2023-2024学年湖北省武汉市汉阳区七年级（上）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年湖北省武汉市汉阳区七年级（上）期末数学试卷（含详细答案解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.有理数3的相反数是( )
A. −3B. −13C. 3D. 13
2.下列说法中正确的是( )
A. t2的系数是1B. −3x3y的次数是3
C. 2x2+x2y2−1是四次三项式D. 1y是单项式
3.下列各组式子中，是同类项的是( )
A. 3x2y与−3xy2B. 3xy与−2yxC. 2x与2x2D. 5xy与5yz
4.−(−2)，−|−2|，(−2)2，−(−2)2四个数中，正数的个数( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
5.如图，对于直线AB，线段CD，射线EF，其中能相交的图是( )
A. B. C. D.
6.如图，货轮O在航行过程中，灯塔A在它南偏东60∘的方向上，同时在它北偏东40∘方向上发现客轮B，则货轮O在客轮B的方向( )
A. 南偏西40∘B. 南偏东50∘C. 北偏西50∘D. 北偏东40∘
7.如果方程1=3−2x与关于x的方程2=a−x3的解相同，则a的值为( )
A. 1B. 3C. 7D. 17
8.在数轴上表示有理数a，b，c的点如图所示，若a，c异号，(a+b)为负数，则( )
A. (b+c)为负数B. |b|比|c|小C. |a|比|b|大D. abc为负数
9.《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架.其中方程术是其最高的代数成就.书中有这样一个问题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步.今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”意思是：“相同时间内，走路快的人走100步，走路慢的人只走60步.若走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？(注：步为长度单位)”.设走路快的人要走x步才能追上，根据题意可列出的方程是( )
A. x=100−60100xB. x=100+60100x
C. 100x=100+60xD. 10060x=100+x
10.如图，O是直线AB上一点，∠AOD=120∘，∠AOC=90∘，OE平分∠BOD，则图中彼此互补的角共有( )
A. 4对
B. 5对
C. 6对
D. 7对
11.如图，已知BC是圆柱底面的直径，AB是圆柱的高，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈路径最短的金属丝，现将圆柱侧面沿AB剪开，所得的圆柱侧面展开图是( )
A.
B.
C.
D.
12.把四张形状大小完全相同的小长方形卡片(如图①)不重叠地放在一个底面为长方形(长为mcm，宽为ncm)的盒子底部(如图②)，盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图②中两块阴影部分的周长和是( )
A. 4mcmB. 4ncmC. 2(m+n)cmD. 4(m−n)cm
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
13.请写出一个绝对值小于3的负有理数：______.
14.截止2023年底全国铁路营业里程达到15.9万公里，数据15.9万用科学记数法表示为______.
15.如图，一副三角板的两个直角顶点重合，若∠AOD=118∘17′，那么∠BOC的大小为______.
16.几个人共同种一批树苗，如果每人种10棵，则剩下6棵树苗未种：如果每人种12棵，则缺6棵树苗，则参与种树的有______人.
17.已知多项式−3x2+ax+bx2−x+3的值与x无关，(a−b)3=______.
18.在如图所示的图案中，每个小三角形的边长都为1，把由四个小三角形组成的边长为2的大三角形称为一个“单元”，现将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这十个数分别填入图中的十个小三角形中，使得对于图中的四个“单元”，每个“单元”中的四个数之和都是23，若2，4，5，a已填入图中，位置如图所示，则a表示的数是______.
三、解答题：本题共7小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
计算.
(1)3−6×(12−13)；
(2)−23÷49×(−23)2.
20.(本小题8分)
解方程：
(1)2(x+3)=5x；
(2)3x+x−12=3−2x−13.
21.(本小题8分)
先化简，再求值：
2(x3−2y2)−(x−2y)−(x−3y2+2x3)，其中|x+3|+(y+2)2=0.
22.(本小题10分)
如图，点E是线段AB的中点，点C是线段EB上一点，AC=24cm.
(1)若CB=4EC，求AB的长；
(2)若点F为CB的中点，求EF长.
23.(本小题10分)
直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOD.
(1)如图1，若∠BOD=50∘，则直接写出∠AOE的大小______；
(2)如图1，若OF平分∠BOC，试说明E，O，F三点在同一直线上；
(3)如图2，若OG平分∠BOD，∠GOF∠EOF=45，则求出(∠BOG+∠COF)的大小.
24.(本小题10分)
某商店销售甲、乙两种商品，该商店第一次用6300元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数比甲商品件数的一半还多25件.甲、乙两种商品的进价和售价如下表：
(1)该商店购进甲、乙两种商品各多少件？当这次购进的商品全部销售后，共获利多少元？
(2)该商店第二次购进甲、乙两种商品的进价与第一次相同，其中甲商品的件数不变，乙商品的件数是第一次的3倍，甲商品按原价销售，乙商品打折销售，第二次购进的两种商品都销售完所获得的总利润比第一次获得的总利润多800元，求第二次乙商品是按原价打几折销售？
25.(本小题12分)
问题呈现：在小学我们学习过用图示法求1+2+3+⋯+n的方法：
如图1，从第1层至第n层，分别有1，2，3，⋯，n个小圆圈；将图1旋转后拼成如图2.
①图2中，每层有小圆圈______个；共有小圆圈______个.
②1+2+3+⋯+n=______
数学思考：如何求12+22+32+⋯+n2？小明同学根据上面的启示设计了如图3所示三角形数阵型：
第1行圆圈中的数为1，即12；第2行两个圆圈中数的和为2+2，即22；⋯⋯；第n行n个圆圈中数的和为 n+n+⋯+nn个n，即n2，这样，该三角形数阵中所有圆圈中的数的和为12+22+32+⋯+n2.
为了求这个和，他将三角形数阵型经过两次旋转可得如图4所示的三角形数阵型.
观察这三个三角形数阵型各行同一位置圆圈中的数，(如第n−1行的第1个圆圈中的数分别为n−1，2，n)，
③发现每个位置上三个圆圈中数的和均为______；
④这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为：3(12+22+32+⋯+n2)=______；
⑤12+22+32+⋯+n2=______.
拓展运用：根据以上发现，
⑥)计算12+22+32+⋯+n21+2+3+⋯+n的结果为______.
⑦求212+222+232+⋯+302的值.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：3的相反数是−3.
故选：A.
依据相反数的定义求解即可．
本题主要考查的是相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：A、t2的系数是12，原说法错误，故此选项不符合题意；
B、−3x3y的次数是4，原说法错误，故此选项不符合题意；
C、2x2+x2y2−1是四次三项式，原说法正确，故此选项符合题意；
D、1y是分式，不是单项式，原说法错误，故此选项不符合题意．
故选：C.
根据单项式和多项式的相关定义解答即可．
本题考查了单项式和多项式．解题的关键是掌握单项式和多项式的相关定义．要注意：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，多项式里次数最高项的次数叫做这个多项式的次数，有几项就是几项式，多项式的项应包括符号x2的系数应包含完整的数字因数．
3.【答案】B
【解析】解：A、3x2y与−3xy2字母相同但字母的指数不同，不是同类项；
B、3xy与−2yx字母相同，字母的指数相同，是同类项；
C、2x与2x2字母相同但字母的指数不同，不是同类项；
D、5xy与5yz字母不同，不是同类项．
故选：B.
根据同类项的定义中相同字母的指数也相同，分别对选项进行判断即可．
本题考查同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项．注意同类项定义中的两个“相同”：(1)所含字母相同；(2)相同字母的指数相同．
4.【答案】B
【解析】解：∵−(−2)=2，−|−2|=−2，(−2)2=4，−(−2)2=−4，
∴−(−2)，(−2)2是正数，共2个，
故选：B.
先根据互为相反数的定义、绝对值的性质和乘方的意义，把各个式子进行计算，然后根据计算结果，进行判断即可．
本题主要考查了正负数，解题关键是熟练掌握互为相反数的定义、绝对值的性质和乘方的意义．
5.【答案】C
【解析】解：∵直线没有端点，可以向两方无线延长，
射线只有一个端点，可以向一方无线延长，
线段有两个端点，不能向两方无线延长，
∴A，B，D不符合题意，C符合题意，
故选：C.
根据直线、射线、线段的特征逐一判断即可．
本题考查了直线、射线、线段，熟练掌握它们的特征是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：如图：
由题意得：∠COB=40∘，CO//BD，
∴∠COB=∠DBO=40∘，
∴货轮O在客轮B的南偏西40∘，
故选：A.
根据题意可得：∠COB=40∘，CO//BD，然后利用平行线的性质可得∠COB=∠DBO=40∘，即可解答．
本题考查了方向角，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：解方程1=3−2x得，
x=1，
将x=1代入方程2=a−x3得，
2=a−13，
解得：a=7.
故选C.
先求出方程1=3−2x的解，然后把x的值代入方程2=a−x3，求出x的值．
本题考查了同解方程的知识，解答本题的关键是能够求解关于x的方程，要正确理解方程解的含义．
8.【答案】C
【解析】解：由题意得：ac<0，a+b<0.
∵a+b<0.
∴若b>0，则|a|>|b|.
对于A项，当b>0时，(b+c)>0，不成立．
对于B项，当b<0时，若c=1，由图得|b|>|c|，不成立．
对于C项，①若b>0，则|a|>|b|.②若b<0，a点在b点的右边，故|a|>|b|，该项成立．
对于D项，若b<0，且a<0，c>0，abc>0，不成立．
故选C.
根据数轴和ac<0，a+b<0，可以判断选项中的结论是否成立，从而可以解答本题．
本题考查数轴，解题的关键是明确数轴的特点，能举出错误选项的反例．
9.【答案】B
【解析】解：设走路快的人要走x步才能追上，则走路慢的人走x100×60，
依题意，得：x100×60+100=x.
故选：B.
设走路快的人要走x步才能追上，由走路快的人走x步所用时间内比走路慢的人多行100步，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：∵∠AOD=120∘，∠AOC=90∘，
∴∠BOD=60∘，∠COD=30∘，
∵OE平分∠BOD，
∴∠DOE=∠EOB=30∘，
∴∠AOE=150∘，
∴∠AOE+∠BOE=180∘，∠AOE+∠COD=180∘，∠AOE+∠DOE=180∘，∠AOC+∠COB=180∘，∠AOD+∠BOD=180∘，∠AOD+∠COE=180∘，
共6对，
故选：C.
首先根据条件计算出∠BOD=60∘，∠COD=30∘，∠DOE=∠EOB=30∘，进而可得∠AOE=150∘，然后根据补角定义分析即可．
此题主要考查了补角，以及角平分线的定义，关键是掌握如果两个角的和等于180∘(平角)，就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．
11.【答案】B
【解析】解：因圆柱的展开面为长方形，AC展开应该是两直线，且有公共点C.
故选：B.
由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．
此题主要考查圆柱的展开图，以及学生的立体思维能力．
12.【答案】B
【解析】解：设小长方形卡片的长为a，宽为b，
则周长L上面的阴影=2(n−a+m−a)，
L下面的阴影=2(m−2b+n−2b)，
所以L总的阴影=L上面的阴影+L下面的阴影=2(n−a+m−a)+2(m−2b+n−2b)=4m+4n−4(a+2b)，
又因为a+2b=m，
所以4m+4n−4(a+2b)=4n.
故选：B.
本题需先设小长方形卡片的长为a，宽为b，再结合图形得出上面的阴影周长和下面的阴影周长，再把它们加起来即可求出答案．
本题主要考查了整式的加减运算，在解题时要根据题意结合图形得出答案是解题的关键．
13.【答案】−1(答案不唯一)
【解析】解：绝对值小于3的负有理数为：−1(答案不唯一)，
故答案为：−1(答案不唯一)，
写出一个绝对值小于3的负有理数即可．
本题考查了绝对值，负有理数，有理数的大小比较，应牢固掌握绝对值的意义．
14.【答案】1.59×105
【解析】解：15.9万=159000=1.59×105，
故答案为：1.59×105.
用科学记数法表示绝对值大于1的数，将原数化为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，n的值等于把原数变为a时小数点移动的位数．
本题主要考查了用科学记数法表示绝对值大于1的数，解题的关键是掌握用科学记数法表示绝对值大于1的数的方法：将原数化为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，n的值等于把原数变为a时小数点移动的位数．
15.【答案】61∘43′
【解析】解：∵∠AOD=118∘17′，
∴∠AOC=∠AOD−∠COD=118∘17′−90∘=28∘17′，
∴∠BOC=∠AOB−∠AOC=90∘−28∘17′=61∘43′.
故答案为：61∘43′.
先求出∠AOC，再求出∠BOC.
本题主要考查余角和补角以及度分秒的换算，解决本题的关键是熟练运用这些知识点解决问题．
16.【答案】6
【解析】解：设参与种树的有x人，
根据题意，得10x+6=12x−6，
解得2x=12.
所以x=6.
故答案为：6.
设参与种树的有x人，先根据树苗不变列出方程，再求解即可．
本题考查了一元一次方程的应用，掌握解一元一次方程应用题的一般步骤是解决本题的关键．
17.【答案】−8
【解析】解：−3x2+ax+bx2−x+3=(−3+b)x2+(a−1)x+3，
∵多项式−3x2+ax+bx2−x+3的值与x无关，
∴−3+b=0，a−1=0，
解得b=3，a=1，
∴(a−b)3=(1−3)3=(−2)3=−8.
故答案为：−8.
先根据题意得出a、b的值，进而可得出结论．
本题考查的是合并同类项和代数式求值，先根据题意得出a、b的值是解题的关键．
18.【答案】3
【解析】解：如图，
由题意得，x+y+2+5=23，
∴x+y=16，
又∵4+a+x+y=23，
即4+a+16=23，
∴a=3，
故答案为：3.
根据每个“单元”中的四个数之和都是23可得x+y=16，再由4+a+x+y=23即可求出a的值．
本题考查了有理数的加法，根据每个“单元”中的四个数之和都是23推断出a的值是解题的关键．
19.【答案】解：(1)3−6×(12−13)
=3−6×12−6×(−13)
=3−3+2
=2；
(2)−23÷49×(−23)2
=−8×94×49
=−18×49
=−8.
【解析】(1)先利用乘法分配律计算乘法，再算加减即可；
(2)先算乘方，再算乘除即可．
本题考查的是有理数的混合运算，熟知有理数混合运算的法则是解题的关键．
20.【答案】(1)解：2(x+3)=5x
去括号得：2x+6=5x，
移项得：2x−5x=−6，
合并同类项得：−3x=−6，
系数化为1：x=2；
(2)解：3x+x−12=3−2x−13，
去分母得：18x+3(x−1)=18−2(2x−1)，
去括号得：18x+3x−3=18−4x+2，
移项得：18x+3x+4x=18+3+2，
合并同类项：25x=23，
系数化为1得：x=2325.
【解析】(1)按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可；
(2)按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可．
本题主要考查了解一元一次方程，熟知解一元一次方程的步骤是解题的关键．
21.【答案】解：∵|x+3|+(y+2)2=0，
∴x+3=0，y+2=0，
解得：x=−3，y=−2，
2(x3−2y2)−(x−2y)−(x−3y2+2x3)
=2x3−4y2−x+2y−x+3y2−2x3
=2x3−2x3+3y2−4y2−x−x+2y
=−y2−2x+2y，
当x=−3，y=−2时，
原式=−(−2)2−2×(−3)+2×(−2)
=−4+6−4
=−4−4+6
=−8+6
=−2.
【解析】先根据绝对值和偶次方的非负性，求出x，y，再根据去括号法则和合并同类项法则，化简整式，最后把求出的x，y的值代入化简后的式子，进行计算即可．
本题主要考查了整式的化简求值，解题关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则．
22.【答案】解：(1)∵CB=4EC，
∴BE=5EC，
∵点E是线段AB的中点，
∴AE=BE=12AB=5EC，
∴AC=6EC=24cm，
∴EC=6cm，
∴AB=10EC=60cm；
(2)∵点F为CB的中点，
∴CF=BF=12BC，
∵点E是线段AB的中点，
∴AE=BE=12AB，
∴EF=BE−BF
=12AB−12BC
=12(AB−BC)
=12AC
=12×24
=12(cm).
【解析】(1)根据线段中点的定义以及图形中线段的比例关系、和差关系进行计算即可；
(2)根据线段中点的定义以及图形中线段的和差关系EF=12AC即可．
本题考查两点间的距离，掌握线段中点的定义以及图形中线段的比例关系、和差关系是解决问题的关键．
23.【答案】65∘
【解析】解：(1)∠AOD=180∘−∠BOD=180∘−50∘=130∘，
∵OE平分∠AOD，
∴∠AOE=130∘÷2=65∘，
故答案为：65∘.
(2)∵直线AB，CD相交于点O，
∴∠AOD=∠BOC.
∵OE平分∠AOD，
∴∠EOD=12∠AOD.
∵OF平分∠BOC，
∴∠COF=12∠BOC.
∴∠EOD=∠COF，
∴E，O，F三点在同一直线上．
(3)∵OE平分∠AOD，
OG平分∠BOD，
∴∠EOG=180∘÷2=90∘.
∴∠GOF+∠EOF=360∘−90∘=270∘，
又∵∠GOF∠EOF=45，
∴∠GOF=270∘÷(5+4)×4=120∘，
∴∠DOG+∠COF=180∘−120∘=60∘.
又∵∠DOG=∠BOG，
∴∠BOG+∠COF=60∘.
(1)根据邻补角和角平分线来解答；
(2)根据角平分线证明出∠EOD=∠COF，再根据CD是一条直线便能得出结论；
(3)根据∠GOF+∠EOF的度数和及度数比，求出∠GOF的度数，再根据邻补角和角平分线得出∠BOG+∠COF的度数．
本题考查了对顶角、邻补角和角平分线的定义，解题的关键根据对顶角相等、两个邻补角的和是180度和角平分线平分角的度数相等来解答．
24.【答案】解：(1)设购进甲x件，
则：22x+30(12x+25)=6300，
解得：x=150，
∴12x+25=100，
150×(29−22)+100×(40−30)=2050(元)，
答：该商店购进甲商品150件、乙商品100件，共获利2050元；
(2)设第二次乙商品是按原价打a折销售，
则150×(29−22)+100×3×(40×a10−30)=2050+800，
解得：a=9，
答：第二次乙商品是按原价打9折销售．
【解析】(1)根据“第一次用6300元购进甲、乙两种商品”列方程求解；
(2)根据“甲商品按原价销售，乙商品打折销售，第二次购进的两种商品都销售完所获得的总利润比第一次获得的总利润多800元”列方程求解．
本题考查了一元一次方程的应用，找到相等关系是解题的关键．
25.【答案】(n+1)n(n+1)n(n+1)2 2n+1n(n+1)(2n+1)2 n(n+1)(2n+1)6 2n+13
【解析】解：问题呈现：①图2中，每层有小圆圈(n+1)个；共有小圆圈n(n+1)个．
②1+2+3+⋯+n=n(n+1)2，
故答案为：(n+1)，n(n+1)，n(n+1)2；
数学思考：③发现每个位置上三个圆圈中数的和均为2n+1，
：故答案为：2n+1；
④这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为：3(12+22+32+⋯+n2)=(2n+1)n(n+1)2=n(n+1)(2n+1)2，
故答案为：n(n+1)(2n+1)2；
⑤12+22+32+⋯+n2=n(n+1)(2n+1)2÷3=n(n+1)(2n+1)6，
故答案为：n(n+1)(2n+1)6；
拓展运用：根据以上发现，
⑥12+22+32+⋯+n21+2+3+⋯+n=n(n+1)(2n+1)6÷n(n+1)2=2n+13，
故答案为：2n+13；
⑦求212+222+232+⋯+302
=12+22+32+⋯+302−(12+22+32+⋯+202)
=30×31×616−20×21×416
=9455−2870
=6585.
问题呈现：根据图中的四边形的面积计算；
数学思考：根据题中的步骤，结合②中的结果求解．
本题考查了图形的变化类，找到变化规律是解题的关键．类别
甲
乙
进价(元/件)
22
30
售价(元/件)
29
40