人教A版 (2019)必修第二册第六章平面向量及其应用6.4 平面向量的应用达标测试

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这是一份人教A版 (2019)必修第二册第六章平面向量及其应用6.4 平面向量的应用达标测试，文件包含新教材高中数学必修第二册正弦定理和余弦定理原卷版doc、新教材高中数学必修第二册正弦定理和余弦定理教师版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共24页，欢迎下载使用。

一、知识梳理
1．正弦定理和余弦定理
2.△ABC的面积公式
(1)S△ABC＝eq \f(1,2)a·h(h表示边a上的高)．
(2)S△ABC＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(1,2)bcsin A．
(3)S△ABC＝eq \f(1,2)r(a＋b＋c)(r为内切圆半径).
3．三角形解的判断
[注意] 上表中A为锐角时，a常用结论
1．三角形内角和定理
在△ABC中，A＋B＋C＝π；变形：eq \f(A＋B,2)＝eq \f(π,2)－eq \f(C,2).
2．三角形中的三角函数关系
(1)sin(A＋B)＝sin C．
(2)cs(A＋B)＝－cs C．
(3)sineq \f(A＋B,2)＝cs eq \f(C,2).
(4)cseq \f(A＋B,2)＝sin eq \f(C,2).
3．三角形中的射影定理
在△ABC中，a＝bcs C＋ccs B；b＝acs C＋ccs A；c＝bcs A＋acs B．
二、教材衍化
1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c若cA．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形
2．在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC＝( )
A．eq \f(π,6) B．eq \f(π,3) C．eq \f(2π,3) D．eq \f(5π,6)
3．在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2eq \r(3)，则△ABC的面积等于________．
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．( )
(2)在△ABC中，若sin A＞sin B，则A＞B．( )
(3)在△ABC中的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．( )
答案：(1)× (2)√ (3)×
二、易错纠偏
eq \a\vs4\al(常见,误区)eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))
(1)利用正弦定理求角，忽视条件限制出现增根；
(2)不会灵活运用正弦、余弦定理．
1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C＝60°，b＝eq \r(6)，c＝3，则A＝________．
2．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，cs C＝－eq \f(1,4)，3sin A＝2sin B，则c＝________．
考点一利用正、余弦定理解三角形(基础型)
eq \a\vs4\al(复习,指导)eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，能正确地解决问题．
核心素养：数学运算
(1)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asin A－bsin B＝4csin C，cs A＝－eq \f(1,4)，则eq \f(b,c)＝( )
A．6 B．5 C．4 D．3
(2)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c＋a＝2bcs A．
①求角B的大小；
②若a＝5，c＝3，边AC的中点为D，求BD的长．
eq \a\vs4\al()
(1)正、余弦定理的选用
①利用正弦定理可解决两类三角形问题：一是已知两角和一角的对边，求其他边或角；二是已知两边和一边的对角，求其他边或角；
②利用余弦定理可解决两类三角形问题：一是已知两边和它们的夹角，求其他边或角；二是已知三边求角．由于这两种情形下的三角形是唯一确定的，所以其解也是唯一的．
(2)三角形解的个数的判断
已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．
1．(一题多解)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝1，b＝eq \r(3)，A＝30°，B为锐角，那么A∶B∶C为( )
A．1∶1∶3 B．1∶2∶3 C．1∶3∶2 D．1∶4∶1
2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝8，c＝3，A＝60°，则此三角形外接圆的半径R＝( )
A．eq \f(8\r(2),3) B．eq \f(14\r(3),3) C．eq \f(7,3) D．eq \f(7\r(3),3)
3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设(sin B－sin C)2＝sin2A－sin Bsin C．
(1)求A；
(2)若eq \r(2)a＋b＝2c，求C．
考点二判断三角形的形状(综合型)
复习指导eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))利用正、余弦定理判断三角形形状的常用结论
1．若a＝b或(a－b)(b－c)(c－a)＝0，则△ABC为等腰三角形．
2．若a2＋b2＝c2，则△ABC为以C为直角的直角三角形；
3．若a2＋b2>c2，则△ABC中角C为锐角；
若a2＋b24．若(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，则△ABC为等腰三角形或直角三角形；
5．若a＝b且a2＋b2＝c2，则△ABC为等腰直角三角形；
6．若sin 2A＝sin 2B，即A＝B或A＋B＝eq \f(π,2)，则△ABC为等腰三角形或直角三角形．
(1)(一题多解)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcs C＋ccs B＝asin A，则△ABC的形状为( )
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不确定
(2)在△ABC中，若c－acs B＝(2a－b)cs A，则△ABC的形状为________．
【迁移探究】(变条件)若将本例(1)条件改为“2sin Acs B＝sin C”，试判断△ABC的形状．
eq \a\vs4\al()
判定三角形形状的两种常用途径
[提醒] “角化边”后要注意用因式分解、配方等方法得出边的相应关系；“边化角”后要注意用三角恒等变换公式、三角形内角和定理及诱导公式推出角的关系．
1．在△ABC中，a∶b∶c＝3∶5∶7，那么△ABC是( )
A．直角三角形 B．钝角三角形
C．锐角三角形 D．非钝角三角形
2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2＋c2＝a2＋bc，若sin Bsin C＝sin2A，则△ABC的形状是( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
考点三与三角形面积有关的问题(基础型)
eq \a\vs4\al(复习,指导)eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))能利用正、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题．
核心素养：数学运算
角度一计算三角形的面积
(1)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝6，a＝2c，B＝eq \f(π,3)，则△ABC的面积为________．
(2)在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2＋b2－c2＝eq \r(3)ab，且acsin B＝2eq \r(3)sin C，则△ABC的面积为________．
eq \a\vs4\al()
求三角形面积的方法
(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积；
(2)若已知三角形的三边，可先求其中一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．
角度二已知三角形的面积解三角形
现给你三个条件．
①tan A＋tan C＝eq \f(2sin B,cs A).②b＝eq \r(2)sin B．③c＝eq \f(\r(6),2).
请你选择一个条件，填入下列问题的横线上，并完成问题的解答．
△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知______，若△ABC面积的最大值为eq \f(3\r(3),8)，求a.
eq \a\vs4\al()
已知三角形面积求边、角的方法
(1)若求角，就寻求这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解；
(2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．
[注意] 正弦定理、余弦定理与三角函数性质的综合应用中，要注意三角函数公式的工具性作用．
1．在△ABC中，AC＝eq \r(5)，BC＝eq \r(10)，cs A＝eq \f(2\r(5),5)，则△ABC的面积为( )
A．eq \f(5,2) B．5 C．10 D．eq \f(\r(10),2)
2．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asin(A＋B)＝csineq \f(B＋C,2).
(1)求A；
(2)若△ABC的面积为eq \r(3)，周长为8，求a.
[基础题组练]
1．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，c＝2eq \r(3)，cs A＝eq \f(\r(3),2)且bA．3 B．2eq \r(2) C．2 D．eq \r(3)
2．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＝eq \r(7)，c＝4，cs A＝eq \f(\r(7),4)，则△ABC的面积等于( )
A．3eq \r(7) B．eq \f(3\r(7),2) C．9 D．eq \f(9,2)
3．在△ABC中，已知C＝eq \f(π,3)，b＝4，△ABC的面积为2eq \r(3)，则c＝( )
A．2eq \r(7) B．eq \r(7) C．2eq \r(2) D．2eq \r(3)
4．在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，其中b2＝ac，且sin C＝eq \r(2)sin B，则其最小内角的余弦值为( )
A．－eq \f(\r(2),4) B．eq \f(\r(2),4) C．eq \f(5\r(2),8) D．eq \f(3,4)
5．(多选)下列命题中，正确的是( )
A．在△ABC中，若A>B，则sin A>sin B
B．在锐角三角形ABC中，不等式sin A>cs B恒成立
C．在△ABC中，若acs A＝bcs B，则△ABC必是等腰直角三角形
D．在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，则△ABC必是等边三角形
6．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acs B－c－eq \f(b,2)＝0，a2＝eq \f(7,2)bc，b>c，则eq \f(b,c)＝________．
7．在△ABC中，B＝eq \f(π,3)，AC＝eq \r(3)，且cs2C－cs2A－sin2B＝－eq \r(2)sin Bsin C，则C＝________，BC＝________．
8．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asin B＋bcs A＝0.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝2eq \r(5)，b＝2，求边c的长．
9．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且eq \r(3)acs C＝(2b－eq \r(3)c)cs A．
(1)求角A的大小；
(2)若a＝2，求△ABC面积的最大值．
[综合题组练]
1．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝acs C＋eq \f(1,2)c，则角A等于( )
A．60° B．120° C．45° D．135°
2．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3acs A＝bcs C＋ccs B，b＋c＝3，则a的最小值为( )
A．1 B．eq \r(3) C．2 D．3
3．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cs B＝eq \f(1,3)，b＝4，S△ABC＝4eq \r(2)，则△ABC的周长为________．
4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，eq \f(asin A＋bsin B－csin C,sin Bsin C)＝eq \f(2\r(3),3)a，a＝2eq \r(3).若b∈[1，3]，则c的最小值为________．
5．(综合型)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)c－a))cs B＝bcs A．
(1)求cs B的值；
(2)若a＝2，cs C＝－eq \f(\r(17),17)，求△ABC外接圆的半径R.
6．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为eq \f(\r(3),2)accs B，且sin A＝3sin C．
(1)求角B的大小；
(2)若c＝2，AC的中点为D，求BD的长．
定理
正弦定理
余弦定理
内容
eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R
(R为△ABC外接圆半径)
a2＝b2＋c2－2bccs_A；
b2＝c2＋a2－2cacs_B；
c2＝a2＋b2－2abcs_C
变形
(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；
(2)a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C；
(3)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A
cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)；
cs B＝eq \f(c2＋a2－b2,2ca)；
cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式
a＝bsin A
bsin Aa≥b
a>b
解的个数
一解
两解
一解
一解