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高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用优秀课时练习
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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用优秀课时练习，文件包含新教材高中数学必修第二册《正弦定理余弦定理》同步精讲精练原卷版doc、新教材高中数学必修第二册《正弦定理余弦定理》同步精讲精练教师版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共28页， 欢迎下载使用。
1.掌握正弦定理、余弦定理及其变形.
2.能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题.
知识梳理
1.正弦定理与余弦定理
2.三角形中常用的面积公式
(1)S＝eq \f(1,2)aha(ha表示边a上的高)；
(2)S＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(1,2)bcsin A；
(3)S＝eq \f(1,2)r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径).
常用结论
在△ABC中，常有以下结论：
(1)∠A＋∠B＋∠C＝π.
(2)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.
(3)a>b⇔A>B⇔sin A>sin B，cs A(4)sin(A＋B)＝sin C；cs(A＋B)＝﹣cs C；tan(A＋B)＝﹣tan C；sin eq \f(A＋B,2)＝cs eq \f(C,2)；cs eq \f(A＋B,2)＝sin eq \f(C,2).
(5)三角形中的射影定理
在△ABC中，a＝bcs C＋ccs B；b＝acs C＋ccs A；c＝bcs A＋acs B.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.( )
(2)在△ABC中，若sin A>sin B，则A>B.( )
(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.( )
(4)当b2＋c2﹣a2>0时，△ABC为锐角三角形.( )
教材改编题
1.在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC等于( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,3) C.eq \f(2π,3) D.eq \f(5π,6)
2.在△ABC中，若A＝60°，a＝4eq \r(3)，b＝4eq \r(2)，则B＝ .
3.在△ABC中，a＝2，b＝3，C＝60°，则c＝ ，△ABC的面积＝ .
例1.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bsin C＋asin A＝bsin B＋csin C.
(1)求A；
(2)设D是线段BC的中点，若c＝2，AD＝eq \r(13)，求a.
思维升华 解三角形问题的技巧
(1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理，以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.
(2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.
跟踪训练1 已知在△ABC中，c＝2bcs B，C＝eq \f(2π,3).
(1)求B的大小；
(2)在下列三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，并求出BC边上的中线的长度.
①c＝eq \r(2)b；②周长为4＋2eq \r(3)；③面积为S△ABC＝eq \f(3\r(3),4).
题型二 正弦定理、余弦定理的简单应用
例2.在△ABC中，eq \f(c－a,2c)＝sin2 eq \f(B,2)(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为( )
A.直角三角形 B.等边三角形
C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形
思维升华 判断三角形形状的两种思路
(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状.
(2)化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状.此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论.
命题点2 三角形的面积
思维升华 三角形面积公式的应用原则
(1)对于面积公式S＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(1,2)bcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式.
(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.
例3.如图，在平面四边形ABCD中，已知A＝eq \f(π,2)，B＝eq \f(2π,3)，AB＝6.在AB边上取点E，使得BE＝1，连接EC，ED.若∠CED＝eq \f(2π,3)，EC＝eq \r(7).
(1)求sin∠BCE的值；
(2)求CD的长.
教师备选
1.在△ABC中，已知a2＋b2﹣c2＝ab，且2cs Asin B＝sin C，则该三角形的形状是( )
A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.钝角三角形
2.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acs C﹣ccs(B＋C)＝﹣eq \f(b,3csA＋B).
(1)求tan C；
(2)若c＝3，sin Asin B＝eq \f(16,27)，求△ABC的面积.
思维升华 平面几何图形中研究或求与角有关的长度、角度、面积的最值、优化设计等问题，通常是转化到三角形中，利用正、余弦定理通过运算的方法加以解决.在解决某些具体问题时，常先引入变量，如边长、角度等，然后把要解三角形的边或角用所设变量表示出来，再利用正、余弦定理列出方程，解之，若研究最值，常使用函数思想.
跟踪训练2 (1)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c﹣acs B＝(2a﹣b)cs A，则△ABC的形状为( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形
(2)如图，在△ABC中，AB＝9，cs B＝eq \f(2,3)，点D在BC边上，AD＝7，∠ADB为锐角.
①求BD；
②若∠BAD＝∠DAC，求sin C的值及CD的长.
余弦定理
[合格基础练]
一、选择题
1.在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，则角A等于( )
A.30° B.60° C.120° D.150°
2.在△ABC中，若a＝8，b＝7，cs C＝eq \f(13,14)，则最大角的余弦值是( )
A.－eq \f(1,5) B.－eq \f(1,6) C.－eq \f(1,7) D.－eq \f(1,8)
3.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若eq \f(c2－a2－b2,2ab)>0，则△ABC( )
A.一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形
C.一定是钝角三角形 D.是锐角或直角三角形
4.若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为( )
A.eq \f(4,3) B.8－4eq \r(3) C.1 D.eq \f(2,3)
5.锐角△ABC中，b＝1，c＝2，则a的取值范围是( )
A.1二、填空题
6.已知a，b，c为△ABC的三边，B＝120°，则a2＋c2＋ac－b2＝________.
7.在△ABC中，若b＝1，c＝eq \r(3)，C＝eq \f(2π,3)，则a＝________.
8.在△ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cs B＝－eq \f(1,4)，则b＝________.
三、解答题
9.在△ABC中，A＋C＝2B，a＋c＝8，ac＝15，求b.
10.在△ABC中，BC＝a，AC＝b，且a，b是方程x2－2eq \r(3)x＋2＝0的两根，2cs (A＋B)＝1.
(1)求角C的度数；
(2)求AB的长.
[等级过关练]
1.在△ABC中，若(a2＋c2－b2)tan B＝eq \r(3)ac，则角B的值为( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,3) C.eq \f(π,6)或eq \f(5π,6) D.eq \f(π,3)或eq \f(2π,3)
2.在△ABC中，a，b，c为角A，B，C的对边，且b2＝ac，则B的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3))) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，π)) C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,6))) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，π))
3.在△ABC中，已知CB＝7，AC＝8，AB＝9，则AC边上的中线长为________.
4.△ABC为钝角三角形，a＝3，b＝4，c＝x，则x的取值范围是________.
5.在△ABC中，已知a－b＝4，a＋c＝2b，且最大角为120°，求三边长.
正弦定理(1)
[合格基础练]
一、选择题
1.在△ABC中，a＝4，A＝45°，B＝60°，则边b的值为( )
A.eq \r(3)＋1 B.2eq \r(3)＋1 C.2eq \r(6) D.2＋2eq \r(3)
2.在△ABC中，A＝60°，a＝4eq \r(3)，b＝4eq \r(2)，则B等于( )
A.45°或135° B.135° C.45° D.以上答案都不对
3.在△ABC中，A>B，则下列不等式中不一定正确的是( )
A.sin A>sin B B.cs AC.sin 2A>sin 2B D.cs 2A4.在△ABC中，A∶B∶C＝4∶1∶1，则a∶b∶c等于( )
A.4∶1∶1 B.2∶1∶1 C.eq \r(2)∶1∶1 D.eq \r(3)∶1∶1
5.在△ABC中，a＝bsin A，则△ABC一定是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形
二、填空题
6.在△ABC中，B＝45°，C＝60°，c＝1，则最短边的边长等于________.
7.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝eq \r(3)，sin B＝eq \f(1,2)，C＝eq \f(π,6)，则b＝________.
8.在△ABC中，AB＝eq \r(6)，∠A＝75°，∠B＝45°，则AC＝________.
三、解答题
9.在△ABC中，已知eq \f(a,cs A)＝eq \f(b,cs B)＝eq \f(c,cs C)，试判断△ABC的形状.
10.在△ABC中，A＝60°，sin B＝eq \f(1,2)，a＝3，求三角形中其它边与角的大小.
[等级过关练]
1.在△ABC中，已知B＝60°，最大边与最小边的比为eq \f(\r(3)＋1,2)，则三角形的最大角为( )
A.60° B.75° C.90° D.115°
2.在△ABC中，a＝4，b＝eq \f(5,2)，5cs(B＋C)＋3＝0，则B的大小为( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,4) C.eq \f(π,3) D.eq \f(5,6)π
3.已知在△ABC中，A∶B∶C＝1∶2∶3，a＝1，则eq \f(a－2b＋c,sin A－2sin B＋sin C)＝________.
4.在△ABC中， A＝eq \f(π,3)，BC＝3，AB＝eq \r(6)，则C＝________.
5.已知方程x2－bcs Ax＋acs B＝0的两根之积等于两根之和，且a，b为△ABC的两边，A，B为a，b的对角，试判断△ABC的形状.
正弦定理(2)
[合格基础练]
一、选择题
1.在△ABC中，若eq \f(sin A,a)＝eq \f(cs C,c)，则C的值为( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
2.在△ABC中，b＋c＝eq \r(2)＋1，C＝45°，B＝30°，则( )
A.b＝1，c＝eq \r(2) B.b＝eq \r(2)，c＝1
C.b＝eq \f(\r(2),2)，c＝1＋eq \f(\r(2),2) D.b＝1＋eq \f(\r(2),2)，c＝eq \f(\r(2),2)
3.在△ABC中，a＝3，b＝5，sin A＝eq \f(1,3)，则sin B＝( )
A.eq \f(1,5) B.eq \f(5,9) C.eq \f(\r(5),3) D.1
4.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a＝eq \r(3)bsin A，则sin B＝( )
A.eq \r(3) B.eq \f(\r(3),3) C.eq \f(\r(6),3) D.－eq \f(\r(6),3)
5.在△ABC中，A＝60°，a＝eq \r(13)，则eq \f(a＋b＋c,sin A＋sin B＋sin C)等于( )
A.eq \f(8\r(3),3) B.eq \f(2\r(39),3) C.eq \f(26\r(3),3) D.2eq \r(3)
二、填空题
6.下列条件判断三角形解的情况，正确的是 (填序号).
①a＝8，b＝16，A＝30°，有两解；
②b＝18，c＝20，B＝60°，有一解；
③a＝15，b＝2，A＝90°，无解；
④a＝40，b＝30，A＝120°，有一解.
7.在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2eq \r(3)，则△ABC的面积等于 .
8.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cs A＝eq \f(4,5)，cs C＝eq \f(5,13)，a＝1，则b＝ .
三、解答题
9.在△ABC中，求证：eq \f(a－ccs B,b－ccs A)＝eq \f(sin B,sin A).
10.在△ABC中，已知c＝10，eq \f(cs A,cs B)＝eq \f(b,a)＝eq \f(4,3)，求a，b及△ABC的内切圆半径.
[等级过关练]
1.在△ABC中，A＝eq \f(π,3)，BC＝3，则△ABC的两边AC＋AB的取值范围是( )
A.[3eq \r(3)，6] B.(2,4eq \r(3)) C.(3eq \r(3)，4eq \r(3)) D.(3,6]
2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(eq \r(3)，－1)，n＝(cs A，sin A)，若m⊥n，且acs B＋bcs A＝csin C，则角A，B的大小分别为( )
A.eq \f(π,6)，eq \f(π,3) B.eq \f(2π,3)，eq \f(π,6) C.eq \f(π,3)，eq \f(π,6) D.eq \f(π,3)，eq \f(π,3)
3.在Rt△ABC中，C＝90°，且A，B，C所对的边a，b，c满足a＋b＝cx，则实数x的取值范围是 .
4.在△ABC中，若A＝120°，AB＝5，BC＝7，则sin B＝ .
5.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足csin A＝acs C.
(1)求角C的大小；
(2)求eq \r(3)sin A－cs(B＋eq \f(π,4))的最大值，并求取得最大值时角A，B的大小
定理
正弦定理
余弦定理
内容
eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R
a2＝b2＋c2﹣2bccs A；
b2＝c2＋a2﹣2cacs B；
c2＝a2＋b2﹣2abcs C
变形
(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，
c＝2Rsin C；
(2)asin B＝bsin A，
bsin C＝csin B，
asin C＝csin A
cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)；
cs B＝eq \f(c2＋a2－b2,2ac)；
cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)
1.掌握正弦定理、余弦定理及其变形.
2.能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题.
知识梳理
1.正弦定理与余弦定理
2.三角形中常用的面积公式
(1)S＝eq \f(1,2)aha(ha表示边a上的高)；
(2)S＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(1,2)bcsin A；
(3)S＝eq \f(1,2)r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径).
常用结论
在△ABC中，常有以下结论：
(1)∠A＋∠B＋∠C＝π.
(2)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.
(3)a>b⇔A>B⇔sin A>sin B，cs A
(5)三角形中的射影定理
在△ABC中，a＝bcs C＋ccs B；b＝acs C＋ccs A；c＝bcs A＋acs B.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.( )
(2)在△ABC中，若sin A>sin B，则A>B.( )
(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.( )
(4)当b2＋c2﹣a2>0时，△ABC为锐角三角形.( )
教材改编题
1.在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC等于( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,3) C.eq \f(2π,3) D.eq \f(5π,6)
2.在△ABC中，若A＝60°，a＝4eq \r(3)，b＝4eq \r(2)，则B＝ .
3.在△ABC中，a＝2，b＝3，C＝60°，则c＝ ，△ABC的面积＝ .
例1.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bsin C＋asin A＝bsin B＋csin C.
(1)求A；
(2)设D是线段BC的中点，若c＝2，AD＝eq \r(13)，求a.
思维升华 解三角形问题的技巧
(1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理，以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.
(2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.
跟踪训练1 已知在△ABC中，c＝2bcs B，C＝eq \f(2π,3).
(1)求B的大小；
(2)在下列三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，并求出BC边上的中线的长度.
①c＝eq \r(2)b；②周长为4＋2eq \r(3)；③面积为S△ABC＝eq \f(3\r(3),4).
题型二 正弦定理、余弦定理的简单应用
例2.在△ABC中，eq \f(c－a,2c)＝sin2 eq \f(B,2)(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为( )
A.直角三角形 B.等边三角形
C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形
思维升华 判断三角形形状的两种思路
(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状.
(2)化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状.此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论.
命题点2 三角形的面积
思维升华 三角形面积公式的应用原则
(1)对于面积公式S＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(1,2)bcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式.
(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.
例3.如图，在平面四边形ABCD中，已知A＝eq \f(π,2)，B＝eq \f(2π,3)，AB＝6.在AB边上取点E，使得BE＝1，连接EC，ED.若∠CED＝eq \f(2π,3)，EC＝eq \r(7).
(1)求sin∠BCE的值；
(2)求CD的长.
教师备选
1.在△ABC中，已知a2＋b2﹣c2＝ab，且2cs Asin B＝sin C，则该三角形的形状是( )
A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.钝角三角形
2.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acs C﹣ccs(B＋C)＝﹣eq \f(b,3csA＋B).
(1)求tan C；
(2)若c＝3，sin Asin B＝eq \f(16,27)，求△ABC的面积.
思维升华 平面几何图形中研究或求与角有关的长度、角度、面积的最值、优化设计等问题，通常是转化到三角形中，利用正、余弦定理通过运算的方法加以解决.在解决某些具体问题时，常先引入变量，如边长、角度等，然后把要解三角形的边或角用所设变量表示出来，再利用正、余弦定理列出方程，解之，若研究最值，常使用函数思想.
跟踪训练2 (1)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c﹣acs B＝(2a﹣b)cs A，则△ABC的形状为( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形
(2)如图，在△ABC中，AB＝9，cs B＝eq \f(2,3)，点D在BC边上，AD＝7，∠ADB为锐角.
①求BD；
②若∠BAD＝∠DAC，求sin C的值及CD的长.
余弦定理
[合格基础练]
一、选择题
1.在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，则角A等于( )
A.30° B.60° C.120° D.150°
2.在△ABC中，若a＝8，b＝7，cs C＝eq \f(13,14)，则最大角的余弦值是( )
A.－eq \f(1,5) B.－eq \f(1,6) C.－eq \f(1,7) D.－eq \f(1,8)
3.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若eq \f(c2－a2－b2,2ab)>0，则△ABC( )
A.一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形
C.一定是钝角三角形 D.是锐角或直角三角形
4.若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为( )
A.eq \f(4,3) B.8－4eq \r(3) C.1 D.eq \f(2,3)
5.锐角△ABC中，b＝1，c＝2，则a的取值范围是( )
A.1
6.已知a，b，c为△ABC的三边，B＝120°，则a2＋c2＋ac－b2＝________.
7.在△ABC中，若b＝1，c＝eq \r(3)，C＝eq \f(2π,3)，则a＝________.
8.在△ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cs B＝－eq \f(1,4)，则b＝________.
三、解答题
9.在△ABC中，A＋C＝2B，a＋c＝8，ac＝15，求b.
10.在△ABC中，BC＝a，AC＝b，且a，b是方程x2－2eq \r(3)x＋2＝0的两根，2cs (A＋B)＝1.
(1)求角C的度数；
(2)求AB的长.
[等级过关练]
1.在△ABC中，若(a2＋c2－b2)tan B＝eq \r(3)ac，则角B的值为( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,3) C.eq \f(π,6)或eq \f(5π,6) D.eq \f(π,3)或eq \f(2π,3)
2.在△ABC中，a，b，c为角A，B，C的对边，且b2＝ac，则B的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3))) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，π)) C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,6))) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，π))
3.在△ABC中，已知CB＝7，AC＝8，AB＝9，则AC边上的中线长为________.
4.△ABC为钝角三角形，a＝3，b＝4，c＝x，则x的取值范围是________.
5.在△ABC中，已知a－b＝4，a＋c＝2b，且最大角为120°，求三边长.
正弦定理(1)
[合格基础练]
一、选择题
1.在△ABC中，a＝4，A＝45°，B＝60°，则边b的值为( )
A.eq \r(3)＋1 B.2eq \r(3)＋1 C.2eq \r(6) D.2＋2eq \r(3)
2.在△ABC中，A＝60°，a＝4eq \r(3)，b＝4eq \r(2)，则B等于( )
A.45°或135° B.135° C.45° D.以上答案都不对
3.在△ABC中，A>B，则下列不等式中不一定正确的是( )
A.sin A>sin B B.cs A
A.4∶1∶1 B.2∶1∶1 C.eq \r(2)∶1∶1 D.eq \r(3)∶1∶1
5.在△ABC中，a＝bsin A，则△ABC一定是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形
二、填空题
6.在△ABC中，B＝45°，C＝60°，c＝1，则最短边的边长等于________.
7.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝eq \r(3)，sin B＝eq \f(1,2)，C＝eq \f(π,6)，则b＝________.
8.在△ABC中，AB＝eq \r(6)，∠A＝75°，∠B＝45°，则AC＝________.
三、解答题
9.在△ABC中，已知eq \f(a,cs A)＝eq \f(b,cs B)＝eq \f(c,cs C)，试判断△ABC的形状.
10.在△ABC中，A＝60°，sin B＝eq \f(1,2)，a＝3，求三角形中其它边与角的大小.
[等级过关练]
1.在△ABC中，已知B＝60°，最大边与最小边的比为eq \f(\r(3)＋1,2)，则三角形的最大角为( )
A.60° B.75° C.90° D.115°
2.在△ABC中，a＝4，b＝eq \f(5,2)，5cs(B＋C)＋3＝0，则B的大小为( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,4) C.eq \f(π,3) D.eq \f(5,6)π
3.已知在△ABC中，A∶B∶C＝1∶2∶3，a＝1，则eq \f(a－2b＋c,sin A－2sin B＋sin C)＝________.
4.在△ABC中， A＝eq \f(π,3)，BC＝3，AB＝eq \r(6)，则C＝________.
5.已知方程x2－bcs Ax＋acs B＝0的两根之积等于两根之和，且a，b为△ABC的两边，A，B为a，b的对角，试判断△ABC的形状.
正弦定理(2)
[合格基础练]
一、选择题
1.在△ABC中，若eq \f(sin A,a)＝eq \f(cs C,c)，则C的值为( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
2.在△ABC中，b＋c＝eq \r(2)＋1，C＝45°，B＝30°，则( )
A.b＝1，c＝eq \r(2) B.b＝eq \r(2)，c＝1
C.b＝eq \f(\r(2),2)，c＝1＋eq \f(\r(2),2) D.b＝1＋eq \f(\r(2),2)，c＝eq \f(\r(2),2)
3.在△ABC中，a＝3，b＝5，sin A＝eq \f(1,3)，则sin B＝( )
A.eq \f(1,5) B.eq \f(5,9) C.eq \f(\r(5),3) D.1
4.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a＝eq \r(3)bsin A，则sin B＝( )
A.eq \r(3) B.eq \f(\r(3),3) C.eq \f(\r(6),3) D.－eq \f(\r(6),3)
5.在△ABC中，A＝60°，a＝eq \r(13)，则eq \f(a＋b＋c,sin A＋sin B＋sin C)等于( )
A.eq \f(8\r(3),3) B.eq \f(2\r(39),3) C.eq \f(26\r(3),3) D.2eq \r(3)
二、填空题
6.下列条件判断三角形解的情况，正确的是 (填序号).
①a＝8，b＝16，A＝30°，有两解；
②b＝18，c＝20，B＝60°，有一解；
③a＝15，b＝2，A＝90°，无解；
④a＝40，b＝30，A＝120°，有一解.
7.在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2eq \r(3)，则△ABC的面积等于 .
8.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cs A＝eq \f(4,5)，cs C＝eq \f(5,13)，a＝1，则b＝ .
三、解答题
9.在△ABC中，求证：eq \f(a－ccs B,b－ccs A)＝eq \f(sin B,sin A).
10.在△ABC中，已知c＝10，eq \f(cs A,cs B)＝eq \f(b,a)＝eq \f(4,3)，求a，b及△ABC的内切圆半径.
[等级过关练]
1.在△ABC中，A＝eq \f(π,3)，BC＝3，则△ABC的两边AC＋AB的取值范围是( )
A.[3eq \r(3)，6] B.(2,4eq \r(3)) C.(3eq \r(3)，4eq \r(3)) D.(3,6]
2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(eq \r(3)，－1)，n＝(cs A，sin A)，若m⊥n，且acs B＋bcs A＝csin C，则角A，B的大小分别为( )
A.eq \f(π,6)，eq \f(π,3) B.eq \f(2π,3)，eq \f(π,6) C.eq \f(π,3)，eq \f(π,6) D.eq \f(π,3)，eq \f(π,3)
3.在Rt△ABC中，C＝90°，且A，B，C所对的边a，b，c满足a＋b＝cx，则实数x的取值范围是 .
4.在△ABC中，若A＝120°，AB＝5，BC＝7，则sin B＝ .
5.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足csin A＝acs C.
(1)求角C的大小；
(2)求eq \r(3)sin A－cs(B＋eq \f(π,4))的最大值，并求取得最大值时角A，B的大小
定理
正弦定理
余弦定理
内容
eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R
a2＝b2＋c2﹣2bccs A；
b2＝c2＋a2﹣2cacs B；
c2＝a2＋b2﹣2abcs C
变形
(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，
c＝2Rsin C；
(2)asin B＝bsin A，
bsin C＝csin B，
asin C＝csin A
cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)；
cs B＝eq \f(c2＋a2－b2,2ac)；
cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)
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