14×（169－100）÷2＝3.14×69÷2＝216.66÷2＝108.33（平方米）答：小路铺水泥的面积是108.33平方米。【点睛】本题主要考查环形面积公式的应用，熟记公式是解答题目的关键。【对应练习】1.小林爸爸新买了一张圆形餐桌，桌面的直径是2米。（1）如果每个人需要0.5米宽的位置就餐，这张餐桌最多能坐多少人？（2）为了方便大家夹菜，爸爸又在餐桌中央放了一个直径是1米的圆形转盘，剩下桌面的面积是多少？【答案】（1）12人；（2）2.355平方米【分析】（1）先根据圆的周长公式C＝πd，把数据代入求出餐桌一圈的长度，再除以0.5米即可求出最多能坐多少人，所得的结果要根据实际情况采用“去尾法”保留整数；（2）剩下桌面的面积即为圆环部分的面积，根据圆环的面积公式S环＝π（R2－r2），把数据代入计算即可。【详解】（1）3.14×2÷0.5＝6.28÷0.5＝12.56≈12（人）答：这张餐桌最多能坐12人。（2）3.14×[（2÷2）2－（1÷2）2]＝3.14×[12－0.52]＝3.14×[1－0.25]＝3.14×0.75＝2.355（平方米）答：剩下桌面的面积是2.355平方米。【点睛】掌握并灵活运用圆的周长和面积公式是解答本题的关键。2.一个半圆形花坛，一周的长是35.98米。（1）这个花坛的面积有多大？（2）如果扩建这个花坛，把半径增加1米，花坛的面积增大多少？【答案】（1）76.93平方米（2）23.55平方米【分析】（1）半圆周长＝πr＋2r，半径＝半圆周长÷（π＋2），半圆面积＝πr2÷2，据此列式解答即可。（2）增大的面积是圆环面积的一半，圆环面积的一半＝π（R2－r2）÷2，据此列式解答。【详解】（1）35.98÷（3.14＋2）＝35.98÷5.14＝7（米）3.14×72÷2＝3.14×49÷2＝76.93（平方米）答：这个花坛的面积有76.93平方米。（2）7＋1＝8（米）3.14×（82－72）÷2＝3.14×（64－49）÷2＝3.14×15÷2＝23.55（平方米）答：花坛的面积增大23.55平方米。【点睛】关键是掌握并灵活运用圆的周长、面积和圆环面积公式。【第四篇】含圆的不规则或组合图形周长与面积【知识总览】一、不规则图形或组合图形的周长。不规则或组合图形的周长，寻找该图形是由哪些边组合而成的，将这些边的长度相互加起来，注意观察弧形是否可以组合一起构成半圆或整圆。二、不规则图形或组合图形的面积。（十二种阴影部分面积法）【01】直接求法，即根据已知条件，从整体出发，利用面积相关公式直接求出阴影部分的面积，是最为简单的求面积方法，熟练掌握图形面积公式是解决问题的关键。【02】相加法，即加法分割思路，把所求阴影部分面积分割成几块能用公式计算的规则图形（三角形、正方形、长方形、平行四边形、梯形、圆、扇形），分别计算出面积，并相加得出阴影部分的面积。【03】相减法，即减法拓展思路，是把不规则图形阴影部分面积拓展到包含阴影部分的规则图形中进行分析，通过计算这个规则图形的面积和规则图形中除阴影部分面积之外多余的面积，运用“总的”减去“部分的”方法解得答案。【04】混合型图形，处理起来非常困难，可以首先观察图形，然后合理分解成部分可求的图形，最后再相加或相减。【05】旋转法（翻转法），即根据图形的特征，将原图的某一部分进行翻转或旋转，最后得到便于求解的新图形。【06】拼接法，即在部分扇形半径相等的情况下，可以通过移动扇形，把扇形拼接成一个整体。【07】割补法，即分割拼补的思路，是把不规则的阴影面积通过分割和拼补，使之变为一个面积大小不变且能实施计算成面积相同的规则图形。【08】重组法，即根据具体情况和计算上的需要把原来图形拆开，并加以重新组合，使之变为一个面积大小不变且能实施计算成面积相同的规则图形，然后结合相减法求出阴影面积。【09】等积转化法，即通过平面图形之间的等积变换，化难为易，求出阴影部分的面积，要注意分析长方形、正方形、三角形面积公式与圆的面积的共同特点，以达到合理转化。【10】辅助线法，即在通常手段无法求出阴影部分面积时，需要尝试使用添加辅助线的方法解决。【11】容斥原理，即重叠、分层思路，把图形中不规则的阴影部分看作几个规则图形用不同的方法重叠的结果，利用分层把重叠部分分出来，组成重叠图形各个规则图形的面积总和减去分掉的那面积，就是剩下所求那部分面积。【12】差不变思想，即利用等式的性质来求面积，如果S甲=S乙，那么S甲+S空白=S乙+S空白，反之亦可。（注意：十二种阴影部分面积法请尽可能参考本系列第五单元内容，此部分内容考虑篇幅问题，考点考题便不再过多赘述。）【考点一】含圆的不规则图形或组合图形周长。【典型例题】计算阴影部分的周长。             【答案】57.12【分析】阴影部分的周长＝直径为16的圆的周长的一半＋长方形的2条宽＋长方形的1条长，根据圆的周长＝πd，长方形的长等于圆的直径，长方形的宽等于圆的半径，代入相应数值计算即可解答。【详解】圆的半径：16÷2＝83.14×16÷2＋16＋8×2＝50.24÷2＋16＋16＝25.12＋32＝57.12所以阴影部分的周长是57.12。【对应练习】1．求阴影部分的周长。  【答案】588.4m【分析】观察图形可知，阴影部分周长＝直径是60m的圆的周长＋两条200米的长，根据圆的周长公式：周长＝π×直径，代入数据，即可解答。【详解】3.14×60＋200×2＝188.4＋400＝588.4（m）2．求下图中阴影部分的周长。（单位：厘米）  【答案】100.48厘米【分析】阴影部分的周长＝直径是（5×2＋3×2）的圆的周长＋直径是5×2的圆的周长＋直径是3×2的圆的周长，根据圆的周长公式：周长＝π×直径，代入数据，即可解答。【详解】3.14×（5×2＋3×2）＋3.14×5×2＋3.14×3×2＝3.14×（10＋6）＋15.7×2＋9.42×2＝3.14×16＋31.4＋18.84＝50.24＋31.4＋18.84＝81.64＋18.84＝100.48（厘米）3．求下面图阴影部分的周长。【答案】30.84厘米【分析】通过观察发现，阴影部分的周长＝圆周长的＋圆周长的＋长方形的长（圆的直径）。先根据圆的周长求出圆的周长，再用圆的周长××2＋12，即可求出阴影部分的周长。【详解】3.14×12××2＋12    ＝3.14×（12××2）＋12＝3.14×6＋12＝18.84＋12＝30.84（厘米）【考点二】含圆的不规则图形或组合图形面积。【典型例题1】一般型。求下面阴影部分的面积。                     【答案】13.76cm2；10.75cm2；42.88cm2【分析】（1）阴影部分的面积＝正方形的面积－圆的面积，根据正方形的面积公式S＝a2，圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算求解。（2）阴影部分的面积＝长方形的面积－半圆的面积，根据长方形的面积公式S＝ab，圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算求解。（3）阴影部分的面积＝梯形的面积－半圆的面积，根据梯形的面积公式S＝（a＋b）h÷2，圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算求解。【详解】（1）8×8－3.14×（8÷2）2＝64－3.14×16＝64－50.24＝13.76（cm2）阴影部分的面积是13.76cm2。（2）10×5－3.14×52÷2＝50－3.14×25÷2＝50－39.25＝10.75（cm2）阴影部分的面积是10.75cm2。（3）（7＋10）×8÷2－3.14×（8÷2）2÷2＝17×8÷2－3.14×16÷2＝68－25.12＝42.88（cm2）阴影部分的面积是42.88cm2。【对应练习】1．计算阴影部分的面积。（1）                       （2）【答案】（1）2.28平方分米（2）21.98平方厘米【分析】（1）根据题意可知，阴影部分的面积＝半圆的面积－三角形的面积，根据半圆面积公式：S＝πr2÷2，用3.14×（4÷2）2÷2即可求出半圆的面积；然后根据三角形的面积＝底×高÷2，用4×（4÷2）÷2即可求出三角形的面积，再用减法求出阴影部分的面积；（2）根据题意可知，大圆的半径是（8÷2）厘米，小圆的半径是3厘米，根据圆环的面积公式：S＝π（R2－r2），代入数据解答即可。【详解】（1）3.14×（4÷2）2÷2＝3.14×22÷2＝3.14×4÷2＝6.28（平方分米）4×（4÷2）÷2＝4×2÷2＝4（平方分米）6.28－4＝2.28（平方分米）阴影部分的面积是2.28平方分米。（2）8÷2＝4（厘米）3.14×（42－32）＝3.14×（16－9）＝3.14×7＝21.98（平方厘米）阴影部分的面积是21.98平方厘米。2．求下列图形中阴影部分的面积。（单位：cm）  【答案】9.63cm2；21.5cm2【分析】第一个阴影部分的面积＝半圆面积－三角形面积，三角形的底和高等于圆的半径，半圆面积＝πr2÷2，三角形面积＝底×高÷2；第二个阴影部分的面积＝正方形面积－圆的面积，正方形边长＝圆的直径，正方形面积＝边长×边长。【详解】3.14×（6÷2）2÷2－（6÷2）×（6÷2）÷2＝3.14×32÷2－3×3÷2＝3.14×9÷2－4.5＝14.13－4.5＝9.63（cm2）（5×2）×（5×2）－3.14×52＝10×10－3.14×25＝100－78.5＝21.5（cm2）3．计算下面各图中涂色部分的面积。（1）          （2）  【答案】（1）32平方米；（2）50.24平方厘米【分析】（1）如图：  通过割补，将阴影部分转化为底和高都是8米的直角三角形，根据三角形的面积＝底×高÷2，用8×8÷2即可求出阴影部分的面积；（2）根据圆环的面积公式：S＝π（R2－r2），代入数据求出圆环的面积即可。【详解】（1）8×8÷2＝32（平方米）   阴影部分的面积是32平方米。（2）r：6÷2＝3（厘米）   R：2＋3＝5（厘米） S：3.14×52－3.14×32＝3.14×25－3.14×9＝3.14×（25－9）＝3.14×16＝50.24（平方厘米）阴影部分的面积是50.24平方厘米。【典型例题2】拓展型。1．求阴影部分的面积。【答案】15.4平方厘米；36平方厘米【分析】（1）观察图形可知：阴影部分的面积＝大半圆的面积＋小半圆的面积－三角形的面积（长方形的面积的一半），将数据代入计算即可求解；（2）由题意可知：空白三角形为直角三角形，已知两条直角边和斜边的长，于是可以求出斜边上的高，也就是梯形的高。再根据“阴影部分的面积＝梯形的面积－空白三角形的面积”即可求解。【详解】（1）3.14×（8÷2）2÷2＋3.14×（4÷2）2÷2－4×8÷2＝3.14×42÷2＋3.14×22÷2－32÷2＝3.14×16÷2＋3.14×4÷2－16＝50.24÷2＋12.56÷2－16＝25.12＋6.28－16＝31.4－16＝15.4（平方厘米）（2）6×8÷2×2÷10＝48÷2×2÷10＝24×2÷10＝48÷10＝4.8（厘米）（10＋15）×4.8÷2－6×8÷2＝25×4.8÷2－48÷2＝120÷2－24＝60－24＝36（平方厘米）【对应练习】1．求阴影部分面积。（单位：cm，π取3.14）（1）    （2）【答案】（1）16平方厘米；（2）22平方厘米【分析】（1）将右半部分的不规则阴影部分绕圆心顺时针旋转90°然后再平移，阴影部分的面积相当于底是8厘米、高是4厘米的平行四边形面积的一半，根据平行四边形的面积公式：平行四边形的面积＝底×高，用8×（8÷2）÷2即可求出阴影部分的面积。（2）将左上部分阴影填补到中间空白处，那么阴影部分的面积恰好是上底为4，下底为7，高为4的梯形的面积，梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2。【详解】（1）8×4÷2＝32÷2＝16（平方厘米）阴影部分的面积是16平方厘米。（2）（4＋7）×4÷2＝44÷2＝22（平方厘米）阴影部分的面积是22平方厘米。2．求阴影部分的面积（单位：厘米）。【答案】10.26平方厘米；50平方厘米【分析】看图，用直径是6厘米的圆的面积，减去三角形的面积，可先求出阴影部分面积；将图形补充成一个大长方形，那么可利用大长方形的面积减去三个小三角形的面积，求出阴影部分的面积。【详解】3.14×（6÷2）2－6×6÷2＝28.26－18＝10.26（平方厘米）；（10＋6）×10－（10＋6）×6÷2－10×10÷2－6×（10－6）÷2＝160－48－50－12＝50（平方厘米）