专题5-2 向量线性运算及四心综合归类-高考数学一轮复习热点题型归纳与变式演练（全国通用）

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专题5-2 向量线性运算及四心综合归类

目录
一、热点题型归纳
【题型一】基底就是坐标轴 1
【题型二】基底拆分：绕三角形 3
【题型三】基底拆分：待定系数型 4
【题型四】基底拆分：均值不等式求最值型 5
【题型五】基底拆分：求最值型 6
【题型六】三角换元型 7
【题型七】等和线型 8
【题型八】极化恒等式 10
【题型九】奔驰定理 11
【题型十】四心与向量1：重心 12
【题型十一】四心与向量2：外心 13
【题型十二】四心与向量3：内心 14
【题型十三】四心与向量4：垂心 15
【题型十四】向量点落在区域内 16
【题型十五】向量超难压轴小题 18
二、真题再现 18
三、模拟检测 21


【题型一】基底就是坐标轴
【典例分析】
．（2022·广东深圳·高三阶段练习）在中，为边的延长线上一点，且，记，则（       ）
A． B．
C． D．

【提分秘籍】
基本规律
在平面向量的线性运算中，如图OP=xOA+yOB，x,y的范围可仿照直角坐标系得出，OA，OB类比于x,y轴，直角坐标系中有四个象限，类比在（O,OA,OB）中也有四个象限，如第Ⅰ象限有x>0y>0，第Ⅱ象限有x<0y>0，第Ⅲ象限有x<0y<0，第Ⅳ象限有x>0y<0，也可类比得出其中的直线方程，二元一次不等式组表示的平面区域等等.

在平面内，有公共原点且互相垂直的两条数轴构成平面直角坐标系，同样地，在平面内有公共原点且不垂直的两条数轴构成的坐标系，我们称之为“斜坐标系”.如图，在斜坐标系中，两条坐标轴的公共原点称为斜坐标系的原点，其坐标记为，点是斜坐标系中的任意一点，与直角坐标系相类似，过点分别作两坐标轴的平行线，与轴、轴交于点、，若、在轴、轴上分别对应实数、，则有序数对叫做点在斜坐标系中的坐标，记为.若点、是斜坐标系（）中任意两点.


【变式演练】
1.（2022·广东·高三开学考试）在平行四边形中，点、分别满足，，若，，则（       ）
A． B． C． D．

2.（2022·广东·广州市真光中学高三开学考试）如图，在中，，，则（       ）


A． B． C． D．2

【题型二】基底拆分：绕三角形
【典例分析】
（2022·全国·高三专题练习）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且，则（       ）


A． B． C． D．


【提分秘籍】
基本规律
一部分基础不太好的同学，对于利用基底基础定理求解推导掌握的不是太顺利，可以把这个简化为“绕三角形”：标记出基底（共起点），然后把要求的向量按照三角形法则来推导。
。。。三角形法则→共线（拉长或者缩短）→三角形法则→共线（拉长或者缩短）。。。。周期反复，一直到推导为基底。



【变式演练】
1.．（2022·全国·高三专题练习）如图，中，，，点E是的三等分点，则（       ）


A． B． C． D．

2.（2023·全国·高三专题练习）在平行四边形ABCD中，，G为EF的中点，则（　　）
A． B．
C． D．

3.在ΔABC中，G为ΔABC的重心，M为AC上一点，且满足MC=3AM，则（ ）
A．GM=13AB+112AC B．GM=-13AB-112AC
C．GM=-13AB+712AC D．GM=13AB-712AC



【题型三】基底拆分：待定系数型
【典例分析】
（2022·全国·高三专题练习）在梯形ABCD中，且，点P在边BC上，若，则实数（       ）
A． B． C． D．




【提分秘籍】
基本规律
平面向量基本定理(平面内三个向量之间关系)：若、是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数、，使.
（1）选定基底，则、，是唯一的
（2）处理技巧：可“绕三角形”，可待定系数，可建系 。


【变式演练】
1.（2022·全国·高三专题练习）如图，在中，，是上一点，若，则实数的值为（       ）

A．3 B．4 C．5 D．6

2.（2020·四川·模拟预测（理））在△中，，是线段上一点，若，则实数的值为（       ）
A． B． C． D．

3.如图，四边形ABCD是平行四边形，E是BC的中点，点F在线段CD上，且，AE与BF交于点P，若，则（ ）

A． B． C． D．
河北省邢台市2019-2020学年高三下学期期中数学试题

【题型四】基底拆分：均值不等式求最值型
【典例分析】
（2023·全国·高三专题练习）如图，在中，是线段上的一点，且，过点的直线分别交直线，于点，，若，，则的最小值是（       ）

A． B． C． D．


【提分秘籍】
基本规律
利用向量基底理论，求出“和定”或者“积定”，再用均值不等式技巧求出最值和范围



【变式演练】
1.（2022·全国·高三专题练习）如图，在中，M，N分别是线段，上的点，且，，D，E是线段上的两个动点，且，则的的最小值是（       ）

A．4 B． C． D．2

2.（2022·全国·高三专题练习）在中，点F为线段BC上任一点（不含端点），若，则的最小值为（       ）
A．9 B．8 C．4 D．2

3.（2022·河南许昌·三模（文））在中，点D在BC上，且满足，点E为AD上任意一点，若实数x，y满足，则的最小值为（       ）
A． B．
C． D．



【题型五】基底拆分：求最值型
【典例分析】
在平行四边形中，，，，分别是上的点，且，，（其中），且.若线段的中点为，则当取最小值时，的值为（ ）
A． B． C． D．




【提分秘籍】
基本规律
1.基底拆分，可得系数和定值（实质是“等和线”）
2.也建系设点三角换元等





【变式演练】
1如图，在中，、分别是、的中点，若（，），且点落在四边形内（含边界），则的取值范围是（ ）

A． B． C． D．

2.在中，点满足，当点在线段上移动时，若，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．


3.设向量，，其中为实数，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．



【题型六】三角换元型
【典例分析】
在直角梯形中， ， ， ， 分别为， 的中点，以为圆心， 为半径的圆交于，点在弧上运动（如图）.若，其中， ，则的取值范围是（ ）

A． B． C． D．
【校级联考】福建省福州市八县（市）协作校2018-2019学年高三上学期期末联考数学试题



【提分秘籍】
基本规律
利用向量几何意义等知识转化为圆的概念和方程，再用圆的参数方程进行三角代换，可达到化繁为简的目标




【变式演练】
1.在矩形中，，，点P是以点C为圆心，2为半径的圆上的动点，设，则的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．

2.若向量，是不共线的两个向量，与共线，当时，的最小值为（ ）
A．4 B．2 C． D．


3.已知，，，，为外接圆上的一动点，且，则的最大值是（　　）
A． B． C． D．


【题型七】等和线型
【典例分析】
（2023·全国·高三专题练习）如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆，为圆上任一点，若，则的最大值为（       ）


A． B．2 C． D．1

【提分秘籍】
基本规律
等和线原理：






【变式演练】
1.如图，延长正方形ABCD的边CD至点E，使得DE= CD，动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周后回到点A，若，则下列判断正确的是（ ）

A．满足λ+μ=2的点P必为BC的中点
B．满足λ+μ=1的点P有且只有一个
C．满足λ+μ=3的点P有且只有一个
D．λ+μ=的的点P有且只有一个


2.如图，中，与交于，设，，，则为
A． B． C． D．


3.如图，在边长为2的正六边形中，动圆的半径为1，圆心在线段（含端点）上运动， 是圆上及内部的动点，设向量（， 为实数），则的取值范围是（ ）

A． B． C． D．



【题型八】极化恒等式
【典例分析】
(2021郑州密卷)如图，已知点O为△ABC的重心，OAOB，AB，则的值为 ．


【提分秘籍】
基本规律
基础知识：
在△中，是边的中点，则.





【变式演练】
1.如图放置的边长为1的正方形，顶点分别在轴，轴正半轴（含原点）滑动，则的最大值为______________.

2.(2020南通三调)如图，已知正方形的边长为2，为的中点，以为圆心，为半径，作圆交于点，若为劣弧上的动点，则的最小值是____________.

3.如图，在平面四边形中，，，，则的最大值为 .
【题型九】奔驰定理
【典例分析】
在中，为其内部一点，且满足，则和的面积比是（ ）
A．3：4 B．3:2 C．1:1 D．1:3
2020届辽宁省沈阳市省示范协作校高三第一次模拟考试数学（文)试卷


【提分秘籍】
基本规律
奔驰定理






【变式演练】
1.设点在的内部，且，若的面积是27，则的面积为（ ）
A．9 B．8 C． D．7



2.已知等边ΔABC边长为4，O为其内一点，且4OA+7OB+3OC=0，则ΔAOB的面积为 A．437 B．637 C．337 D．12


3.已知为内一点，且， ，则为（ ）
A． B． C． D．



【题型十】四心与向量1：重心
【典例分析】
过内一点任作一条直线，再分别过顶点作的垂线，垂足分别为，若恒成立，则点是的（ ）
A．垂心 B．重心 C．外心 D．内心



【提分秘籍】
基本规律
（1）是重心，
（2）是平面内任一点， 是重心．



【变式演练】
1.在ΔABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，O为ΔABC的外心，D为BC边上的中点，c=4，AO⋅AD=5，sinC+sinA-4sinB=0，则cosA=（ ）
A．32 B．12 C．14 D．28


2.已知，，是不在同一直线上的三个点，是平面内一动点，若，，则点的轨迹一定过的（       ）
A．外心 B．重心 C．垂心 D．内心


3.在四边形中，为的重心，，点在线段 上， 则的最小值为（       ）
A． B． C． D．0


【题型十一】四心与向量2：外心
【典例分析】
已知为锐角的外接圆的圆心，，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
浙江省杭州市西湖区杭州学军中学2018-2019学年高三下学期期中数学试题




【提分秘籍】
基本规律
（1）是外心，
（2）若是外心，则．
（3）若是外心，则对于平面内任意点，均有：





【变式演练】
1.已知，，，是边上的点，且，为的外心，的值为（ ）
A．8 B．10 C．18 D．9


2.已知△ABC外接圆的圆心为O，AB=23，AC=22，A为钝角，M是BC边的中点，则AM⋅AO=( )

A．3 B．4 C．5 D．6


3.在中,内角的对边分别为是外接圆的圆心,若,且,则的值是( )
A． B． C． D．





【题型十二】四心与向量3：内心
【典例分析】
（2022·江苏·高三模拟）在△ABC中，，O为△ABC的内心，若，则x＋y的最大值为（       ）
A． B． C． D．



【提分秘籍】
基本规律
（1）是内心
（2）是内心，
（2）是内心．



【变式演练】
1.点为所在平面内一点，则的形状为（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形


2.是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足：，则的轨迹一定通过的(　 　)
A．内心 B．垂心 C．重心 D．外心


3.已知非零向量AB,AC满足(AB|AB|+AC|AC|)⋅BC=0，且AB|AB|⋅AC|AC|=12，则ΔABC的形状是（ ）
A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形 C．等腰（非等边）三角形 D．等边三角形




【题型十三】四心与向量4：垂心
【典例分析】
设H是的垂心，且，则_____．
河南省商丘市第一高级中学2021-2022学年高三下学期五月月考数学试卷


【提分秘籍】
基本规律
（1）是垂心，
（2）若是垂心，则．

【变式演练】
1.已知是平面内一点，，，是平面内不共线的三点，若，一定是的（       ）
A．外心 B．重心 C．垂心 D．内心


2.已知H为的垂心，若，则（       ）
A． B．
C． D．

3.点P为△ABC所在平面内的动点，满足AP=t(AB|AB|cosB+AC|AC|cosC)，t∈(0,+∞)，则点P的轨迹通过△ABC的(　　)
A．外心 B．重心 C．垂心 D．内心



【题型十四】向量点落在区域内
【典例分析】
在直角中，是直角，CA=4，CB=3，的内切圆交CA，CB于点D，E，点P是图中阴影区域内的一点(不包含边界)．若，则的值可以是（       ）

A．1 B．2 C．4 D．8



【提分秘籍】
基本规律
对于向量终点落在某些区域内题型，可以从以下几个方向切入解题：
1.等和线法
2.建系求点法
3.向量四边形或者三角形法。



【变式演练】
1.如图，∥，点在由射线、线段及的延长线围成的阴影区域内（不含边界），且，则满足条件的实数对可以是（       ）

A． B． C． D．

2.如图，在中，点是线段及、的延长线所围成的阴影区域内（含边界）的任意一点，且，则在直角坐标平面上，实数对所表示的区域在直线的右下侧部分的面积是（       ）

A． B． C． D．不能求

3.如图,，点在由射线、线段及的延长线围成的区域内(不含边界)运动,且.当时，的取值范围是（       ）

A． B． C． D．




【题型十五】向量超难压轴小题
【典例分析】
已知平面向量，满足且，若对每一个确定的向量，记的最小值为，则当变化时，的最大值为（ ）
A． B． C． D．1




【变式演练】
1.已知向量，，若，，则的最大值为( )
A． B． C．4 D．5


2.正方形的边长为2，对角线，相交于点，动点满足，若，其中，则的最大值是( )
A．1 B．2 C．3 D．4



3.已知平面向量，满足，则对任意共面的单位向量，的最大值是（ ）
A． B． C．3 D．2






1．（2022·全国·高考真题）在中，点D在边AB上，．记，则（       ）
A． B． C． D．

2．（2020·山东·高考真题）已知平行四边形，点，分别是，的中点（如图所示），设，，则等于（       ）

A． B． C． D．

3．（·山东·高考真题）如下图，是线段的中点，设向量，，那么能够表示为（       ）

A． B．
C． D．

4．（·湖南·高考真题（理））已知是单位向量，.若向量满足（ ）
A． B．
C． D．

5．（天津·高考真题（理））已知为等边三角形，AB=2，设点P，Q满足，，，若，则=
A． B．
C． D．

6．（·广东·高考真题（理））在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若，，则
A． B． C． D．

7．（·安徽·高考真题（理））在平面直角坐标系中，是坐标原点，两定点满足，则点集所表示的区域的面积是
A． B． C． D．


8．（·全国·高考真题（理））设是单位向量，且，则的最小值为
A． B． C． D．

9．（2019·江苏·高考真题）如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点.若，则的值是_____.


10．（陕西·高考真题（理））如图，平面内有三个向量、、,其中与与的夹角为，与的夹角为,且，，若,则的值为_________.


11．（江西·高考真题（理））如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N,若,则m+n的值为_________．


12．（2021·天津·高考真题）在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，且交AB于点E．且交AC于点F,则的值为____________；的最小值为____________．


13．（2020·天津·高考真题）如图，在四边形中，，，且，则实数的值为_________，若是线段上的动点，且，则的最小值为_________．






1.（2023·全国·高三专题练习）在平行四边形中，分别是的中点，，，则（       ）
A． B． C． D．


2.（2022·全国·高三专题练习）如图平面四边形ABCD中，，则可表示为（       ）


A． B．
C． D．

3.（2023·全国·高三专题练习）已知中，点D为线段（不包括端点）上任意一点，且实数x，y满足，则的最小值为（       ）
A． B．6 C． D．

4.（2023·全国·高三专题练习）如图，在△ABC中，点D是线段BC上的动点（端点除外），且，则的最小值为（       ）

A．16 B．17 C．18 D．19

5.如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为( )

A． B． C．1 D．


6.给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为，点在以为圆心的圆弧上运动，若，其中，则的最大值为（　　）
A． B．5 C． D．6

7.如图， 中， 是斜边上一点，且满足： ,点在过点的直线上，若,,则的最小值为（ ）
A．2 B． C．3 D．


8.（2021南京、盐城一模）在△中，已知，，则的最大值为 .


9.设为等边的重心，过作直线分别交（不与端点重合）于，若， ，若与的面积之比为，则（ ）
A． B． C． D．


10.已知的重心为G，经过点G的直线交AB于D，交AC于E，若，，则________.

11.已知O是△ABC的外心，∠C=45∘，则OC=mOA+nOB(m,n∈R)，则m+n的取值范围是( )
A．[-2,2] B．[-2,1） C．[-2,-1] D．(1,2]


12.已知非零向量AB 和AC满足(AB|AB|+AC|AC|)•BC=0，且AB|AB|∙AC|AC|=12，则ΔABC为（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．三边均不相等的三角形


13.已知在中，，点为的垂心，则=________．


14.如图所示，已知，由射线OA和射线OB及线段AB构成如图所示的阴影区（不含边界）.已知下列四个向量：①； ②；③；④.对于点，，，落在阴影区域内（不含边界）的点有________（把所有符合条件点都填上）



15.如图，在中，，，为上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为( )

A． B． C．3 D．